Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddssw2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem paddssw2 38703
Description: Subset law for projective subspace sum valid for all subsets of atoms. (Contributed by NM, 14-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddssw.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
paddssw.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
paddssw2 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝑍 β†’ (𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑍)))
Proof of Theorem paddssw2
StepHypRef Expression
1 paddssw.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2 paddssw.p . . . . . 6 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
31, 2sspadd1 38674 . . . . 5 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ 𝑋 βŠ† (𝑋 + π‘Œ))
433adant3r3 1184 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ 𝑋 βŠ† (𝑋 + π‘Œ))
5 sstr 3989 . . . 4 ((𝑋 βŠ† (𝑋 + π‘Œ) ∧ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝑍) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑍)
64, 5sylan 580 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝑍) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑍)
76ex 413 . 2 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝑍 β†’ 𝑋 βŠ† 𝑍))
8 simpl 483 . . . . 5 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ 𝐾 ∈ 𝐡)
9 simpr2 1195 . . . . 5 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
10 simpr1 1194 . . . . 5 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
111, 2sspadd2 38675 . . . . 5 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ π‘Œ βŠ† (𝑋 + π‘Œ))
128, 9, 10, 11syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ π‘Œ βŠ† (𝑋 + π‘Œ))
13 sstr 3989 . . . 4 ((π‘Œ βŠ† (𝑋 + π‘Œ) ∧ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝑍) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑍)
1412, 13sylan 580 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝑍) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑍)
1514ex 413 . 2 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝑍 β†’ π‘Œ βŠ† 𝑍))
167, 15jcad 513 1 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝑍 β†’ (𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3947  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Atomscatm 38121  +𝑃cpadd 38654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-padd 38655
This theorem is referenced by:  paddss  38704
  Copyright terms: Public domain W3C validator