Theorem paddssw2 39868

Description: Subset law for projective subspace sum valid for all subsets of atoms. (Contributed by NM, 14-Mar-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddssw.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddssw.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddssw2	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍 → (𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑍)))

Proof of Theorem paddssw2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		paddssw.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2		paddssw.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
3	1, 2	sspadd1 39839	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
4	3	3adant3r3 1185	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
5		sstr 3972	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌) ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍) → 𝑋 ⊆ 𝑍)
6	4, 5	sylan 580	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍) → 𝑋 ⊆ 𝑍)
7	6	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍 → 𝑋 ⊆ 𝑍))
8		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝐾 ∈ 𝐵)
9		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
10		simpr1 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
11	1, 2	sspadd2 39840	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝑌 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝑌 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
13		sstr 3972	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ⊆ (𝑋 + 𝑌) ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍) → 𝑌 ⊆ 𝑍)
14	12, 13	sylan 580	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍) → 𝑌 ⊆ 𝑍)
15	14	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍 → 𝑌 ⊆ 𝑍))
16	7, 15	jcad 512	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍 → (𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3931  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Atomscatm 39286  +_𝑃cpadd 39819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-padd 39820

This theorem is referenced by:  paddss  39869