Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddssw2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddssw2 38245
Description: Subset law for projective subspace sum valid for all subsets of atoms. (Contributed by NM, 14-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddssw.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddssw.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddssw2 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍 → (𝑋𝑍𝑌𝑍)))

Proof of Theorem paddssw2
StepHypRef Expression
1 paddssw.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2 paddssw.p . . . . . 6 + = (+𝑃𝐾)
31, 2sspadd1 38216 . . . . 5 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
433adant3r3 1184 . . . 4 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
5 sstr 3950 . . . 4 ((𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌) ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍) → 𝑋𝑍)
64, 5sylan 580 . . 3 (((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍) → 𝑋𝑍)
76ex 413 . 2 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍𝑋𝑍))
8 simpl 483 . . . . 5 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝐾𝐵)
9 simpr2 1195 . . . . 5 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑌𝐴)
10 simpr1 1194 . . . . 5 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑋𝐴)
111, 2sspadd2 38217 . . . . 5 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑋𝐴) → 𝑌 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
128, 9, 10, 11syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑌 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
13 sstr 3950 . . . 4 ((𝑌 ⊆ (𝑋 + 𝑌) ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍) → 𝑌𝑍)
1412, 13sylan 580 . . 3 (((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍) → 𝑌𝑍)
1514ex 413 . 2 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍𝑌𝑍))
167, 15jcad 513 1 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍 → (𝑋𝑍𝑌𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3908  cfv 6493  (class class class)co 7351  Atomscatm 37663  +𝑃cpadd 38196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-padd 38197
This theorem is referenced by:  paddss  38246
  Copyright terms: Public domain W3C validator