Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddssw2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddssw2 36530
Description: Subset law for projective subspace sum valid for all subsets of atoms. (Contributed by NM, 14-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddssw.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddssw.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddssw2 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍 → (𝑋𝑍𝑌𝑍)))

Proof of Theorem paddssw2
StepHypRef Expression
1 paddssw.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2 paddssw.p . . . . . 6 + = (+𝑃𝐾)
31, 2sspadd1 36501 . . . . 5 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
433adant3r3 1177 . . . 4 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
5 sstr 3897 . . . 4 ((𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌) ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍) → 𝑋𝑍)
64, 5sylan 580 . . 3 (((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍) → 𝑋𝑍)
76ex 413 . 2 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍𝑋𝑍))
8 simpl 483 . . . . 5 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝐾𝐵)
9 simpr2 1188 . . . . 5 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑌𝐴)
10 simpr1 1187 . . . . 5 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑋𝐴)
111, 2sspadd2 36502 . . . . 5 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑋𝐴) → 𝑌 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
128, 9, 10, 11syl3anc 1364 . . . 4 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑌 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
13 sstr 3897 . . . 4 ((𝑌 ⊆ (𝑋 + 𝑌) ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍) → 𝑌𝑍)
1412, 13sylan 580 . . 3 (((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍) → 𝑌𝑍)
1514ex 413 . 2 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍𝑌𝑍))
167, 15jcad 513 1 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍 → (𝑋𝑍𝑌𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wss 3859  cfv 6225  (class class class)co 7016  Atomscatm 35949  +𝑃cpadd 36481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-padd 36482
This theorem is referenced by:  paddss  36531
  Copyright terms: Public domain W3C validator