Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sspadd1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sspadd1 37871
Description: A projective subspace sum is a superset of its first summand. (ssun1 4112 analog.) (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
padd0.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
sspadd1 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ 𝑋 βŠ† (𝑋 + π‘Œ))

Proof of Theorem sspadd1
Dummy variables π‘ž 𝑝 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssun1 4112 . . 3 𝑋 βŠ† (𝑋 βˆͺ π‘Œ)
2 ssun1 4112 . . 3 (𝑋 βˆͺ π‘Œ) βŠ† ((𝑋 βˆͺ π‘Œ) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)})
31, 2sstri 3935 . 2 𝑋 βŠ† ((𝑋 βˆͺ π‘Œ) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)})
4 eqid 2736 . . 3 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
5 eqid 2736 . . 3 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
6 padd0.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
7 padd0.p . . 3 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
84, 5, 6, 7paddval 37854 . 2 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘Œ) = ((𝑋 βˆͺ π‘Œ) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)}))
93, 8sseqtrrid 3979 1 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ 𝑋 βŠ† (𝑋 + π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆƒwrex 3071  {crab 3284   βˆͺ cun 3890   βŠ† wss 3892   class class class wbr 5081  β€˜cfv 6458  (class class class)co 7307  lecple 17014  joincjn 18074  Atomscatm 37319  +𝑃cpadd 37851
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-padd 37852
This theorem is referenced by:  paddasslem13  37888  paddasslem17  37892  paddidm  37897  paddssw2  37900  pmodlem1  37902  pmodlem2  37903  pmodl42N  37907  osumcllem1N  38012  osumcllem2N  38013  osumcllem10N  38021  pexmidlem6N  38031  pexmidlem7N  38032
  Copyright terms: Public domain W3C validator