Theorem sspadd2 35892

Description: A projective subspace sum is a superset of its second summand. (ssun2 4005 analog.) (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
sspadd2	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem sspadd2

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 4005	. . 3 ⊢ 𝑋 ⊆ (𝑌 ∪ 𝑋)
2		ssun1 4004	. . 3 ⊢ (𝑌 ∪ 𝑋) ⊆ ((𝑌 ∪ 𝑋) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)})
3	1, 2	sstri 3837	. 2 ⊢ 𝑋 ⊆ ((𝑌 ∪ 𝑋) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)})
4		eqid 2826	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
5		eqid 2826	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
6		padd0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		padd0.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
8	4, 5, 6, 7	paddval 35874	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑌 ∪ 𝑋) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}))
9	8	3com23 1162	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑌 ∪ 𝑋) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}))
10	3, 9	syl5sseqr 3880	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑌 + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∃wrex 3119  {crab 3122   ∪ cun 3797   ⊆ wss 3799   class class class wbr 4874  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  lecple 16313  joincjn 17298  Atomscatm 35339  +_𝑃cpadd 35871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-id 5251  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-padd 35872

This theorem is referenced by:  paddasslem11  35906  paddasslem12  35907  paddssw2  35920  pmodlem2  35923  pmodl42N  35927  osumcllem10N  36041  pexmidlem7N  36052  pl42lem3N  36057