Theorem sspadd2 35970

Description: A projective subspace sum is a superset of its second summand. (ssun2 4000 analog.) (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
sspadd2	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem sspadd2

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 4000	. . 3 ⊢ 𝑋 ⊆ (𝑌 ∪ 𝑋)
2		ssun1 3999	. . 3 ⊢ (𝑌 ∪ 𝑋) ⊆ ((𝑌 ∪ 𝑋) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)})
3	1, 2	sstri 3830	. 2 ⊢ 𝑋 ⊆ ((𝑌 ∪ 𝑋) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)})
4		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
5		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
6		padd0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		padd0.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
8	4, 5, 6, 7	paddval 35952	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑌 ∪ 𝑋) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}))
9	8	3com23 1117	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑌 ∪ 𝑋) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}))
10	3, 9	syl5sseqr 3873	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑌 + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3091  {crab 3094   ∪ cun 3790   ⊆ wss 3792   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  lecple 16345  joincjn 17330  Atomscatm 35417  +_𝑃cpadd 35949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-padd 35950

This theorem is referenced by:  paddasslem11  35984  paddasslem12  35985  paddssw2  35998  pmodlem2  36001  pmodl42N  36005  osumcllem10N  36119  pexmidlem7N  36130  pl42lem3N  36135