Theorem sspadd2 39914

Description: A projective subspace sum is a superset of its second summand. (ssun2 4126 analog.) (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
sspadd2	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem sspadd2

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 4126	. . 3 ⊢ 𝑋 ⊆ (𝑌 ∪ 𝑋)
2		ssun1 4125	. . 3 ⊢ (𝑌 ∪ 𝑋) ⊆ ((𝑌 ∪ 𝑋) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)})
3	1, 2	sstri 3939	. 2 ⊢ 𝑋 ⊆ ((𝑌 ∪ 𝑋) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)})
4		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
5		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
6		padd0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		padd0.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
8	4, 5, 6, 7	paddval 39896	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑌 ∪ 𝑋) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}))
9	8	3com23 1126	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑌 ∪ 𝑋) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}))
10	3, 9	sseqtrrid 3973	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑌 + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056  {crab 3395   ∪ cun 3895   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  lecple 17168  joincjn 18217  Atomscatm 39361  +_𝑃cpadd 39893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-padd 39894

This theorem is referenced by:  paddasslem11  39928  paddasslem12  39929  paddssw2  39942  pmodlem2  39945  pmodl42N  39949  osumcllem10N  40063  pexmidlem7N  40074  pl42lem3N  40079