Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sspadd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sspadd2 38593
Description: A projective subspace sum is a superset of its second summand. (ssun2 4171 analog.) (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
sspadd2 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem sspadd2
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssun2 4171 . . 3 𝑋 ⊆ (𝑌𝑋)
2 ssun1 4170 . . 3 (𝑌𝑋) ⊆ ((𝑌𝑋) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑌𝑟𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)})
31, 2sstri 3989 . 2 𝑋 ⊆ ((𝑌𝑋) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑌𝑟𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)})
4 eqid 2733 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
5 eqid 2733 . . . 4 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
6 padd0.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 padd0.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
84, 5, 6, 7paddval 38575 . . 3 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑋𝐴) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑌𝑋) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑌𝑟𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}))
983com23 1127 . 2 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑌𝑋) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑌𝑟𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}))
103, 9sseqtrrid 4033 1 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑌 + 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3071  {crab 3433  cun 3944  wss 3946   class class class wbr 5144  cfv 6535  (class class class)co 7396  lecple 17191  joincjn 18251  Atomscatm 38039  +𝑃cpadd 38572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-padd 38573
This theorem is referenced by:  paddasslem11  38607  paddasslem12  38608  paddssw2  38621  pmodlem2  38624  pmodl42N  38628  osumcllem10N  38742  pexmidlem7N  38753  pl42lem3N  38758
  Copyright terms: Public domain W3C validator