Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sspadd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sspadd2 35970
Description: A projective subspace sum is a superset of its second summand. (ssun2 4000 analog.) (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
sspadd2 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem sspadd2
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssun2 4000 . . 3 𝑋 ⊆ (𝑌𝑋)
2 ssun1 3999 . . 3 (𝑌𝑋) ⊆ ((𝑌𝑋) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑌𝑟𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)})
31, 2sstri 3830 . 2 𝑋 ⊆ ((𝑌𝑋) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑌𝑟𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)})
4 eqid 2778 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
5 eqid 2778 . . . 4 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
6 padd0.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 padd0.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
84, 5, 6, 7paddval 35952 . . 3 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑋𝐴) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑌𝑋) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑌𝑟𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}))
983com23 1117 . 2 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑌𝑋) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑌𝑟𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}))
103, 9syl5sseqr 3873 1 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑌 + 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wrex 3091  {crab 3094  cun 3790  wss 3792   class class class wbr 4886  cfv 6135  (class class class)co 6922  lecple 16345  joincjn 17330  Atomscatm 35417  +𝑃cpadd 35949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-padd 35950
This theorem is referenced by:  paddasslem11  35984  paddasslem12  35985  paddssw2  35998  pmodlem2  36001  pmodl42N  36005  osumcllem10N  36119  pexmidlem7N  36130  pl42lem3N  36135
  Copyright terms: Public domain W3C validator