Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddss Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem paddss 38414
Description: Subset law for projective subspace sum. (unss 4164 analog.) (Contributed by NM, 7-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddss.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
paddss.s 𝑆 = (PSubSpβ€˜πΎ)
paddss.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
paddss ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑍) ↔ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝑍))
Proof of Theorem paddss
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) β†’ 𝐾 ∈ 𝐡)
2 simpr1 1194 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
3 simpr2 1195 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
4 paddss.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
5 paddss.s . . . . . 6 𝑆 = (PSubSpβ€˜πΎ)
64, 5psubssat 38323 . . . . 5 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) β†’ 𝑍 βŠ† 𝐴)
763ad2antr3 1190 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑍 βŠ† 𝐴)
8 paddss.p . . . . 5 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
94, 8paddssw1 38412 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ ((𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑍) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† (𝑍 + 𝑍)))
101, 2, 3, 7, 9syl13anc 1372 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑍) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† (𝑍 + 𝑍)))
115, 8paddidm 38410 . . . . 5 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) β†’ (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
12113ad2antr3 1190 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) β†’ (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
1312sseq2d 3994 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) βŠ† (𝑍 + 𝑍) ↔ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝑍))
1410, 13sylibd 238 . 2 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑍) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝑍))
154, 8paddssw2 38413 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝑍 β†’ (𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑍)))
161, 2, 3, 7, 15syl13anc 1372 . 2 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝑍 β†’ (𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑍)))
1714, 16impbid 211 1 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑍) ↔ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3928  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  Atomscatm 37831  PSubSpcpsubsp 38065  +𝑃cpadd 38364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-id 5551  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-psubsp 38072  df-padd 38365
This theorem is referenced by:  pmodlem1  38415  pclunN  38467  osumcllem1N  38525
  Copyright terms: Public domain W3C validator