Theorem paddss 38275

Description: Subset law for projective subspace sum. (unss 4142 analog.) (Contributed by NM, 7-Mar-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddss.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddss.s	⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
paddss.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddss	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → ((𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑍) ↔ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍))

Proof of Theorem paddss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → 𝐾 ∈ 𝐵)
2		simpr1 1194	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
3		simpr2 1195	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
4		paddss.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		paddss.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
6	4, 5	psubssat 38184	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
7	6	3ad2antr3 1190	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
8		paddss.p	. . . . 5 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
9	4, 8	paddssw1 38273	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑍) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (𝑍 + 𝑍)))
10	1, 2, 3, 7, 9	syl13anc 1372	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → ((𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑍) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (𝑍 + 𝑍)))
11	5, 8	paddidm 38271	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
12	11	3ad2antr3 1190	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
13	12	sseq2d 3974	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → ((𝑋 + 𝑌) ⊆ (𝑍 + 𝑍) ↔ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍))
14	10, 13	sylibd 238	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → ((𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑍) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍))
15	4, 8	paddssw2 38274	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍 → (𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑍)))
16	1, 2, 3, 7, 15	syl13anc 1372	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → ((𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍 → (𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑍)))
17	14, 16	impbid 211	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → ((𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑍) ↔ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3908  ‘cfv 6493  (class class class)co 7353  Atomscatm 37692  PSubSpcpsubsp 37926  +_𝑃cpadd 38225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-psubsp 37933  df-padd 38226

This theorem is referenced by:  pmodlem1  38276  pclunN  38328  osumcllem1N  38386