Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddss 40302
Description: Subset law for projective subspace sum. (unss 4131 analog.) (Contributed by NM, 7-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddss.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddss.s 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
paddss.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddss ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → ((𝑋𝑍𝑌𝑍) ↔ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍))

Proof of Theorem paddss
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . 4 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → 𝐾𝐵)
2 simpr1 1196 . . . 4 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → 𝑋𝐴)
3 simpr2 1197 . . . 4 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → 𝑌𝐴)
4 paddss.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 paddss.s . . . . . 6 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
64, 5psubssat 40211 . . . . 5 ((𝐾𝐵𝑍𝑆) → 𝑍𝐴)
763ad2antr3 1192 . . . 4 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → 𝑍𝐴)
8 paddss.p . . . . 5 + = (+𝑃𝐾)
94, 8paddssw1 40300 . . . 4 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋𝑍𝑌𝑍) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (𝑍 + 𝑍)))
101, 2, 3, 7, 9syl13anc 1375 . . 3 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → ((𝑋𝑍𝑌𝑍) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (𝑍 + 𝑍)))
115, 8paddidm 40298 . . . . 5 ((𝐾𝐵𝑍𝑆) → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
12113ad2antr3 1192 . . . 4 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
1312sseq2d 3955 . . 3 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → ((𝑋 + 𝑌) ⊆ (𝑍 + 𝑍) ↔ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍))
1410, 13sylibd 239 . 2 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → ((𝑋𝑍𝑌𝑍) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍))
154, 8paddssw2 40301 . . 3 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍 → (𝑋𝑍𝑌𝑍)))
161, 2, 3, 7, 15syl13anc 1375 . 2 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → ((𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍 → (𝑋𝑍𝑌𝑍)))
1714, 16impbid 212 1 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → ((𝑋𝑍𝑌𝑍) ↔ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1542  wcel 2114  wss 3890  cfv 6490  (class class class)co 7358  Atomscatm 39720  PSubSpcpsubsp 39953  +𝑃cpadd 40252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-psubsp 39960  df-padd 40253
This theorem is referenced by:  pmodlem1  40303  pclunN  40355  osumcllem1N  40413
  Copyright terms: Public domain W3C validator