Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddss 38275
Description: Subset law for projective subspace sum. (unss 4142 analog.) (Contributed by NM, 7-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddss.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddss.s 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
paddss.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddss ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → ((𝑋𝑍𝑌𝑍) ↔ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍))

Proof of Theorem paddss
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . 4 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → 𝐾𝐵)
2 simpr1 1194 . . . 4 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → 𝑋𝐴)
3 simpr2 1195 . . . 4 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → 𝑌𝐴)
4 paddss.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 paddss.s . . . . . 6 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
64, 5psubssat 38184 . . . . 5 ((𝐾𝐵𝑍𝑆) → 𝑍𝐴)
763ad2antr3 1190 . . . 4 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → 𝑍𝐴)
8 paddss.p . . . . 5 + = (+𝑃𝐾)
94, 8paddssw1 38273 . . . 4 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋𝑍𝑌𝑍) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (𝑍 + 𝑍)))
101, 2, 3, 7, 9syl13anc 1372 . . 3 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → ((𝑋𝑍𝑌𝑍) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (𝑍 + 𝑍)))
115, 8paddidm 38271 . . . . 5 ((𝐾𝐵𝑍𝑆) → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
12113ad2antr3 1190 . . . 4 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
1312sseq2d 3974 . . 3 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → ((𝑋 + 𝑌) ⊆ (𝑍 + 𝑍) ↔ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍))
1410, 13sylibd 238 . 2 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → ((𝑋𝑍𝑌𝑍) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍))
154, 8paddssw2 38274 . . 3 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍 → (𝑋𝑍𝑌𝑍)))
161, 2, 3, 7, 15syl13anc 1372 . 2 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → ((𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍 → (𝑋𝑍𝑌𝑍)))
1714, 16impbid 211 1 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → ((𝑋𝑍𝑌𝑍) ↔ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3908  cfv 6493  (class class class)co 7353  Atomscatm 37692  PSubSpcpsubsp 37926  +𝑃cpadd 38225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-psubsp 37933  df-padd 38226
This theorem is referenced by:  pmodlem1  38276  pclunN  38328  osumcllem1N  38386
  Copyright terms: Public domain W3C validator