Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddss Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem paddss 39019
Description: Subset law for projective subspace sum. (unss 4183 analog.) (Contributed by NM, 7-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddss.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
paddss.s 𝑆 = (PSubSpβ€˜πΎ)
paddss.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
paddss ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑍) ↔ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝑍))
Proof of Theorem paddss
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) β†’ 𝐾 ∈ 𝐡)
2 simpr1 1192 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
3 simpr2 1193 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
4 paddss.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
5 paddss.s . . . . . 6 𝑆 = (PSubSpβ€˜πΎ)
64, 5psubssat 38928 . . . . 5 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) β†’ 𝑍 βŠ† 𝐴)
763ad2antr3 1188 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑍 βŠ† 𝐴)
8 paddss.p . . . . 5 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
94, 8paddssw1 39017 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ ((𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑍) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† (𝑍 + 𝑍)))
101, 2, 3, 7, 9syl13anc 1370 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑍) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† (𝑍 + 𝑍)))
115, 8paddidm 39015 . . . . 5 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) β†’ (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
12113ad2antr3 1188 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) β†’ (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
1312sseq2d 4013 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) βŠ† (𝑍 + 𝑍) ↔ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝑍))
1410, 13sylibd 238 . 2 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑍) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝑍))
154, 8paddssw2 39018 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝑍 β†’ (𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑍)))
161, 2, 3, 7, 15syl13anc 1370 . 2 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝑍 β†’ (𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑍)))
1714, 16impbid 211 1 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑍) ↔ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   βŠ† wss 3947  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Atomscatm 38436  PSubSpcpsubsp 38670  +𝑃cpadd 38969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-psubsp 38677  df-padd 38970
This theorem is referenced by:  pmodlem1  39020  pclunN  39072  osumcllem1N  39130
  Copyright terms: Public domain W3C validator