Theorem paddss 40173

Description: Subset law for projective subspace sum. (unss 4143 analog.) (Contributed by NM, 7-Mar-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddss.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddss.s	⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
paddss.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddss	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → ((𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑍) ↔ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍))

Proof of Theorem paddss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → 𝐾 ∈ 𝐵)
2		simpr1 1196	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
3		simpr2 1197	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
4		paddss.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		paddss.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
6	4, 5	psubssat 40082	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
7	6	3ad2antr3 1192	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
8		paddss.p	. . . . 5 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
9	4, 8	paddssw1 40171	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑍) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (𝑍 + 𝑍)))
10	1, 2, 3, 7, 9	syl13anc 1375	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → ((𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑍) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (𝑍 + 𝑍)))
11	5, 8	paddidm 40169	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
12	11	3ad2antr3 1192	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
13	12	sseq2d 3967	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → ((𝑋 + 𝑌) ⊆ (𝑍 + 𝑍) ↔ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍))
14	10, 13	sylibd 239	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → ((𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑍) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍))
15	4, 8	paddssw2 40172	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍 → (𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑍)))
16	1, 2, 3, 7, 15	syl13anc 1375	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → ((𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍 → (𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑍)))
17	14, 16	impbid 212	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → ((𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑍) ↔ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Atomscatm 39591  PSubSpcpsubsp 39824  +_𝑃cpadd 40123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-psubsp 39831  df-padd 40124

This theorem is referenced by:  pmodlem1  40174  pclunN  40226  osumcllem1N  40284