Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddvaln0N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddvaln0N 38077
Description: Projective subspace sum operation value for nonempty sets. (Contributed by NM, 27-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
paddfval.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
paddfval.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
paddfval.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
paddfval.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
paddvaln0N (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) β†’ (𝑋 + π‘Œ) = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝,π‘ž,π‘Ÿ   𝐾,𝑝   π‘Ÿ,π‘ž,𝐾   𝑋,𝑝,π‘ž   π‘Œ,𝑝,π‘ž,π‘Ÿ   ∨ ,𝑝   ≀ ,𝑝   𝐴,π‘ž,π‘Ÿ   ∨ ,π‘ž,π‘Ÿ   ≀ ,π‘ž,π‘Ÿ   𝑋,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   + (π‘Ÿ,π‘ž,𝑝)

Proof of Theorem paddvaln0N
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 paddfval.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2 paddfval.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3 paddfval.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
4 paddfval.p . . . 4 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
51, 2, 3, 4elpaddn0 38076 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) β†’ (𝑠 ∈ (𝑋 + π‘Œ) ↔ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑠 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))))
6 breq1 5095 . . . . 5 (𝑝 = 𝑠 β†’ (𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) ↔ 𝑠 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)))
762rexbidv 3209 . . . 4 (𝑝 = 𝑠 β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑠 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)))
87elrab 3634 . . 3 (𝑠 ∈ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)} ↔ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑠 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)))
95, 8bitr4di 288 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) β†’ (𝑠 ∈ (𝑋 + π‘Œ) ↔ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}))
109eqrdv 2734 1 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) β†’ (𝑋 + π‘Œ) = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  {crab 3403   βŠ† wss 3898  βˆ…c0 4269   class class class wbr 5092  β€˜cfv 6479  (class class class)co 7337  lecple 17066  joincjn 18126  Latclat 18246  Atomscatm 37538  +𝑃cpadd 38071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-lub 18161  df-join 18163  df-lat 18247  df-ats 37542  df-padd 38072
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator