Theorem paddvaln0N 39825

Description: Projective subspace sum operation value for nonempty sets. (Contributed by NM, 27-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddfval.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
paddfval.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
paddfval.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddfval.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddvaln0N	⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)})

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝,𝑞,𝑟   𝐾,𝑝   𝑟,𝑞,𝐾   𝑋,𝑝,𝑞   𝑌,𝑝,𝑞,𝑟   ∨ ,𝑝   ≤ ,𝑝   𝐴,𝑞,𝑟   ∨ ,𝑞,𝑟   ≤ ,𝑞,𝑟   𝑋,𝑟

Allowed substitution hints:   + (𝑟,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem paddvaln0N

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		paddfval.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		paddfval.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		paddfval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		paddfval.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	elpaddn0 39824	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑠 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑠 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))))
6		breq1 5127	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑠 → (𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟) ↔ 𝑠 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))
7	6	2rexbidv 3210	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑠 → (∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑠 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))
8	7	elrab 3676	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)} ↔ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑠 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))
9	5, 8	bitr4di 289	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑠 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)}))
10	9	eqrdv 2734	1 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∃wrex 3061  {crab 3420   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  lecple 17283  joincjn 18328  Latclat 18446  Atomscatm 39286  +_𝑃cpadd 39819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-lub 18361  df-join 18363  df-lat 18447  df-ats 39290  df-padd 39820

This theorem is referenced by: (None)