Theorem paddvaln0N 39819

Description: Projective subspace sum operation value for nonempty sets. (Contributed by NM, 27-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddfval.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
paddfval.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
paddfval.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddfval.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddvaln0N	⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)})

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝,𝑞,𝑟   𝐾,𝑝   𝑟,𝑞,𝐾   𝑋,𝑝,𝑞   𝑌,𝑝,𝑞,𝑟   ∨ ,𝑝   ≤ ,𝑝   𝐴,𝑞,𝑟   ∨ ,𝑞,𝑟   ≤ ,𝑞,𝑟   𝑋,𝑟

Allowed substitution hints:   + (𝑟,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem paddvaln0N

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		paddfval.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		paddfval.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		paddfval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		paddfval.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	elpaddn0 39818	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑠 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑠 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))))
6		breq1 5092	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑠 → (𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟) ↔ 𝑠 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))
7	6	2rexbidv 3195	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑠 → (∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑠 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))
8	7	elrab 3645	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)} ↔ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑠 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))
9	5, 8	bitr4di 289	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑠 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)}))
10	9	eqrdv 2728	1 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054  {crab 3393   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281   class class class wbr 5089  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  lecple 17160  joincjn 18209  Latclat 18329  Atomscatm 39281  +_𝑃cpadd 39813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-lub 18242  df-join 18244  df-lat 18330  df-ats 39285  df-padd 39814

This theorem is referenced by: (None)