Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpaddri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpaddri 39186
Description: Condition implying membership in a projective subspace sum. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddfval.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
paddfval.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
paddfval.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
paddfval.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
elpaddri (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ π‘Œ) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ 𝑆 ∈ (𝑋 + π‘Œ))

Proof of Theorem elpaddri
Dummy variables π‘ž π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3l 1198 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ π‘Œ) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
2 simp2l 1196 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ π‘Œ) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ 𝑄 ∈ 𝑋)
3 simp2r 1197 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ π‘Œ) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ 𝑅 ∈ π‘Œ)
4 simp3r 1199 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ π‘Œ) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
5 oveq1 7412 . . . . 5 (π‘ž = 𝑄 β†’ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ))
65breq2d 5153 . . . 4 (π‘ž = 𝑄 β†’ (𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) ↔ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))
7 oveq2 7413 . . . . 5 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (𝑄 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ 𝑅))
87breq2d 5153 . . . 4 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (𝑆 ≀ (𝑄 ∨ π‘Ÿ) ↔ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))
96, 8rspc2ev 3619 . . 3 ((𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ π‘Œ ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))
102, 3, 4, 9syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ π‘Œ) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))
11 ne0i 4329 . . . . . 6 (𝑄 ∈ 𝑋 β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
12 ne0i 4329 . . . . . 6 (𝑅 ∈ π‘Œ β†’ π‘Œ β‰  βˆ…)
1311, 12anim12i 612 . . . . 5 ((𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…))
1413anim2i 616 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ π‘Œ)) β†’ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)))
15143adant3 1129 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ π‘Œ) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)))
16 paddfval.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
17 paddfval.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
18 paddfval.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
19 paddfval.p . . . 4 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
2016, 17, 18, 19elpaddn0 39184 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) β†’ (𝑆 ∈ (𝑋 + π‘Œ) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))))
2115, 20syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ π‘Œ) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ (𝑆 ∈ (𝑋 + π‘Œ) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))))
221, 10, 21mpbir2and 710 1 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ π‘Œ) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ 𝑆 ∈ (𝑋 + π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  lecple 17213  joincjn 18276  Latclat 18396  Atomscatm 38646  +𝑃cpadd 39179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-lub 18311  df-join 18313  df-lat 18397  df-ats 38650  df-padd 39180
This theorem is referenced by:  elpaddatriN  39187  paddasslem8  39211  paddasslem12  39215  paddasslem13  39216  pmodlem1  39230  osumcllem5N  39344  pexmidlem2N  39355
  Copyright terms: Public domain W3C validator