Theorem elpaddri 37743

Description: Condition implying membership in a projective subspace sum. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddfval.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
paddfval.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
paddfval.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddfval.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
elpaddri	⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌))

Proof of Theorem elpaddri

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3l 1199	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
2		simp2l 1197	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑄 ∈ 𝑋)
3		simp2r 1198	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑅 ∈ 𝑌)
4		simp3r 1200	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))
5		oveq1 7262	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑞 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟))
6	5	breq2d 5082	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟) ↔ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑟)))
7		oveq2 7263	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑄 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑅))
8	7	breq2d 5082	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑟) ↔ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))
9	6, 8	rspc2ev 3564	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))
10	2, 3, 4, 9	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))
11		ne0i 4265	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑋 → 𝑋 ≠ ∅)
12		ne0i 4265	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑌 → 𝑌 ≠ ∅)
13	11, 12	anim12i 612	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌) → (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅))
14	13	anim2i 616	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌)) → ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)))
15	14	3adant3 1130	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)))
16		paddfval.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
17		paddfval.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
18		paddfval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
19		paddfval.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
20	16, 17, 18, 19	elpaddn0 37741	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))))
21	15, 20	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))))
22	1, 10, 21	mpbir2and 709	1 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  lecple 16895  joincjn 17944  Latclat 18064  Atomscatm 37204  +_𝑃cpadd 37736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-lub 17979  df-join 17981  df-lat 18065  df-ats 37208  df-padd 37737

This theorem is referenced by:  elpaddatriN  37744  paddasslem8  37768  paddasslem12  37772  paddasslem13  37773  pmodlem1  37787  osumcllem5N  37901  pexmidlem2N  37912