Theorem elpaddri 40178

Description: Condition implying membership in a projective subspace sum. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddfval.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
paddfval.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
paddfval.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddfval.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
elpaddri	⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌))

Proof of Theorem elpaddri

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3l 1203	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
2		simp2l 1201	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑄 ∈ 𝑋)
3		simp2r 1202	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑅 ∈ 𝑌)
4		simp3r 1204	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))
5		oveq1 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑞 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟))
6	5	breq2d 5112	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟) ↔ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑟)))
7		oveq2 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑄 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑅))
8	7	breq2d 5112	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑟) ↔ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))
9	6, 8	rspc2ev 3591	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))
10	2, 3, 4, 9	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))
11		ne0i 4295	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑋 → 𝑋 ≠ ∅)
12		ne0i 4295	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑌 → 𝑌 ≠ ∅)
13	11, 12	anim12i 614	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌) → (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅))
14	13	anim2i 618	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌)) → ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)))
15	14	3adant3 1133	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)))
16		paddfval.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
17		paddfval.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
18		paddfval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
19		paddfval.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
20	16, 17, 18, 19	elpaddn0 40176	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))))
21	15, 20	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))))
22	1, 10, 21	mpbir2and 714	1 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  lecple 17196  joincjn 18246  Latclat 18366  Atomscatm 39639  +_𝑃cpadd 40171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-lub 18279  df-join 18281  df-lat 18367  df-ats 39643  df-padd 40172

This theorem is referenced by:  elpaddatriN  40179  paddasslem8  40203  paddasslem12  40207  paddasslem13  40208  pmodlem1  40222  osumcllem5N  40336  pexmidlem2N  40347