Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpaddri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpaddri 39307
Description: Condition implying membership in a projective subspace sum. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddfval.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
paddfval.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
paddfval.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
paddfval.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
elpaddri (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ π‘Œ) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ 𝑆 ∈ (𝑋 + π‘Œ))

Proof of Theorem elpaddri
Dummy variables π‘ž π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3l 1198 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ π‘Œ) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
2 simp2l 1196 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ π‘Œ) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ 𝑄 ∈ 𝑋)
3 simp2r 1197 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ π‘Œ) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ 𝑅 ∈ π‘Œ)
4 simp3r 1199 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ π‘Œ) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
5 oveq1 7433 . . . . 5 (π‘ž = 𝑄 β†’ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ))
65breq2d 5164 . . . 4 (π‘ž = 𝑄 β†’ (𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) ↔ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))
7 oveq2 7434 . . . . 5 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (𝑄 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ 𝑅))
87breq2d 5164 . . . 4 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (𝑆 ≀ (𝑄 ∨ π‘Ÿ) ↔ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))
96, 8rspc2ev 3624 . . 3 ((𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ π‘Œ ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))
102, 3, 4, 9syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ π‘Œ) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))
11 ne0i 4338 . . . . . 6 (𝑄 ∈ 𝑋 β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
12 ne0i 4338 . . . . . 6 (𝑅 ∈ π‘Œ β†’ π‘Œ β‰  βˆ…)
1311, 12anim12i 611 . . . . 5 ((𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…))
1413anim2i 615 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ π‘Œ)) β†’ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)))
15143adant3 1129 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ π‘Œ) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)))
16 paddfval.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
17 paddfval.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
18 paddfval.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
19 paddfval.p . . . 4 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
2016, 17, 18, 19elpaddn0 39305 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) β†’ (𝑆 ∈ (𝑋 + π‘Œ) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))))
2115, 20syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ π‘Œ) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ (𝑆 ∈ (𝑋 + π‘Œ) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))))
221, 10, 21mpbir2and 711 1 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ π‘Œ) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ 𝑆 ∈ (𝑋 + π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆƒwrex 3067   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4326   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  lecple 17247  joincjn 18310  Latclat 18430  Atomscatm 38767  +𝑃cpadd 39300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-lub 18345  df-join 18347  df-lat 18431  df-ats 38771  df-padd 39301
This theorem is referenced by:  elpaddatriN  39308  paddasslem8  39332  paddasslem12  39336  paddasslem13  39337  pmodlem1  39351  osumcllem5N  39465  pexmidlem2N  39476
  Copyright terms: Public domain W3C validator