Theorem elpaddri 38661

Description: Condition implying membership in a projective subspace sum. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddfval.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
paddfval.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
paddfval.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddfval.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
elpaddri	⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌))

Proof of Theorem elpaddri

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3l 1201	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
2		simp2l 1199	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑄 ∈ 𝑋)
3		simp2r 1200	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑅 ∈ 𝑌)
4		simp3r 1202	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))
5		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑞 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟))
6	5	breq2d 5159	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟) ↔ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑟)))
7		oveq2 7413	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑄 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑅))
8	7	breq2d 5159	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑟) ↔ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))
9	6, 8	rspc2ev 3623	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))
10	2, 3, 4, 9	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))
11		ne0i 4333	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑋 → 𝑋 ≠ ∅)
12		ne0i 4333	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑌 → 𝑌 ≠ ∅)
13	11, 12	anim12i 613	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌) → (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅))
14	13	anim2i 617	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌)) → ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)))
15	14	3adant3 1132	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)))
16		paddfval.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
17		paddfval.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
18		paddfval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
19		paddfval.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
20	16, 17, 18, 19	elpaddn0 38659	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))))
21	15, 20	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))))
22	1, 10, 21	mpbir2and 711	1 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  lecple 17200  joincjn 18260  Latclat 18380  Atomscatm 38121  +_𝑃cpadd 38654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-lub 18295  df-join 18297  df-lat 18381  df-ats 38125  df-padd 38655

This theorem is referenced by:  elpaddatriN  38662  paddasslem8  38686  paddasslem12  38690  paddasslem13  38691  pmodlem1  38705  osumcllem5N  38819  pexmidlem2N  38830