Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpaddn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpaddn0 39127
Description: Member of projective subspace sum of nonempty sets. (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddfval.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
paddfval.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
paddfval.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
paddfval.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
elpaddn0 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) β†’ (𝑆 ∈ (𝑋 + π‘Œ) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))))
Distinct variable groups:   π‘Ÿ,π‘ž,𝐾   𝑋,π‘ž   π‘Œ,π‘ž,π‘Ÿ   𝑆,π‘ž,π‘Ÿ   𝐴,π‘ž,π‘Ÿ   ∨ ,π‘ž,π‘Ÿ   ≀ ,π‘ž,π‘Ÿ   𝑋,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   + (π‘Ÿ,π‘ž)

Proof of Theorem elpaddn0
StepHypRef Expression
1 paddfval.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2 paddfval.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3 paddfval.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
4 paddfval.p . . . 4 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
51, 2, 3, 4elpadd 39126 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑆 ∈ (𝑋 + π‘Œ) ↔ ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ π‘Œ) ∨ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)))))
65adantr 480 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) β†’ (𝑆 ∈ (𝑋 + π‘Œ) ↔ ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ π‘Œ) ∨ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)))))
7 simpl2 1189 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
87sseld 3973 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) β†’ (𝑆 ∈ 𝑋 β†’ 𝑆 ∈ 𝐴))
9 simpll1 1209 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
10 ssel2 3969 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
11103ad2antl2 1183 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
1211adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
13 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
1413, 3atbase 38615 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ 𝐴 β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1512, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ) β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
16 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
1716sselda 3974 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
1813, 3atbase 38615 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2013, 1, 2latlej1 18400 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 𝑆 ≀ (𝑆 ∨ π‘Ÿ))
219, 15, 19, 20syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ) β†’ 𝑆 ≀ (𝑆 ∨ π‘Ÿ))
2221reximdva0 4343 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (𝑆 ∨ π‘Ÿ))
2322exp31 419 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑆 ∈ 𝑋 β†’ (π‘Œ β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (𝑆 ∨ π‘Ÿ))))
2423com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (π‘Œ β‰  βˆ… β†’ (𝑆 ∈ 𝑋 β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (𝑆 ∨ π‘Ÿ))))
2524imp 406 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) β†’ (𝑆 ∈ 𝑋 β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (𝑆 ∨ π‘Ÿ)))
2625ancld 550 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) β†’ (𝑆 ∈ 𝑋 β†’ (𝑆 ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (𝑆 ∨ π‘Ÿ))))
27 oveq1 7408 . . . . . . . . . 10 (π‘ž = 𝑆 β†’ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) = (𝑆 ∨ π‘Ÿ))
2827breq2d 5150 . . . . . . . . 9 (π‘ž = 𝑆 β†’ (𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) ↔ 𝑆 ≀ (𝑆 ∨ π‘Ÿ)))
2928rexbidv 3170 . . . . . . . 8 (π‘ž = 𝑆 β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (𝑆 ∨ π‘Ÿ)))
3029rspcev 3604 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (𝑆 ∨ π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))
3126, 30syl6 35 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) β†’ (𝑆 ∈ 𝑋 β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)))
3231adantrl 713 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) β†’ (𝑆 ∈ 𝑋 β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)))
338, 32jcad 512 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) β†’ (𝑆 ∈ 𝑋 β†’ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))))
34 simpl3 1190 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
3534sseld 3973 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) β†’ (𝑆 ∈ π‘Œ β†’ 𝑆 ∈ 𝐴))
36 simpll1 1209 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
37 ssel2 3969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝑋) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
38373ad2antl2 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝑋) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
3938adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
4013, 3atbase 38615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ) β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ))
42 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝑋) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
4342sselda 3974 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
4443, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4513, 1, 2latlej2 18401 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ 𝑆))
4636, 41, 44, 45syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ 𝑆))
4746ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝑋) β†’ (𝑆 ∈ π‘Œ β†’ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ 𝑆)))
4847ancld 550 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝑋) β†’ (𝑆 ∈ π‘Œ β†’ (𝑆 ∈ π‘Œ ∧ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ 𝑆))))
49 oveq2 7409 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ÿ = 𝑆 β†’ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) = (π‘ž ∨ 𝑆))
5049breq2d 5150 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ = 𝑆 β†’ (𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) ↔ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ 𝑆)))
5150rspcev 3604 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ π‘Œ ∧ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ 𝑆)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))
5248, 51syl6 35 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝑋) β†’ (𝑆 ∈ π‘Œ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)))
5352impancom 451 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ) β†’ (π‘ž ∈ 𝑋 β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)))
5453ancld 550 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ) β†’ (π‘ž ∈ 𝑋 β†’ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))))
5554eximdv 1912 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘ž π‘ž ∈ 𝑋 β†’ βˆƒπ‘ž(π‘ž ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))))
56 n0 4338 . . . . . . . 8 (𝑋 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘ž π‘ž ∈ 𝑋)
57 df-rex 3063 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘ž(π‘ž ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)))
5855, 56, 573imtr4g 296 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑋 β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)))
5958impancom 451 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (𝑆 ∈ π‘Œ β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)))
6059adantrr 714 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) β†’ (𝑆 ∈ π‘Œ β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)))
6135, 60jcad 512 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) β†’ (𝑆 ∈ π‘Œ β†’ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))))
6233, 61jaod 856 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) β†’ ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))))
63 pm4.72 946 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) ↔ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)) ↔ ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ π‘Œ) ∨ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)))))
6462, 63sylib 217 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) β†’ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)) ↔ ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ π‘Œ) ∨ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)))))
656, 64bitr4d 282 1 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) β†’ (𝑆 ∈ (𝑋 + π‘Œ) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑆 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆƒwrex 3062   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4314   class class class wbr 5138  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18263  Latclat 18383  Atomscatm 38589  +𝑃cpadd 39122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-lub 18298  df-join 18300  df-lat 18384  df-ats 38593  df-padd 39123
This theorem is referenced by:  paddvaln0N  39128  elpaddri  39129  elpaddat  39131  paddasslem15  39161  paddasslem16  39162  pmodlem2  39174  pmapjat1  39180
  Copyright terms: Public domain W3C validator