Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpaddn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpaddn0 38577
Description: Member of projective subspace sum of nonempty sets. (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddfval.l = (le‘𝐾)
paddfval.j = (join‘𝐾)
paddfval.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddfval.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
elpaddn0 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟))))
Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝐾   𝑋,𝑞   𝑌,𝑞,𝑟   𝑆,𝑞,𝑟   𝐴,𝑞,𝑟   ,𝑞,𝑟   ,𝑞,𝑟   𝑋,𝑟
Allowed substitution hints:   + (𝑟,𝑞)

Proof of Theorem elpaddn0
StepHypRef Expression
1 paddfval.l . . . 4 = (le‘𝐾)
2 paddfval.j . . . 4 = (join‘𝐾)
3 paddfval.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 paddfval.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
51, 2, 3, 4elpadd 38576 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ ((𝑆𝑋𝑆𝑌) ∨ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟)))))
65adantr 482 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ ((𝑆𝑋𝑆𝑌) ∨ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟)))))
7 simpl2 1193 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → 𝑋𝐴)
87sseld 3979 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆𝑋𝑆𝐴))
9 simpll1 1213 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑟𝑌) → 𝐾 ∈ Lat)
10 ssel2 3975 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋𝐴𝑆𝑋) → 𝑆𝐴)
11103ad2antl2 1187 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑆𝑋) → 𝑆𝐴)
1211adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑟𝑌) → 𝑆𝐴)
13 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1413, 3atbase 38065 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
1512, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑟𝑌) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
16 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑆𝑋) → 𝑌𝐴)
1716sselda 3980 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑟𝑌) → 𝑟𝐴)
1813, 3atbase 38065 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟𝐴𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑟𝑌) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
2013, 1, 2latlej1 18388 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑆 (𝑆 𝑟))
219, 15, 19, 20syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑟𝑌) → 𝑆 (𝑆 𝑟))
2221reximdva0 4349 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑌 ≠ ∅) → ∃𝑟𝑌 𝑆 (𝑆 𝑟))
2322exp31 421 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑆𝑋 → (𝑌 ≠ ∅ → ∃𝑟𝑌 𝑆 (𝑆 𝑟))))
2423com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑌 ≠ ∅ → (𝑆𝑋 → ∃𝑟𝑌 𝑆 (𝑆 𝑟))))
2524imp 408 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑌 ≠ ∅) → (𝑆𝑋 → ∃𝑟𝑌 𝑆 (𝑆 𝑟)))
2625ancld 552 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑌 ≠ ∅) → (𝑆𝑋 → (𝑆𝑋 ∧ ∃𝑟𝑌 𝑆 (𝑆 𝑟))))
27 oveq1 7403 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = 𝑆 → (𝑞 𝑟) = (𝑆 𝑟))
2827breq2d 5156 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑆 → (𝑆 (𝑞 𝑟) ↔ 𝑆 (𝑆 𝑟)))
2928rexbidv 3179 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑆 → (∃𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟) ↔ ∃𝑟𝑌 𝑆 (𝑆 𝑟)))
3029rspcev 3611 . . . . . . 7 ((𝑆𝑋 ∧ ∃𝑟𝑌 𝑆 (𝑆 𝑟)) → ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟))
3126, 30syl6 35 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑌 ≠ ∅) → (𝑆𝑋 → ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟)))
3231adantrl 715 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆𝑋 → ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟)))
338, 32jcad 514 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆𝑋 → (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟))))
34 simpl3 1194 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → 𝑌𝐴)
3534sseld 3979 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆𝑌𝑆𝐴))
36 simpll1 1213 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑞𝑋) ∧ 𝑆𝑌) → 𝐾 ∈ Lat)
37 ssel2 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋𝐴𝑞𝑋) → 𝑞𝐴)
38373ad2antl2 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑞𝑋) → 𝑞𝐴)
3938adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑞𝑋) ∧ 𝑆𝑌) → 𝑞𝐴)
4013, 3atbase 38065 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞𝐴𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑞𝑋) ∧ 𝑆𝑌) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
42 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑞𝑋) → 𝑌𝐴)
4342sselda 3980 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑞𝑋) ∧ 𝑆𝑌) → 𝑆𝐴)
4443, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑞𝑋) ∧ 𝑆𝑌) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
4513, 1, 2latlej2 18389 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑆 (𝑞 𝑆))
4636, 41, 44, 45syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑞𝑋) ∧ 𝑆𝑌) → 𝑆 (𝑞 𝑆))
4746ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑞𝑋) → (𝑆𝑌𝑆 (𝑞 𝑆)))
4847ancld 552 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑞𝑋) → (𝑆𝑌 → (𝑆𝑌𝑆 (𝑞 𝑆))))
49 oveq2 7404 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑆 → (𝑞 𝑟) = (𝑞 𝑆))
5049breq2d 5156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑆 → (𝑆 (𝑞 𝑟) ↔ 𝑆 (𝑞 𝑆)))
5150rspcev 3611 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆𝑌𝑆 (𝑞 𝑆)) → ∃𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟))
5248, 51syl6 35 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑞𝑋) → (𝑆𝑌 → ∃𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟)))
5352impancom 453 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑆𝑌) → (𝑞𝑋 → ∃𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟)))
5453ancld 552 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑆𝑌) → (𝑞𝑋 → (𝑞𝑋 ∧ ∃𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟))))
5554eximdv 1921 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑆𝑌) → (∃𝑞 𝑞𝑋 → ∃𝑞(𝑞𝑋 ∧ ∃𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟))))
56 n0 4344 . . . . . . . 8 (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑞 𝑞𝑋)
57 df-rex 3072 . . . . . . . 8 (∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟) ↔ ∃𝑞(𝑞𝑋 ∧ ∃𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟)))
5855, 56, 573imtr4g 296 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑆𝑌) → (𝑋 ≠ ∅ → ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟)))
5958impancom 453 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑆𝑌 → ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟)))
6059adantrr 716 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆𝑌 → ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟)))
6135, 60jcad 514 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆𝑌 → (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟))))
6233, 61jaod 858 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → ((𝑆𝑋𝑆𝑌) → (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟))))
63 pm4.72 949 . . 3 (((𝑆𝑋𝑆𝑌) → (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟))) ↔ ((𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟)) ↔ ((𝑆𝑋𝑆𝑌) ∨ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟)))))
6462, 63sylib 217 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → ((𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟)) ↔ ((𝑆𝑋𝑆𝑌) ∨ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟)))))
656, 64bitr4d 282 1 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wne 2941  wrex 3071  wss 3946  c0 4320   class class class wbr 5144  cfv 6535  (class class class)co 7396  Basecbs 17131  lecple 17191  joincjn 18251  Latclat 18371  Atomscatm 38039  +𝑃cpadd 38572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-lub 18286  df-join 18288  df-lat 18372  df-ats 38043  df-padd 38573
This theorem is referenced by:  paddvaln0N  38578  elpaddri  38579  elpaddat  38581  paddasslem15  38611  paddasslem16  38612  pmodlem2  38624  pmapjat1  38630
  Copyright terms: Public domain W3C validator