Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpaddn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpaddn0 38263
Description: Member of projective subspace sum of nonempty sets. (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddfval.l = (le‘𝐾)
paddfval.j = (join‘𝐾)
paddfval.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddfval.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
elpaddn0 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟))))
Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝐾   𝑋,𝑞   𝑌,𝑞,𝑟   𝑆,𝑞,𝑟   𝐴,𝑞,𝑟   ,𝑞,𝑟   ,𝑞,𝑟   𝑋,𝑟
Allowed substitution hints:   + (𝑟,𝑞)

Proof of Theorem elpaddn0
StepHypRef Expression
1 paddfval.l . . . 4 = (le‘𝐾)
2 paddfval.j . . . 4 = (join‘𝐾)
3 paddfval.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 paddfval.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
51, 2, 3, 4elpadd 38262 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ ((𝑆𝑋𝑆𝑌) ∨ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟)))))
65adantr 481 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ ((𝑆𝑋𝑆𝑌) ∨ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟)))))
7 simpl2 1192 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → 𝑋𝐴)
87sseld 3943 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆𝑋𝑆𝐴))
9 simpll1 1212 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑟𝑌) → 𝐾 ∈ Lat)
10 ssel2 3939 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋𝐴𝑆𝑋) → 𝑆𝐴)
11103ad2antl2 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑆𝑋) → 𝑆𝐴)
1211adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑟𝑌) → 𝑆𝐴)
13 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1413, 3atbase 37751 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
1512, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑟𝑌) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
16 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑆𝑋) → 𝑌𝐴)
1716sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑟𝑌) → 𝑟𝐴)
1813, 3atbase 37751 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟𝐴𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑟𝑌) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
2013, 1, 2latlej1 18337 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑆 (𝑆 𝑟))
219, 15, 19, 20syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑟𝑌) → 𝑆 (𝑆 𝑟))
2221reximdva0 4311 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑌 ≠ ∅) → ∃𝑟𝑌 𝑆 (𝑆 𝑟))
2322exp31 420 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑆𝑋 → (𝑌 ≠ ∅ → ∃𝑟𝑌 𝑆 (𝑆 𝑟))))
2423com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑌 ≠ ∅ → (𝑆𝑋 → ∃𝑟𝑌 𝑆 (𝑆 𝑟))))
2524imp 407 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑌 ≠ ∅) → (𝑆𝑋 → ∃𝑟𝑌 𝑆 (𝑆 𝑟)))
2625ancld 551 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑌 ≠ ∅) → (𝑆𝑋 → (𝑆𝑋 ∧ ∃𝑟𝑌 𝑆 (𝑆 𝑟))))
27 oveq1 7364 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = 𝑆 → (𝑞 𝑟) = (𝑆 𝑟))
2827breq2d 5117 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑆 → (𝑆 (𝑞 𝑟) ↔ 𝑆 (𝑆 𝑟)))
2928rexbidv 3175 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑆 → (∃𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟) ↔ ∃𝑟𝑌 𝑆 (𝑆 𝑟)))
3029rspcev 3581 . . . . . . 7 ((𝑆𝑋 ∧ ∃𝑟𝑌 𝑆 (𝑆 𝑟)) → ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟))
3126, 30syl6 35 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑌 ≠ ∅) → (𝑆𝑋 → ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟)))
3231adantrl 714 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆𝑋 → ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟)))
338, 32jcad 513 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆𝑋 → (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟))))
34 simpl3 1193 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → 𝑌𝐴)
3534sseld 3943 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆𝑌𝑆𝐴))
36 simpll1 1212 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑞𝑋) ∧ 𝑆𝑌) → 𝐾 ∈ Lat)
37 ssel2 3939 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋𝐴𝑞𝑋) → 𝑞𝐴)
38373ad2antl2 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑞𝑋) → 𝑞𝐴)
3938adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑞𝑋) ∧ 𝑆𝑌) → 𝑞𝐴)
4013, 3atbase 37751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞𝐴𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑞𝑋) ∧ 𝑆𝑌) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
42 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑞𝑋) → 𝑌𝐴)
4342sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑞𝑋) ∧ 𝑆𝑌) → 𝑆𝐴)
4443, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑞𝑋) ∧ 𝑆𝑌) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
4513, 1, 2latlej2 18338 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑆 (𝑞 𝑆))
4636, 41, 44, 45syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑞𝑋) ∧ 𝑆𝑌) → 𝑆 (𝑞 𝑆))
4746ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑞𝑋) → (𝑆𝑌𝑆 (𝑞 𝑆)))
4847ancld 551 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑞𝑋) → (𝑆𝑌 → (𝑆𝑌𝑆 (𝑞 𝑆))))
49 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑆 → (𝑞 𝑟) = (𝑞 𝑆))
5049breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑆 → (𝑆 (𝑞 𝑟) ↔ 𝑆 (𝑞 𝑆)))
5150rspcev 3581 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆𝑌𝑆 (𝑞 𝑆)) → ∃𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟))
5248, 51syl6 35 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑞𝑋) → (𝑆𝑌 → ∃𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟)))
5352impancom 452 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑆𝑌) → (𝑞𝑋 → ∃𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟)))
5453ancld 551 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑆𝑌) → (𝑞𝑋 → (𝑞𝑋 ∧ ∃𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟))))
5554eximdv 1920 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑆𝑌) → (∃𝑞 𝑞𝑋 → ∃𝑞(𝑞𝑋 ∧ ∃𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟))))
56 n0 4306 . . . . . . . 8 (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑞 𝑞𝑋)
57 df-rex 3074 . . . . . . . 8 (∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟) ↔ ∃𝑞(𝑞𝑋 ∧ ∃𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟)))
5855, 56, 573imtr4g 295 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑆𝑌) → (𝑋 ≠ ∅ → ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟)))
5958impancom 452 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑆𝑌 → ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟)))
6059adantrr 715 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆𝑌 → ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟)))
6135, 60jcad 513 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆𝑌 → (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟))))
6233, 61jaod 857 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → ((𝑆𝑋𝑆𝑌) → (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟))))
63 pm4.72 948 . . 3 (((𝑆𝑋𝑆𝑌) → (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟))) ↔ ((𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟)) ↔ ((𝑆𝑋𝑆𝑌) ∨ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟)))))
6462, 63sylib 217 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → ((𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟)) ↔ ((𝑆𝑋𝑆𝑌) ∨ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟)))))
656, 64bitr4d 281 1 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  joincjn 18200  Latclat 18320  Atomscatm 37725  +𝑃cpadd 38258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-lub 18235  df-join 18237  df-lat 18321  df-ats 37729  df-padd 38259
This theorem is referenced by:  paddvaln0N  38264  elpaddri  38265  elpaddat  38267  paddasslem15  38297  paddasslem16  38298  pmodlem2  38310  pmapjat1  38316
  Copyright terms: Public domain W3C validator