Theorem elpaddn0 41000

Description: Member of projective subspace sum of nonempty sets. (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddfval.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
paddfval.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
paddfval.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddfval.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
elpaddn0	⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))))

Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝐾   𝑋,𝑞   𝑌,𝑞,𝑟   𝑆,𝑞,𝑟   𝐴,𝑞,𝑟   ∨ ,𝑞,𝑟   ≤ ,𝑞,𝑟   𝑋,𝑟

Allowed substitution hints:   + (𝑟, 𝑞)

Proof of Theorem elpaddn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		paddfval.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		paddfval.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		paddfval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		paddfval.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	elpadd 40999	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) ∨ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))))
6	5	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) ∨ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))))
7		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
8	7	sseld 3912	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ 𝑋 → 𝑆 ∈ 𝐴))
9		simpll1 1231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ 𝑌) → 𝐾 ∈ Lat)
10		ssel2 3908	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ 𝐴)
11	10	3ad2antl2 1205	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ 𝐴)
12	11	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ 𝑌) → 𝑆 ∈ 𝐴)
13		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14	13, 3	atbase 40489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
15	12, 14	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ 𝑌) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
16		simpl3 1212	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
17	16	sselda 3913	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ 𝑌) → 𝑟 ∈ 𝐴)
18	13, 3	atbase 40489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐴 → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
19	17, 18	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ 𝑌) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
20	13, 1, 2	latlej1 18637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑆 ≤ (𝑆 ∨ 𝑟))
21	9, 15, 19, 20	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ 𝑌) → 𝑆 ≤ (𝑆 ∨ 𝑟))
22	21	reximdva0 4306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) ∧ 𝑌 ≠ ∅) → ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑆 ∨ 𝑟))
23	22	exp31 425	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑆 ∈ 𝑋 → (𝑌 ≠ ∅ → ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑆 ∨ 𝑟))))
24	23	com23 87	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑌 ≠ ∅ → (𝑆 ∈ 𝑋 → ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑆 ∨ 𝑟))))
25	24	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑌 ≠ ∅) → (𝑆 ∈ 𝑋 → ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑆 ∨ 𝑟)))
26	25	ancld 560	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑌 ≠ ∅) → (𝑆 ∈ 𝑋 → (𝑆 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑆 ∨ 𝑟))))
27		oveq1 7437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = 𝑆 → (𝑞 ∨ 𝑟) = (𝑆 ∨ 𝑟))
28	27	breq2d 5118	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑆 → (𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟) ↔ 𝑆 ≤ (𝑆 ∨ 𝑟)))
29	28	rexbidv 3190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑆 → (∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑆 ∨ 𝑟)))
30	29	rspcev 3580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑆 ∨ 𝑟)) → ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))
31	26, 30	syl6 36	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑌 ≠ ∅) → (𝑆 ∈ 𝑋 → ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))
32	31	adantrl 729	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ 𝑋 → ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))
33	8, 32	jcad 522	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ 𝑋 → (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))))
34		simpl3 1212	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
35	34	sseld 3912	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ 𝑌 → 𝑆 ∈ 𝐴))
36		simpll1 1231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝑌) → 𝐾 ∈ Lat)
37		ssel2 3908	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) → 𝑞 ∈ 𝐴)
38	37	3ad2antl2 1205	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) → 𝑞 ∈ 𝐴)
39	38	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝑌) → 𝑞 ∈ 𝐴)
40	13, 3	atbase 40489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
41	39, 40	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝑌) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
42		simpl3 1212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
43	42	sselda 3913	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝑌) → 𝑆 ∈ 𝐴)
44	43, 14	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝑌) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
45	13, 1, 2	latlej2 18638	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑆))
46	36, 41, 44, 45	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝑌) → 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑆))
47	46	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) → (𝑆 ∈ 𝑌 → 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑆)))
48	47	ancld 560	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) → (𝑆 ∈ 𝑌 → (𝑆 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑆))))
49		oveq2 7438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (𝑞 ∨ 𝑟) = (𝑞 ∨ 𝑆))
50	49	breq2d 5118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟) ↔ 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑆)))
51	50	rspcev 3580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑆)) → ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))
52	48, 51	syl6 36	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) → (𝑆 ∈ 𝑌 → ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))
53	52	impancom 457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑌) → (𝑞 ∈ 𝑋 → ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))
54	53	ancld 560	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑌) → (𝑞 ∈ 𝑋 → (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))))
55	54	eximdv 1951	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑌) → (∃𝑞 𝑞 ∈ 𝑋 → ∃𝑞(𝑞 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))))
56		n0 4303	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑞 𝑞 ∈ 𝑋)
57		df-rex 3091	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟) ↔ ∃𝑞(𝑞 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))
58	55, 56, 57	3imtr4g 299	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑌) → (𝑋 ≠ ∅ → ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))
59	58	impancom 457	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑆 ∈ 𝑌 → ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))
60	59	adantrr 730	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ 𝑌 → ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))
61	35, 60	jcad 522	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ 𝑌 → (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))))
62	33, 61	jaod 873	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) → (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))))
63		pm4.72 964	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) → (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))) ↔ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) ∨ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))))
64	62, 63	sylib 221	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) ∨ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))))
65	6, 64	bitr4d 285	1 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281   class class class wbr 5106  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  Basecbs 17402  lecple 17450  joincjn 18500  Latclat 18620  Atomscatm 40463  +_𝑃cpadd 40995

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-lub 18533  df-join 18535  df-lat 18621  df-ats 40467  df-padd 40996

This theorem is used by:  paddvaln0N  41001  elpaddri  41002  elpaddat  41004  paddasslem15  41034  paddasslem16  41035  pmodlem2  41047  pmapjat1  41053