Theorem elpaddn0 39909

Description: Member of projective subspace sum of nonempty sets. (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddfval.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
paddfval.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
paddfval.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddfval.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
elpaddn0	⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))))

Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝐾   𝑋,𝑞   𝑌,𝑞,𝑟   𝑆,𝑞,𝑟   𝐴,𝑞,𝑟   ∨ ,𝑞,𝑟   ≤ ,𝑞,𝑟   𝑋,𝑟

Allowed substitution hints:   + (𝑟,𝑞)

Proof of Theorem elpaddn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		paddfval.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		paddfval.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		paddfval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		paddfval.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	elpadd 39908	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) ∨ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))))
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) ∨ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))))
7		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
8	7	sseld 3928	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ 𝑋 → 𝑆 ∈ 𝐴))
9		simpll1 1213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ 𝑌) → 𝐾 ∈ Lat)
10		ssel2 3924	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ 𝐴)
11	10	3ad2antl2 1187	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ 𝐴)
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ 𝑌) → 𝑆 ∈ 𝐴)
13		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14	13, 3	atbase 39398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
15	12, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ 𝑌) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
16		simpl3 1194	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
17	16	sselda 3929	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ 𝑌) → 𝑟 ∈ 𝐴)
18	13, 3	atbase 39398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐴 → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ 𝑌) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
20	13, 1, 2	latlej1 18354	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑆 ≤ (𝑆 ∨ 𝑟))
21	9, 15, 19, 20	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ 𝑌) → 𝑆 ≤ (𝑆 ∨ 𝑟))
22	21	reximdva0 4302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) ∧ 𝑌 ≠ ∅) → ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑆 ∨ 𝑟))
23	22	exp31 419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑆 ∈ 𝑋 → (𝑌 ≠ ∅ → ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑆 ∨ 𝑟))))
24	23	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑌 ≠ ∅ → (𝑆 ∈ 𝑋 → ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑆 ∨ 𝑟))))
25	24	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑌 ≠ ∅) → (𝑆 ∈ 𝑋 → ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑆 ∨ 𝑟)))
26	25	ancld 550	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑌 ≠ ∅) → (𝑆 ∈ 𝑋 → (𝑆 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑆 ∨ 𝑟))))
27		oveq1 7353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = 𝑆 → (𝑞 ∨ 𝑟) = (𝑆 ∨ 𝑟))
28	27	breq2d 5101	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑆 → (𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟) ↔ 𝑆 ≤ (𝑆 ∨ 𝑟)))
29	28	rexbidv 3156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑆 → (∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑆 ∨ 𝑟)))
30	29	rspcev 3572	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑆 ∨ 𝑟)) → ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))
31	26, 30	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑌 ≠ ∅) → (𝑆 ∈ 𝑋 → ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))
32	31	adantrl 716	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ 𝑋 → ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))
33	8, 32	jcad 512	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ 𝑋 → (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))))
34		simpl3 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
35	34	sseld 3928	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ 𝑌 → 𝑆 ∈ 𝐴))
36		simpll1 1213	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝑌) → 𝐾 ∈ Lat)
37		ssel2 3924	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) → 𝑞 ∈ 𝐴)
38	37	3ad2antl2 1187	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) → 𝑞 ∈ 𝐴)
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝑌) → 𝑞 ∈ 𝐴)
40	13, 3	atbase 39398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝑌) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
42		simpl3 1194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
43	42	sselda 3929	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝑌) → 𝑆 ∈ 𝐴)
44	43, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝑌) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
45	13, 1, 2	latlej2 18355	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑆))
46	36, 41, 44, 45	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝑌) → 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑆))
47	46	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) → (𝑆 ∈ 𝑌 → 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑆)))
48	47	ancld 550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) → (𝑆 ∈ 𝑌 → (𝑆 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑆))))
49		oveq2 7354	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (𝑞 ∨ 𝑟) = (𝑞 ∨ 𝑆))
50	49	breq2d 5101	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟) ↔ 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑆)))
51	50	rspcev 3572	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑆)) → ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))
52	48, 51	syl6 35	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) → (𝑆 ∈ 𝑌 → ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))
53	52	impancom 451	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑌) → (𝑞 ∈ 𝑋 → ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))
54	53	ancld 550	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑌) → (𝑞 ∈ 𝑋 → (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))))
55	54	eximdv 1918	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑌) → (∃𝑞 𝑞 ∈ 𝑋 → ∃𝑞(𝑞 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))))
56		n0 4300	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑞 𝑞 ∈ 𝑋)
57		df-rex 3057	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟) ↔ ∃𝑞(𝑞 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))
58	55, 56, 57	3imtr4g 296	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑌) → (𝑋 ≠ ∅ → ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))
59	58	impancom 451	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑆 ∈ 𝑌 → ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))
60	59	adantrr 717	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ 𝑌 → ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))
61	35, 60	jcad 512	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ 𝑌 → (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))))
62	33, 61	jaod 859	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) → (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))))
63		pm4.72 951	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) → (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))) ↔ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) ∨ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))))
64	62, 63	sylib 218	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) ∨ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))))
65	6, 64	bitr4d 282	1 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3897  ∅c0 4280   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  lecple 17168  joincjn 18217  Latclat 18337  Atomscatm 39372  +_𝑃cpadd 39904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-lub 18250  df-join 18252  df-lat 18338  df-ats 39376  df-padd 39905

This theorem is referenced by:  paddvaln0N  39910  elpaddri  39911  elpaddat  39913  paddasslem15  39943  paddasslem16  39944  pmodlem2  39956  pmapjat1  39962