Theorem precofvallem 49477

Description: Lemma for precofval 49478 to enable catlid 17589 or catrid 17590. (Contributed by Zhi Wang, 11-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
precofvallem.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
precofvallem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
precofvallem.1	⊢ 1 = (Id‘𝐷)
precofvallem.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝐸)
precofvallem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
precofvallem.k	⊢ (𝜑 → 𝐾(𝐷 Func 𝐸)𝐿)
precofvallem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
precofvallem	⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑋)𝐿(𝐹‘𝑋))‘(( 1 ∘ 𝐹)‘𝑋)) = (𝐼‘(𝐾‘(𝐹‘𝑋))) ∧ (𝐾‘(𝐹‘𝑋)) ∈ 𝐵))

Proof of Theorem precofvallem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		precofvallem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
2		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
3		precofvallem.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
4	1, 2, 3	funcf1 17773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝐷))
5		precofvallem.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
6	4, 5	fvco3d 6922	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( 1 ∘ 𝐹)‘𝑋) = ( 1 ‘(𝐹‘𝑋)))
7	6	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑋)𝐿(𝐹‘𝑋))‘(( 1 ∘ 𝐹)‘𝑋)) = (((𝐹‘𝑋)𝐿(𝐹‘𝑋))‘( 1 ‘(𝐹‘𝑋))))
8		precofvallem.1	. . . 4 ⊢ 1 = (Id‘𝐷)
9		precofvallem.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝐸)
10		precofvallem.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾(𝐷 Func 𝐸)𝐿)
11	4, 5	ffvelcdmd 7018	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
12	2, 8, 9, 10, 11	funcid 17777	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑋)𝐿(𝐹‘𝑋))‘( 1 ‘(𝐹‘𝑋))) = (𝐼‘(𝐾‘(𝐹‘𝑋))))
13	7, 12	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑋)𝐿(𝐹‘𝑋))‘(( 1 ∘ 𝐹)‘𝑋)) = (𝐼‘(𝐾‘(𝐹‘𝑋))))
14		precofvallem.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
15	2, 14, 10	funcf1 17773	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾:(Base‘𝐷)⟶𝐵)
16	15, 11	ffvelcdmd 7018	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘(𝐹‘𝑋)) ∈ 𝐵)
17	13, 16	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑋)𝐿(𝐹‘𝑋))‘(( 1 ∘ 𝐹)‘𝑋)) = (𝐼‘(𝐾‘(𝐹‘𝑋))) ∧ (𝐾‘(𝐹‘𝑋)) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089   ∘ ccom 5618  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  Idccid 17571   Func cfunc 17761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-map 8752  df-ixp 8822  df-func 17765

This theorem is referenced by:  precofvalALT  49479