Theorem precofvallem 50172

Description: Lemma for precofval 50173 to enable catlid 17745 or catrid 17746. (Contributed by Zhi Wang, 11-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
precofvallem.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
precofvallem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
precofvallem.1	⊢ 1 = (Id‘𝐷)
precofvallem.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝐸)
precofvallem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
precofvallem.k	⊢ (𝜑 → 𝐾(𝐷 Func 𝐸)𝐿)
precofvallem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
precofvallem	⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑋)𝐿(𝐹‘𝑋))‘(( 1 ∘ 𝐹)‘𝑋)) = (𝐼‘(𝐾‘(𝐹‘𝑋))) ∧ (𝐾‘(𝐹‘𝑋)) ∈ 𝐵))

Proof of Theorem precofvallem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		precofvallem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
2		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
3		precofvallem.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
4	1, 2, 3	funcf1 17929	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝐷))
5		precofvallem.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
6	4, 5	fvco3d 6982	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( 1 ∘ 𝐹)‘𝑋) = ( 1 ‘(𝐹‘𝑋)))
7	6	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑋)𝐿(𝐹‘𝑋))‘(( 1 ∘ 𝐹)‘𝑋)) = (((𝐹‘𝑋)𝐿(𝐹‘𝑋))‘( 1 ‘(𝐹‘𝑋))))
8		precofvallem.1	. . . 4 ⊢ 1 = (Id‘𝐷)
9		precofvallem.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝐸)
10		precofvallem.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾(𝐷 Func 𝐸)𝐿)
11	4, 5	ffvelcdmd 7080	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
12	2, 8, 9, 10, 11	funcid 17933	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑋)𝐿(𝐹‘𝑋))‘( 1 ‘(𝐹‘𝑋))) = (𝐼‘(𝐾‘(𝐹‘𝑋))))
13	7, 12	eqtrd 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑋)𝐿(𝐹‘𝑋))‘(( 1 ∘ 𝐹)‘𝑋)) = (𝐼‘(𝐾‘(𝐹‘𝑋))))
14		precofvallem.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
15	2, 14, 10	funcf1 17929	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾:(Base‘𝐷)⟶𝐵)
16	15, 11	ffvelcdmd 7080	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘(𝐹‘𝑋)) ∈ 𝐵)
17	13, 16	jca 520	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑋)𝐿(𝐹‘𝑋))‘(( 1 ∘ 𝐹)‘𝑋)) = (𝐼‘(𝐾‘(𝐹‘𝑋))) ∧ (𝐾‘(𝐹‘𝑋)) ∈ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108   ∘ ccom 5664  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  Idccid 17727   Func cfunc 17917

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8824  df-ixp 8894  df-func 17921

This theorem is used by:  precofvalALT  50174