Theorem precofvallem 49841

Description: Lemma for precofval 49842 to enable catlid 17649 or catrid 17650. (Contributed by Zhi Wang, 11-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
precofvallem.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
precofvallem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
precofvallem.1	⊢ 1 = (Id‘𝐷)
precofvallem.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝐸)
precofvallem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
precofvallem.k	⊢ (𝜑 → 𝐾(𝐷 Func 𝐸)𝐿)
precofvallem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
precofvallem	⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑋)𝐿(𝐹‘𝑋))‘(( 1 ∘ 𝐹)‘𝑋)) = (𝐼‘(𝐾‘(𝐹‘𝑋))) ∧ (𝐾‘(𝐹‘𝑋)) ∈ 𝐵))

Proof of Theorem precofvallem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		precofvallem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
2		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
3		precofvallem.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
4	1, 2, 3	funcf1 17833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝐷))
5		precofvallem.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
6	4, 5	fvco3d 6940	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( 1 ∘ 𝐹)‘𝑋) = ( 1 ‘(𝐹‘𝑋)))
7	6	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑋)𝐿(𝐹‘𝑋))‘(( 1 ∘ 𝐹)‘𝑋)) = (((𝐹‘𝑋)𝐿(𝐹‘𝑋))‘( 1 ‘(𝐹‘𝑋))))
8		precofvallem.1	. . . 4 ⊢ 1 = (Id‘𝐷)
9		precofvallem.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝐸)
10		precofvallem.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾(𝐷 Func 𝐸)𝐿)
11	4, 5	ffvelcdmd 7037	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
12	2, 8, 9, 10, 11	funcid 17837	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑋)𝐿(𝐹‘𝑋))‘( 1 ‘(𝐹‘𝑋))) = (𝐼‘(𝐾‘(𝐹‘𝑋))))
13	7, 12	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑋)𝐿(𝐹‘𝑋))‘(( 1 ∘ 𝐹)‘𝑋)) = (𝐼‘(𝐾‘(𝐹‘𝑋))))
14		precofvallem.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
15	2, 14, 10	funcf1 17833	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾:(Base‘𝐷)⟶𝐵)
16	15, 11	ffvelcdmd 7037	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘(𝐹‘𝑋)) ∈ 𝐵)
17	13, 16	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑋)𝐿(𝐹‘𝑋))‘(( 1 ∘ 𝐹)‘𝑋)) = (𝐼‘(𝐾‘(𝐹‘𝑋))) ∧ (𝐾‘(𝐹‘𝑋)) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085   ∘ ccom 5635  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  Idccid 17631   Func cfunc 17821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-map 8775  df-ixp 8846  df-func 17825

This theorem is referenced by:  precofvalALT  49843