Theorem precofvallem 50704

Description: Lemma for precofval 50705 to enable catlid 17883 or catrid 17884. (Contributed by Zhi Wang, 11-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
precofvallem.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
precofvallem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
precofvallem.1	⊢ 1 = (Id‘𝐷)
precofvallem.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝐸)
precofvallem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
precofvallem.k	⊢ (𝜑 → 𝐾(𝐷 Func 𝐸)𝐿)
precofvallem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
precofvallem	⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑋)𝐿(𝐹‘𝑋))‘(( 1 ∘ 𝐹)‘𝑋)) = (𝐼‘(𝐾‘(𝐹‘𝑋))) ∧ (𝐾‘(𝐹‘𝑋)) ∈ 𝐵))

Proof of Theorem precofvallem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		precofvallem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
2		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
3		precofvallem.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
4	1, 2, 3	funcf1 18067	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝐷))
5		precofvallem.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
6	4, 5	fvco3d 7006	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( 1 ∘ 𝐹)‘𝑋) = ( 1 ‘(𝐹‘𝑋)))
7	6	fveq2d 6909	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑋)𝐿(𝐹‘𝑋))‘(( 1 ∘ 𝐹)‘𝑋)) = (((𝐹‘𝑋)𝐿(𝐹‘𝑋))‘( 1 ‘(𝐹‘𝑋))))
8		precofvallem.1	. . . 4 ⊢ 1 = (Id‘𝐷)
9		precofvallem.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝐸)
10		precofvallem.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾(𝐷 Func 𝐸)𝐿)
11	4, 5	ffvelcdmd 7106	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
12	2, 8, 9, 10, 11	funcid 18071	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑋)𝐿(𝐹‘𝑋))‘( 1 ‘(𝐹‘𝑋))) = (𝐼‘(𝐾‘(𝐹‘𝑋))))
13	7, 12	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑋)𝐿(𝐹‘𝑋))‘(( 1 ∘ 𝐹)‘𝑋)) = (𝐼‘(𝐾‘(𝐹‘𝑋))))
14		precofvallem.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
15	2, 14, 10	funcf1 18067	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾:(Base‘𝐷)⟶𝐵)
16	15, 11	ffvelcdmd 7106	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘(𝐹‘𝑋)) ∈ 𝐵)
17	13, 16	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑋)𝐿(𝐹‘𝑋))‘(( 1 ∘ 𝐹)‘𝑋)) = (𝐼‘(𝐾‘(𝐹‘𝑋))) ∧ (𝐾‘(𝐹‘𝑋)) ∈ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106   ∘ ccom 5659  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Basecbs 17413  Idccid 17865   Func cfunc 18055

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-map 8874  df-ixp 8951  df-func 18059

This theorem is used by:  precofvalALT  50706