Theorem postcofcl 49798

Description: The post-composition functor as a curry of the functor composition bifunctor is a functor. (Contributed by Zhi Wang, 11-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
postcofval.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
postcofval.r	⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
postcofval.o	⊢ ⚬ = (⟨𝑅, 𝑄⟩ curryF (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸))
postcofval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
postcofval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
postcofval.k	⊢ 𝐾 = ((1st ‘ ⚬ )‘𝐹)
postcofcl.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 FuncCat 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
postcofcl	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑄 Func 𝑆))

Proof of Theorem postcofcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		postcofval.o	. 2 ⊢ ⚬ = (⟨𝑅, 𝑄⟩ curryF (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸))
2		postcofval.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
3	2	fucbas 17888	. 2 ⊢ (𝐷 Func 𝐸) = (Base‘𝑅)
4		postcofval.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
5	4	func1st2nd 49509	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐷 Func 𝐸)(2nd ‘𝐹))
6	5	funcrcl2 49512	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
7	5	funcrcl3 49513	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
8	2, 6, 7	fuccat 17898	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Cat)
9		postcofval.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
10		postcofval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
11	9, 10, 6	fuccat 17898	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Cat)
12	2, 9	oveq12i 7370	. . 3 ⊢ (𝑅 ×c 𝑄) = ((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c (𝐶 FuncCat 𝐷))
13		postcofcl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
14	12, 13, 10, 6, 7	fucofunca 49793	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∈ ((𝑅 ×c 𝑄) Func 𝑆))
15		eqid 2737	. 2 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
16		postcofval.k	. 2 ⊢ 𝐾 = ((1st ‘ ⚬ )‘𝐹)
17	1, 3, 8, 11, 14, 15, 4, 16	curf1cl 18152	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑄 Func 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4574  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  1^st c1st 7931  2^nd c2nd 7932  Basecbs 17137  Catccat 17588   Func cfunc 17779   FuncCat cfuc 17870   ×_c cxpc 18092   curry_F ccurf 18134   ∘_F cfuco 49749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12609  df-uz 12753  df-fz 13425  df-struct 17075  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-hom 17202  df-cco 17203  df-cat 17592  df-cid 17593  df-func 17783  df-cofu 17785  df-nat 17871  df-fuc 17872  df-xpc 18096  df-curf 18138  df-fuco 49750

This theorem is referenced by: (None)