Theorem postcofcl 49526

Description: The post-composition functor as a curry of the functor composition bifunctor is a functor. (Contributed by Zhi Wang, 11-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
postcofval.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
postcofval.r	⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
postcofval.o	⊢ ⚬ = (⟨𝑅, 𝑄⟩ curryF (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸))
postcofval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
postcofval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
postcofval.k	⊢ 𝐾 = ((1st ‘ ⚬ )‘𝐹)
postcofcl.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 FuncCat 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
postcofcl	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑄 Func 𝑆))

Proof of Theorem postcofcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		postcofval.o	. 2 ⊢ ⚬ = (⟨𝑅, 𝑄⟩ curryF (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸))
2		postcofval.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
3	2	fucbas 17878	. 2 ⊢ (𝐷 Func 𝐸) = (Base‘𝑅)
4		postcofval.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
5	4	func1st2nd 49237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐷 Func 𝐸)(2nd ‘𝐹))
6	5	funcrcl2 49240	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
7	5	funcrcl3 49241	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
8	2, 6, 7	fuccat 17888	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Cat)
9		postcofval.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
10		postcofval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
11	9, 10, 6	fuccat 17888	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Cat)
12	2, 9	oveq12i 7367	. . 3 ⊢ (𝑅 ×c 𝑄) = ((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c (𝐶 FuncCat 𝐷))
13		postcofcl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
14	12, 13, 10, 6, 7	fucofunca 49521	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∈ ((𝑅 ×c 𝑄) Func 𝑆))
15		eqid 2733	. 2 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
16		postcofval.k	. 2 ⊢ 𝐾 = ((1st ‘ ⚬ )‘𝐹)
17	1, 3, 8, 11, 14, 15, 4, 16	curf1cl 18142	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑄 Func 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ⟨cop 4583  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  1^st c1st 7928  2^nd c2nd 7929  Basecbs 17127  Catccat 17578   Func cfunc 17769   FuncCat cfuc 17860   ×_c cxpc 18082   curry_F ccurf 18124   ∘_F cfuco 49477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13415  df-struct 17065  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-hom 17192  df-cco 17193  df-cat 17582  df-cid 17583  df-func 17773  df-cofu 17775  df-nat 17861  df-fuc 17862  df-xpc 18086  df-curf 18128  df-fuco 49478

This theorem is referenced by: (None)