Theorem postcofcl 50294

Description: The post-composition functor as a curry of the functor composition bifunctor is a functor. (Contributed by Zhi Wang, 11-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
postcofval.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
postcofval.r	⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
postcofval.o	⊢ ⚬ = (⟨𝑅, 𝑄⟩ curryF (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸))
postcofval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
postcofval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
postcofval.k	⊢ 𝐾 = ((1st ‘ ⚬ )‘𝐹)
postcofcl.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 FuncCat 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
postcofcl	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑄 Func 𝑆))

Proof of Theorem postcofcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		postcofval.o	. 2 ⊢ ⚬ = (⟨𝑅, 𝑄⟩ curryF (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸))
2		postcofval.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
3	2	fucbas 18055	. 2 ⊢ (𝐷 Func 𝐸) = (Base‘𝑅)
4		postcofval.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
5	4	func1st2nd 50005	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐷 Func 𝐸)(2nd ‘𝐹))
6	5	funcrcl2 50008	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
7	5	funcrcl3 50009	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
8	2, 6, 7	fuccat 18065	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Cat)
9		postcofval.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
10		postcofval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
11	9, 10, 6	fuccat 18065	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Cat)
12	2, 9	oveq12i 7426	. . 3 ⊢ (𝑅 ×c 𝑄) = ((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c (𝐶 FuncCat 𝐷))
13		postcofcl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
14	12, 13, 10, 6, 7	fucofunca 50289	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∈ ((𝑅 ×c 𝑄) Func 𝑆))
15		eqid 2760	. 2 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
16		postcofval.k	. 2 ⊢ 𝐾 = ((1st ‘ ⚬ )‘𝐹)
17	1, 3, 8, 11, 14, 15, 4, 16	curf1cl 18319	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑄 Func 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4590  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  1^st c1st 7985  2^nd c2nd 7986  Basecbs 17304  Catccat 17755   Func cfunc 17946   FuncCat cfuc 18037   ×_c cxpc 18259   curry_F ccurf 18301   ∘_F cfuco 50245

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13565  df-struct 17242  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-hom 17369  df-cco 17370  df-cat 17759  df-cid 17760  df-func 17950  df-cofu 17952  df-nat 18038  df-fuc 18039  df-xpc 18263  df-curf 18305  df-fuco 50246

This theorem is used by: (None)