MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psmetres2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psmetres2 24238
Description: Restriction of a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmetres2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)) ∈ (PsMetβ€˜π‘…))

Proof of Theorem psmetres2
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psmetf 24230 . . . 4 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
21adantr 479 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
3 simpr 483 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑅 βŠ† 𝑋)
4 xpss12 5687 . . . 4 ((𝑅 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑅 Γ— 𝑅) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
53, 3, 4syl2anc 582 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑅 Γ— 𝑅) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
62, 5fssresd 6759 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)):(𝑅 Γ— 𝑅)βŸΆβ„*)
7 simpr 483 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) β†’ π‘Ž ∈ 𝑅)
87, 7ovresd 7585 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) β†’ (π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) = (π‘Žπ·π‘Ž))
9 simpll 765 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
103sselda 3972 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) β†’ π‘Ž ∈ 𝑋)
11 psmet0 24232 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) β†’ (π‘Žπ·π‘Ž) = 0)
129, 10, 11syl2anc 582 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) β†’ (π‘Žπ·π‘Ž) = 0)
138, 12eqtrd 2765 . . . 4 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) β†’ (π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) = 0)
149ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
153ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) β†’ 𝑅 βŠ† 𝑋)
1615sselda 3972 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ 𝑐 ∈ 𝑋)
1710ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ π‘Ž ∈ 𝑋)
183adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) β†’ 𝑅 βŠ† 𝑋)
1918sselda 3972 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) β†’ 𝑏 ∈ 𝑋)
2019adantr 479 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ 𝑏 ∈ 𝑋)
21 psmettri2 24233 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Žπ·π‘) ≀ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))
2214, 16, 17, 20, 21syl13anc 1369 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ (π‘Žπ·π‘) ≀ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))
237adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) β†’ π‘Ž ∈ 𝑅)
24 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) β†’ 𝑏 ∈ 𝑅)
2523, 24ovresd 7585 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) β†’ (π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏) = (π‘Žπ·π‘))
2625adantr 479 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ (π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏) = (π‘Žπ·π‘))
27 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ 𝑐 ∈ 𝑅)
287ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ π‘Ž ∈ 𝑅)
2927, 28ovresd 7585 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ (𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) = (π‘π·π‘Ž))
3024adantr 479 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ 𝑏 ∈ 𝑅)
3127, 30ovresd 7585 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ (𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏) = (𝑐𝐷𝑏))
3229, 31oveq12d 7434 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ ((𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) +𝑒 (𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏)) = ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))
3322, 26, 323brtr4d 5175 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ (π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏) ≀ ((𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) +𝑒 (𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏)))
3433ralrimiva 3136 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 (π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏) ≀ ((𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) +𝑒 (𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏)))
3534ralrimiva 3136 . . . 4 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 βˆ€π‘ ∈ 𝑅 (π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏) ≀ ((𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) +𝑒 (𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏)))
3613, 35jca 510 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) β†’ ((π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) = 0 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 βˆ€π‘ ∈ 𝑅 (π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏) ≀ ((𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) +𝑒 (𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏))))
3736ralrimiva 3136 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑅 ((π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) = 0 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 βˆ€π‘ ∈ 𝑅 (π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏) ≀ ((𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) +𝑒 (𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏))))
38 elfvex 6930 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ V)
3938adantr 479 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ V)
4039, 3ssexd 5319 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ V)
41 ispsmet 24228 . . 3 (𝑅 ∈ V β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)) ∈ (PsMetβ€˜π‘…) ↔ ((𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)):(𝑅 Γ— 𝑅)βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑅 ((π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) = 0 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 βˆ€π‘ ∈ 𝑅 (π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏) ≀ ((𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) +𝑒 (𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏))))))
4240, 41syl 17 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)) ∈ (PsMetβ€˜π‘…) ↔ ((𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)):(𝑅 Γ— 𝑅)βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑅 ((π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) = 0 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 βˆ€π‘ ∈ 𝑅 (π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏) ≀ ((𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) +𝑒 (𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏))))))
436, 37, 42mpbir2and 711 1 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)) ∈ (PsMetβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  Vcvv 3463   βŠ† wss 3939   class class class wbr 5143   Γ— cxp 5670   β†Ύ cres 5674  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  0cc0 11138  β„*cxr 11277   ≀ cle 11279   +𝑒 cxad 13122  PsMetcpsmet 21267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-map 8845  df-xr 11282  df-psmet 21275
This theorem is referenced by:  restmetu  24497
  Copyright terms: Public domain W3C validator