MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psmetres2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psmetres2 24175
Description: Restriction of a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmetres2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)) ∈ (PsMetβ€˜π‘…))

Proof of Theorem psmetres2
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psmetf 24167 . . . 4 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
21adantr 480 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
3 simpr 484 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑅 βŠ† 𝑋)
4 xpss12 5684 . . . 4 ((𝑅 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑅 Γ— 𝑅) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
53, 3, 4syl2anc 583 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑅 Γ— 𝑅) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
62, 5fssresd 6752 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)):(𝑅 Γ— 𝑅)βŸΆβ„*)
7 simpr 484 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) β†’ π‘Ž ∈ 𝑅)
87, 7ovresd 7571 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) β†’ (π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) = (π‘Žπ·π‘Ž))
9 simpll 764 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
103sselda 3977 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) β†’ π‘Ž ∈ 𝑋)
11 psmet0 24169 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) β†’ (π‘Žπ·π‘Ž) = 0)
129, 10, 11syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) β†’ (π‘Žπ·π‘Ž) = 0)
138, 12eqtrd 2766 . . . 4 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) β†’ (π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) = 0)
149ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
153ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) β†’ 𝑅 βŠ† 𝑋)
1615sselda 3977 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ 𝑐 ∈ 𝑋)
1710ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ π‘Ž ∈ 𝑋)
183adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) β†’ 𝑅 βŠ† 𝑋)
1918sselda 3977 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) β†’ 𝑏 ∈ 𝑋)
2019adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ 𝑏 ∈ 𝑋)
21 psmettri2 24170 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Žπ·π‘) ≀ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))
2214, 16, 17, 20, 21syl13anc 1369 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ (π‘Žπ·π‘) ≀ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))
237adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) β†’ π‘Ž ∈ 𝑅)
24 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) β†’ 𝑏 ∈ 𝑅)
2523, 24ovresd 7571 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) β†’ (π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏) = (π‘Žπ·π‘))
2625adantr 480 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ (π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏) = (π‘Žπ·π‘))
27 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ 𝑐 ∈ 𝑅)
287ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ π‘Ž ∈ 𝑅)
2927, 28ovresd 7571 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ (𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) = (π‘π·π‘Ž))
3024adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ 𝑏 ∈ 𝑅)
3127, 30ovresd 7571 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ (𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏) = (𝑐𝐷𝑏))
3229, 31oveq12d 7423 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ ((𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) +𝑒 (𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏)) = ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))
3322, 26, 323brtr4d 5173 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ (π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏) ≀ ((𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) +𝑒 (𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏)))
3433ralrimiva 3140 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 (π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏) ≀ ((𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) +𝑒 (𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏)))
3534ralrimiva 3140 . . . 4 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 βˆ€π‘ ∈ 𝑅 (π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏) ≀ ((𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) +𝑒 (𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏)))
3613, 35jca 511 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) β†’ ((π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) = 0 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 βˆ€π‘ ∈ 𝑅 (π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏) ≀ ((𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) +𝑒 (𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏))))
3736ralrimiva 3140 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑅 ((π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) = 0 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 βˆ€π‘ ∈ 𝑅 (π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏) ≀ ((𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) +𝑒 (𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏))))
38 elfvex 6923 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ V)
3938adantr 480 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ V)
4039, 3ssexd 5317 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ V)
41 ispsmet 24165 . . 3 (𝑅 ∈ V β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)) ∈ (PsMetβ€˜π‘…) ↔ ((𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)):(𝑅 Γ— 𝑅)βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑅 ((π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) = 0 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 βˆ€π‘ ∈ 𝑅 (π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏) ≀ ((𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) +𝑒 (𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏))))))
4240, 41syl 17 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)) ∈ (PsMetβ€˜π‘…) ↔ ((𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)):(𝑅 Γ— 𝑅)βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑅 ((π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) = 0 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 βˆ€π‘ ∈ 𝑅 (π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏) ≀ ((𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) +𝑒 (𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏))))))
436, 37, 42mpbir2and 710 1 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)) ∈ (PsMetβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   Γ— cxp 5667   β†Ύ cres 5671  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253   +𝑒 cxad 13096  PsMetcpsmet 21224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-map 8824  df-xr 11256  df-psmet 21232
This theorem is referenced by:  restmetu  24434
  Copyright terms: Public domain W3C validator