MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psmetxrge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psmetxrge0 23588
Description: The distance function of a pseudometric space is a function into the nonnegative extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmetxrge0 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]+∞))

Proof of Theorem psmetxrge0
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psmetf 23581 . . 3 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
21ffnd 6665 . 2 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 Fn (𝑋 Γ— 𝑋))
31ffvelcdmda 7030 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž ∈ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ (π·β€˜π‘Ž) ∈ ℝ*)
4 elxp6 7946 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ (𝑋 Γ— 𝑋) ↔ (π‘Ž = ⟨(1st β€˜π‘Ž), (2nd β€˜π‘Ž)⟩ ∧ ((1st β€˜π‘Ž) ∈ 𝑋 ∧ (2nd β€˜π‘Ž) ∈ 𝑋)))
54simprbi 498 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ ((1st β€˜π‘Ž) ∈ 𝑋 ∧ (2nd β€˜π‘Ž) ∈ 𝑋))
6 psmetge0 23587 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (1st β€˜π‘Ž) ∈ 𝑋 ∧ (2nd β€˜π‘Ž) ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ ((1st β€˜π‘Ž)𝐷(2nd β€˜π‘Ž)))
763expb 1121 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ ((1st β€˜π‘Ž) ∈ 𝑋 ∧ (2nd β€˜π‘Ž) ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ ((1st β€˜π‘Ž)𝐷(2nd β€˜π‘Ž)))
85, 7sylan2 594 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž ∈ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ 0 ≀ ((1st β€˜π‘Ž)𝐷(2nd β€˜π‘Ž)))
9 1st2nd2 7951 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ π‘Ž = ⟨(1st β€˜π‘Ž), (2nd β€˜π‘Ž)⟩)
109fveq2d 6842 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ (π·β€˜π‘Ž) = (π·β€˜βŸ¨(1st β€˜π‘Ž), (2nd β€˜π‘Ž)⟩))
11 df-ov 7353 . . . . . . . 8 ((1st β€˜π‘Ž)𝐷(2nd β€˜π‘Ž)) = (π·β€˜βŸ¨(1st β€˜π‘Ž), (2nd β€˜π‘Ž)⟩)
1210, 11eqtr4di 2796 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ (π·β€˜π‘Ž) = ((1st β€˜π‘Ž)𝐷(2nd β€˜π‘Ž)))
1312adantl 483 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž ∈ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ (π·β€˜π‘Ž) = ((1st β€˜π‘Ž)𝐷(2nd β€˜π‘Ž)))
148, 13breqtrrd 5132 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž ∈ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ 0 ≀ (π·β€˜π‘Ž))
15 elxrge0 13303 . . . . 5 ((π·β€˜π‘Ž) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((π·β€˜π‘Ž) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π·β€˜π‘Ž)))
163, 14, 15sylanbrc 584 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž ∈ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ (π·β€˜π‘Ž) ∈ (0[,]+∞))
1716ralrimiva 3142 . . 3 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (𝑋 Γ— 𝑋)(π·β€˜π‘Ž) ∈ (0[,]+∞))
18 fnfvrnss 7063 . . 3 ((𝐷 Fn (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (𝑋 Γ— 𝑋)(π·β€˜π‘Ž) ∈ (0[,]+∞)) β†’ ran 𝐷 βŠ† (0[,]+∞))
192, 17, 18syl2anc 585 . 2 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ ran 𝐷 βŠ† (0[,]+∞))
20 df-f 6496 . 2 (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]+∞) ↔ (𝐷 Fn (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ ran 𝐷 βŠ† (0[,]+∞)))
212, 19, 20sylanbrc 584 1 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3063   βŠ† wss 3909  βŸ¨cop 4591   class class class wbr 5104   Γ— cxp 5629  ran crn 5632   Fn wfn 6487  βŸΆwf 6488  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  1st c1st 7910  2nd c2nd 7911  0cc0 10985  +∞cpnf 11120  β„*cxr 11122   ≀ cle 11124  [,]cicc 13196  PsMetcpsmet 20703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-er 8582  df-map 8701  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-2 12150  df-rp 12845  df-xneg 12962  df-xadd 12963  df-xmul 12964  df-icc 13200  df-psmet 20711
This theorem is referenced by:  sitmcl  32712
  Copyright terms: Public domain W3C validator