Theorem ovresd 7577

Description: Lemma for converting metric theorems to metric space theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovresd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
ovresd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
ovresd	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem ovresd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovresd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
2		ovresd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
3		ovres 7576	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   × cxp 5659   ↾ cres 5663  (class class class)co 7410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-xp 5667  df-res 5673  df-iota 6492  df-fv 6544  df-ov 7413

This theorem is referenced by:  sscres  17875  fullsubc  17902  fullresc  17903  funcres2c  17955  rngchom  20722  ringchom  20751  rhmsubclem4  20787  irinitoringc  21629  psmetres2  24471  xmetres2  24518  prdsdsf  24524  xpsdsval  24538  xmssym  24622  xmstri2  24623  mstri2  24624  xmstri  24625  mstri  24626  xmstri3  24627  mstri3  24628  msrtri  24629  tmsxpsval  24695  ngptgp  24793  nlmvscn  24844  nrginvrcn  24849  nghmcn  24902  cnmpt1ds  25000  cnmpt2ds  25001  ipcn  25405  caussi  25456  causs  25457  minveclem2  25585  minveclem3b  25587  minveclem3  25588  minveclem4  25591  minveclem6  25593  ftc1lem6  26200  ulmdvlem1  26563  abelth  26604  cxpcn3  26913  rlimcnp  27130  zsoring  28602  hhssnv  31616  madjusmdetlem3  34219  qqhcn  34381  qqhucn  34382  ftc1cnnc  38343  ismtyres  38459  isdrngo2  38609  naddcnffo  44091