Theorem ovresd 7528

Description: Lemma for converting metric theorems to metric space theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovresd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
ovresd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
ovresd	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem ovresd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovresd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
2		ovresd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
3		ovres 7527	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   × cxp 5623   ↾ cres 5627  (class class class)co 7361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5631  df-res 5637  df-iota 6449  df-fv 6501  df-ov 7364

This theorem is referenced by:  sscres  17784  fullsubc  17811  fullresc  17812  funcres2c  17864  rngchom  20594  ringchom  20623  rhmsubclem4  20659  irinitoringc  21472  psmetres2  24292  xmetres2  24339  prdsdsf  24345  xpsdsval  24359  xmssym  24443  xmstri2  24444  mstri2  24445  xmstri  24446  mstri  24447  xmstri3  24448  mstri3  24449  msrtri  24450  tmsxpsval  24516  ngptgp  24614  nlmvscn  24665  nrginvrcn  24670  nghmcn  24723  cnmpt1ds  24821  cnmpt2ds  24822  ipcn  25226  caussi  25277  causs  25278  minveclem2  25406  minveclem3b  25408  minveclem3  25409  minveclem4  25412  minveclem6  25414  ftc1lem6  26021  ulmdvlem1  26381  abelth  26422  cxpcn3  26728  rlimcnp  26945  zsoring  28418  hhssnv  31353  madjusmdetlem3  33992  qqhcn  34154  qqhucn  34155  ftc1cnnc  38030  ismtyres  38146  isdrngo2  38296  naddcnffo  43813