Theorem ovresd 7591

Description: Lemma for converting metric theorems to metric space theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovresd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
ovresd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
ovresd	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem ovresd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovresd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
2		ovresd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
3		ovres 7590	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   × cxp 5649   ↾ cres 5653  (class class class)co 7424

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5657  df-res 5663  df-iota 6497  df-fv 6551  df-ov 7427

This theorem is used by:  sscres  18007  fullsubc  18034  fullresc  18035  funcres2c  18087  mgmn0plusgf  18836  rngchom  20884  ringchom  20913  rhmsubclem4  20949  irinitoringc  21794  psmetres2  24642  xmetres2  24689  prdsdsf  24695  xpsdsval  24709  xmssym  24793  xmstri2  24794  mstri2  24795  xmstri  24796  mstri  24797  xmstri3  24798  mstri3  24799  msrtri  24800  tmsxpsval  24866  ngptgp  24964  nlmvscn  25015  nrginvrcn  25020  nghmcn  25073  cnmpt1ds  25171  cnmpt2ds  25172  ipcn  25576  caussi  25627  causs  25628  minveclem2  25756  minveclem3b  25758  minveclem3  25759  minveclem4  25762  minveclem6  25764  ftc1lem6  26370  ulmdvlem1  26736  abelth  26777  cxpcn3  27085  rlimcnp  27302  zsoring  28804  hhssnv  31875  madjusmdetlem3  34511  qqhcn  34673  qqhucn  34674  ftc1cnnc  38719  ismtyres  38851  isdrngo2  39001  naddcnffo  44475