Theorem fssresd 6519

Description: Restriction of a function with a subclass of its domain, deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fssresd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
fssresd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fssresd	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)

Proof of Theorem fssresd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fssresd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		fssresd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
3		fssres 6518	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3881   ↾ cres 5521  ⟶wf 6320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-br 5031  df-opab 5093  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328

This theorem is referenced by:  feqresmpt  6709  fsuppcor  8851  ramub2  16340  ramub1lem2  16353  funcres  17158  gsumsplit1r  17889  gasubg  18424  gsumzaddlem  19034  dprdfadd  19135  dprdres  19143  dprdf1  19148  dmdprdsplitlem  19152  dmdprdsplit2lem  19160  dmdprdsplit2  19161  dprdsplit  19163  ablfac1eulem  19187  ablfac1eu  19188  pwssplit0  19823  frlmsplit2  20462  mamures  20997  mdetrlin  21207  cnrest  21890  cnpresti  21893  cnprest  21894  ptuncnv  22412  ptunhmeo  22413  ptcmpfi  22418  tsmslem1  22734  tsmssubm  22748  tsmsres  22749  tsmsf1o  22750  tsmsxplem1  22758  tsmsxplem2  22759  psmetres2  22921  xmetres2  22968  metres2  22970  imasdsf1olem  22980  xmetresbl  23044  xrge0gsumle  23438  xrge0tsms  23439  rescncf  23502  mbfres2  24249  limcres  24489  limciun  24497  dvres3  24516  dvmptresicc  24519  dvlip  24596  dvlipcn  24597  dvlip2  24598  dvgt0lem1  24605  dvivthlem1  24611  lhop  24619  ulmres  24983  ulmss  24992  pserdvlem2  25023  jensenlem2  25573  jensen  25574  wlkres  27460  pthdlem1  27555  foresf1o  30273  resf1o  30492  pfxf1  30644  xrge0tsmsd  30742  gsumle  30775  tocyccntz  30836  zarcmplem  31234  measres  31591  omsmeas  31691  reprsuc  31996  f1resfz0f1d  32471  pfxwlk  32483  pthhashvtx  32487  cvmliftlem6  32650  cvmlift2lem11  32673  satfv1lem  32722  mrsubff1  32874  msubff1  32916  fsuppssind  39459  aomclem4  40001  extoimad  40868  imo72b2lem0  40869  imo72b2lem2  40871  imo72b2lem1  40874  imo72b2  40878  wessf1ornlem  41811  feqresmptf  41865  limcperiod  42270  climxlim2  42488  cncfperiod  42521  dirkercncflem4  42748  fourierdlem48  42796  fourierdlem49  42797  fourierdlem51  42799  fourierdlem53  42801  fourierdlem74  42822  fourierdlem75  42823  fourierdlem81  42829  fourierdlem85  42833  fourierdlem88  42836  fourierdlem93  42841  fourierdlem94  42842  fourierdlem95  42843  fourierdlem100  42848  fourierdlem103  42851  fourierdlem104  42852  fourierdlem107  42855  fourierdlem111  42859  fourierdlem112  42860  fourierdlem113  42861  sge0tsms  43019  sge0sup  43030  sge0gerp  43034  sge0pnffigt  43035  sge0lefi  43037  sge0ltfirp  43039  sge0resplit  43045  sge0le  43046  sge0split  43048  sge0iun  43058  meadjun  43101  ismeannd  43106  psmeasurelem  43109  omeunle  43155  omeiunle  43156  caratheodory  43167  hoidmvlelem1  43234  hoidmvlelem2  43235  hoidmvlelem3  43236  hoidmvlelem4  43237  smflimsuplem3  43453  lincdifsn  44833