Theorem fssresd 6788

Description: Restriction of a function with a subclass of its domain, deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fssresd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
fssresd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fssresd	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)

Proof of Theorem fssresd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fssresd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		fssresd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
3		fssres 6787	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3976   ↾ cres 5702  ⟶wf 6569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577

This theorem is referenced by:  feqresmpt  6991  fsuppcor  9473  ramub2  17061  ramub1lem2  17074  funcres  17960  gsumsplit1r  18725  gasubg  19342  gsumzaddlem  19963  dprdfadd  20064  dprdres  20072  dprdf1  20077  dmdprdsplitlem  20081  dmdprdsplit2lem  20089  dmdprdsplit2  20090  dprdsplit  20092  ablfac1eulem  20116  ablfac1eu  20117  pwssplit0  21080  frlmsplit2  21816  mamures  22422  mdetrlin  22629  cnrest  23314  cnpresti  23317  cnprest  23318  ptuncnv  23836  ptunhmeo  23837  ptcmpfi  23842  tsmslem1  24158  tsmssubm  24172  tsmsres  24173  tsmsf1o  24174  tsmsxplem1  24182  tsmsxplem2  24183  psmetres2  24345  xmetres2  24392  metres2  24394  imasdsf1olem  24404  xmetresbl  24468  xrge0gsumle  24874  xrge0tsms  24875  rescncf  24942  mbfres2  25699  limcres  25941  limciun  25949  dvres3  25968  dvmptresicc  25971  dvlip  26052  dvlipcn  26053  dvlip2  26054  dvgt0lem1  26061  dvivthlem1  26067  lhop  26075  ulmres  26449  ulmss  26458  pserdvlem2  26490  jensenlem2  27049  jensen  27050  wlkres  29706  pthdlem1  29802  foresf1o  32532  resf1o  32744  pfxf1  32908  xrge0tsmsd  33041  gsumle  33074  tocyccntz  33137  elrspunsn  33422  rprmdvdsprod  33527  ply1degltdimlem  33635  zarcmplem  33827  measres  34186  omsmeas  34288  reprsuc  34592  f1resfz0f1d  35081  pfxwlk  35091  pthhashvtx  35095  cvmliftlem6  35258  cvmlift2lem11  35281  satfv1lem  35330  mrsubff1  35482  msubff1  35524  psrbagres  42501  evlselv  42542  fsuppssind  42548  aomclem4  43014  extoimad  44126  imo72b2lem0  44127  imo72b2lem2  44129  imo72b2lem1  44131  imo72b2  44134  wessf1ornlem  45092  feqresmptf  45138  limcperiod  45549  climxlim2  45767  cncfperiod  45800  dirkercncflem4  46027  fourierdlem48  46075  fourierdlem49  46076  fourierdlem51  46078  fourierdlem53  46080  fourierdlem74  46101  fourierdlem75  46102  fourierdlem81  46108  fourierdlem85  46112  fourierdlem88  46115  fourierdlem93  46120  fourierdlem94  46121  fourierdlem95  46122  fourierdlem100  46127  fourierdlem103  46130  fourierdlem104  46131  fourierdlem107  46134  fourierdlem111  46138  fourierdlem112  46139  fourierdlem113  46140  sge0tsms  46301  sge0sup  46312  sge0gerp  46316  sge0pnffigt  46317  sge0lefi  46319  sge0ltfirp  46321  sge0resplit  46327  sge0le  46328  sge0split  46330  sge0iun  46340  meadjun  46383  ismeannd  46388  psmeasurelem  46391  omeunle  46437  omeiunle  46438  caratheodory  46449  hoidmvlelem1  46516  hoidmvlelem2  46517  hoidmvlelem3  46518  hoidmvlelem4  46519  smflimsuplem3  46743  fcoresf1  46984  fcoresfo  46986  lincdifsn  48153