MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ispsmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ispsmet 24165
Description: Express the predicate "𝐷 is a pseudometric." (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
ispsmet (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ↔ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐷π‘₯) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝑋   π‘₯,𝐷,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ispsmet
Dummy variables 𝑒 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3487 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ 𝑋 ∈ V)
2 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑋 β†’ 𝑒 = 𝑋)
32sqxpeqd 5701 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑋 β†’ (𝑒 Γ— 𝑒) = (𝑋 Γ— 𝑋))
43oveq2d 7421 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑋 β†’ (ℝ* ↑m (𝑒 Γ— 𝑒)) = (ℝ* ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)))
5 raleq 3316 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑒 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦))))
65raleqbi1dv 3327 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑒 βˆ€π‘§ ∈ 𝑒 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦))))
76anbi2d 628 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑋 β†’ (((π‘₯𝑑π‘₯) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑒 βˆ€π‘§ ∈ 𝑒 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦))) ↔ ((π‘₯𝑑π‘₯) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))))
87raleqbi1dv 3327 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑒 ((π‘₯𝑑π‘₯) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑒 βˆ€π‘§ ∈ 𝑒 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝑑π‘₯) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))))
94, 8rabeqbidv 3443 . . . . . 6 (𝑒 = 𝑋 β†’ {𝑑 ∈ (ℝ* ↑m (𝑒 Γ— 𝑒)) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑒 ((π‘₯𝑑π‘₯) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑒 βˆ€π‘§ ∈ 𝑒 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))} = {𝑑 ∈ (ℝ* ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝑑π‘₯) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))})
10 df-psmet 21232 . . . . . 6 PsMet = (𝑒 ∈ V ↦ {𝑑 ∈ (ℝ* ↑m (𝑒 Γ— 𝑒)) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑒 ((π‘₯𝑑π‘₯) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑒 βˆ€π‘§ ∈ 𝑒 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))})
11 ovex 7438 . . . . . . 7 (ℝ* ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ V
1211rabex 5325 . . . . . 6 {𝑑 ∈ (ℝ* ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝑑π‘₯) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))} ∈ V
139, 10, 12fvmpt 6992 . . . . 5 (𝑋 ∈ V β†’ (PsMetβ€˜π‘‹) = {𝑑 ∈ (ℝ* ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝑑π‘₯) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))})
141, 13syl 17 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (PsMetβ€˜π‘‹) = {𝑑 ∈ (ℝ* ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝑑π‘₯) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))})
1514eleq2d 2813 . . 3 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ↔ 𝐷 ∈ {𝑑 ∈ (ℝ* ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝑑π‘₯) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))}))
16 oveq 7411 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝐷 β†’ (π‘₯𝑑π‘₯) = (π‘₯𝐷π‘₯))
1716eqeq1d 2728 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 β†’ ((π‘₯𝑑π‘₯) = 0 ↔ (π‘₯𝐷π‘₯) = 0))
18 oveq 7411 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝐷 β†’ (π‘₯𝑑𝑦) = (π‘₯𝐷𝑦))
19 oveq 7411 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝐷 β†’ (𝑧𝑑π‘₯) = (𝑧𝐷π‘₯))
20 oveq 7411 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝐷 β†’ (𝑧𝑑𝑦) = (𝑧𝐷𝑦))
2119, 20oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝐷 β†’ ((𝑧𝑑π‘₯) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)) = ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
2218, 21breq12d 5154 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝐷 β†’ ((π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)) ↔ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
23222ralbidv 3212 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
2417, 23anbi12d 630 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 β†’ (((π‘₯𝑑π‘₯) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦))) ↔ ((π‘₯𝐷π‘₯) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
2524ralbidv 3171 . . . 4 (𝑑 = 𝐷 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝑑π‘₯) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐷π‘₯) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
2625elrab 3678 . . 3 (𝐷 ∈ {𝑑 ∈ (ℝ* ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝑑π‘₯) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))} ↔ (𝐷 ∈ (ℝ* ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐷π‘₯) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
2715, 26bitrdi 287 . 2 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ↔ (𝐷 ∈ (ℝ* ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐷π‘₯) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
28 xrex 12975 . . . 4 ℝ* ∈ V
29 sqxpexg 7739 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ V)
30 elmapg 8835 . . . 4 ((ℝ* ∈ V ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ V) β†’ (𝐷 ∈ (ℝ* ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)) ↔ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*))
3128, 29, 30sylancr 586 . . 3 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝐷 ∈ (ℝ* ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)) ↔ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*))
3231anbi1d 629 . 2 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ ((𝐷 ∈ (ℝ* ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐷π‘₯) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))) ↔ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐷π‘₯) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
3327, 32bitrd 279 1 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ↔ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐷π‘₯) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468   class class class wbr 5141   Γ— cxp 5667  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8822  0cc0 11112  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253   +𝑒 cxad 13096  PsMetcpsmet 21224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-map 8824  df-xr 11256  df-psmet 21232
This theorem is referenced by:  psmetdmdm  24166  psmetf  24167  psmet0  24169  psmettri2  24170  psmetres2  24175  xmetpsmet  24209
  Copyright terms: Public domain W3C validator