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Theorem smflimlem2 46727
Description: Lemma for the proof that the limit of sigma-measurable functions is sigma-measurable, Proposition 121F (a) of [Fremlin1] p. 38 . This lemma proves one-side of the double inclusion for the proof that the preimages of right-closed, unbounded-below intervals are in the subspace sigma-algebra induced by 𝐷. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smflimlem2.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
smflimlem2.2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smflimlem2.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smflimlem2.4 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
smflimlem2.5 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
smflimlem2.6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
smflimlem2.7 𝑃 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
smflimlem2.8 𝐻 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
smflimlem2.9 𝐼 = 𝑘 ∈ ℕ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘)
smflimlem2.10 ((𝜑𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶𝑟) ∈ 𝑟)
Assertion
Ref Expression
smflimlem2 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴} ⊆ (𝐷𝐼))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑚,𝑛   𝐴,𝑠,𝑘,𝑚   𝐶,𝑟   𝐷,𝑘,𝑚,𝑛   𝑛,𝐹,𝑥   𝐹,𝑠,𝑥   𝑘,𝐺,𝑚,𝑛   𝐻,𝑠   𝑥,𝐼   𝑃,𝑟   𝑆,𝑠   𝑘,𝑍,𝑚,𝑛,𝑥   𝜑,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥   𝑘,𝑟,𝑚,𝜑
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝐴(𝑥,𝑟)   𝐶(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠)   𝐷(𝑥,𝑠,𝑟)   𝑃(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠)   𝑆(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑘,𝑚,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑠,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑟)   𝐼(𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑟)   𝑀(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑟)   𝑍(𝑠,𝑟)

Proof of Theorem smflimlem2
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smflimlem2.4 . . . . 5 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
2 nfrab1 3453 . . . . 5 𝑥{𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
31, 2nfcxfr 2900 . . . 4 𝑥𝐷
43ssrab2f 45056 . . 3 {𝑥𝐷 ∣ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴} ⊆ 𝐷
54a1i 11 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴} ⊆ 𝐷)
6 simpllr 776 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥𝐷)
7 ssrab2 4089 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ⊆ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
81, 7eqsstri 4029 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
98sseli 3990 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐷𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
10 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑖 → (ℤ𝑛) = (ℤ𝑖))
1110iineq1d 45029 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑖 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚))
1211cbviunv 5044 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑖𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)
1312eleq2i 2830 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ↔ 𝑥 𝑖𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚))
14 eliun 4999 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 𝑖𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚) ↔ ∃𝑖𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚))
1513, 14bitri 275 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ↔ ∃𝑖𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚))
169, 15sylib 218 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐷 → ∃𝑖𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚))
176, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑖𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚))
18 nfv 1911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴)
19 nfv 1911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚 𝑘 ∈ ℕ
2018, 19nfan 1896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚(((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ)
21 nfv 1911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚 𝑖𝑍
2220, 21nfan 1896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍)
23 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚𝑥
24 nfii1 5033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)
2523, 24nfel 2917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)
2622, 25nfan 1896 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚(((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚))
27 nfmpt1 5255 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))
28 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℤ𝑖) = (ℤ𝑖)
29 uzssz 12896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
30 smflimlem2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑍 = (ℤ𝑀)
3130eleq2i 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
3231biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
3329, 32sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖𝑍𝑖 ∈ ℤ)
34 uzid 12890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ (ℤ𝑖))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑖))
3635ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑖))
37 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) → (𝜑𝑥𝐷))
3837simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝜑)
39 uzss 12898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑖) ⊆ (ℤ𝑀))
4032, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖𝑍 → (ℤ𝑖) ⊆ (ℤ𝑀))
4140, 30sseqtrrdi 4046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖𝑍 → (ℤ𝑖) ⊆ 𝑍)
4241sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑚𝑍)
4342ad4ant24 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑚𝑍)
44 eliinid 45050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
4544adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
46 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))
47 fvexd 6921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝐹𝑚)‘𝑥) ∈ V)
4846, 47fvmpt2d 7028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) = ((𝐹𝑚)‘𝑥))
49483adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚𝑍𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) = ((𝐹𝑚)‘𝑥))
50 smflimlem2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
5150adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
52 smflimlem2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
5352ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) ∈ (SMblFn‘𝑆))
54 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 dom (𝐹𝑚) = dom (𝐹𝑚)
5551, 53, 54smff 46687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
56553adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑚𝑍𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
57 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑚𝑍𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
5856, 57ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚𝑍𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → ((𝐹𝑚)‘𝑥) ∈ ℝ)
5949, 58eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚𝑍𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ)
6038, 43, 45, 59syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ)
6160adantl3r 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ)
6261adantl3r 750 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ)
631eleq2i 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥𝐷𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ })
6463biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥𝐷𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ })
65 rabidim2 45041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ )
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥𝐷 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ )
67 climdm 15586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
6866, 67sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥𝐷 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
6968adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
7069, 67sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ )
7170, 67sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
72 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥𝐹
73 smflimlem2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
74 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥𝐷)
753, 72, 73, 74fnlimfv 45618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝐺𝑥) = ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
7675eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐷) → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = (𝐺𝑥))
7771, 76breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))
7877ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))
79 smflimlem2.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
8079ad5antr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) → 𝐴 ∈ ℝ)
81 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) → (𝐺𝑥) ≤ 𝐴)
82 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) → 𝑘 ∈ ℕ)
83 nnrecrp 45335 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
8526, 27, 28, 36, 62, 78, 80, 81, 84climleltrp 45631 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑖)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))))
86 simp-6l 787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝜑)
87 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) → 𝑖𝑍)
8887adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑖𝑍)
89 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚))
90 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑖))
91 nfv 1911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚𝜑
9291, 21, 25nf3an 1898 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚(𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚))
93 nfv 1911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)
9492, 93nfan 1896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖))
95 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)))
9628uztrn2 12894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑖))
9796adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑖))
98 simpll2 1212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → 𝑖𝑍)
99 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑖))
10098, 99, 42syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → 𝑚𝑍)
101 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘)))
102 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑚𝑍𝑚𝑍)
103 fvexd 6921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑚𝑍 → ((𝐹𝑚)‘𝑥) ∈ V)
104 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))
105104fvmpt2 7026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑚𝑍 ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) ∈ V) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) = ((𝐹𝑚)‘𝑥))
106102, 103, 105syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑚𝑍 → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) = ((𝐹𝑚)‘𝑥))
107106eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑚𝑍 → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚))
108107adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑚𝑍 ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚))
109 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑚𝑍 ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘)))
110108, 109eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑚𝑍 ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘)))
111100, 101, 110syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘)))
112443ad2antl3 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
113112adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
114 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘)))
115113, 114jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))))
116 rabid 3454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} ↔ (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))))
117115, 116sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})
118111, 117syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})
119118adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ (((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘)))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})
120119ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) → ((((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}))
12195, 97, 120syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → ((((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}))
12294, 121ralimdaa 3257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}))
12386, 88, 89, 90, 122syl31anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}))
124123reximdva 3165 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) → (∃𝑛 ∈ (ℤ𝑖)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑖)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}))
12585, 124mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑖)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})
126 ssrexv 4064 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℤ𝑖) ⊆ 𝑍 → (∃𝑛 ∈ (ℤ𝑖)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}))
12741, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖𝑍 → (∃𝑛 ∈ (ℤ𝑖)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}))
128127ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) → (∃𝑛 ∈ (ℤ𝑖)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}))
129125, 128mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})
130129rexlimdva2 3154 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑖𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚) → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}))
13117, 130mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})
132 nfv 1911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚(𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍)
133 nfra1 3281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}
134132, 133nfan 1896 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})
135 simpll1 1211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝜑)
136 simpll2 1212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
13730uztrn2 12894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑗𝑍)
138137ssd 45019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛𝑍 → (ℤ𝑛) ⊆ 𝑍)
139138sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚𝑍)
140139adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚𝑍)
1411403adantl1 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚𝑍)
142141adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚𝑍)
143 rspa 3245 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})
144143adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})
145 simp1 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → 𝜑)
146 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → 𝑚𝑍)
147 simp2 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → 𝑘 ∈ ℕ)
148 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} = {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))}
149148, 50rabexd 5345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
150149ralrimivw 3147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
151150ralrimivw 3147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ∀𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
1521513ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → ∀𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
153 smflimlem2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑃 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
154153elrnmpoid 45170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V) → (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃)
155146, 147, 152, 154syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃)
156 ovex 7463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑚𝑃𝑘) ∈ V
157 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → (𝑟 ∈ ran 𝑃 ↔ (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃))
158157anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → ((𝜑𝑟 ∈ ran 𝑃) ↔ (𝜑 ∧ (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃)))
159 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → (𝐶𝑟) = (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
160 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → 𝑟 = (𝑚𝑃𝑘))
161159, 160eleq12d 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → ((𝐶𝑟) ∈ 𝑟 ↔ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘)))
162158, 161imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → (((𝜑𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶𝑟) ∈ 𝑟) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘))))
163 smflimlem2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶𝑟) ∈ 𝑟)
164156, 162, 163vtocl 3557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘))
165145, 155, 164syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘))
166 fvexd 6921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ V)
167 smflimlem2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝐻 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
168167ovmpt4g 7579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ V) → (𝑚𝐻𝑘) = (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
169146, 147, 166, 168syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝑚𝐻𝑘) = (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
170169eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) = (𝑚𝐻𝑘))
171145, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
172153ovmpt4g 7579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ ∧ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V) → (𝑚𝑃𝑘) = {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
173146, 147, 171, 172syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝑚𝑃𝑘) = {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
174170, 173eleq12d 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → ((𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘) ↔ (𝑚𝐻𝑘) ∈ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))}))
175165, 174mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝑚𝐻𝑘) ∈ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
176 ineq1 4220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 = (𝑚𝐻𝑘) → (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚)) = ((𝑚𝐻𝑘) ∩ dom (𝐹𝑚)))
177176eqeq2d 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 = (𝑚𝐻𝑘) → ({𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚)) ↔ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = ((𝑚𝐻𝑘) ∩ dom (𝐹𝑚))))
178177elrab 3694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑚𝐻𝑘) ∈ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ↔ ((𝑚𝐻𝑘) ∈ 𝑆 ∧ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = ((𝑚𝐻𝑘) ∩ dom (𝐹𝑚))))
179175, 178sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → ((𝑚𝐻𝑘) ∈ 𝑆 ∧ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = ((𝑚𝐻𝑘) ∩ dom (𝐹𝑚))))
180179simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = ((𝑚𝐻𝑘) ∩ dom (𝐹𝑚)))
181 inss1 4244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑚𝐻𝑘) ∩ dom (𝐹𝑚)) ⊆ (𝑚𝐻𝑘)
182180, 181eqsstrdi 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} ⊆ (𝑚𝐻𝑘))
183182adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) → {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} ⊆ (𝑚𝐻𝑘))
184 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})
185183, 184sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) → 𝑥 ∈ (𝑚𝐻𝑘))
186135, 136, 142, 144, 185syl31anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝑚𝐻𝑘))
187186ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) → 𝑥 ∈ (𝑚𝐻𝑘)))
188134, 187ralrimi 3254 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ (𝑚𝐻𝑘))
189 vex 3481 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ V
190 eliin 5000 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ V → (𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ (𝑚𝐻𝑘)))
191189, 190ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ (𝑚𝐻𝑘))
192188, 191sylibr 234 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) → 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘))
193192ex 412 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} → 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘)))
194193ad5ant145 1368 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} → 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘)))
195194reximdva 3165 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} → ∃𝑛𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘)))
196131, 195mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑛𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘))
197 eliun 4999 . . . . . . . . 9 (𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘))
198196, 197sylibr 234 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘))
199198ralrimiva 3143 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) → ∀𝑘 ∈ ℕ 𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘))
200 eliin 5000 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ V → (𝑥 𝑘 ∈ ℕ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘)))
201189, 200ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑥 𝑘 ∈ ℕ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘))
202199, 201sylibr 234 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) → 𝑥 𝑘 ∈ ℕ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘))
203 smflimlem2.9 . . . . . 6 𝐼 = 𝑘 ∈ ℕ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘)
204202, 203eleqtrrdi 2849 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) → 𝑥𝐼)
205204ex 412 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝐺𝑥) ≤ 𝐴𝑥𝐼))
206205ralrimiva 3143 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐷 ((𝐺𝑥) ≤ 𝐴𝑥𝐼))
207 rabss 4081 . . 3 ({𝑥𝐷 ∣ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴} ⊆ 𝐼 ↔ ∀𝑥𝐷 ((𝐺𝑥) ≤ 𝐴𝑥𝐼))
208206, 207sylibr 234 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴} ⊆ 𝐼)
2095, 208ssind 4248 1 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴} ⊆ (𝐷𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  {crab 3432  Vcvv 3477  cin 3961  wss 3962   ciun 4995   ciin 4996   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5688  ran crn 5689  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cmpo 7432  cr 11151  1c1 11153   + caddc 11155   < clt 11292  cle 11293   / cdiv 11917  cn 12263  cz 12610  cuz 12875  +crp 13031  cli 15516  SAlgcsalg 46263  SMblFncsmblfn 46650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-smblfn 46651
This theorem is referenced by:  smflimlem5  46730
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