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Theorem smflimlem2 41620
Description: Lemma for the proof that the limit of sigma-measurable functions is sigma-measurable, Proposition 121F (a) of [Fremlin1] p. 38 . This lemma proves one-side of the double inclusion for the proof that the preimages of right-closed, unbounded-below intervals are in the subspace sigma-algebra induced by 𝐷. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smflimlem2.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
smflimlem2.2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smflimlem2.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smflimlem2.4 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
smflimlem2.5 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
smflimlem2.6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
smflimlem2.7 𝑃 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
smflimlem2.8 𝐻 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
smflimlem2.9 𝐼 = 𝑘 ∈ ℕ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘)
smflimlem2.10 ((𝜑𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶𝑟) ∈ 𝑟)
Assertion
Ref Expression
smflimlem2 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴} ⊆ (𝐷𝐼))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑚,𝑛   𝐴,𝑠,𝑘,𝑚   𝐶,𝑟   𝐷,𝑘,𝑚,𝑛   𝑛,𝐹,𝑥   𝐹,𝑠,𝑥   𝑘,𝐺,𝑚,𝑛   𝐻,𝑠   𝑥,𝐼   𝑃,𝑟   𝑆,𝑠   𝑘,𝑍,𝑚,𝑛,𝑥   𝜑,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥   𝑘,𝑟,𝑚,𝜑
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝐴(𝑥,𝑟)   𝐶(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠)   𝐷(𝑥,𝑠,𝑟)   𝑃(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠)   𝑆(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑘,𝑚,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑠,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑟)   𝐼(𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑟)   𝑀(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑟)   𝑍(𝑠,𝑟)

Proof of Theorem smflimlem2
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smflimlem2.4 . . . . 5 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
2 nfrab1 3270 . . . . 5 𝑥{𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
31, 2nfcxfr 2905 . . . 4 𝑥𝐷
43ssrab2f 39950 . . 3 {𝑥𝐷 ∣ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴} ⊆ 𝐷
54a1i 11 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴} ⊆ 𝐷)
6 simpllr 793 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥𝐷)
7 ssrab2 3847 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ⊆ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
81, 7eqsstri 3795 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
98sseli 3757 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐷𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
10 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑖 → (ℤ𝑛) = (ℤ𝑖))
1110iineq1d 39918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑖 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚))
1211cbviunv 4715 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑖𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)
1312eleq2i 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ↔ 𝑥 𝑖𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚))
14 eliun 4680 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 𝑖𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚) ↔ ∃𝑖𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚))
1513, 14bitri 266 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ↔ ∃𝑖𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚))
169, 15sylib 209 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐷 → ∃𝑖𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚))
176, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑖𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚))
18 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴)
19 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚 𝑘 ∈ ℕ
2018, 19nfan 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚(((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ)
21 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚 𝑖𝑍
2220, 21nfan 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍)
23 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚𝑥
24 nfii1 4707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)
2523, 24nfel 2920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)
2622, 25nfan 1998 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚(((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚))
27 nfmpt1 4906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))
28 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℤ𝑖) = (ℤ𝑖)
29 uzssz 11906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
30 smflimlem2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑍 = (ℤ𝑀)
3130eleq2i 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
3231biimpi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
3329, 32sseldi 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖𝑍𝑖 ∈ ℤ)
34 uzid 11901 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ (ℤ𝑖))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑖))
3635ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑖))
37 simplll 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) → (𝜑𝑥𝐷))
3837simpld 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝜑)
39 uzss 11907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑖) ⊆ (ℤ𝑀))
4032, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖𝑍 → (ℤ𝑖) ⊆ (ℤ𝑀))
4140, 30syl6sseqr 3812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖𝑍 → (ℤ𝑖) ⊆ 𝑍)
4241sselda 3761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑚𝑍)
4342ad4ant24 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑚𝑍)
44 eliinid 39944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
4544adantll 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
46 eqidd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))
47 fvexd 6390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝐹𝑚)‘𝑥) ∈ V)
4846, 47fvmpt2d 6482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) = ((𝐹𝑚)‘𝑥))
49483adant3 1162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑚𝑍𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) = ((𝐹𝑚)‘𝑥))
50 smflimlem2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
5150adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
52 smflimlem2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
5352ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) ∈ (SMblFn‘𝑆))
54 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 dom (𝐹𝑚) = dom (𝐹𝑚)
5551, 53, 54smff 41581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
56553adant3 1162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑚𝑍𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
57 simp3 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑚𝑍𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
5856, 57ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑚𝑍𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → ((𝐹𝑚)‘𝑥) ∈ ℝ)
5949, 58eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚𝑍𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ)
6038, 43, 45, 59syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ)
6160adantl3r 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ)
6261adantl3r 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ)
631eleq2i 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥𝐷𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ })
6463biimpi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥𝐷𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ })
65 rabidim2 39934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ )
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥𝐷 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ )
67 climdm 14570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
6866, 67sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥𝐷 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
6968adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
7069, 67sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ )
7170, 67sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
72 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥𝐹
73 smflimlem2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
74 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥𝐷)
753, 72, 73, 74fnlimfv 40533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝐺𝑥) = ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
7675eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐷) → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = (𝐺𝑥))
7771, 76breqtrd 4835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))
7877ad4antr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))
79 smflimlem2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
8079ad5antr 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) → 𝐴 ∈ ℝ)
81 simp-4r 803 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) → (𝐺𝑥) ≤ 𝐴)
82 simpllr 793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) → 𝑘 ∈ ℕ)
83 nnrecrp 40243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
8526, 27, 28, 36, 62, 78, 80, 81, 84climleltrp 40546 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑖)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))))
86 simp-6l 809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝜑)
87 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) → 𝑖𝑍)
8887adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑖𝑍)
89 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚))
90 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑖))
91 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑚𝜑
9291, 21, 25nf3an 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚(𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚))
93 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)
9492, 93nfan 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖))
95 simpll 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)))
9628uztrn2 11904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑖))
9796adantll 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑖))
98 simpll2 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → 𝑖𝑍)
99 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑖))
10098, 99, 42syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → 𝑚𝑍)
101 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘)))
102 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑚𝑍𝑚𝑍)
103 fvexd 6390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑚𝑍 → ((𝐹𝑚)‘𝑥) ∈ V)
104 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))
105104fvmpt2 6480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑚𝑍 ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) ∈ V) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) = ((𝐹𝑚)‘𝑥))
106102, 103, 105syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑚𝑍 → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) = ((𝐹𝑚)‘𝑥))
107106eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑚𝑍 → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚))
108107adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑚𝑍 ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚))
109 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑚𝑍 ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘)))
110108, 109eqbrtrd 4831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑚𝑍 ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘)))
111100, 101, 110syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘)))
112443ad2antl3 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
113112adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
114 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘)))
115113, 114jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))))
116 rabid 3263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} ↔ (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))))
117115, 116sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})
118111, 117syldan 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})
119118adantrl 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ (((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘)))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})
120119ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) → ((((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}))
12195, 97, 120syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → ((((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}))
12294, 121ralimdaa 3105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}))
12386, 88, 89, 90, 122syl31anc 1492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}))
124123reximdva 3163 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) → (∃𝑛 ∈ (ℤ𝑖)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑖)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}))
12585, 124mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑖)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})
126 ssrexv 3827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℤ𝑖) ⊆ 𝑍 → (∃𝑛 ∈ (ℤ𝑖)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}))
12741, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖𝑍 → (∃𝑛 ∈ (ℤ𝑖)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}))
128127ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) → (∃𝑛 ∈ (ℤ𝑖)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}))
129125, 128mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})
130129ex 401 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) → (𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚) → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}))
131130rexlimdva 3178 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑖𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚) → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}))
13217, 131mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})
133 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚(𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍)
134 nfra1 3088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}
135133, 134nfan 1998 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})
136 simpll1 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝜑)
137 simpll2 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
13830uztrn2 11904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑗𝑍)
139138ssd 39903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛𝑍 → (ℤ𝑛) ⊆ 𝑍)
140139sselda 3761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚𝑍)
141140adantll 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚𝑍)
1421413adantl1 1207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚𝑍)
143142adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚𝑍)
144 rspa 3077 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})
145144adantll 705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})
146 simp1 1166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → 𝜑)
147 simp3 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → 𝑚𝑍)
148 simp2 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → 𝑘 ∈ ℕ)
149 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} = {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))}
150149, 50rabexd 4974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
151150ralrimivw 3114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
152151ralrimivw 3114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ∀𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
1531523ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → ∀𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
154 smflimlem2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑃 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
155154elrnmpt2id 40070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V) → (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃)
156147, 148, 153, 155syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃)
157 ovex 6874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑚𝑃𝑘) ∈ V
158 eleq1 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → (𝑟 ∈ ran 𝑃 ↔ (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃))
159158anbi2d 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → ((𝜑𝑟 ∈ ran 𝑃) ↔ (𝜑 ∧ (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃)))
160 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → (𝐶𝑟) = (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
161 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → 𝑟 = (𝑚𝑃𝑘))
162160, 161eleq12d 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → ((𝐶𝑟) ∈ 𝑟 ↔ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘)))
163159, 162imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → (((𝜑𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶𝑟) ∈ 𝑟) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘))))
164 smflimlem2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶𝑟) ∈ 𝑟)
165157, 163, 164vtocl 3411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘))
166146, 156, 165syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘))
167 fvexd 6390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ V)
168 smflimlem2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝐻 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
169168ovmpt4g 6981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ V) → (𝑚𝐻𝑘) = (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
170147, 148, 167, 169syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝑚𝐻𝑘) = (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
171170eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) = (𝑚𝐻𝑘))
172146, 150syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
173154ovmpt4g 6981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ ∧ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V) → (𝑚𝑃𝑘) = {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
174147, 148, 172, 173syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝑚𝑃𝑘) = {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
175171, 174eleq12d 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → ((𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘) ↔ (𝑚𝐻𝑘) ∈ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))}))
176166, 175mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝑚𝐻𝑘) ∈ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
177 ineq1 3969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 = (𝑚𝐻𝑘) → (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚)) = ((𝑚𝐻𝑘) ∩ dom (𝐹𝑚)))
178177eqeq2d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 = (𝑚𝐻𝑘) → ({𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚)) ↔ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = ((𝑚𝐻𝑘) ∩ dom (𝐹𝑚))))
179178elrab 3519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑚𝐻𝑘) ∈ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ↔ ((𝑚𝐻𝑘) ∈ 𝑆 ∧ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = ((𝑚𝐻𝑘) ∩ dom (𝐹𝑚))))
180176, 179sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → ((𝑚𝐻𝑘) ∈ 𝑆 ∧ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = ((𝑚𝐻𝑘) ∩ dom (𝐹𝑚))))
181180simprd 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = ((𝑚𝐻𝑘) ∩ dom (𝐹𝑚)))
182 inss1 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑚𝐻𝑘) ∩ dom (𝐹𝑚)) ⊆ (𝑚𝐻𝑘)
183181, 182syl6eqss 3815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} ⊆ (𝑚𝐻𝑘))
184183adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) → {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} ⊆ (𝑚𝐻𝑘))
185 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})
186184, 185sseldd 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) → 𝑥 ∈ (𝑚𝐻𝑘))
187136, 137, 143, 145, 186syl31anc 1492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝑚𝐻𝑘))
188187ex 401 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) → 𝑥 ∈ (𝑚𝐻𝑘)))
189135, 188ralrimi 3104 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ (𝑚𝐻𝑘))
190 vex 3353 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ V
191 eliin 4681 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ V → (𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ (𝑚𝐻𝑘)))
192190, 191ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ (𝑚𝐻𝑘))
193189, 192sylibr 225 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) → 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘))
194193ex 401 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} → 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘)))
195194ad5ant145 1486 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} → 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘)))
196195reximdva 3163 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} → ∃𝑛𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘)))
197132, 196mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑛𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘))
198 eliun 4680 . . . . . . . . 9 (𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘))
199197, 198sylibr 225 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘))
200199ralrimiva 3113 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) → ∀𝑘 ∈ ℕ 𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘))
201 eliin 4681 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ V → (𝑥 𝑘 ∈ ℕ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘)))
202190, 201ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑥 𝑘 ∈ ℕ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘))
203200, 202sylibr 225 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) → 𝑥 𝑘 ∈ ℕ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘))
204 smflimlem2.9 . . . . . 6 𝐼 = 𝑘 ∈ ℕ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘)
205203, 204syl6eleqr 2855 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) → 𝑥𝐼)
206205ex 401 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝐺𝑥) ≤ 𝐴𝑥𝐼))
207206ralrimiva 3113 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐷 ((𝐺𝑥) ≤ 𝐴𝑥𝐼))
208 rabss 3839 . . 3 ({𝑥𝐷 ∣ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴} ⊆ 𝐼 ↔ ∀𝑥𝐷 ((𝐺𝑥) ≤ 𝐴𝑥𝐼))
209207, 208sylibr 225 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴} ⊆ 𝐼)
2105, 209ssind 3996 1 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴} ⊆ (𝐷𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  {crab 3059  Vcvv 3350  cin 3731  wss 3732   ciun 4676   ciin 4677   class class class wbr 4809  cmpt 4888  dom cdm 5277  ran crn 5278  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cmpt2 6844  cr 10188  1c1 10190   + caddc 10192   < clt 10328  cle 10329   / cdiv 10938  cn 11274  cz 11624  cuz 11886  +crp 12028  cli 14500  SAlgcsalg 41165  SMblFncsmblfn 41549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-ioo 12381  df-ico 12383  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-clim 14504  df-rlim 14505  df-smblfn 41550
This theorem is referenced by:  smflimlem5  41623
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