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Theorem smflimlem2 43041
Description: Lemma for the proof that the limit of sigma-measurable functions is sigma-measurable, Proposition 121F (a) of [Fremlin1] p. 38 . This lemma proves one-side of the double inclusion for the proof that the preimages of right-closed, unbounded-below intervals are in the subspace sigma-algebra induced by 𝐷. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smflimlem2.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
smflimlem2.2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smflimlem2.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smflimlem2.4 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
smflimlem2.5 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
smflimlem2.6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
smflimlem2.7 𝑃 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
smflimlem2.8 𝐻 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
smflimlem2.9 𝐼 = 𝑘 ∈ ℕ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘)
smflimlem2.10 ((𝜑𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶𝑟) ∈ 𝑟)
Assertion
Ref Expression
smflimlem2 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴} ⊆ (𝐷𝐼))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑚,𝑛   𝐴,𝑠,𝑘,𝑚   𝐶,𝑟   𝐷,𝑘,𝑚,𝑛   𝑛,𝐹,𝑥   𝐹,𝑠,𝑥   𝑘,𝐺,𝑚,𝑛   𝐻,𝑠   𝑥,𝐼   𝑃,𝑟   𝑆,𝑠   𝑘,𝑍,𝑚,𝑛,𝑥   𝜑,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥   𝑘,𝑟,𝑚,𝜑
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝐴(𝑥,𝑟)   𝐶(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠)   𝐷(𝑥,𝑠,𝑟)   𝑃(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠)   𝑆(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑘,𝑚,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑠,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑟)   𝐼(𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑟)   𝑀(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑟)   𝑍(𝑠,𝑟)

Proof of Theorem smflimlem2
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smflimlem2.4 . . . . 5 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
2 nfrab1 3385 . . . . 5 𝑥{𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
31, 2nfcxfr 2975 . . . 4 𝑥𝐷
43ssrab2f 41376 . . 3 {𝑥𝐷 ∣ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴} ⊆ 𝐷
54a1i 11 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴} ⊆ 𝐷)
6 simpllr 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥𝐷)
7 ssrab2 4056 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ⊆ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
81, 7eqsstri 4001 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
98sseli 3963 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐷𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
10 fveq2 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑖 → (ℤ𝑛) = (ℤ𝑖))
1110iineq1d 41349 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑖 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚))
1211cbviunv 4958 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑖𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)
1312eleq2i 2904 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ↔ 𝑥 𝑖𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚))
14 eliun 4916 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 𝑖𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚) ↔ ∃𝑖𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚))
1513, 14bitri 277 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ↔ ∃𝑖𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚))
169, 15sylib 220 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐷 → ∃𝑖𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚))
176, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑖𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚))
18 nfv 1911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴)
19 nfv 1911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚 𝑘 ∈ ℕ
2018, 19nfan 1896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚(((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ)
21 nfv 1911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚 𝑖𝑍
2220, 21nfan 1896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍)
23 nfcv 2977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚𝑥
24 nfii1 4947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)
2523, 24nfel 2992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)
2622, 25nfan 1896 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚(((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚))
27 nfmpt1 5157 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))
28 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℤ𝑖) = (ℤ𝑖)
29 uzssz 12258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
30 smflimlem2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑍 = (ℤ𝑀)
3130eleq2i 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
3231biimpi 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
3329, 32sseldi 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖𝑍𝑖 ∈ ℤ)
34 uzid 12252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ (ℤ𝑖))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑖))
3635ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑖))
37 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) → (𝜑𝑥𝐷))
3837simpld 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝜑)
39 uzss 12259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑖) ⊆ (ℤ𝑀))
4032, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖𝑍 → (ℤ𝑖) ⊆ (ℤ𝑀))
4140, 30sseqtrrdi 4018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖𝑍 → (ℤ𝑖) ⊆ 𝑍)
4241sselda 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑚𝑍)
4342ad4ant24 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑚𝑍)
44 eliinid 41370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
4544adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
46 eqidd 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))
47 fvexd 6680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝐹𝑚)‘𝑥) ∈ V)
4846, 47fvmpt2d 6776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) = ((𝐹𝑚)‘𝑥))
49483adant3 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚𝑍𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) = ((𝐹𝑚)‘𝑥))
50 smflimlem2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
5150adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
52 smflimlem2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
5352ffvelrnda 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) ∈ (SMblFn‘𝑆))
54 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 dom (𝐹𝑚) = dom (𝐹𝑚)
5551, 53, 54smff 43002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
56553adant3 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑚𝑍𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
57 simp3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑚𝑍𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
5856, 57ffvelrnd 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚𝑍𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → ((𝐹𝑚)‘𝑥) ∈ ℝ)
5949, 58eqeltrd 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚𝑍𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ)
6038, 43, 45, 59syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ)
6160adantl3r 748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ)
6261adantl3r 748 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ)
631eleq2i 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥𝐷𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ })
6463biimpi 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥𝐷𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ })
65 rabidim2 41361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ )
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥𝐷 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ )
67 climdm 14905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
6866, 67sylib 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥𝐷 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
6968adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
7069, 67sylibr 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ )
7170, 67sylib 220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
72 nfcv 2977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥𝐹
73 smflimlem2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
74 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥𝐷)
753, 72, 73, 74fnlimfv 41936 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝐺𝑥) = ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
7675eqcomd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐷) → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = (𝐺𝑥))
7771, 76breqtrd 5085 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))
7877ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))
79 smflimlem2.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
8079ad5antr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) → 𝐴 ∈ ℝ)
81 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) → (𝐺𝑥) ≤ 𝐴)
82 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) → 𝑘 ∈ ℕ)
83 nnrecrp 41648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
8526, 27, 28, 36, 62, 78, 80, 81, 84climleltrp 41949 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑖)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))))
86 simp-6l 785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝜑)
87 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) → 𝑖𝑍)
8887adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑖𝑍)
89 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚))
90 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑖))
91 nfv 1911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚𝜑
9291, 21, 25nf3an 1898 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚(𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚))
93 nfv 1911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)
9492, 93nfan 1896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖))
95 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)))
9628uztrn2 12256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑖))
9796adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑖))
98 simpll2 1209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → 𝑖𝑍)
99 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑖))
10098, 99, 42syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → 𝑚𝑍)
101 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘)))
102 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑚𝑍𝑚𝑍)
103 fvexd 6680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑚𝑍 → ((𝐹𝑚)‘𝑥) ∈ V)
104 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))
105104fvmpt2 6774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑚𝑍 ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) ∈ V) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) = ((𝐹𝑚)‘𝑥))
106102, 103, 105syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑚𝑍 → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) = ((𝐹𝑚)‘𝑥))
107106eqcomd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑚𝑍 → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚))
108107adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑚𝑍 ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚))
109 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑚𝑍 ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘)))
110108, 109eqbrtrd 5081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑚𝑍 ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘)))
111100, 101, 110syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘)))
112443ad2antl3 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
113112adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
114 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘)))
115113, 114jca 514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))))
116 rabid 3379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} ↔ (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))))
117115, 116sylibr 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})
118111, 117syldan 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})
119118adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ (((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘)))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})
120119ex 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)) → ((((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}))
12195, 97, 120syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → ((((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}))
12294, 121ralimdaa 3217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}))
12386, 88, 89, 90, 122syl31anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}))
124123reximdva 3274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) → (∃𝑛 ∈ (ℤ𝑖)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ ∧ ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑖)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}))
12585, 124mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑖)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})
126 ssrexv 4034 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℤ𝑖) ⊆ 𝑍 → (∃𝑛 ∈ (ℤ𝑖)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}))
12741, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖𝑍 → (∃𝑛 ∈ (ℤ𝑖)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}))
128127ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) → (∃𝑛 ∈ (ℤ𝑖)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}))
129125, 128mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚)) → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})
130129rexlimdva2 3287 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑖𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚) → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}))
13117, 130mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})
132 nfv 1911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚(𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍)
133 nfra1 3219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}
134132, 133nfan 1896 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})
135 simpll1 1208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝜑)
136 simpll2 1209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
13730uztrn2 12256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑗𝑍)
138137ssd 41337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛𝑍 → (ℤ𝑛) ⊆ 𝑍)
139138sselda 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚𝑍)
140139adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚𝑍)
1411403adantl1 1162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚𝑍)
142141adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚𝑍)
143 rspa 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})
144143adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})
145 simp1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → 𝜑)
146 simp3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → 𝑚𝑍)
147 simp2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → 𝑘 ∈ ℕ)
148 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} = {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))}
149148, 50rabexd 5229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
150149ralrimivw 3183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
151150ralrimivw 3183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ∀𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
1521513ad2ant1 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → ∀𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
153 smflimlem2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑃 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
154153elrnmpoid 41486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V) → (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃)
155146, 147, 152, 154syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃)
156 ovex 7183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑚𝑃𝑘) ∈ V
157 eleq1 2900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → (𝑟 ∈ ran 𝑃 ↔ (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃))
158157anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → ((𝜑𝑟 ∈ ran 𝑃) ↔ (𝜑 ∧ (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃)))
159 fveq2 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → (𝐶𝑟) = (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
160 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → 𝑟 = (𝑚𝑃𝑘))
161159, 160eleq12d 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → ((𝐶𝑟) ∈ 𝑟 ↔ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘)))
162158, 161imbi12d 347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → (((𝜑𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶𝑟) ∈ 𝑟) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘))))
163 smflimlem2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶𝑟) ∈ 𝑟)
164156, 162, 163vtocl 3560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘))
165145, 155, 164syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘))
166 fvexd 6680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ V)
167 smflimlem2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝐻 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
168167ovmpt4g 7291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ V) → (𝑚𝐻𝑘) = (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
169146, 147, 166, 168syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝑚𝐻𝑘) = (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
170169eqcomd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) = (𝑚𝐻𝑘))
171145, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
172153ovmpt4g 7291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ ∧ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V) → (𝑚𝑃𝑘) = {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
173146, 147, 171, 172syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝑚𝑃𝑘) = {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
174170, 173eleq12d 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → ((𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘) ↔ (𝑚𝐻𝑘) ∈ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))}))
175165, 174mpbid 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝑚𝐻𝑘) ∈ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
176 ineq1 4181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 = (𝑚𝐻𝑘) → (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚)) = ((𝑚𝐻𝑘) ∩ dom (𝐹𝑚)))
177176eqeq2d 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 = (𝑚𝐻𝑘) → ({𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚)) ↔ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = ((𝑚𝐻𝑘) ∩ dom (𝐹𝑚))))
178177elrab 3680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑚𝐻𝑘) ∈ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ↔ ((𝑚𝐻𝑘) ∈ 𝑆 ∧ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = ((𝑚𝐻𝑘) ∩ dom (𝐹𝑚))))
179175, 178sylib 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → ((𝑚𝐻𝑘) ∈ 𝑆 ∧ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = ((𝑚𝐻𝑘) ∩ dom (𝐹𝑚))))
180179simprd 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = ((𝑚𝐻𝑘) ∩ dom (𝐹𝑚)))
181 inss1 4205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑚𝐻𝑘) ∩ dom (𝐹𝑚)) ⊆ (𝑚𝐻𝑘)
182180, 181eqsstrdi 4021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} ⊆ (𝑚𝐻𝑘))
183182adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) → {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} ⊆ (𝑚𝐻𝑘))
184 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})
185183, 184sseldd 3968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) → 𝑥 ∈ (𝑚𝐻𝑘))
186135, 136, 142, 144, 185syl31anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝑚𝐻𝑘))
187186ex 415 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) → 𝑥 ∈ (𝑚𝐻𝑘)))
188134, 187ralrimi 3216 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ (𝑚𝐻𝑘))
189 vex 3498 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ V
190 eliin 4917 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ V → (𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ (𝑚𝐻𝑘)))
191189, 190ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ (𝑚𝐻𝑘))
192188, 191sylibr 236 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) → 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘))
193192ex 415 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} → 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘)))
194193ad5ant145 1365 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} → 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘)))
195194reximdva 3274 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} → ∃𝑛𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘)))
196131, 195mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑛𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘))
197 eliun 4916 . . . . . . . . 9 (𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘))
198196, 197sylibr 236 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘))
199198ralrimiva 3182 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) → ∀𝑘 ∈ ℕ 𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘))
200 eliin 4917 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ V → (𝑥 𝑘 ∈ ℕ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘)))
201189, 200ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑥 𝑘 ∈ ℕ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘))
202199, 201sylibr 236 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) → 𝑥 𝑘 ∈ ℕ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘))
203 smflimlem2.9 . . . . . 6 𝐼 = 𝑘 ∈ ℕ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘)
204202, 203eleqtrrdi 2924 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴) → 𝑥𝐼)
205204ex 415 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝐺𝑥) ≤ 𝐴𝑥𝐼))
206205ralrimiva 3182 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐷 ((𝐺𝑥) ≤ 𝐴𝑥𝐼))
207 rabss 4048 . . 3 ({𝑥𝐷 ∣ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴} ⊆ 𝐼 ↔ ∀𝑥𝐷 ((𝐺𝑥) ≤ 𝐴𝑥𝐼))
208206, 207sylibr 236 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴} ⊆ 𝐼)
2095, 208ssind 4209 1 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴} ⊆ (𝐷𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  wral 3138  wrex 3139  {crab 3142  Vcvv 3495  cin 3935  wss 3936   ciun 4912   ciin 4913   class class class wbr 5059  cmpt 5139  dom cdm 5550  ran crn 5551  wf 6346  cfv 6350  (class class class)co 7150  cmpo 7152  cr 10530  1c1 10532   + caddc 10534   < clt 10669  cle 10670   / cdiv 11291  cn 11632  cz 11975  cuz 12237  +crp 12383  cli 14835  SAlgcsalg 42586  SMblFncsmblfn 42970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-ioo 12736  df-ico 12738  df-fl 13156  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-smblfn 42971
This theorem is referenced by:  smflimlem5  43044
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