Theorem grothac 10922

Description: The Tarski-Grothendieck Axiom implies the Axiom of Choice (in the form of cardeqv 10554). This can be put in a more conventional form via ween 10121 and dfac8 10221. Note that the mere existence of strongly inaccessible cardinals doesn't imply AC, but rather the particular form of the Tarski-Grothendieck axiom (see https://fomarchive.ugent.be/2008-March/012783.html 10221). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
grothac	⊢ dom card = V

Proof of Theorem grothac

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 4570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝑦)
2	1	sseq1d 3940	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝒫 𝑥 ⊆ 𝑢 ↔ 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑢))
3	1	eleq1d 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝒫 𝑥 ∈ 𝑢 ↔ 𝒫 𝑦 ∈ 𝑢))
4	2, 3	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝒫 𝑥 ⊆ 𝑢 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑢) ↔ (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑢 ∧ 𝒫 𝑦 ∈ 𝑢)))
5	4	rspcva 3574	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑢 (𝒫 𝑥 ⊆ 𝑢 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑢)) → (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑢 ∧ 𝒫 𝑦 ∈ 𝑢))
6	5	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑢 (𝒫 𝑥 ⊆ 𝑢 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑢)) → 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑢)
7		rabss 3994	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑢 ∣ 𝑥 ≺ 𝑢} ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑢(𝑥 ≺ 𝑢 → 𝑥 ∈ 𝑢))
8	7	biimpri 231	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑢(𝑥 ≺ 𝑢 → 𝑥 ∈ 𝑢) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑢 ∣ 𝑥 ≺ 𝑢} ⊆ 𝑢)
9		vex 3454	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ V
10	9	canth2 9156	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ≺ 𝒫 𝑦
11		sdomdom 9014	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ≺ 𝒫 𝑦 → 𝑦 ≼ 𝒫 𝑦)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ≼ 𝒫 𝑦
13		ssdomg 9034	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ V → (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑢 → 𝒫 𝑦 ≼ 𝑢))
14	13	elv 3455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑢 → 𝒫 𝑦 ≼ 𝑢)
15		domtr 9041	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ≼ 𝒫 𝑦 ∧ 𝒫 𝑦 ≼ 𝑢) → 𝑦 ≼ 𝑢)
16	12, 14, 15	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑢 → 𝑦 ≼ 𝑢)
17		vex 3454	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑢 ∈ V
18		tskwe 10038	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∈ V ∧ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑢 ∣ 𝑥 ≺ 𝑢} ⊆ 𝑢) → 𝑢 ∈ dom card)
19	17, 18	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑢 ∣ 𝑥 ≺ 𝑢} ⊆ 𝑢 → 𝑢 ∈ dom card)
20		numdom 10124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∈ dom card ∧ 𝑦 ≼ 𝑢) → 𝑦 ∈ dom card)
21	20	expcom 419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ≼ 𝑢 → (𝑢 ∈ dom card → 𝑦 ∈ dom card))
22	16, 19, 21	syl2im 41	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑢 → ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑢 ∣ 𝑥 ≺ 𝑢} ⊆ 𝑢 → 𝑦 ∈ dom card))
23	6, 8, 22	syl2im 41	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑢 (𝒫 𝑥 ⊆ 𝑢 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑢)) → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑢(𝑥 ≺ 𝑢 → 𝑥 ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ dom card))
24	23	3impia 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑢 (𝒫 𝑥 ⊆ 𝑢 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑢) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑢(𝑥 ≺ 𝑢 → 𝑥 ∈ 𝑢)) → 𝑦 ∈ dom card)
25		axgroth6 10920	. . . 4 ⊢ ∃𝑢(𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑢 (𝒫 𝑥 ⊆ 𝑢 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑢) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑢(𝑥 ≺ 𝑢 → 𝑥 ∈ 𝑢))
26	24, 25	exlimiiv 1963	. . 3 ⊢ 𝑦 ∈ dom card
27	26, 9	2th 267	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ dom card ↔ 𝑦 ∈ V)
28	27	eqriv 2757	1 ⊢ dom card = V

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5102  dom cdm 5651   ≼ cdom 8978   ≺ csdm 8979  cardccrd 10023

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-groth 10915

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-card 10027

This theorem is used by:  axgroth3  10923