MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phibndlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem phibndlem 16803
Description: Lemma for phibnd 16804. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
phibndlem (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem phibndlem
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 12921 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 fzm1 13643 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑥 = 𝑁)))
3 nnuz 12918 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
42, 3eleq2s 2856 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑥 = 𝑁)))
54biimpa 476 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑥 = 𝑁))
65ord 864 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (¬ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑥 = 𝑁))
71, 6sylan 580 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (¬ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑥 = 𝑁))
8 eluzelz 12885 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
9 gcdid 16560 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
11 nnre 12270 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
12 nnnn0 12530 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
1312nn0ge0d 12587 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
1411, 13absidd 15457 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘𝑁) = 𝑁)
151, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
1610, 15eqtrd 2774 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 gcd 𝑁) = 𝑁)
17 1re 11258 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
18 eluz2gt1 12959 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑁)
19 ltne 11355 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 1)
2017, 18, 19sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ≠ 1)
2116, 20eqnetrd 3005 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 gcd 𝑁) ≠ 1)
22 oveq1 7437 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑁))
2322neeq1d 2997 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑁) ≠ 1))
2421, 23syl5ibrcom 247 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1))
2524adantr 480 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1))
267, 25syld 47 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (¬ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1))
2726necon4bd 2957 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
2827ralrimiva 3143 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∀𝑥 ∈ (1...𝑁)((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
29 rabss 4081 . 2 ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)) ↔ ∀𝑥 ∈ (1...𝑁)((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
3028, 29sylibr 234 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  {crab 3432  wss 3962   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cr 11151  1c1 11153   < clt 11292  cmin 11489  cn 12263  2c2 12318  cz 12610  cuz 12875  ...cfz 13543  abscabs 15269   gcd cgcd 16527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-dvds 16287  df-gcd 16528
This theorem is referenced by:  phibnd  16804  dfphi2  16807
  Copyright terms: Public domain W3C validator