MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phibndlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem phibndlem 16649
Description: Lemma for phibnd 16650. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
phibndlem (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem phibndlem
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 12816 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 fzm1 13528 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑥 = 𝑁)))
3 nnuz 12813 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
42, 3eleq2s 2856 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑥 = 𝑁)))
54biimpa 478 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑥 = 𝑁))
65ord 863 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (¬ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑥 = 𝑁))
71, 6sylan 581 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (¬ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑥 = 𝑁))
8 eluzelz 12780 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
9 gcdid 16414 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
11 nnre 12167 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
12 nnnn0 12427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
1312nn0ge0d 12483 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
1411, 13absidd 15314 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘𝑁) = 𝑁)
151, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
1610, 15eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 gcd 𝑁) = 𝑁)
17 1re 11162 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
18 eluz2gt1 12852 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑁)
19 ltne 11259 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 1)
2017, 18, 19sylancr 588 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ≠ 1)
2116, 20eqnetrd 3012 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 gcd 𝑁) ≠ 1)
22 oveq1 7369 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑁))
2322neeq1d 3004 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑁) ≠ 1))
2421, 23syl5ibrcom 247 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1))
2524adantr 482 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1))
267, 25syld 47 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (¬ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1))
2726necon4bd 2964 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
2827ralrimiva 3144 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∀𝑥 ∈ (1...𝑁)((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
29 rabss 4034 . 2 ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)) ↔ ∀𝑥 ∈ (1...𝑁)((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
3028, 29sylibr 233 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  wral 3065  {crab 3410  wss 3915   class class class wbr 5110  cfv 6501  (class class class)co 7362  cr 11057  1c1 11059   < clt 11196  cmin 11392  cn 12160  2c2 12215  cz 12506  cuz 12770  ...cfz 13431  abscabs 15126   gcd cgcd 16381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-gcd 16382
This theorem is referenced by:  phibnd  16650  dfphi2  16653
  Copyright terms: Public domain W3C validator