Theorem phibndlem 16991

Description: Lemma for phibnd 16992. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
phibndlem	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem phibndlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 13055	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		fzm1 13781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑥 = 𝑁)))
3		nnuz 13044	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
4	2, 3	eleq2s 2882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑥 = 𝑁)))
5	4	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑥 = 𝑁))
6	5	ord 878	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (¬ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑥 = 𝑁))
7	1, 6	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (¬ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑥 = 𝑁))
8		eluzelz 13015	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
9		gcdid 16743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
10	8, 9	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
11		nnre 12382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
12		nnnn0 12653	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
13	12	nn0ge0d 12710	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
14	11, 13	absidd 15634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘𝑁) = 𝑁)
15	1, 14	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
16	10, 15	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 gcd 𝑁) = 𝑁)
17		1re 11347	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
18		eluz2gt1 13087	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑁)
19		ltne 11446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 1)
20	17, 18, 19	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≠ 1)
21	16, 20	eqnetrd 3026	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 gcd 𝑁) ≠ 1)
22		oveq1 7458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑁))
23	22	neeq1d 3018	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑁) ≠ 1))
24	21, 23	syl5ibrcom 250	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1))
25	24	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1))
26	7, 25	syld 48	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (¬ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1))
27	26	necon4bd 2979	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
28	27	ralrimiva 3158	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∀𝑥 ∈ (1...𝑁)((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
29		rabss 3998	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)) ↔ ∀𝑥 ∈ (1...𝑁)((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
30	28, 29	sylibr 237	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  {crab 3416   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  1c1 11240   < clt 11382   − cmin 11580  ℕcn 12375  2c2 12437  ℤcz 12733  ℤ_≥cuz 13005  ...cfz 13679  abscabs 15444   gcd cgcd 16708

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-dvds 16467  df-gcd 16709

This theorem is used by:  phibnd  16992  dfphi2  16995