Theorem phibndlem 16399

Description: Lemma for phibnd 16400. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
phibndlem	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem phibndlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 12553	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		fzm1 13265	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑥 = 𝑁)))
3		nnuz 12550	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
4	2, 3	eleq2s 2857	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑥 = 𝑁)))
5	4	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑥 = 𝑁))
6	5	ord 860	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (¬ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑥 = 𝑁))
7	1, 6	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (¬ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑥 = 𝑁))
8		eluzelz 12521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
9		gcdid 16162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
11		nnre 11910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
12		nnnn0 12170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
13	12	nn0ge0d 12226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
14	11, 13	absidd 15062	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘𝑁) = 𝑁)
15	1, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
16	10, 15	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 gcd 𝑁) = 𝑁)
17		1re 10906	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
18		eluz2gt1 12589	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑁)
19		ltne 11002	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 1)
20	17, 18, 19	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≠ 1)
21	16, 20	eqnetrd 3010	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 gcd 𝑁) ≠ 1)
22		oveq1 7262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑁))
23	22	neeq1d 3002	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑁) ≠ 1))
24	21, 23	syl5ibrcom 246	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1))
25	24	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1))
26	7, 25	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (¬ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1))
27	26	necon4bd 2962	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
28	27	ralrimiva 3107	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∀𝑥 ∈ (1...𝑁)((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
29		rabss 4001	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)) ↔ ∀𝑥 ∈ (1...𝑁)((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
30	28, 29	sylibr 233	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  {crab 3067   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  1c1 10803   < clt 10940   − cmin 11135  ℕcn 11903  2c2 11958  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168  abscabs 14873   gcd cgcd 16129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-gcd 16130

This theorem is referenced by:  phibnd  16400  dfphi2  16403