MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfphi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfphi2 16734
Description: Alternate definition of the Euler ϕ function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
dfphi2 (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem dfphi2
StepHypRef Expression
1 elnn1uz2 12931 . 2 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
2 phi1 16733 . . . . 5 (ϕ‘1) = 1
3 0z 12591 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
4 hashsng 14352 . . . . . 6 (0 ∈ ℤ → (♯‘{0}) = 1)
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 (♯‘{0}) = 1
6 rabid2 3459 . . . . . . 7 ({0} = {𝑥 ∈ {0} ∣ (𝑥 gcd 1) = 1} ↔ ∀𝑥 ∈ {0} (𝑥 gcd 1) = 1)
7 elsni 4641 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {0} → 𝑥 = 0)
87oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {0} → (𝑥 gcd 1) = (0 gcd 1))
9 gcd1 16494 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℤ → (0 gcd 1) = 1)
103, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0 gcd 1) = 1
118, 10eqtrdi 2783 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {0} → (𝑥 gcd 1) = 1)
126, 11mprgbir 3063 . . . . . 6 {0} = {𝑥 ∈ {0} ∣ (𝑥 gcd 1) = 1}
1312fveq2i 6894 . . . . 5 (♯‘{0}) = (♯‘{𝑥 ∈ {0} ∣ (𝑥 gcd 1) = 1})
142, 5, 133eqtr2i 2761 . . . 4 (ϕ‘1) = (♯‘{𝑥 ∈ {0} ∣ (𝑥 gcd 1) = 1})
15 fveq2 6891 . . . 4 (𝑁 = 1 → (ϕ‘𝑁) = (ϕ‘1))
16 oveq2 7422 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (0..^𝑁) = (0..^1))
17 fzo01 13738 . . . . . . 7 (0..^1) = {0}
1816, 17eqtrdi 2783 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (0..^𝑁) = {0})
19 oveq2 7422 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (𝑥 gcd 𝑁) = (𝑥 gcd 1))
2019eqeq1d 2729 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑥 gcd 1) = 1))
2118, 20rabeqbidv 3444 . . . . 5 (𝑁 = 1 → {𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} = {𝑥 ∈ {0} ∣ (𝑥 gcd 1) = 1})
2221fveq2d 6895 . . . 4 (𝑁 = 1 → (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) = (♯‘{𝑥 ∈ {0} ∣ (𝑥 gcd 1) = 1}))
2314, 15, 223eqtr4a 2793 . . 3 (𝑁 = 1 → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
24 eluz2nn 12890 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
25 phival 16727 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
2624, 25syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
27 fzossfz 13675 . . . . . . . . . . 11 (1..^𝑁) ⊆ (1...𝑁)
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1..^𝑁) ⊆ (1...𝑁))
29 sseqin2 4211 . . . . . . . . . 10 ((1..^𝑁) ⊆ (1...𝑁) ↔ ((1...𝑁) ∩ (1..^𝑁)) = (1..^𝑁))
3028, 29sylib 217 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((1...𝑁) ∩ (1..^𝑁)) = (1..^𝑁))
31 fzo0ss1 13686 . . . . . . . . . 10 (1..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁)
32 sseqin2 4211 . . . . . . . . . 10 ((1..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁) ↔ ((0..^𝑁) ∩ (1..^𝑁)) = (1..^𝑁))
3331, 32mpbi 229 . . . . . . . . 9 ((0..^𝑁) ∩ (1..^𝑁)) = (1..^𝑁)
3430, 33eqtr4di 2785 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((1...𝑁) ∩ (1..^𝑁)) = ((0..^𝑁) ∩ (1..^𝑁)))
3534rabeqdv 3442 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {𝑥 ∈ ((1...𝑁) ∩ (1..^𝑁)) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} = {𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∩ (1..^𝑁)) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
36 inrab2 4303 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∩ (1..^𝑁)) = {𝑥 ∈ ((1...𝑁) ∩ (1..^𝑁)) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}
37 inrab2 4303 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∩ (1..^𝑁)) = {𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∩ (1..^𝑁)) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}
3835, 36, 373eqtr4g 2792 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∩ (1..^𝑁)) = ({𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∩ (1..^𝑁)))
39 phibndlem 16730 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)))
40 eluzelz 12854 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
41 fzoval 13657 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1)))
4240, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1)))
4339, 42sseqtrrd 4019 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1..^𝑁))
44 df-ss 3961 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1..^𝑁) ↔ ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∩ (1..^𝑁)) = {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
4543, 44sylib 217 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∩ (1..^𝑁)) = {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
46 gcd0id 16485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
4740, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
48 eluzelre 12855 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
49 eluzge2nn0 12893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5049nn0ge0d 12557 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝑁)
5148, 50absidd 15393 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
5247, 51eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (0 gcd 𝑁) = 𝑁)
53 eluz2b3 12928 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
5453simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ≠ 1)
5552, 54eqnetrd 3003 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (0 gcd 𝑁) ≠ 1)
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (0 gcd 𝑁) ≠ 1)
577oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ {0} → (𝑥 gcd 𝑁) = (0 gcd 𝑁))
5857, 17eleq2s 2846 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0..^1) → (𝑥 gcd 𝑁) = (0 gcd 𝑁))
5958neeq1d 2995 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0..^1) → ((𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1 ↔ (0 gcd 𝑁) ≠ 1))
6056, 59syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (0..^1) → (𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1))
6160necon2bd 2951 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → ¬ 𝑥 ∈ (0..^1)))
62 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑥 ∈ (0..^𝑁))
63 1z 12614 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℤ
64 fzospliti 13688 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (0..^1) ∨ 𝑥 ∈ (1..^𝑁)))
6562, 63, 64sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (0..^1) ∨ 𝑥 ∈ (1..^𝑁)))
6665ord 863 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^1) → 𝑥 ∈ (1..^𝑁)))
6761, 66syld 47 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1..^𝑁)))
6867ralrimiva 3141 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1..^𝑁)))
69 rabss 4065 . . . . . . . 8 ({𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1..^𝑁) ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1..^𝑁)))
7068, 69sylibr 233 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1..^𝑁))
71 df-ss 3961 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1..^𝑁) ↔ ({𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∩ (1..^𝑁)) = {𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
7270, 71sylib 217 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ({𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∩ (1..^𝑁)) = {𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
7338, 45, 723eqtr3d 2775 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} = {𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
7473fveq2d 6895 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
7526, 74eqtrd 2767 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
7623, 75jaoi 856 . 2 ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
771, 76sylbi 216 1 (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 846   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935  wral 3056  {crab 3427  cin 3943  wss 3944  {csn 4624  cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11130  1c1 11131  cmin 11466  cn 12234  2c2 12289  cz 12580  cuz 12844  ...cfz 13508  ..^cfzo 13651  chash 14313  abscabs 15205   gcd cgcd 16460  ϕcphi 16724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-dvds 16223  df-gcd 16461  df-phi 16726
This theorem is referenced by:  phimullem  16739  eulerth  16743  hashgcdeq  16749  odngen  19523  znunithash  21485
  Copyright terms: Public domain W3C validator