MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfphi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfphi2 16646
Description: Alternate definition of the Euler ϕ function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
dfphi2 (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem dfphi2
StepHypRef Expression
1 elnn1uz2 12850 . 2 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
2 phi1 16645 . . . . 5 (ϕ‘1) = 1
3 0z 12510 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
4 hashsng 14269 . . . . . 6 (0 ∈ ℤ → (♯‘{0}) = 1)
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 (♯‘{0}) = 1
6 rabid2 3436 . . . . . . 7 ({0} = {𝑥 ∈ {0} ∣ (𝑥 gcd 1) = 1} ↔ ∀𝑥 ∈ {0} (𝑥 gcd 1) = 1)
7 elsni 4603 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {0} → 𝑥 = 0)
87oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {0} → (𝑥 gcd 1) = (0 gcd 1))
9 gcd1 16408 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℤ → (0 gcd 1) = 1)
103, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0 gcd 1) = 1
118, 10eqtrdi 2792 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {0} → (𝑥 gcd 1) = 1)
126, 11mprgbir 3071 . . . . . 6 {0} = {𝑥 ∈ {0} ∣ (𝑥 gcd 1) = 1}
1312fveq2i 6845 . . . . 5 (♯‘{0}) = (♯‘{𝑥 ∈ {0} ∣ (𝑥 gcd 1) = 1})
142, 5, 133eqtr2i 2770 . . . 4 (ϕ‘1) = (♯‘{𝑥 ∈ {0} ∣ (𝑥 gcd 1) = 1})
15 fveq2 6842 . . . 4 (𝑁 = 1 → (ϕ‘𝑁) = (ϕ‘1))
16 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (0..^𝑁) = (0..^1))
17 fzo01 13654 . . . . . . 7 (0..^1) = {0}
1816, 17eqtrdi 2792 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (0..^𝑁) = {0})
19 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (𝑥 gcd 𝑁) = (𝑥 gcd 1))
2019eqeq1d 2738 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑥 gcd 1) = 1))
2118, 20rabeqbidv 3424 . . . . 5 (𝑁 = 1 → {𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} = {𝑥 ∈ {0} ∣ (𝑥 gcd 1) = 1})
2221fveq2d 6846 . . . 4 (𝑁 = 1 → (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) = (♯‘{𝑥 ∈ {0} ∣ (𝑥 gcd 1) = 1}))
2314, 15, 223eqtr4a 2802 . . 3 (𝑁 = 1 → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
24 eluz2nn 12809 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
25 phival 16639 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
2624, 25syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
27 fzossfz 13591 . . . . . . . . . . 11 (1..^𝑁) ⊆ (1...𝑁)
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1..^𝑁) ⊆ (1...𝑁))
29 sseqin2 4175 . . . . . . . . . 10 ((1..^𝑁) ⊆ (1...𝑁) ↔ ((1...𝑁) ∩ (1..^𝑁)) = (1..^𝑁))
3028, 29sylib 217 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((1...𝑁) ∩ (1..^𝑁)) = (1..^𝑁))
31 fzo0ss1 13602 . . . . . . . . . 10 (1..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁)
32 sseqin2 4175 . . . . . . . . . 10 ((1..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁) ↔ ((0..^𝑁) ∩ (1..^𝑁)) = (1..^𝑁))
3331, 32mpbi 229 . . . . . . . . 9 ((0..^𝑁) ∩ (1..^𝑁)) = (1..^𝑁)
3430, 33eqtr4di 2794 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((1...𝑁) ∩ (1..^𝑁)) = ((0..^𝑁) ∩ (1..^𝑁)))
3534rabeqdv 3422 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {𝑥 ∈ ((1...𝑁) ∩ (1..^𝑁)) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} = {𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∩ (1..^𝑁)) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
36 inrab2 4267 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∩ (1..^𝑁)) = {𝑥 ∈ ((1...𝑁) ∩ (1..^𝑁)) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}
37 inrab2 4267 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∩ (1..^𝑁)) = {𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∩ (1..^𝑁)) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}
3835, 36, 373eqtr4g 2801 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∩ (1..^𝑁)) = ({𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∩ (1..^𝑁)))
39 phibndlem 16642 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)))
40 eluzelz 12773 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
41 fzoval 13573 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1)))
4240, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1)))
4339, 42sseqtrrd 3985 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1..^𝑁))
44 df-ss 3927 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1..^𝑁) ↔ ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∩ (1..^𝑁)) = {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
4543, 44sylib 217 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∩ (1..^𝑁)) = {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
46 gcd0id 16399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
4740, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
48 eluzelre 12774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
49 eluzge2nn0 12812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5049nn0ge0d 12476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝑁)
5148, 50absidd 15307 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
5247, 51eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (0 gcd 𝑁) = 𝑁)
53 eluz2b3 12847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
5453simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ≠ 1)
5552, 54eqnetrd 3011 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (0 gcd 𝑁) ≠ 1)
5655adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (0 gcd 𝑁) ≠ 1)
577oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ {0} → (𝑥 gcd 𝑁) = (0 gcd 𝑁))
5857, 17eleq2s 2856 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0..^1) → (𝑥 gcd 𝑁) = (0 gcd 𝑁))
5958neeq1d 3003 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0..^1) → ((𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1 ↔ (0 gcd 𝑁) ≠ 1))
6056, 59syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (0..^1) → (𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1))
6160necon2bd 2959 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → ¬ 𝑥 ∈ (0..^1)))
62 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑥 ∈ (0..^𝑁))
63 1z 12533 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℤ
64 fzospliti 13604 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (0..^1) ∨ 𝑥 ∈ (1..^𝑁)))
6562, 63, 64sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (0..^1) ∨ 𝑥 ∈ (1..^𝑁)))
6665ord 862 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^1) → 𝑥 ∈ (1..^𝑁)))
6761, 66syld 47 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1..^𝑁)))
6867ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1..^𝑁)))
69 rabss 4029 . . . . . . . 8 ({𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1..^𝑁) ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1..^𝑁)))
7068, 69sylibr 233 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1..^𝑁))
71 df-ss 3927 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1..^𝑁) ↔ ({𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∩ (1..^𝑁)) = {𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
7270, 71sylib 217 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ({𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∩ (1..^𝑁)) = {𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
7338, 45, 723eqtr3d 2784 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} = {𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
7473fveq2d 6846 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
7526, 74eqtrd 2776 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
7623, 75jaoi 855 . 2 ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
771, 76sylbi 216 1 (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  {crab 3407  cin 3909  wss 3910  {csn 4586  cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051  1c1 11052  cmin 11385  cn 12153  2c2 12208  cz 12499  cuz 12763  ...cfz 13424  ..^cfzo 13567  chash 14230  abscabs 15119   gcd cgcd 16374  ϕcphi 16636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-phi 16638
This theorem is referenced by:  phimullem  16651  eulerth  16655  hashgcdeq  16661  odngen  19359  znunithash  20971
  Copyright terms: Public domain W3C validator