Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfphi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfphi2 16104
 Description: Alternate definition of the Euler ϕ function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
dfphi2 (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem dfphi2
StepHypRef Expression
1 elnn1uz2 12316 . 2 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
2 phi1 16103 . . . . 5 (ϕ‘1) = 1
3 0z 11983 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
4 hashsng 13729 . . . . . 6 (0 ∈ ℤ → (♯‘{0}) = 1)
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 (♯‘{0}) = 1
6 rabid2 3334 . . . . . . 7 ({0} = {𝑥 ∈ {0} ∣ (𝑥 gcd 1) = 1} ↔ ∀𝑥 ∈ {0} (𝑥 gcd 1) = 1)
7 elsni 4542 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {0} → 𝑥 = 0)
87oveq1d 7151 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {0} → (𝑥 gcd 1) = (0 gcd 1))
9 gcd1 15869 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℤ → (0 gcd 1) = 1)
103, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0 gcd 1) = 1
118, 10eqtrdi 2849 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {0} → (𝑥 gcd 1) = 1)
126, 11mprgbir 3121 . . . . . 6 {0} = {𝑥 ∈ {0} ∣ (𝑥 gcd 1) = 1}
1312fveq2i 6649 . . . . 5 (♯‘{0}) = (♯‘{𝑥 ∈ {0} ∣ (𝑥 gcd 1) = 1})
142, 5, 133eqtr2i 2827 . . . 4 (ϕ‘1) = (♯‘{𝑥 ∈ {0} ∣ (𝑥 gcd 1) = 1})
15 fveq2 6646 . . . 4 (𝑁 = 1 → (ϕ‘𝑁) = (ϕ‘1))
16 oveq2 7144 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (0..^𝑁) = (0..^1))
17 fzo01 13117 . . . . . . 7 (0..^1) = {0}
1816, 17eqtrdi 2849 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (0..^𝑁) = {0})
19 oveq2 7144 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (𝑥 gcd 𝑁) = (𝑥 gcd 1))
2019eqeq1d 2800 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑥 gcd 1) = 1))
2118, 20rabeqbidv 3433 . . . . 5 (𝑁 = 1 → {𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} = {𝑥 ∈ {0} ∣ (𝑥 gcd 1) = 1})
2221fveq2d 6650 . . . 4 (𝑁 = 1 → (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) = (♯‘{𝑥 ∈ {0} ∣ (𝑥 gcd 1) = 1}))
2314, 15, 223eqtr4a 2859 . . 3 (𝑁 = 1 → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
24 eluz2nn 12275 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
25 phival 16097 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
2624, 25syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
27 fzossfz 13054 . . . . . . . . . . 11 (1..^𝑁) ⊆ (1...𝑁)
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1..^𝑁) ⊆ (1...𝑁))
29 sseqin2 4142 . . . . . . . . . 10 ((1..^𝑁) ⊆ (1...𝑁) ↔ ((1...𝑁) ∩ (1..^𝑁)) = (1..^𝑁))
3028, 29sylib 221 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((1...𝑁) ∩ (1..^𝑁)) = (1..^𝑁))
31 fzo0ss1 13065 . . . . . . . . . 10 (1..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁)
32 sseqin2 4142 . . . . . . . . . 10 ((1..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁) ↔ ((0..^𝑁) ∩ (1..^𝑁)) = (1..^𝑁))
3331, 32mpbi 233 . . . . . . . . 9 ((0..^𝑁) ∩ (1..^𝑁)) = (1..^𝑁)
3430, 33eqtr4di 2851 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((1...𝑁) ∩ (1..^𝑁)) = ((0..^𝑁) ∩ (1..^𝑁)))
3534rabeqdv 3432 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {𝑥 ∈ ((1...𝑁) ∩ (1..^𝑁)) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} = {𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∩ (1..^𝑁)) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
36 inrab2 4228 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∩ (1..^𝑁)) = {𝑥 ∈ ((1...𝑁) ∩ (1..^𝑁)) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}
37 inrab2 4228 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∩ (1..^𝑁)) = {𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∩ (1..^𝑁)) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}
3835, 36, 373eqtr4g 2858 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∩ (1..^𝑁)) = ({𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∩ (1..^𝑁)))
39 phibndlem 16100 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)))
40 eluzelz 12244 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
41 fzoval 13037 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1)))
4240, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1)))
4339, 42sseqtrrd 3956 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1..^𝑁))
44 df-ss 3898 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1..^𝑁) ↔ ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∩ (1..^𝑁)) = {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
4543, 44sylib 221 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∩ (1..^𝑁)) = {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
46 gcd0id 15860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
4740, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
48 eluzelre 12245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
49 eluzge2nn0 12278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5049nn0ge0d 11949 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝑁)
5148, 50absidd 14777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
5247, 51eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (0 gcd 𝑁) = 𝑁)
53 eluz2b3 12313 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
5453simprbi 500 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ≠ 1)
5552, 54eqnetrd 3054 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (0 gcd 𝑁) ≠ 1)
5655adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (0 gcd 𝑁) ≠ 1)
577oveq1d 7151 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ {0} → (𝑥 gcd 𝑁) = (0 gcd 𝑁))
5857, 17eleq2s 2908 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0..^1) → (𝑥 gcd 𝑁) = (0 gcd 𝑁))
5958neeq1d 3046 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0..^1) → ((𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1 ↔ (0 gcd 𝑁) ≠ 1))
6056, 59syl5ibrcom 250 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (0..^1) → (𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1))
6160necon2bd 3003 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → ¬ 𝑥 ∈ (0..^1)))
62 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑥 ∈ (0..^𝑁))
63 1z 12003 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℤ
64 fzospliti 13067 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (0..^1) ∨ 𝑥 ∈ (1..^𝑁)))
6562, 63, 64sylancl 589 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (0..^1) ∨ 𝑥 ∈ (1..^𝑁)))
6665ord 861 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^1) → 𝑥 ∈ (1..^𝑁)))
6761, 66syld 47 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1..^𝑁)))
6867ralrimiva 3149 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1..^𝑁)))
69 rabss 3999 . . . . . . . 8 ({𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1..^𝑁) ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1..^𝑁)))
7068, 69sylibr 237 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1..^𝑁))
71 df-ss 3898 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1..^𝑁) ↔ ({𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∩ (1..^𝑁)) = {𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
7270, 71sylib 221 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ({𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∩ (1..^𝑁)) = {𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
7338, 45, 723eqtr3d 2841 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} = {𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
7473fveq2d 6650 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
7526, 74eqtrd 2833 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
7623, 75jaoi 854 . 2 ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
771, 76sylbi 220 1 (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  {crab 3110   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  {csn 4525  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  0cc0 10529  1c1 10530   − cmin 10862  ℕcn 11628  2c2 11683  ℤcz 11972  ℤ≥cuz 12234  ...cfz 12888  ..^cfzo 13031  ♯chash 13689  abscabs 14588   gcd cgcd 15836  ϕcphi 16094 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-sup 8893  df-inf 8894  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-n0 11889  df-xnn0 11959  df-z 11973  df-uz 12235  df-rp 12381  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-seq 13368  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-dvds 15603  df-gcd 15837  df-phi 16096 This theorem is referenced by:  phimullem  16109  eulerth  16113  hashgcdeq  16119  odngen  18698  znunithash  20261
 Copyright terms: Public domain W3C validator