MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzwo3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzwo3 12331
Description: Well-ordering principle: any nonempty subset of an upper set of integers has a unique least element. This generalization of uzwo2 12300 allows the lower bound 𝐵 to be any real number. See also nnwo 12301 and nnwos 12303. (Contributed by NM, 12-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
uzwo3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ∃!𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Proof of Theorem uzwo3
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl 10937 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
21adantr 481 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → -𝐵 ∈ ℝ)
3 arch 11882 . . 3 (-𝐵 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ -𝐵 < 𝑛)
42, 3syl 17 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ∃𝑛 ∈ ℕ -𝐵 < 𝑛)
5 simplrl 773 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → 𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧})
6 simplrl 773 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → 𝑛 ∈ ℕ)
7 nnnegz 11972 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → -𝑛 ∈ ℤ)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → -𝑛 ∈ ℤ)
98zred 12075 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → -𝑛 ∈ ℝ)
10 simprl 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → 𝑧 ∈ ℤ)
1110zred 12075 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
12 simpll 763 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → 𝐵 ∈ ℝ)
136nnred 11641 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → 𝑛 ∈ ℝ)
14 simplrr 774 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → -𝐵 < 𝑛)
1512, 13, 14ltnegcon1d 11208 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → -𝑛 < 𝐵)
16 simprr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → 𝐵𝑧)
179, 12, 11, 15, 16ltletrd 10788 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → -𝑛 < 𝑧)
189, 11, 17ltled 10776 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → -𝑛𝑧)
19 eluz 12245 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (ℤ‘-𝑛) ↔ -𝑛𝑧))
208, 10, 19syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → (𝑧 ∈ (ℤ‘-𝑛) ↔ -𝑛𝑧))
2118, 20mpbird 258 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → 𝑧 ∈ (ℤ‘-𝑛))
2221expr 457 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐵𝑧𝑧 ∈ (ℤ‘-𝑛)))
2322ralrimiva 3179 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝐵𝑧𝑧 ∈ (ℤ‘-𝑛)))
24 rabss 4045 . . . . . . 7 ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ⊆ (ℤ‘-𝑛) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝐵𝑧𝑧 ∈ (ℤ‘-𝑛)))
2523, 24sylibr 235 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ⊆ (ℤ‘-𝑛))
2625adantlr 711 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ⊆ (ℤ‘-𝑛))
275, 26sstrd 3974 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → 𝐴 ⊆ (ℤ‘-𝑛))
28 simplrr 774 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → 𝐴 ≠ ∅)
29 infssuzcl 12320 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ‘-𝑛) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
3027, 28, 29syl2anc 584 . . 3 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
31 infssuzle 12319 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ (ℤ‘-𝑛) ∧ 𝑦𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦)
3227, 31sylan 580 . . . 4 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦)
3332ralrimiva 3179 . . 3 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → ∀𝑦𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦)
34 breq2 5061 . . . . . . 7 (𝑦 = inf(𝐴, ℝ, < ) → (𝑥𝑦𝑥 ≤ inf(𝐴, ℝ, < )))
35 simprr 769 . . . . . . 7 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)) → ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
3630adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
3734, 35, 36rspcdva 3622 . . . . . 6 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)) → 𝑥 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ))
3827adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)) → 𝐴 ⊆ (ℤ‘-𝑛))
39 simprl 767 . . . . . . 7 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)) → 𝑥𝐴)
40 infssuzle 12319 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ (ℤ‘-𝑛) ∧ 𝑥𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
4138, 39, 40syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
42 uzssz 12252 . . . . . . . . . . 11 (ℤ‘-𝑛) ⊆ ℤ
43 zssre 11976 . . . . . . . . . . 11 ℤ ⊆ ℝ
4442, 43sstri 3973 . . . . . . . . . 10 (ℤ‘-𝑛) ⊆ ℝ
4527, 44sstrdi 3976 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4645adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4746, 39sseldd 3965 . . . . . . 7 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4845, 30sseldd 3965 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4948adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5047, 49letri3d 10770 . . . . . 6 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)) → (𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ (𝑥 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ∧ inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑥)))
5137, 41, 50mpbir2and 709 . . . . 5 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)) → 𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ))
5251expr 457 . . . 4 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < )))
5352ralrimiva 3179 . . 3 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → ∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < )))
54 breq1 5060 . . . . 5 (𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ) → (𝑥𝑦 ↔ inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦))
5554ralbidv 3194 . . . 4 (𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ) → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦))
5655eqreu 3717 . . 3 ((inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ))) → ∃!𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
5730, 33, 53, 56syl3anc 1363 . 2 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → ∃!𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
584, 57rexlimddv 3288 1 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ∃!𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  ∃!wreu 3137  {crab 3139  wss 3933  c0 4288   class class class wbr 5057  cfv 6348  infcinf 8893  cr 10524   < clt 10663  cle 10664  -cneg 10859  cn 11626  cz 11969  cuz 12231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232
This theorem is referenced by:  zmin  12332
  Copyright terms: Public domain W3C validator