MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzwo3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzwo3 12335
Description: Well-ordering principle: any nonempty subset of an upper set of integers has a unique least element. This generalization of uzwo2 12304 allows the lower bound 𝐵 to be any real number. See also nnwo 12305 and nnwos 12307. (Contributed by NM, 12-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
uzwo3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ∃!𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Proof of Theorem uzwo3
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl 10942 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
21adantr 484 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → -𝐵 ∈ ℝ)
3 arch 11886 . . 3 (-𝐵 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ -𝐵 < 𝑛)
42, 3syl 17 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ∃𝑛 ∈ ℕ -𝐵 < 𝑛)
5 simplrl 776 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → 𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧})
6 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → 𝑛 ∈ ℕ)
7 nnnegz 11976 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → -𝑛 ∈ ℤ)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → -𝑛 ∈ ℤ)
98zred 12079 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → -𝑛 ∈ ℝ)
10 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → 𝑧 ∈ ℤ)
1110zred 12079 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
12 simpll 766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → 𝐵 ∈ ℝ)
136nnred 11644 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → 𝑛 ∈ ℝ)
14 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → -𝐵 < 𝑛)
1512, 13, 14ltnegcon1d 11213 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → -𝑛 < 𝐵)
16 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → 𝐵𝑧)
179, 12, 11, 15, 16ltletrd 10793 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → -𝑛 < 𝑧)
189, 11, 17ltled 10781 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → -𝑛𝑧)
19 eluz 12249 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (ℤ‘-𝑛) ↔ -𝑛𝑧))
208, 10, 19syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → (𝑧 ∈ (ℤ‘-𝑛) ↔ -𝑛𝑧))
2118, 20mpbird 260 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → 𝑧 ∈ (ℤ‘-𝑛))
2221expr 460 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐵𝑧𝑧 ∈ (ℤ‘-𝑛)))
2322ralrimiva 3152 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝐵𝑧𝑧 ∈ (ℤ‘-𝑛)))
24 rabss 4002 . . . . . . 7 ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ⊆ (ℤ‘-𝑛) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝐵𝑧𝑧 ∈ (ℤ‘-𝑛)))
2523, 24sylibr 237 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ⊆ (ℤ‘-𝑛))
2625adantlr 714 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ⊆ (ℤ‘-𝑛))
275, 26sstrd 3928 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → 𝐴 ⊆ (ℤ‘-𝑛))
28 simplrr 777 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → 𝐴 ≠ ∅)
29 infssuzcl 12324 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ‘-𝑛) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
3027, 28, 29syl2anc 587 . . 3 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
31 infssuzle 12323 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ (ℤ‘-𝑛) ∧ 𝑦𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦)
3227, 31sylan 583 . . . 4 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦)
3332ralrimiva 3152 . . 3 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → ∀𝑦𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦)
34 breq2 5037 . . . . . . 7 (𝑦 = inf(𝐴, ℝ, < ) → (𝑥𝑦𝑥 ≤ inf(𝐴, ℝ, < )))
35 simprr 772 . . . . . . 7 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)) → ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
3630adantr 484 . . . . . . 7 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
3734, 35, 36rspcdva 3576 . . . . . 6 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)) → 𝑥 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ))
3827adantr 484 . . . . . . 7 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)) → 𝐴 ⊆ (ℤ‘-𝑛))
39 simprl 770 . . . . . . 7 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)) → 𝑥𝐴)
40 infssuzle 12323 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ (ℤ‘-𝑛) ∧ 𝑥𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
4138, 39, 40syl2anc 587 . . . . . 6 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
42 uzssz 12256 . . . . . . . . . . 11 (ℤ‘-𝑛) ⊆ ℤ
43 zssre 11980 . . . . . . . . . . 11 ℤ ⊆ ℝ
4442, 43sstri 3927 . . . . . . . . . 10 (ℤ‘-𝑛) ⊆ ℝ
4527, 44sstrdi 3930 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4645adantr 484 . . . . . . . 8 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4746, 39sseldd 3919 . . . . . . 7 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4845, 30sseldd 3919 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4948adantr 484 . . . . . . 7 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5047, 49letri3d 10775 . . . . . 6 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)) → (𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ (𝑥 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ∧ inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑥)))
5137, 41, 50mpbir2and 712 . . . . 5 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)) → 𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ))
5251expr 460 . . . 4 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < )))
5352ralrimiva 3152 . . 3 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → ∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < )))
54 breq1 5036 . . . . 5 (𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ) → (𝑥𝑦 ↔ inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦))
5554ralbidv 3165 . . . 4 (𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ) → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦))
5655eqreu 3671 . . 3 ((inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ))) → ∃!𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
5730, 33, 53, 56syl3anc 1368 . 2 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → ∃!𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
584, 57rexlimddv 3253 1 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ∃!𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wral 3109  wrex 3110  ∃!wreu 3111  {crab 3113  wss 3884  c0 4246   class class class wbr 5033  cfv 6328  infcinf 8893  cr 10529   < clt 10668  cle 10669  -cneg 10864  cn 11629  cz 11973  cuz 12235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236
This theorem is referenced by:  zmin  12336
  Copyright terms: Public domain W3C validator