MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzwo3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzwo3 12982
Description: Well-ordering principle: any nonempty subset of an upper set of integers has a unique least element. This generalization of uzwo2 12951 allows the lower bound 𝐵 to be any real number. See also nnwo 12952 and nnwos 12954. (Contributed by NM, 12-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
uzwo3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ∃!𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Proof of Theorem uzwo3
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl 11569 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
21adantr 480 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → -𝐵 ∈ ℝ)
3 arch 12520 . . 3 (-𝐵 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ -𝐵 < 𝑛)
42, 3syl 17 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ∃𝑛 ∈ ℕ -𝐵 < 𝑛)
5 simplrl 777 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → 𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧})
6 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → 𝑛 ∈ ℕ)
7 nnnegz 12613 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → -𝑛 ∈ ℤ)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → -𝑛 ∈ ℤ)
98zred 12719 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → -𝑛 ∈ ℝ)
10 simprl 771 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → 𝑧 ∈ ℤ)
1110zred 12719 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
12 simpll 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → 𝐵 ∈ ℝ)
136nnred 12278 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → 𝑛 ∈ ℝ)
14 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → -𝐵 < 𝑛)
1512, 13, 14ltnegcon1d 11840 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → -𝑛 < 𝐵)
16 simprr 773 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → 𝐵𝑧)
179, 12, 11, 15, 16ltletrd 11418 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → -𝑛 < 𝑧)
189, 11, 17ltled 11406 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → -𝑛𝑧)
19 eluz 12889 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (ℤ‘-𝑛) ↔ -𝑛𝑧))
208, 10, 19syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → (𝑧 ∈ (ℤ‘-𝑛) ↔ -𝑛𝑧))
2118, 20mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑧)) → 𝑧 ∈ (ℤ‘-𝑛))
2221expr 456 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐵𝑧𝑧 ∈ (ℤ‘-𝑛)))
2322ralrimiva 3143 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝐵𝑧𝑧 ∈ (ℤ‘-𝑛)))
24 rabss 4081 . . . . . . 7 ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ⊆ (ℤ‘-𝑛) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝐵𝑧𝑧 ∈ (ℤ‘-𝑛)))
2523, 24sylibr 234 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ⊆ (ℤ‘-𝑛))
2625adantlr 715 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ⊆ (ℤ‘-𝑛))
275, 26sstrd 4005 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → 𝐴 ⊆ (ℤ‘-𝑛))
28 simplrr 778 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → 𝐴 ≠ ∅)
29 infssuzcl 12971 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ‘-𝑛) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
3027, 28, 29syl2anc 584 . . 3 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
31 infssuzle 12970 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ (ℤ‘-𝑛) ∧ 𝑦𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦)
3227, 31sylan 580 . . . 4 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦)
3332ralrimiva 3143 . . 3 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → ∀𝑦𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦)
34 breq2 5151 . . . . . . 7 (𝑦 = inf(𝐴, ℝ, < ) → (𝑥𝑦𝑥 ≤ inf(𝐴, ℝ, < )))
35 simprr 773 . . . . . . 7 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)) → ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
3630adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
3734, 35, 36rspcdva 3622 . . . . . 6 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)) → 𝑥 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ))
3827adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)) → 𝐴 ⊆ (ℤ‘-𝑛))
39 simprl 771 . . . . . . 7 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)) → 𝑥𝐴)
40 infssuzle 12970 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ (ℤ‘-𝑛) ∧ 𝑥𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
4138, 39, 40syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
42 uzssz 12896 . . . . . . . . . . 11 (ℤ‘-𝑛) ⊆ ℤ
43 zssre 12617 . . . . . . . . . . 11 ℤ ⊆ ℝ
4442, 43sstri 4004 . . . . . . . . . 10 (ℤ‘-𝑛) ⊆ ℝ
4527, 44sstrdi 4007 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4645adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4746, 39sseldd 3995 . . . . . . 7 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4845, 30sseldd 3995 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4948adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5047, 49letri3d 11400 . . . . . 6 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)) → (𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ (𝑥 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ∧ inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑥)))
5137, 41, 50mpbir2and 713 . . . . 5 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)) → 𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ))
5251expr 456 . . . 4 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < )))
5352ralrimiva 3143 . . 3 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → ∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < )))
54 breq1 5150 . . . . 5 (𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ) → (𝑥𝑦 ↔ inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦))
5554ralbidv 3175 . . . 4 (𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ) → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦))
5655eqreu 3737 . . 3 ((inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ))) → ∃!𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
5730, 33, 53, 56syl3anc 1370 . 2 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → ∃!𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
584, 57rexlimddv 3158 1 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ∃!𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  ∃!wreu 3375  {crab 3432  wss 3962  c0 4338   class class class wbr 5147  cfv 6562  infcinf 9478  cr 11151   < clt 11292  cle 11293  -cneg 11490  cn 12263  cz 12610  cuz 12875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876
This theorem is referenced by:  zmin  12983
  Copyright terms: Public domain W3C validator