Theorem uzwo3 12870

Description: Well-ordering principle: any nonempty subset of an upper set of integers has a unique least element. This generalization of uzwo2 12839 allows the lower bound 𝐵 to be any real number. See also nnwo 12840 and nnwos 12842. (Contributed by NM, 12-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uzwo3	⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Proof of Theorem uzwo3

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 11458	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → -𝐵 ∈ ℝ)
3		arch 12412	. . 3 ⊢ (-𝐵 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ -𝐵 < 𝑛)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ∃𝑛 ∈ ℕ -𝐵 < 𝑛)
5		simplrl 777	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → 𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧})
6		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → 𝑛 ∈ ℕ)
7		nnnegz 12505	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → -𝑛 ∈ ℤ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → -𝑛 ∈ ℤ)
9	8	zred 12610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → -𝑛 ∈ ℝ)
10		simprl 771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℤ)
11	10	zred 12610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
12		simpll 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → 𝐵 ∈ ℝ)
13	6	nnred 12174	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → 𝑛 ∈ ℝ)
14		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → -𝐵 < 𝑛)
15	12, 13, 14	ltnegcon1d 11731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → -𝑛 < 𝐵)
16		simprr 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → 𝐵 ≤ 𝑧)
17	9, 12, 11, 15, 16	ltletrd 11307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → -𝑛 < 𝑧)
18	9, 11, 17	ltled 11295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → -𝑛 ≤ 𝑧)
19		eluz 12779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (ℤ≥‘-𝑛) ↔ -𝑛 ≤ 𝑧))
20	8, 10, 19	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → (𝑧 ∈ (ℤ≥‘-𝑛) ↔ -𝑛 ≤ 𝑧))
21	18, 20	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘-𝑛))
22	21	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ 𝑧 → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘-𝑛)))
23	22	ralrimiva 3130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝐵 ≤ 𝑧 → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘-𝑛)))
24		rabss 4024	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ⊆ (ℤ≥‘-𝑛) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝐵 ≤ 𝑧 → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘-𝑛)))
25	23, 24	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ⊆ (ℤ≥‘-𝑛))
26	25	adantlr 716	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ⊆ (ℤ≥‘-𝑛))
27	5, 26	sstrd 3946	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘-𝑛))
28		simplrr 778	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → 𝐴 ≠ ∅)
29		infssuzcl 12859	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘-𝑛) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
30	27, 28, 29	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
31		infssuzle 12858	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘-𝑛) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦)
32	27, 31	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦)
33	32	ralrimiva 3130	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦)
34		breq2 5104	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = inf(𝐴, ℝ, < ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥 ≤ inf(𝐴, ℝ, < )))
35		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
36	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
37	34, 35, 36	rspcdva 3579	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝑥 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ))
38	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘-𝑛))
39		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
40		infssuzle 12858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘-𝑛) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
41	38, 39, 40	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
42		uzssz 12786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘-𝑛) ⊆ ℤ
43		zssre 12509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
44	42, 43	sstri 3945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘-𝑛) ⊆ ℝ
45	27, 44	sstrdi 3948	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
46	45	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
47	46, 39	sseldd 3936	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ)
48	45, 30	sseldd 3936	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
49	48	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
50	47, 49	letri3d 11289	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → (𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ (𝑥 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ∧ inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑥)))
51	37, 41, 50	mpbir2and 714	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ))
52	51	expr 456	. . . 4 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < )))
53	52	ralrimiva 3130	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < )))
54		breq1 5103	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦))
55	54	ralbidv 3161	. . . 4 ⊢ (𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦))
56	55	eqreu 3689	. . 3 ⊢ ((inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ))) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
57	30, 33, 53, 56	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
58	4, 57	rexlimddv 3145	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  ∃!wreu 3350  {crab 3401   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287   class class class wbr 5100  ‘cfv 6502  infcinf 9358  ℝcr 11039   < clt 11180   ≤ cle 11181  -cneg 11379  ℕcn 12159  ℤcz 12502  ℤ_≥cuz 12765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-sup 9359  df-inf 9360  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766

This theorem is referenced by:  zmin  12871