Theorem uzwo3 12504

Description: Well-ordering principle: any nonempty subset of an upper set of integers has a unique least element. This generalization of uzwo2 12473 allows the lower bound 𝐵 to be any real number. See also nnwo 12474 and nnwos 12476. (Contributed by NM, 12-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uzwo3	⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Proof of Theorem uzwo3

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 11106	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
2	1	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → -𝐵 ∈ ℝ)
3		arch 12052	. . 3 ⊢ (-𝐵 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ -𝐵 < 𝑛)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ∃𝑛 ∈ ℕ -𝐵 < 𝑛)
5		simplrl 777	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → 𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧})
6		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → 𝑛 ∈ ℕ)
7		nnnegz 12144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → -𝑛 ∈ ℤ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → -𝑛 ∈ ℤ)
9	8	zred 12247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → -𝑛 ∈ ℝ)
10		simprl 771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℤ)
11	10	zred 12247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
12		simpll 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → 𝐵 ∈ ℝ)
13	6	nnred 11810	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → 𝑛 ∈ ℝ)
14		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → -𝐵 < 𝑛)
15	12, 13, 14	ltnegcon1d 11377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → -𝑛 < 𝐵)
16		simprr 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → 𝐵 ≤ 𝑧)
17	9, 12, 11, 15, 16	ltletrd 10957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → -𝑛 < 𝑧)
18	9, 11, 17	ltled 10945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → -𝑛 ≤ 𝑧)
19		eluz 12417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (ℤ≥‘-𝑛) ↔ -𝑛 ≤ 𝑧))
20	8, 10, 19	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → (𝑧 ∈ (ℤ≥‘-𝑛) ↔ -𝑛 ≤ 𝑧))
21	18, 20	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘-𝑛))
22	21	expr 460	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ 𝑧 → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘-𝑛)))
23	22	ralrimiva 3095	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝐵 ≤ 𝑧 → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘-𝑛)))
24		rabss 3971	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ⊆ (ℤ≥‘-𝑛) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝐵 ≤ 𝑧 → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘-𝑛)))
25	23, 24	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ⊆ (ℤ≥‘-𝑛))
26	25	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ⊆ (ℤ≥‘-𝑛))
27	5, 26	sstrd 3897	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘-𝑛))
28		simplrr 778	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → 𝐴 ≠ ∅)
29		infssuzcl 12493	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘-𝑛) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
30	27, 28, 29	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
31		infssuzle 12492	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘-𝑛) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦)
32	27, 31	sylan 583	. . . 4 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦)
33	32	ralrimiva 3095	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦)
34		breq2 5043	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = inf(𝐴, ℝ, < ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥 ≤ inf(𝐴, ℝ, < )))
35		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
36	30	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
37	34, 35, 36	rspcdva 3529	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝑥 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ))
38	27	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘-𝑛))
39		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
40		infssuzle 12492	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘-𝑛) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
41	38, 39, 40	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
42		uzssz 12424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘-𝑛) ⊆ ℤ
43		zssre 12148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
44	42, 43	sstri 3896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘-𝑛) ⊆ ℝ
45	27, 44	sstrdi 3899	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
46	45	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
47	46, 39	sseldd 3888	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ)
48	45, 30	sseldd 3888	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
49	48	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
50	47, 49	letri3d 10939	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → (𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ (𝑥 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ∧ inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑥)))
51	37, 41, 50	mpbir2and 713	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ))
52	51	expr 460	. . . 4 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < )))
53	52	ralrimiva 3095	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < )))
54		breq1 5042	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦))
55	54	ralbidv 3108	. . . 4 ⊢ (𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦))
56	55	eqreu 3631	. . 3 ⊢ ((inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ))) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
57	30, 33, 53, 56	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
58	4, 57	rexlimddv 3200	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3052  ∃!wreu 3053  {crab 3055   ⊆ wss 3853  ∅c0 4223   class class class wbr 5039  ‘cfv 6358  infcinf 9035  ℝcr 10693   < clt 10832   ≤ cle 10833  -cneg 11028  ℕcn 11795  ℤcz 12141  ℤ_≥cuz 12403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-sup 9036  df-inf 9037  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404

This theorem is referenced by:  zmin  12505