Theorem uzwo3 12926

Description: Well-ordering principle: any nonempty subset of an upper set of integers has a unique least element. This generalization of uzwo2 12895 allows the lower bound 𝐵 to be any real number. See also nnwo 12896 and nnwos 12898. (Contributed by NM, 12-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uzwo3	⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Proof of Theorem uzwo3

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 11522	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → -𝐵 ∈ ℝ)
3		arch 12468	. . 3 ⊢ (-𝐵 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ -𝐵 < 𝑛)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ∃𝑛 ∈ ℕ -𝐵 < 𝑛)
5		simplrl 774	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → 𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧})
6		simplrl 774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → 𝑛 ∈ ℕ)
7		nnnegz 12560	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → -𝑛 ∈ ℤ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → -𝑛 ∈ ℤ)
9	8	zred 12665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → -𝑛 ∈ ℝ)
10		simprl 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℤ)
11	10	zred 12665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
12		simpll 764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → 𝐵 ∈ ℝ)
13	6	nnred 12226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → 𝑛 ∈ ℝ)
14		simplrr 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → -𝐵 < 𝑛)
15	12, 13, 14	ltnegcon1d 11793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → -𝑛 < 𝐵)
16		simprr 770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → 𝐵 ≤ 𝑧)
17	9, 12, 11, 15, 16	ltletrd 11373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → -𝑛 < 𝑧)
18	9, 11, 17	ltled 11361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → -𝑛 ≤ 𝑧)
19		eluz 12835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (ℤ≥‘-𝑛) ↔ -𝑛 ≤ 𝑧))
20	8, 10, 19	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → (𝑧 ∈ (ℤ≥‘-𝑛) ↔ -𝑛 ≤ 𝑧))
21	18, 20	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘-𝑛))
22	21	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ 𝑧 → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘-𝑛)))
23	22	ralrimiva 3138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝐵 ≤ 𝑧 → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘-𝑛)))
24		rabss 4062	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ⊆ (ℤ≥‘-𝑛) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝐵 ≤ 𝑧 → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘-𝑛)))
25	23, 24	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ⊆ (ℤ≥‘-𝑛))
26	25	adantlr 712	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ⊆ (ℤ≥‘-𝑛))
27	5, 26	sstrd 3985	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘-𝑛))
28		simplrr 775	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → 𝐴 ≠ ∅)
29		infssuzcl 12915	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘-𝑛) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
30	27, 28, 29	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
31		infssuzle 12914	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘-𝑛) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦)
32	27, 31	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦)
33	32	ralrimiva 3138	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦)
34		breq2 5143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = inf(𝐴, ℝ, < ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥 ≤ inf(𝐴, ℝ, < )))
35		simprr 770	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
36	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
37	34, 35, 36	rspcdva 3605	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝑥 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ))
38	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘-𝑛))
39		simprl 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
40		infssuzle 12914	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘-𝑛) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
41	38, 39, 40	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
42		uzssz 12842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘-𝑛) ⊆ ℤ
43		zssre 12564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
44	42, 43	sstri 3984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘-𝑛) ⊆ ℝ
45	27, 44	sstrdi 3987	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
46	45	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
47	46, 39	sseldd 3976	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ)
48	45, 30	sseldd 3976	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
49	48	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
50	47, 49	letri3d 11355	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → (𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ (𝑥 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ∧ inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑥)))
51	37, 41, 50	mpbir2and 710	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ))
52	51	expr 456	. . . 4 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < )))
53	52	ralrimiva 3138	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < )))
54		breq1 5142	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦))
55	54	ralbidv 3169	. . . 4 ⊢ (𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦))
56	55	eqreu 3718	. . 3 ⊢ ((inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ))) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
57	30, 33, 53, 56	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
58	4, 57	rexlimddv 3153	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∀wral 3053  ∃wrex 3062  ∃!wreu 3366  {crab 3424   ⊆ wss 3941  ∅c0 4315   class class class wbr 5139  ‘cfv 6534  infcinf 9433  ℝcr 11106   < clt 11247   ≤ cle 11248  -cneg 11444  ℕcn 12211  ℤcz 12557  ℤ_≥cuz 12821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822

This theorem is referenced by:  zmin  12927