Theorem uzwo3 13025

Description: Well-ordering principle: any nonempty subset of an upper set of integers has a unique least element. This generalization of uzwo2 12994 allows the lower bound 𝐵 to be any real number. See also nnwo 12995 and nnwos 12997. (Contributed by NM, 12-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uzwo3	⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Proof of Theorem uzwo3

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 11578	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → -𝐵 ∈ ℝ)
3		arch 12558	. . 3 ⊢ (-𝐵 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ -𝐵 < 𝑛)
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ∃𝑛 ∈ ℕ -𝐵 < 𝑛)
5		simplrl 789	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → 𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧})
6		simplrl 789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → 𝑛 ∈ ℕ)
7		nnnegz 12651	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → -𝑛 ∈ ℤ)
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → -𝑛 ∈ ℤ)
9	8	zred 12758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → -𝑛 ∈ ℝ)
10		simprl 783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℤ)
11	10	zred 12758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
12		simpll 779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → 𝐵 ∈ ℝ)
13	6	nnred 12305	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → 𝑛 ∈ ℝ)
14		simplrr 790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → -𝐵 < 𝑛)
15	12, 13, 14	ltnegcon1d 11851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → -𝑛 < 𝐵)
16		simprr 785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → 𝐵 ≤ 𝑧)
17	9, 12, 11, 15, 16	ltletrd 11427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → -𝑛 < 𝑧)
18	9, 11, 17	ltled 11415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → -𝑛 ≤ 𝑧)
19		eluz 12934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (ℤ≥‘-𝑛) ↔ -𝑛 ≤ 𝑧))
20	8, 10, 19	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → (𝑧 ∈ (ℤ≥‘-𝑛) ↔ -𝑛 ≤ 𝑧))
21	18, 20	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)) → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘-𝑛))
22	21	expr 462	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ 𝑧 → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘-𝑛)))
23	22	ralrimiva 3154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝐵 ≤ 𝑧 → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘-𝑛)))
24		rabss 4018	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ⊆ (ℤ≥‘-𝑛) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝐵 ≤ 𝑧 → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘-𝑛)))
25	23, 24	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ⊆ (ℤ≥‘-𝑛))
26	25	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ⊆ (ℤ≥‘-𝑛))
27	5, 26	sstrd 3941	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘-𝑛))
28		simplrr 790	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → 𝐴 ≠ ∅)
29		infssuzcl 13014	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘-𝑛) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
30	27, 28, 29	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
31		infssuzle 13013	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘-𝑛) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦)
32	27, 31	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦)
33	32	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦)
34		breq2 5107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = inf(𝐴, ℝ, < ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥 ≤ inf(𝐴, ℝ, < )))
35		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
36	30	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
37	34, 35, 36	rspcdva 3577	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝑥 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ))
38	27	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘-𝑛))
39		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
40		infssuzle 13013	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘-𝑛) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
41	38, 39, 40	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
42		uzssz 12941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘-𝑛) ⊆ ℤ
43		zssre 12655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
44	42, 43	sstri 3940	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘-𝑛) ⊆ ℝ
45	27, 44	sstrdi 3943	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
46	45	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
47	46, 39	sseldd 3932	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ)
48	45, 30	sseldd 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
49	48	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
50	47, 49	letri3d 11409	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → (𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ (𝑥 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ∧ inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑥)))
51	37, 41, 50	mpbir2and 726	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ))
52	51	expr 462	. . . 4 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < )))
53	52	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < )))
54		breq1 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦))
55	54	ralbidv 3185	. . . 4 ⊢ (𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦))
56	55	eqreu 3687	. . 3 ⊢ ((inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ))) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
57	30, 33, 53, 56	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ -𝐵 < 𝑛)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
58	4, 57	rexlimddv 3169	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐵 ≤ 𝑧} ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ∃!wreu 3363  {crab 3412   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  ‘cfv 6528  infcinf 9411  ℝcr 11156   < clt 11300   ≤ cle 11301  -cneg 11499  ℕcn 12290  ℤcz 12648  ℤ_≥cuz 12920

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921

This theorem is used by:  zmin  13026