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Theorem fourierdlem81 40884
Description: The integral of a piecewise continuous periodic function 𝐹 is unchanged if the domain is shifted by its period 𝑇. In this lemma, 𝑇 is assumed to be strictly positive. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem81.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem81.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem81.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem81.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem81.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
fourierdlem81.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem81.fper ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem81.s 𝑆 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑖) + 𝑇))
fourierdlem81.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
fourierdlem81.cncf ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem81.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
fourierdlem81.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem81.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))))
fourierdlem81.h 𝐻 = (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐺‘(𝑥𝑇)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem81 (𝜑 → ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐴,𝑖   𝐵,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐵   𝑖,𝐹,𝑥   𝑥,𝐺   𝑥,𝐿   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑥,𝑀   𝑄,𝑖,𝑝   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑆,𝑖,𝑥   𝑇,𝑖,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑅(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑆(𝑚,𝑝)   𝑇(𝑚,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝐺(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐻(𝑥,𝑖,𝑚,𝑝)   𝐿(𝑖,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem81
Dummy variables 𝑦 𝑤 𝑧 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem81.q . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
2 fourierdlem81.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 fourierdlem81.p . . . . . . . . . . 11 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
43fourierdlem2 40806 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
52, 4syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
61, 5mpbid 223 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
76simprd 485 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
87simpld 484 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵))
98simpld 484 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
109eqcomd 2819 . . . 4 (𝜑𝐴 = (𝑄‘0))
118simprd 485 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝑀) = 𝐵)
1211eqcomd 2819 . . . 4 (𝜑𝐵 = (𝑄𝑀))
1310, 12oveq12d 6895 . . 3 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
1413itgeq1d 40653 . 2 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))(𝐹𝑥) d𝑥)
15 0zd 11658 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
16 nnuz 11944 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
17 0p1e1 11417 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
1817fveq2i 6414 . . . . 5 (ℤ‘(0 + 1)) = (ℤ‘1)
1916, 18eqtr4i 2838 . . . 4 ℕ = (ℤ‘(0 + 1))
202, 19syl6eleq 2902 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
216simpld 484 . . . 4 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)))
22 reex 10315 . . . . . 6 ℝ ∈ V
2322a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ V)
24 ovex 6909 . . . . . 6 (0...𝑀) ∈ V
2524a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (0...𝑀) ∈ V)
2623, 25elmapd 8109 . . . 4 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ↔ 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ))
2721, 26mpbid 223 . . 3 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
287simprd 485 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
2928r19.21bi 3127 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
30 fourierdlem81.f . . . . 5 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
3130adantr 468 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
32 fourierdlem81.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
339, 32eqeltrd 2892 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
34 fourierdlem81.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3511, 34eqeltrd 2892 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ ℝ)
3633, 35iccssred 40212 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)) ⊆ ℝ)
3736sselda 3805 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → 𝑥 ∈ ℝ)
3831, 37ffvelrnd 6585 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
3927adantr 468 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
40 elfzofz 12712 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
4140adantl 469 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
4239, 41ffvelrnd 6585 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
43 fzofzp1 12792 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
4443adantl 469 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
4539, 44ffvelrnd 6585 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
4630feqmptd 6473 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
4746reseq1d 5603 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
4847adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
49 ioossre 12456 . . . . . . . 8 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ
5049a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
5150resmptd 5664 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)))
5248, 51eqtr2d 2848 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
53 fourierdlem81.cncf . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
54 fourierdlem81.l . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
55 fourierdlem81.r . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
5642, 45, 53, 54, 55iblcncfioo 40674 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ 𝐿1)
5752, 56eqeltrd 2892 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
5830ad2antrr 708 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
5942, 45iccssred 40212 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
6059sselda 3805 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
6158, 60ffvelrnd 6585 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
6242, 45, 57, 61ibliooicc 40667 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
6315, 20, 27, 29, 38, 62itgspltprt 40675 . 2 (𝜑 → ∫((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))(𝐹𝑥) d𝑥 = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥)
64 fourierdlem81.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑖) + 𝑇))
6564a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑖) + 𝑇)))
66 fveq2 6411 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → (𝑄𝑖) = (𝑄‘0))
6766oveq1d 6892 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → ((𝑄𝑖) + 𝑇) = ((𝑄‘0) + 𝑇))
6867adantl 469 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 = 0) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) = ((𝑄‘0) + 𝑇))
692nnnn0d 11620 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
70 nn0uz 11943 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
7169, 70syl6eleq 2902 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
72 eluzfz1 12574 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
7371, 72syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
74 fourierdlem81.t . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
7574rpred 12089 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
7633, 75readdcld 10357 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑄‘0) + 𝑇) ∈ ℝ)
7765, 68, 73, 76fvmptd 6512 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆‘0) = ((𝑄‘0) + 𝑇))
789oveq1d 6892 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑄‘0) + 𝑇) = (𝐴 + 𝑇))
7977, 78eqtr2d 2848 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) = (𝑆‘0))
80 fveq2 6411 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑀 → (𝑄𝑖) = (𝑄𝑀))
8180oveq1d 6892 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑀 → ((𝑄𝑖) + 𝑇) = ((𝑄𝑀) + 𝑇))
8281adantl 469 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 = 𝑀) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) = ((𝑄𝑀) + 𝑇))
83 eluzfz2 12575 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
8471, 83syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑀))
8535, 75readdcld 10357 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑄𝑀) + 𝑇) ∈ ℝ)
8665, 82, 84, 85fvmptd 6512 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝑀) = ((𝑄𝑀) + 𝑇))
8711oveq1d 6892 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑄𝑀) + 𝑇) = (𝐵 + 𝑇))
8886, 87eqtr2d 2848 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 + 𝑇) = (𝑆𝑀))
8979, 88oveq12d 6895 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) = ((𝑆‘0)[,](𝑆𝑀)))
9089itgeq1d 40653 . . 3 (𝜑 → ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫((𝑆‘0)[,](𝑆𝑀))(𝐹𝑥) d𝑥)
9127ffvelrnda 6584 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
9275adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → 𝑇 ∈ ℝ)
9391, 92readdcld 10357 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) ∈ ℝ)
9493, 64fmptd 6609 . . . 4 (𝜑𝑆:(0...𝑀)⟶ℝ)
9575adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑇 ∈ ℝ)
9642, 45, 95, 29ltadd1dd 10926 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))
9740, 93sylan2 582 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) ∈ ℝ)
9864fvmpt2 6515 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ((𝑄𝑖) + 𝑇) ∈ ℝ) → (𝑆𝑖) = ((𝑄𝑖) + 𝑇))
9941, 97, 98syl2anc 575 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆𝑖) = ((𝑄𝑖) + 𝑇))
100 fveq2 6411 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (𝑄𝑖) = (𝑄𝑗))
101100oveq1d 6892 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄𝑖) + 𝑇) = ((𝑄𝑗) + 𝑇))
102101cbvmptv 4951 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑖) + 𝑇)) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑗) + 𝑇))
10364, 102eqtri 2835 . . . . . . 7 𝑆 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑗) + 𝑇))
104103a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑆 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑗) + 𝑇)))
105 fveq2 6411 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑖 + 1) → (𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
106105oveq1d 6892 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑖 + 1) → ((𝑄𝑗) + 𝑇) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))
107106adantl 469 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) → ((𝑄𝑗) + 𝑇) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))
10845, 95readdcld 10357 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇) ∈ ℝ)
109104, 107, 44, 108fvmptd 6512 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))
11096, 99, 1093brtr4d 4883 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1)))
11130adantr 468 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆‘0)[,](𝑆𝑀))) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
11277, 76eqeltrd 2892 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆‘0) ∈ ℝ)
113112adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆‘0)[,](𝑆𝑀))) → (𝑆‘0) ∈ ℝ)
11486, 85eqeltrd 2892 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆𝑀) ∈ ℝ)
115114adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆‘0)[,](𝑆𝑀))) → (𝑆𝑀) ∈ ℝ)
116113, 115iccssred 40212 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆‘0)[,](𝑆𝑀))) → ((𝑆‘0)[,](𝑆𝑀)) ⊆ ℝ)
117 simpr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆‘0)[,](𝑆𝑀))) → 𝑥 ∈ ((𝑆‘0)[,](𝑆𝑀)))
118116, 117sseldd 3806 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆‘0)[,](𝑆𝑀))) → 𝑥 ∈ ℝ)
119111, 118ffvelrnd 6585 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆‘0)[,](𝑆𝑀))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
12099, 97eqeltrd 2892 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆𝑖) ∈ ℝ)
121109, 108eqeltrd 2892 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
122 ioosscn 40201 . . . . . . . . 9 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
123122a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
124 eqeq1 2817 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
125124rexbidv 3247 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
126 oveq1 6884 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 + 𝑇) = (𝑦 + 𝑇))
127126eqeq2d 2823 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
128127cbvrexv 3368 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑦 + 𝑇))
129125, 128syl6bb 278 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
130129cbvrabv 3396 . . . . . . . 8 {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
131 fdm 6267 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:ℝ⟶ℂ → dom 𝐹 = ℝ)
13230, 131syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐹 = ℝ)
133132feq2d 6245 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ↔ 𝐹:ℝ⟶ℂ))
13430, 133mpbird 248 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
135134adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
136 elioore 12426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑧 ∈ ℝ)
137136adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
13875adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
139137, 138readdcld 10357 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
140139adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
1411403adant3 1155 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
142 simp3 1161 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑤 = (𝑧 + 𝑇))
1431323ad2ant1 1156 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)) → dom 𝐹 = ℝ)
1441433adant1r 1216 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)) → dom 𝐹 = ℝ)
145141, 142, 1443eltr4d 2907 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑤 ∈ dom 𝐹)
1461453exp 1141 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑤 ∈ dom 𝐹)))
147146adantr 468 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑤 ∈ dom 𝐹)))
148147rexlimdv 3225 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑤 ∈ dom 𝐹))
149148ralrimiva 3161 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑤 ∈ ℂ (∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑤 ∈ dom 𝐹))
150 rabss 3883 . . . . . . . . 9 ({𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ⊆ dom 𝐹 ↔ ∀𝑤 ∈ ℂ (∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑤 ∈ dom 𝐹))
151149, 150sylibr 225 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ⊆ dom 𝐹)
152 simpll 774 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝜑)
15332rexrd 10377 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
154153ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
15534rexrd 10377 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
156155ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
1573, 2, 1fourierdlem15 40819 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
158157ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
159 simplr 776 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
160 ioossicc 12480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
161160sseli 3801 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
162161adantl 469 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
163154, 156, 158, 159, 162fourierdlem1 40805 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
164 fourierdlem81.fper . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
165152, 163, 164syl2anc 575 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
166123, 95, 130, 135, 151, 165, 53cncfperiod 40573 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) ∈ ({𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}–cn→ℂ))
167125elrab 3566 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
168167simprbi 486 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} → ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
169 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
170 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧(𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀))
171 nfre1 3199 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇)
172170, 171nfan 1990 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
173 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧(𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑖) < 𝑥𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1)))
174 simp3 1161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
1751393adant3 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
176174, 175eqeltrd 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ℝ)
1771763adant1r 1216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ℝ)
17842adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
179136adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
18075ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
181 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
18242rexrd 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
183182adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
18445rexrd 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
185184adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
186 elioo2 12437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑄𝑖) < 𝑧𝑧 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
187183, 185, 186syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑄𝑖) < 𝑧𝑧 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
188181, 187mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑄𝑖) < 𝑧𝑧 < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
189188simp2d 1166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < 𝑧)
190178, 179, 180, 189ltadd1dd 10926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) < (𝑧 + 𝑇))
1911903adant3 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) < (𝑧 + 𝑇))
192993ad2ant1 1156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑆𝑖) = ((𝑄𝑖) + 𝑇))
193 simp3 1161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
194191, 192, 1933brtr4d 4883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑆𝑖) < 𝑥)
19545adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
196188simp3d 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑧 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
197179, 195, 180, 196ltadd1dd 10926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑧 + 𝑇) < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))
1981973adant3 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑧 + 𝑇) < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))
1991093ad2ant1 1156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))
200198, 193, 1993brtr4d 4883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1)))
201177, 194, 2003jca 1151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑖) < 𝑥𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1))))
2022013exp 1141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑖) < 𝑥𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1))))))
203202adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑖) < 𝑥𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1))))))
204172, 173, 203rexlimd 3221 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑖) < 𝑥𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1)))))
205169, 204mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑖) < 𝑥𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1))))
206120rexrd 10377 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆𝑖) ∈ ℝ*)
207206adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑆𝑖) ∈ ℝ*)
208121rexrd 10377 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
209208adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
210 elioo2 12437 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑖) < 𝑥𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1)))))
211207, 209, 210syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑖) < 𝑥𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1)))))
212205, 211mpbird 248 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))
213168, 212sylan2 582 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) → 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))
214 elioore 12426 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
215214recnd 10356 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
216215adantl 469 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
217182adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
218184adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
219214adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
22075adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
221219, 220resubcld 10746 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥𝑇) ∈ ℝ)
222221adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥𝑇) ∈ ℝ)
22399oveq1d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆𝑖) − 𝑇) = (((𝑄𝑖) + 𝑇) − 𝑇))
22442recnd 10356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℂ)
22595recnd 10356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑇 ∈ ℂ)
226224, 225pncand 10681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖) + 𝑇) − 𝑇) = (𝑄𝑖))
227223, 226eqtr2d 2848 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) = ((𝑆𝑖) − 𝑇))
228227adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) = ((𝑆𝑖) − 𝑇))
229120adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆𝑖) ∈ ℝ)
230214adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
23175ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
232 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))
233206adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆𝑖) ∈ ℝ*)
234208adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
235233, 234, 210syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑖) < 𝑥𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1)))))
236232, 235mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑖) < 𝑥𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1))))
237236simp2d 1166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆𝑖) < 𝑥)
238229, 230, 231, 237ltsub1dd 10927 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑆𝑖) − 𝑇) < (𝑥𝑇))
239228, 238eqbrtrd 4873 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < (𝑥𝑇))
240121adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
241236simp3d 1167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1)))
242230, 240, 231, 241ltsub1dd 10927 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥𝑇) < ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇))
243109oveq1d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇) − 𝑇))
24445recnd 10356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
245244, 225pncand 10681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
246243, 245eqtrd 2847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
247246adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
248242, 247breqtrd 4877 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥𝑇) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
249217, 218, 222, 239, 248eliood 40205 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
250219recnd 10356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
251220recnd 10356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑇 ∈ ℂ)
252250, 251npcand 10684 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑥𝑇) + 𝑇) = 𝑥)
253252eqcomd 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇))
254253adantlr 697 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇))
255 oveq1 6884 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑥𝑇) → (𝑧 + 𝑇) = ((𝑥𝑇) + 𝑇))
256255eqeq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑥𝑇) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇)))
257256rspcev 3509 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇)) → ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
258249, 254, 257syl2anc 575 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
259216, 258, 167sylanbrc 574 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
260213, 259impbida 826 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))))
261260eqrdv 2811 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} = ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))
262261reseq2d 5604 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) = (𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))))
26330adantr 468 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
264 ioossre 12456 . . . . . . . . . 10 ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ
265264a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
266263, 265feqresmpt 6474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) = (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)))
267262, 266eqtrd 2847 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) = (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)))
268261oveq1d 6892 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ({𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}–cn→ℂ) = (((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
269166, 267, 2683eltr3d 2906 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ (((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
27049, 132syl5sseqr 3858 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
271270adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
272 eqid 2813 . . . . . . . 8 {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}
273 simpll 774 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝜑)
274153ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
275155ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
276157ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
277 simplr 776 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
278160, 181sseldi 3803 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
279274, 275, 276, 277, 278fourierdlem1 40805 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
280 eleq1 2880 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
281280anbi2d 616 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))))
282 oveq1 6884 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 + 𝑇) = (𝑧 + 𝑇))
283282fveq2d 6415 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑧 + 𝑇)))
284 fveq2 6411 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
285283, 284eqeq12d 2828 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑧 + 𝑇)) = (𝐹𝑧)))
286281, 285imbi12d 335 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑧 + 𝑇)) = (𝐹𝑧))))
287286, 164chvarv 2439 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑧 + 𝑇)) = (𝐹𝑧))
288273, 279, 287syl2anc 575 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑧 + 𝑇)) = (𝐹𝑧))
289135, 123, 271, 225, 272, 151, 288, 54limcperiod 40341 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) lim ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)))
290109eqcomd 2819 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇) = (𝑆‘(𝑖 + 1)))
291267, 290oveq12d 6895 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) lim ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)) = ((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑆‘(𝑖 + 1))))
292289, 291eleqtrd 2894 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑆‘(𝑖 + 1))))
293135, 123, 271, 225, 272, 151, 288, 55limcperiod 40341 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) lim ((𝑄𝑖) + 𝑇)))
29499eqcomd 2819 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) = (𝑆𝑖))
295267, 294oveq12d 6895 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) lim ((𝑄𝑖) + 𝑇)) = ((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑆𝑖)))
296293, 295eleqtrd 2894 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑆𝑖)))
297120, 121, 269, 292, 296iblcncfioo 40674 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
29830ad2antrr 708 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
299120adantr 468 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆𝑖) ∈ ℝ)
300121adantr 468 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
301 simpr 473 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))))
302 eliccre 40213 . . . . . . 7 (((𝑆𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
303299, 300, 301, 302syl3anc 1483 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
304298, 303ffvelrnd 6585 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
305120, 121, 297, 304ibliooicc 40667 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
30615, 20, 94, 110, 119, 305itgspltprt 40675 . . 3 (𝜑 → ∫((𝑆‘0)[,](𝑆𝑀))(𝐹𝑥) d𝑥 = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥)
307 iftrue 4292 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑆𝑖) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = 𝑅)
308307adantl 469 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = 𝑅)
309 fourierdlem81.g . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐺 = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))))
310 iftrue 4292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑄𝑖) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝑅)
311 iftrue 4292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑄𝑖) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = 𝑅)
312310, 311eqtr4d 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑄𝑖) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
313312adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
314 iffalse 4295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥 = (𝑄𝑖) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)))
315314adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ 𝑥 = (𝑄𝑖) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)))
316 iftrue 4292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) = 𝐿)
317316adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ 𝑥 = (𝑄𝑖) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) = 𝐿)
318 iffalse 4295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥 = (𝑄𝑖) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
319318adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ 𝑥 = (𝑄𝑖) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
320 iftrue 4292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = 𝐿)
321320adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ 𝑥 = (𝑄𝑖) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = 𝐿)
322319, 321eqtr2d 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ 𝑥 = (𝑄𝑖) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝐿 = if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
323315, 317, 3223eqtrd 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((¬ 𝑥 = (𝑄𝑖) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
324323adantll 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
325314ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)))
326 iffalse 4295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
327326adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
328318ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
329 iffalse 4295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
330329adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
331182ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
332184ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
33360ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
33442ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
33560adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → 𝑥 ∈ ℝ)
336182ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
337184ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
338 simplr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
339 iccgelb 12451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ≤ 𝑥)
340336, 337, 338, 339syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → (𝑄𝑖) ≤ 𝑥)
341 neqne 2993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑥 = (𝑄𝑖) → 𝑥 ≠ (𝑄𝑖))
342341adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → 𝑥 ≠ (𝑄𝑖))
343334, 335, 340, 342leneltd 10479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
344343adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
34545ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
346182adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
347184adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
348 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
349 iccleub 12450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
350346, 347, 348, 349syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
351350ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
352 neqne 2993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → 𝑥 ≠ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
353352necomd 3040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≠ 𝑥)
354353adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≠ 𝑥)
355333, 345, 351, 354leneltd 10479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
356331, 332, 333, 344, 355eliood 40205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
357 fvres 6430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
358356, 357syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
359328, 330, 3583eqtrrd 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐹𝑥) = if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
360325, 327, 3593eqtrd 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
361324, 360pm2.61dan 838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
362313, 361pm2.61dan 838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
363362mpteq2dva 4945 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))))
364309, 363syl5eq 2859 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐺 = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))))
365 eqeq1 2817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 = (𝑄𝑖) ↔ 𝑤 = (𝑄𝑖)))
366 eqeq1 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ 𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1))))
367 fveq2 6411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤))
368366, 367ifbieq2d 4311 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑤 → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤)))
369365, 368ifbieq2d 4311 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑤 → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤))))
370369cbvmptv 4951 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))) = (𝑤 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤))))
371364, 370syl6eq 2863 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐺 = (𝑤 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤)))))
372371adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → 𝐺 = (𝑤 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤)))))
373 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ 𝑤 = (𝑥𝑇)) → 𝑤 = (𝑥𝑇))
374 oveq1 6884 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑆𝑖) → (𝑥𝑇) = ((𝑆𝑖) − 𝑇))
375374ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ 𝑤 = (𝑥𝑇)) → (𝑥𝑇) = ((𝑆𝑖) − 𝑇))
376227eqcomd 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆𝑖) − 𝑇) = (𝑄𝑖))
377376ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ 𝑤 = (𝑥𝑇)) → ((𝑆𝑖) − 𝑇) = (𝑄𝑖))
378373, 375, 3773eqtrd 2851 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ 𝑤 = (𝑥𝑇)) → 𝑤 = (𝑄𝑖))
379378iftrued 4294 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ 𝑤 = (𝑥𝑇)) → if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤))) = 𝑅)
380374adantl 469 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → (𝑥𝑇) = ((𝑆𝑖) − 𝑇))
38142, 45, 29ltled 10473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
382 lbicc2 12511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄𝑖) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
383182, 184, 381, 382syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
384376, 383eqeltrd 2892 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆𝑖) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
385384adantr 468 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → ((𝑆𝑖) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
386380, 385eqeltrd 2892 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → (𝑥𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
387 limccl 23859 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) ⊆ ℂ
388387, 55sseldi 3803 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ℂ)
389388adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → 𝑅 ∈ ℂ)
390372, 379, 386, 389fvmptd 6512 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → (𝐺‘(𝑥𝑇)) = 𝑅)
391308, 390eqtr4d 2850 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
392391adantlr 697 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
393 iffalse 4295 . . . . . . . . . . 11 𝑥 = (𝑆𝑖) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
394393adantl 469 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
395371adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → 𝐺 = (𝑤 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤)))))
396 eqeq1 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) → (𝑤 = (𝑄𝑖) ↔ ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄𝑖)))
397 eqeq1 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) → (𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1))))
398 fveq2 6411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)))
399397, 398ifbieq2d 4311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) → if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤)) = if(((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇))))
400396, 399ifbieq2d 4311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) → if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤))) = if(((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄𝑖), 𝑅, if(((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)))))
401400adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑤 = ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)) → if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤))) = if(((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄𝑖), 𝑅, if(((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)))))
402 eqeq1 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → (((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄𝑖) ↔ (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄𝑖)))
403 iftrue 4292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇))) = 𝐿)
404402, 403ifbieq2d 4311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄𝑖), 𝑅, if(((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)))) = if((𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄𝑖), 𝑅, 𝐿))
405246, 404syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → if(((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄𝑖), 𝑅, if(((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)))) = if((𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄𝑖), 𝑅, 𝐿))
406405adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑤 = ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)) → if(((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄𝑖), 𝑅, if(((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)))) = if((𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄𝑖), 𝑅, 𝐿))
40742, 29gtned 10460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≠ (𝑄𝑖))
408407neneqd 2990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄𝑖))
409408iffalsed 4297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → if((𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄𝑖), 𝑅, 𝐿) = 𝐿)
410409adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑤 = ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)) → if((𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄𝑖), 𝑅, 𝐿) = 𝐿)
411401, 406, 4103eqtrd 2851 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑤 = ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)) → if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤))) = 𝐿)
412411adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)) → if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤))) = 𝐿)
413 ubicc2 12512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
414182, 184, 381, 413syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
415246, 414eqeltrd 2892 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
416415adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
417 limccl 23859 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
418417, 54sseldi 3803 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ℂ)
419418adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → 𝐿 ∈ ℂ)
420395, 412, 416, 419fvmptd 6512 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝐺‘((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)) = 𝐿)
421 oveq1 6884 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)) → (𝑥𝑇) = ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇))
422421fveq2d 6415 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)) → (𝐺‘(𝑥𝑇)) = (𝐺‘((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)))
423422adantl 469 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝐺‘(𝑥𝑇)) = (𝐺‘((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)))
424 iftrue 4292 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = 𝐿)
425424adantl 469 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = 𝐿)
426420, 423, 4253eqtr4rd 2858 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
427426ad4ant14 750 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
428 iffalse 4295 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
429428adantl 469 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
430371adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝐺 = (𝑤 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤)))))
431430ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → 𝐺 = (𝑤 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤)))))
432 eqeq1 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = (𝑥𝑇) → (𝑤 = (𝑄𝑖) ↔ (𝑥𝑇) = (𝑄𝑖)))
433 eqeq1 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = (𝑥𝑇) → (𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1))))
434 fveq2 6411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = (𝑥𝑇) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)))
435433, 434ifbieq2d 4311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = (𝑥𝑇) → if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤)) = if((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇))))
436432, 435ifbieq2d 4311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = (𝑥𝑇) → if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤))) = if((𝑥𝑇) = (𝑄𝑖), 𝑅, if((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)))))
437436adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥𝑇)) → if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤))) = if((𝑥𝑇) = (𝑄𝑖), 𝑅, if((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)))))
438303recnd 10356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
439225adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑇 ∈ ℂ)
440438, 439npcand 10684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑥𝑇) + 𝑇) = 𝑥)
441440eqcomd 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇))
442441adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ (𝑥𝑇) = (𝑄𝑖)) → 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇))
443 oveq1 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥𝑇) = (𝑄𝑖) → ((𝑥𝑇) + 𝑇) = ((𝑄𝑖) + 𝑇))
444443adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ (𝑥𝑇) = (𝑄𝑖)) → ((𝑥𝑇) + 𝑇) = ((𝑄𝑖) + 𝑇))
445294ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ (𝑥𝑇) = (𝑄𝑖)) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) = (𝑆𝑖))
446442, 444, 4453eqtrd 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ (𝑥𝑇) = (𝑄𝑖)) → 𝑥 = (𝑆𝑖))
447446stoic1a 1852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → ¬ (𝑥𝑇) = (𝑄𝑖))
448447iffalsed 4297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → if((𝑥𝑇) = (𝑄𝑖), 𝑅, if((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)))) = if((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇))))
449448ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥𝑇)) → if((𝑥𝑇) = (𝑄𝑖), 𝑅, if((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)))) = if((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇))))
450441adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ (𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇))
451 oveq1 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → ((𝑥𝑇) + 𝑇) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))
452451adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ (𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝑥𝑇) + 𝑇) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))
453290ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ (𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇) = (𝑆‘(𝑖 + 1)))
454450, 452, 4533eqtrd 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ (𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)))
455454stoic1a 1852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → ¬ (𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
456455iffalsed 4297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → if((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)))
457456adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → if((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)))
458457adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥𝑇)) → if((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)))
459437, 449, 4583eqtrd 2851 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥𝑇)) → if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)))
46042adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
46145adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
46275ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
463303, 462resubcld 10746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥𝑇) ∈ ℝ)
464227adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) = ((𝑆𝑖) − 𝑇))
465206adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆𝑖) ∈ ℝ*)
466208adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
467 iccgelb 12451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑆𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆𝑖) ≤ 𝑥)
468465, 466, 301, 467syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆𝑖) ≤ 𝑥)
469299, 303, 462, 468lesub1dd 10931 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑆𝑖) − 𝑇) ≤ (𝑥𝑇))
470464, 469eqbrtrd 4873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑥𝑇))
471 iccleub 12450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑆𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑆‘(𝑖 + 1)))
472465, 466, 301, 471syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑆‘(𝑖 + 1)))
473303, 300, 462, 472lesub1dd 10931 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥𝑇) ≤ ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇))
474246adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
475473, 474breqtrd 4877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥𝑇) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
476460, 461, 463, 470, 475eliccd 40211 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
477476ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑥𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
478135, 271fssresd 6289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
479478ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
480182ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
481184ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
482303ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
48395ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → 𝑇 ∈ ℝ)
484482, 483resubcld 10746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑥𝑇) ∈ ℝ)
48542ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
486463adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → (𝑥𝑇) ∈ ℝ)
487470adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑥𝑇))
488447neqned 2992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → (𝑥𝑇) ≠ (𝑄𝑖))
489485, 486, 487, 488leneltd 10479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → (𝑄𝑖) < (𝑥𝑇))
490489adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑄𝑖) < (𝑥𝑇))
491463adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑥𝑇) ∈ ℝ)
49245ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
493475adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑥𝑇) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
494 eqcom 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑥𝑇))
495454ex 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))))
496494, 495syl5bir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑥𝑇) → 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))))
497496con3dimp 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → ¬ (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑥𝑇))
498497neqned 2992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≠ (𝑥𝑇))
499491, 492, 493, 498leneltd 10479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑥𝑇) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
500499adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑥𝑇) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
501480, 481, 484, 490, 500eliood 40205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑥𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
502479, 501ffvelrnd 6585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)) ∈ ℂ)
503431, 459, 477, 502fvmptd 6512 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝐺‘(𝑥𝑇)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)))
504 fvres 6430 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)) = (𝐹‘(𝑥𝑇)))
505501, 504syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)) = (𝐹‘(𝑥𝑇)))
506503, 505eqtrd 2847 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝐺‘(𝑥𝑇)) = (𝐹‘(𝑥𝑇)))
507465ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑆𝑖) ∈ ℝ*)
508466ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
509120ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → (𝑆𝑖) ∈ ℝ)
510303adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → 𝑥 ∈ ℝ)
511468adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → (𝑆𝑖) ≤ 𝑥)
512 neqne 2993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥 = (𝑆𝑖) → 𝑥 ≠ (𝑆𝑖))
513512adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → 𝑥 ≠ (𝑆𝑖))
514509, 510, 511, 513leneltd 10479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → (𝑆𝑖) < 𝑥)
515514adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑆𝑖) < 𝑥)
516300ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
517472ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ≤ (𝑆‘(𝑖 + 1)))
518 neqne 2993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)) → 𝑥 ≠ (𝑆‘(𝑖 + 1)))
519518necomd 3040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) ≠ 𝑥)
520519adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) ≠ 𝑥)
521482, 516, 517, 520leneltd 10479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1)))
522507, 508, 482, 515, 521eliood 40205 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))
523 fvres 6430 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
524522, 523syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
525440fveq2d 6415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘((𝑥𝑇) + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
526525eqcomd 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘((𝑥𝑇) + 𝑇)))
527526ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘((𝑥𝑇) + 𝑇)))
528438, 439subcld 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥𝑇) ∈ ℂ)
529 elex 3413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝑇) ∈ ℂ → (𝑥𝑇) ∈ V)
530528, 529syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥𝑇) ∈ V)
531530ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑥𝑇) ∈ V)
532 simp-4l 792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → 𝜑)
533153adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
534155adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
535157adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
536 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
537533, 534, 535, 536fourierdlem8 40812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
538537adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
539538, 476sseldd 3806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐵))
540539ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑥𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐵))
541532, 540jca 503 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝜑 ∧ (𝑥𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
542 eleq1 2880 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (𝑥𝑇) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
543542anbi2d 616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑥𝑇) → ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑥𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐵))))
544 oveq1 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝑥𝑇) → (𝑦 + 𝑇) = ((𝑥𝑇) + 𝑇))
545544fveq2d 6415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (𝑥𝑇) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘((𝑥𝑇) + 𝑇)))
546 fveq2 6411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (𝑥𝑇) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝑥𝑇)))
547545, 546eqeq12d 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑥𝑇) → ((𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦) ↔ (𝐹‘((𝑥𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥𝑇))))
548543, 547imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑥𝑇) → (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘((𝑥𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥𝑇)))))
549 eleq1 2880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
550549anbi2d 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))))
551 oveq1 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + 𝑇) = (𝑦 + 𝑇))
552551fveq2d 6415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)))
553 fveq2 6411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
554552, 553eqeq12d 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦)))
555550, 554imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦))))
556555, 164chvarv 2439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦))
557548, 556vtoclg 3466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝑇) ∈ V → ((𝜑 ∧ (𝑥𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘((𝑥𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥𝑇))))
558531, 541, 557sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝐹‘((𝑥𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥𝑇)))
559524, 527, 5583eqtrd 2851 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹‘(𝑥𝑇)))
560506, 559eqtr4d 2850 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝐺‘(𝑥𝑇)) = ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
561429, 560eqtr4d 2850 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
562427, 561pm2.61dan 838 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
563394, 562eqtrd 2847 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
564392, 563pm2.61dan 838 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
565308, 389eqeltrd 2892 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) ∈ ℂ)
566565adantlr 697 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) ∈ ℂ)
567425, 419eqeltrd 2892 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ∈ ℂ)
568567ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ∈ ℂ)
569263, 265fssresd 6289 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))):((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
570569ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))):((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
571570, 522ffvelrnd 6585 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) ∈ ℂ)
572429, 571eqeltrd 2892 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ∈ ℂ)
573568, 572pm2.61dan 838 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ∈ ℂ)
574394, 573eqeltrd 2892 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) ∈ ℂ)
575566, 574pm2.61dan 838 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) ∈ ℂ)
576 eqid 2813 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
577576fvmpt2 6515 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ∧ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))‘𝑥) = if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
578301, 575, 577syl2anc 575 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))‘𝑥) = if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
579 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀))
580 eqid 2813 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
581579, 580, 42, 45, 53, 54, 55cncfiooicc 40588 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))) ∈ (((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
582364, 581eqeltrd 2892 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐺 ∈ (((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
583 cncff 22913 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ (((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → 𝐺:((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
584582, 583syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐺:((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
585584adantr 468 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝐺:((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
586585, 476ffvelrnd 6585 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝐺‘(𝑥𝑇)) ∈ ℂ)
587 fourierdlem81.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐺‘(𝑥𝑇)))
588587fvmpt2 6515 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐺‘(𝑥𝑇)) ∈ ℂ) → (𝐻𝑥) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
589301, 586, 588syl2anc 575 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝐻𝑥) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
590564, 578, 5893eqtr4rd 2858 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝐻𝑥) = ((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))‘𝑥))
591590itgeq2dv 23768 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))(𝐻𝑥) d𝑥 = ∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))‘𝑥) d𝑥)
592 ioossicc 12480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))
593592sseli 3801 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))))
594593adantl 469 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))))
595593, 575sylan2 582 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) ∈ ℂ)
596594, 595, 577syl2anc 575 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))‘𝑥) = if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
597229, 237gtned 10460 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≠ (𝑆𝑖))
598597neneqd 2990 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖))
599598iffalsed 4297 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
600230, 241ltned 10461 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≠ (𝑆‘(𝑖 + 1)))
601600neneqd 2990 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)))
602601iffalsed 4297 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
603523adantl 469 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
604602, 603eqtrd 2847 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = (𝐹𝑥))
605596, 599, 6043eqtrd 2851 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
606605itgeq2dv 23768 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))‘𝑥) d𝑥 = ∫((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥)
607578, 575eqeltrd 2892 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))‘𝑥) ∈ ℂ)
608120, 121, 607itgioo 23802 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))‘𝑥) d𝑥 = ∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))‘𝑥) d𝑥)
609120, 121, 304itgioo 23802 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥)
610606, 608, 6093eqtr3d 2855 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))‘𝑥) d𝑥 = ∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥)
611591, 610eqtr2d 2848 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))(𝐻𝑥) d𝑥)
61299, 109oveq12d 6895 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) = (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)))
613612itgeq1d 40653 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))(𝐻𝑥) d𝑥 = ∫(((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))(𝐻𝑥) d𝑥)
614 simpr 473 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)))
615612eqcomd 2819 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)) = ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))))
616615adantr 468 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)) = ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))))
617614, 616eleqtrd 2894 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))))
618584adantr 468 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → 𝐺:((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
61942adantr 468 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
62045adantr 468 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
62197adantr 468 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) ∈ ℝ)
622108adantr 468 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇) ∈ ℝ)
623 eliccre 40213 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑄𝑖) + 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
624621, 622, 614, 623syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
62575ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ)
626624, 625resubcld 10746 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ∈ ℝ)
627226eqcomd 2819 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) = (((𝑄𝑖) + 𝑇) − 𝑇))
628627adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (𝑄𝑖) = (((𝑄𝑖) + 𝑇) − 𝑇))
629621rexrd 10377 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) ∈ ℝ*)
630622rexrd 10377 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇) ∈ ℝ*)
631 iccgelb 12451 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑄𝑖) + 𝑇) ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) ≤ 𝑥)
632629, 630, 614, 631syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) ≤ 𝑥)
633621, 624, 625, 632lesub1dd 10931 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (((𝑄𝑖) + 𝑇) − 𝑇) ≤ (𝑥𝑇))
634628, 633eqbrtrd 4873 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑥𝑇))
635 iccleub 12450 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑄𝑖) + 𝑇) ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → 𝑥 ≤ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))
636629, 630, 614, 635syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → 𝑥 ≤ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))
637624, 622, 625, 636lesub1dd 10931 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ≤ (((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇) − 𝑇))
638245adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
639637, 638breqtrd 4877 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
640619, 620, 626, 634, 639eliccd 40211 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
641618, 640ffvelrnd 6585 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (𝐺‘(𝑥𝑇)) ∈ ℂ)
642617, 641, 588syl2anc 575 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (𝐻𝑥) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
643 eqidd 2814 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑇))) = (𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑇))))
644 oveq1 6884 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝑇) = (𝑥𝑇))
645644fveq2d 6415 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (𝐺‘(𝑦𝑇)) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
646645adantl 469 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝐺‘(𝑦𝑇)) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
647643, 646, 614, 641fvmptd 6512 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → ((𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑇)))‘𝑥) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
648642, 647eqtr4d 2850 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (𝐻𝑥) = ((𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑇)))‘𝑥))
649648itgeq2dv 23768 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫(((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))(𝐻𝑥) d𝑥 = ∫(((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))((𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑇)))‘𝑥) d𝑥)
65074adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
651645cbvmptv 4951 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑇))) = (𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (𝐺‘(𝑥𝑇)))
65242, 45, 381, 582, 650, 651itgiccshift 40676 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫(((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))((𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑇)))‘𝑥) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐺𝑥) d𝑥)
653613, 649, 6523eqtrd 2851 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))(𝐻𝑥) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐺𝑥) d𝑥)
654132adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom 𝐹 = ℝ)
65559, 654sseqtr4d 3846 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
65642, 45, 135, 53, 655, 55, 54, 309itgioocnicc 40673 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥))
657656simprd 485 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥)
658611, 653, 6573eqtrd 2851 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥)
659658sumeq2dv 14659 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥 = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥)
66090, 306, 6593eqtrrd 2852 . 2 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐹𝑥) d𝑥)
66114, 63, 6603eqtrrd 2852 1 (𝜑 → ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2985  wral 3103  wrex 3104  {crab 3107  Vcvv 3398  wss 3776  ifcif 4286   class class class wbr 4851  cmpt 4930  dom cdm 5318  cres 5320  wf 6100  cfv 6104  (class class class)co 6877  𝑚 cmap 8095  cc 10222  cr 10223  0cc0 10224  1c1 10225   + caddc 10227  *cxr 10361   < clt 10362  cle 10363  cmin 10554  cn 11308  0cn0 11562  cuz 11907  +crp 12049  (,)cioo 12396  [,]cicc 12399  ...cfz 12552  ..^cfzo 12692  Σcsu 14642  cnccncf 22896  𝐿1cibl 23604  citg 23605   lim climc 23846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-rep 4971  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-inf2 8788  ax-cc 9545  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-symdif 4049  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-int 4677  df-iun 4721  df-iin 4722  df-disj 4820  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-se 5278  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-isom 6113  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-of 7130  df-ofr 7131  df-om 7299  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-omul 7804  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-fi 8559  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-acn 9054  df-cda 9278  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10973  df-nn 11309  df-2 11367  df-3 11368  df-4 11369  df-5 11370  df-6 11371  df-7 11372  df-8 11373  df-9 11374  df-n0 11563  df-z 11647  df-dec 11763  df-uz 11908  df-q 12011  df-rp 12050  df-xneg 12165  df-xadd 12166  df-xmul 12167  df-ioo 12400  df-ioc 12401  df-ico 12402  df-icc 12403  df-fz 12553  df-fzo 12693  df-fl 12820  df-mod 12896  df-seq 13028  df-exp 13087  df-hash 13341  df-cj 14065  df-re 14066  df-im 14067  df-sqrt 14201  df-abs 14202  df-limsup 14428  df-clim 14445  df-rlim 14446  df-sum 14643  df-struct 16073  df-ndx 16074  df-slot 16075  df-base 16077  df-sets 16078  df-ress 16079  df-plusg 16169  df-mulr 16170  df-starv 16171  df-sca 16172  df-vsca 16173  df-ip 16174  df-tset 16175  df-ple 16176  df-ds 16178  df-unif 16179  df-hom 16180  df-cco 16181  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17954  df-cmn 18399  df-psmet 19949  df-xmet 19950  df-met 19951  df-bl 19952  df-mopn 19953  df-fbas 19954  df-fg 19955  df-cnfld 19958  df-top 20916  df-topon 20933  df-topsp 20955  df-bases 20968  df-cld 21041  df-ntr 21042  df-cls 21043  df-nei 21120  df-lp 21158  df-perf 21159  df-cn 21249  df-cnp 21250  df-haus 21337  df-cmp 21408  df-tx 21583  df-hmeo 21776  df-fil 21867  df-fm 21959  df-flim 21960  df-flf 21961  df-xms 22342  df-ms 22343  df-tms 22344  df-cncf 22898  df-ovol 23451  df-vol 23452  df-mbf 23606  df-itg1 23607  df-itg2 23608  df-ibl 23609  df-itg 23610  df-0p 23657  df-ditg 23831  df-limc 23850  df-dv 23851
This theorem is referenced by:  fourierdlem92  40895
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