Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | fourierdlem81.q |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π β (πβπ)) |
2 | | fourierdlem81.m |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π β β) |
3 | | fourierdlem81.p |
. . . . . . . . . . 11
β’ π = (π β β β¦ {π β (β βm
(0...π)) β£ (((πβ0) = π΄ β§ (πβπ) = π΅) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))}) |
4 | 3 | fourierdlem2 44811 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β β β (π β (πβπ) β (π β (β βm
(0...π)) β§ (((πβ0) = π΄ β§ (πβπ) = π΅) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))))) |
5 | 2, 4 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (π β (πβπ) β (π β (β βm
(0...π)) β§ (((πβ0) = π΄ β§ (πβπ) = π΅) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))))) |
6 | 1, 5 | mpbid 231 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (π β (β βm
(0...π)) β§ (((πβ0) = π΄ β§ (πβπ) = π΅) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1))))) |
7 | 6 | simprd 496 |
. . . . . . 7
β’ (π β (((πβ0) = π΄ β§ (πβπ) = π΅) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))) |
8 | 7 | simpld 495 |
. . . . . 6
β’ (π β ((πβ0) = π΄ β§ (πβπ) = π΅)) |
9 | 8 | simpld 495 |
. . . . 5
β’ (π β (πβ0) = π΄) |
10 | 9 | eqcomd 2738 |
. . . 4
β’ (π β π΄ = (πβ0)) |
11 | 8 | simprd 496 |
. . . . 5
β’ (π β (πβπ) = π΅) |
12 | 11 | eqcomd 2738 |
. . . 4
β’ (π β π΅ = (πβπ)) |
13 | 10, 12 | oveq12d 7423 |
. . 3
β’ (π β (π΄[,]π΅) = ((πβ0)[,](πβπ))) |
14 | 13 | itgeq1d 44659 |
. 2
β’ (π β β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ = β«((πβ0)[,](πβπ))(πΉβπ₯) dπ₯) |
15 | | 0zd 12566 |
. . 3
β’ (π β 0 β
β€) |
16 | | nnuz 12861 |
. . . . 5
β’ β =
(β€β₯β1) |
17 | | 0p1e1 12330 |
. . . . . 6
β’ (0 + 1) =
1 |
18 | 17 | fveq2i 6891 |
. . . . 5
β’
(β€β₯β(0 + 1)) =
(β€β₯β1) |
19 | 16, 18 | eqtr4i 2763 |
. . . 4
β’ β =
(β€β₯β(0 + 1)) |
20 | 2, 19 | eleqtrdi 2843 |
. . 3
β’ (π β π β (β€β₯β(0 +
1))) |
21 | 6 | simpld 495 |
. . . 4
β’ (π β π β (β βm
(0...π))) |
22 | | reex 11197 |
. . . . . 6
β’ β
β V |
23 | 22 | a1i 11 |
. . . . 5
β’ (π β β β
V) |
24 | | ovex 7438 |
. . . . . 6
β’
(0...π) β
V |
25 | 24 | a1i 11 |
. . . . 5
β’ (π β (0...π) β V) |
26 | 23, 25 | elmapd 8830 |
. . . 4
β’ (π β (π β (β βm
(0...π)) β π:(0...π)βΆβ)) |
27 | 21, 26 | mpbid 231 |
. . 3
β’ (π β π:(0...π)βΆβ) |
28 | 7 | simprd 496 |
. . . 4
β’ (π β βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1))) |
29 | 28 | r19.21bi 3248 |
. . 3
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβπ) < (πβ(π + 1))) |
30 | | fourierdlem81.f |
. . . . 5
β’ (π β πΉ:ββΆβ) |
31 | 30 | adantr 481 |
. . . 4
β’ ((π β§ π₯ β ((πβ0)[,](πβπ))) β πΉ:ββΆβ) |
32 | | fourierdlem81.a |
. . . . . . 7
β’ (π β π΄ β β) |
33 | 9, 32 | eqeltrd 2833 |
. . . . . 6
β’ (π β (πβ0) β β) |
34 | | fourierdlem81.b |
. . . . . . 7
β’ (π β π΅ β β) |
35 | 11, 34 | eqeltrd 2833 |
. . . . . 6
β’ (π β (πβπ) β β) |
36 | 33, 35 | iccssred 13407 |
. . . . 5
β’ (π β ((πβ0)[,](πβπ)) β β) |
37 | 36 | sselda 3981 |
. . . 4
β’ ((π β§ π₯ β ((πβ0)[,](πβπ))) β π₯ β β) |
38 | 31, 37 | ffvelcdmd 7084 |
. . 3
β’ ((π β§ π₯ β ((πβ0)[,](πβπ))) β (πΉβπ₯) β β) |
39 | 27 | adantr 481 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π:(0...π)βΆβ) |
40 | | elfzofz 13644 |
. . . . . 6
β’ (π β (0..^π) β π β (0...π)) |
41 | 40 | adantl 482 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π β (0...π)) |
42 | 39, 41 | ffvelcdmd 7084 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβπ) β β) |
43 | | fzofzp1 13725 |
. . . . . 6
β’ (π β (0..^π) β (π + 1) β (0...π)) |
44 | 43 | adantl 482 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (π + 1) β (0...π)) |
45 | 39, 44 | ffvelcdmd 7084 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβ(π + 1)) β β) |
46 | 30 | feqmptd 6957 |
. . . . . . . 8
β’ (π β πΉ = (π₯ β β β¦ (πΉβπ₯))) |
47 | 46 | reseq1d 5978 |
. . . . . . 7
β’ (π β (πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) = ((π₯ β β β¦ (πΉβπ₯)) βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))) |
48 | 47 | adantr 481 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) = ((π₯ β β β¦ (πΉβπ₯)) βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))) |
49 | | ioossre 13381 |
. . . . . . . 8
β’ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β β |
50 | 49 | a1i 11 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β β) |
51 | 50 | resmptd 6038 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((π₯ β β β¦ (πΉβπ₯)) βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) = (π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β¦ (πΉβπ₯))) |
52 | 48, 51 | eqtr2d 2773 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β¦ (πΉβπ₯)) = (πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))) |
53 | | fourierdlem81.cncf |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βcnββ)) |
54 | | fourierdlem81.l |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β πΏ β ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) limβ (πβ(π + 1)))) |
55 | | fourierdlem81.r |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π
β ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) limβ (πβπ))) |
56 | 42, 45, 53, 54, 55 | iblcncfioo 44680 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β
πΏ1) |
57 | 52, 56 | eqeltrd 2833 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β¦ (πΉβπ₯)) β
πΏ1) |
58 | 30 | ad2antrr 724 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β πΉ:ββΆβ) |
59 | 42, 45 | iccssred 13407 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) β β) |
60 | 59 | sselda 3981 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β π₯ β β) |
61 | 58, 60 | ffvelcdmd 7084 |
. . . 4
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β (πΉβπ₯) β β) |
62 | 42, 45, 57, 61 | ibliooicc 44673 |
. . 3
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) β¦ (πΉβπ₯)) β
πΏ1) |
63 | 15, 20, 27, 29, 38, 62 | itgspltprt 44681 |
. 2
β’ (π β β«((πβ0)[,](πβπ))(πΉβπ₯) dπ₯ = Ξ£π β (0..^π)β«((πβπ)[,](πβ(π + 1)))(πΉβπ₯) dπ₯) |
64 | | fourierdlem81.s |
. . . . . . . 8
β’ π = (π β (0...π) β¦ ((πβπ) + π)) |
65 | 64 | a1i 11 |
. . . . . . 7
β’ (π β π = (π β (0...π) β¦ ((πβπ) + π))) |
66 | | fveq2 6888 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = 0 β (πβπ) = (πβ0)) |
67 | 66 | oveq1d 7420 |
. . . . . . . 8
β’ (π = 0 β ((πβπ) + π) = ((πβ0) + π)) |
68 | 67 | adantl 482 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π = 0) β ((πβπ) + π) = ((πβ0) + π)) |
69 | 2 | nnnn0d 12528 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π β
β0) |
70 | | nn0uz 12860 |
. . . . . . . . 9
β’
β0 = (β€β₯β0) |
71 | 69, 70 | eleqtrdi 2843 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π β
(β€β₯β0)) |
72 | | eluzfz1 13504 |
. . . . . . . 8
β’ (π β
(β€β₯β0) β 0 β (0...π)) |
73 | 71, 72 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ (π β 0 β (0...π)) |
74 | | fourierdlem81.t |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π β
β+) |
75 | 74 | rpred 13012 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π β β) |
76 | 33, 75 | readdcld 11239 |
. . . . . . 7
β’ (π β ((πβ0) + π) β β) |
77 | 65, 68, 73, 76 | fvmptd 7002 |
. . . . . 6
β’ (π β (πβ0) = ((πβ0) + π)) |
78 | 9 | oveq1d 7420 |
. . . . . 6
β’ (π β ((πβ0) + π) = (π΄ + π)) |
79 | 77, 78 | eqtr2d 2773 |
. . . . 5
β’ (π β (π΄ + π) = (πβ0)) |
80 | | fveq2 6888 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = π β (πβπ) = (πβπ)) |
81 | 80 | oveq1d 7420 |
. . . . . . . 8
β’ (π = π β ((πβπ) + π) = ((πβπ) + π)) |
82 | 81 | adantl 482 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π = π) β ((πβπ) + π) = ((πβπ) + π)) |
83 | | eluzfz2 13505 |
. . . . . . . 8
β’ (π β
(β€β₯β0) β π β (0...π)) |
84 | 71, 83 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ (π β π β (0...π)) |
85 | 35, 75 | readdcld 11239 |
. . . . . . 7
β’ (π β ((πβπ) + π) β β) |
86 | 65, 82, 84, 85 | fvmptd 7002 |
. . . . . 6
β’ (π β (πβπ) = ((πβπ) + π)) |
87 | 11 | oveq1d 7420 |
. . . . . 6
β’ (π β ((πβπ) + π) = (π΅ + π)) |
88 | 86, 87 | eqtr2d 2773 |
. . . . 5
β’ (π β (π΅ + π) = (πβπ)) |
89 | 79, 88 | oveq12d 7423 |
. . . 4
β’ (π β ((π΄ + π)[,](π΅ + π)) = ((πβ0)[,](πβπ))) |
90 | 89 | itgeq1d 44659 |
. . 3
β’ (π β β«((π΄ + π)[,](π΅ + π))(πΉβπ₯) dπ₯ = β«((πβ0)[,](πβπ))(πΉβπ₯) dπ₯) |
91 | 27 | ffvelcdmda 7083 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β (0...π)) β (πβπ) β β) |
92 | 75 | adantr 481 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β (0...π)) β π β β) |
93 | 91, 92 | readdcld 11239 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β (0...π)) β ((πβπ) + π) β β) |
94 | 93, 64 | fmptd 7110 |
. . . 4
β’ (π β π:(0...π)βΆβ) |
95 | 75 | adantr 481 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π β β) |
96 | 42, 45, 95, 29 | ltadd1dd 11821 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πβπ) + π) < ((πβ(π + 1)) + π)) |
97 | 40, 93 | sylan2 593 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πβπ) + π) β β) |
98 | 64 | fvmpt2 7006 |
. . . . . 6
β’ ((π β (0...π) β§ ((πβπ) + π) β β) β (πβπ) = ((πβπ) + π)) |
99 | 41, 97, 98 | syl2anc 584 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβπ) = ((πβπ) + π)) |
100 | | fveq2 6888 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = π β (πβπ) = (πβπ)) |
101 | 100 | oveq1d 7420 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = π β ((πβπ) + π) = ((πβπ) + π)) |
102 | 101 | cbvmptv 5260 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (0...π) β¦ ((πβπ) + π)) = (π β (0...π) β¦ ((πβπ) + π)) |
103 | 64, 102 | eqtri 2760 |
. . . . . . 7
β’ π = (π β (0...π) β¦ ((πβπ) + π)) |
104 | 103 | a1i 11 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π = (π β (0...π) β¦ ((πβπ) + π))) |
105 | | fveq2 6888 |
. . . . . . . 8
β’ (π = (π + 1) β (πβπ) = (πβ(π + 1))) |
106 | 105 | oveq1d 7420 |
. . . . . . 7
β’ (π = (π + 1) β ((πβπ) + π) = ((πβ(π + 1)) + π)) |
107 | 106 | adantl 482 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π = (π + 1)) β ((πβπ) + π) = ((πβ(π + 1)) + π)) |
108 | 45, 95 | readdcld 11239 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πβ(π + 1)) + π) β β) |
109 | 104, 107,
44, 108 | fvmptd 7002 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβ(π + 1)) = ((πβ(π + 1)) + π)) |
110 | 96, 99, 109 | 3brtr4d 5179 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβπ) < (πβ(π + 1))) |
111 | 30 | adantr 481 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π₯ β ((πβ0)[,](πβπ))) β πΉ:ββΆβ) |
112 | 77, 76 | eqeltrd 2833 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (πβ0) β β) |
113 | 112 | adantr 481 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π₯ β ((πβ0)[,](πβπ))) β (πβ0) β β) |
114 | 86, 85 | eqeltrd 2833 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (πβπ) β β) |
115 | 114 | adantr 481 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π₯ β ((πβ0)[,](πβπ))) β (πβπ) β β) |
116 | 113, 115 | iccssred 13407 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π₯ β ((πβ0)[,](πβπ))) β ((πβ0)[,](πβπ)) β β) |
117 | | simpr 485 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π₯ β ((πβ0)[,](πβπ))) β π₯ β ((πβ0)[,](πβπ))) |
118 | 116, 117 | sseldd 3982 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π₯ β ((πβ0)[,](πβπ))) β π₯ β β) |
119 | 111, 118 | ffvelcdmd 7084 |
. . . 4
β’ ((π β§ π₯ β ((πβ0)[,](πβπ))) β (πΉβπ₯) β β) |
120 | 99, 97 | eqeltrd 2833 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβπ) β β) |
121 | 109, 108 | eqeltrd 2833 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβ(π + 1)) β β) |
122 | | ioosscn 13382 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β β |
123 | 122 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β β) |
124 | | eqeq1 2736 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π€ = π₯ β (π€ = (π§ + π) β π₯ = (π§ + π))) |
125 | 124 | rexbidv 3178 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π€ = π₯ β (βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π€ = (π§ + π) β βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π₯ = (π§ + π))) |
126 | | oveq1 7412 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π§ = π¦ β (π§ + π) = (π¦ + π)) |
127 | 126 | eqeq2d 2743 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π§ = π¦ β (π₯ = (π§ + π) β π₯ = (π¦ + π))) |
128 | 127 | cbvrexvw 3235 |
. . . . . . . . . 10
β’
(βπ§ β
((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π₯ = (π§ + π) β βπ¦ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π₯ = (π¦ + π)) |
129 | 125, 128 | bitrdi 286 |
. . . . . . . . 9
β’ (π€ = π₯ β (βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π€ = (π§ + π) β βπ¦ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π₯ = (π¦ + π))) |
130 | 129 | cbvrabv 3442 |
. . . . . . . 8
β’ {π€ β β β£
βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π€ = (π§ + π)} = {π₯ β β β£ βπ¦ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π₯ = (π¦ + π)} |
131 | | fdm 6723 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (πΉ:ββΆβ β
dom πΉ =
β) |
132 | 30, 131 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β dom πΉ = β) |
133 | 132 | feq2d 6700 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (πΉ:dom πΉβΆβ β πΉ:ββΆβ)) |
134 | 30, 133 | mpbird 256 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β πΉ:dom πΉβΆβ) |
135 | 134 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β πΉ:dom πΉβΆβ) |
136 | | elioore 13350 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β π§ β β) |
137 | 136 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β π§ β β) |
138 | 75 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β π β β) |
139 | 137, 138 | readdcld 11239 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (π§ + π) β β) |
140 | 139 | adantlr 713 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (π§ + π) β β) |
141 | 140 | 3adant3 1132 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β§ π€ = (π§ + π)) β (π§ + π) β β) |
142 | | simp3 1138 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β§ π€ = (π§ + π)) β π€ = (π§ + π)) |
143 | 132 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β§ π€ = (π§ + π)) β dom πΉ = β) |
144 | 143 | 3adant1r 1177 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β§ π€ = (π§ + π)) β dom πΉ = β) |
145 | 141, 142,
144 | 3eltr4d 2848 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β§ π€ = (π§ + π)) β π€ β dom πΉ) |
146 | 145 | 3exp 1119 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β (π€ = (π§ + π) β π€ β dom πΉ))) |
147 | 146 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π€ β β) β (π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β (π€ = (π§ + π) β π€ β dom πΉ))) |
148 | 147 | rexlimdv 3153 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π€ β β) β (βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π€ = (π§ + π) β π€ β dom πΉ)) |
149 | 148 | ralrimiva 3146 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β βπ€ β β (βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π€ = (π§ + π) β π€ β dom πΉ)) |
150 | | rabss 4068 |
. . . . . . . . 9
β’ ({π€ β β β£
βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π€ = (π§ + π)} β dom πΉ β βπ€ β β (βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π€ = (π§ + π) β π€ β dom πΉ)) |
151 | 149, 150 | sylibr 233 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β {π€ β β β£ βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π€ = (π§ + π)} β dom πΉ) |
152 | | simpll 765 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β π) |
153 | 32 | rexrd 11260 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π΄ β
β*) |
154 | 153 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β π΄ β
β*) |
155 | 34 | rexrd 11260 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π΅ β
β*) |
156 | 155 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β π΅ β
β*) |
157 | 3, 2, 1 | fourierdlem15 44824 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π:(0...π)βΆ(π΄[,]π΅)) |
158 | 157 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β π:(0...π)βΆ(π΄[,]π΅)) |
159 | | simplr 767 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β π β (0..^π)) |
160 | | ioossicc 13406 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) |
161 | 160 | sseli 3977 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) |
162 | 161 | adantl 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) |
163 | 154, 156,
158, 159, 162 | fourierdlem1 44810 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β π₯ β (π΄[,]π΅)) |
164 | | fourierdlem81.fper |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π₯ β (π΄[,]π΅)) β (πΉβ(π₯ + π)) = (πΉβπ₯)) |
165 | 152, 163,
164 | syl2anc 584 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (πΉβ(π₯ + π)) = (πΉβπ₯)) |
166 | 123, 95, 130, 135, 151, 165, 53 | cncfperiod 44581 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πΉ βΎ {π€ β β β£ βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π€ = (π§ + π)}) β ({π€ β β β£ βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π€ = (π§ + π)}βcnββ)) |
167 | 125 | elrab 3682 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π₯ β {π€ β β β£ βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π€ = (π§ + π)} β (π₯ β β β§ βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π₯ = (π§ + π))) |
168 | 167 | simprbi 497 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π₯ β {π€ β β β£ βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π€ = (π§ + π)} β βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π₯ = (π§ + π)) |
169 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π₯ = (π§ + π)) β βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π₯ = (π§ + π)) |
170 | | nfv 1917 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
β²π§(π β§ π β (0..^π)) |
171 | | nfre1 3282 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
β²π§βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π₯ = (π§ + π) |
172 | 170, 171 | nfan 1902 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
β²π§((π β§ π β (0..^π)) β§ βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π₯ = (π§ + π)) |
173 | | nfv 1917 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
β²π§(π₯ β β β§ (πβπ) < π₯ β§ π₯ < (πβ(π + 1))) |
174 | | simp3 1138 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β§ π₯ = (π§ + π)) β π₯ = (π§ + π)) |
175 | 139 | 3adant3 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β§ π₯ = (π§ + π)) β (π§ + π) β β) |
176 | 174, 175 | eqeltrd 2833 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β§ π₯ = (π§ + π)) β π₯ β β) |
177 | 176 | 3adant1r 1177 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β§ π₯ = (π§ + π)) β π₯ β β) |
178 | 42 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (πβπ) β β) |
179 | 136 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β π§ β β) |
180 | 75 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β π β β) |
181 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) |
182 | 42 | rexrd 11260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβπ) β
β*) |
183 | 182 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (πβπ) β
β*) |
184 | 45 | rexrd 11260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβ(π + 1)) β
β*) |
185 | 184 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (πβ(π + 1)) β
β*) |
186 | | elioo2 13361 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((πβπ) β β* β§ (πβ(π + 1)) β β*) β
(π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β (π§ β β β§ (πβπ) < π§ β§ π§ < (πβ(π + 1))))) |
187 | 183, 185,
186 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β (π§ β β β§ (πβπ) < π§ β§ π§ < (πβ(π + 1))))) |
188 | 181, 187 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (π§ β β β§ (πβπ) < π§ β§ π§ < (πβ(π + 1)))) |
189 | 188 | simp2d 1143 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (πβπ) < π§) |
190 | 178, 179,
180, 189 | ltadd1dd 11821 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β ((πβπ) + π) < (π§ + π)) |
191 | 190 | 3adant3 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β§ π₯ = (π§ + π)) β ((πβπ) + π) < (π§ + π)) |
192 | 99 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β§ π₯ = (π§ + π)) β (πβπ) = ((πβπ) + π)) |
193 | | simp3 1138 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β§ π₯ = (π§ + π)) β π₯ = (π§ + π)) |
194 | 191, 192,
193 | 3brtr4d 5179 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β§ π₯ = (π§ + π)) β (πβπ) < π₯) |
195 | 45 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (πβ(π + 1)) β β) |
196 | 188 | simp3d 1144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β π§ < (πβ(π + 1))) |
197 | 179, 195,
180, 196 | ltadd1dd 11821 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (π§ + π) < ((πβ(π + 1)) + π)) |
198 | 197 | 3adant3 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β§ π₯ = (π§ + π)) β (π§ + π) < ((πβ(π + 1)) + π)) |
199 | 109 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β§ π₯ = (π§ + π)) β (πβ(π + 1)) = ((πβ(π + 1)) + π)) |
200 | 198, 193,
199 | 3brtr4d 5179 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β§ π₯ = (π§ + π)) β π₯ < (πβ(π + 1))) |
201 | 177, 194,
200 | 3jca 1128 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β§ π₯ = (π§ + π)) β (π₯ β β β§ (πβπ) < π₯ β§ π₯ < (πβ(π + 1)))) |
202 | 201 | 3exp 1119 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β (π₯ = (π§ + π) β (π₯ β β β§ (πβπ) < π₯ β§ π₯ < (πβ(π + 1)))))) |
203 | 202 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π₯ = (π§ + π)) β (π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β (π₯ = (π§ + π) β (π₯ β β β§ (πβπ) < π₯ β§ π₯ < (πβ(π + 1)))))) |
204 | 172, 173,
203 | rexlimd 3263 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π₯ = (π§ + π)) β (βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π₯ = (π§ + π) β (π₯ β β β§ (πβπ) < π₯ β§ π₯ < (πβ(π + 1))))) |
205 | 169, 204 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π₯ = (π§ + π)) β (π₯ β β β§ (πβπ) < π₯ β§ π₯ < (πβ(π + 1)))) |
206 | 120 | rexrd 11260 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβπ) β
β*) |
207 | 206 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π₯ = (π§ + π)) β (πβπ) β
β*) |
208 | 121 | rexrd 11260 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβ(π + 1)) β
β*) |
209 | 208 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π₯ = (π§ + π)) β (πβ(π + 1)) β
β*) |
210 | | elioo2 13361 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((πβπ) β β* β§ (πβ(π + 1)) β β*) β
(π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β (π₯ β β β§ (πβπ) < π₯ β§ π₯ < (πβ(π + 1))))) |
211 | 207, 209,
210 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π₯ = (π§ + π)) β (π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β (π₯ β β β§ (πβπ) < π₯ β§ π₯ < (πβ(π + 1))))) |
212 | 205, 211 | mpbird 256 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π₯ = (π§ + π)) β π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) |
213 | 168, 212 | sylan2 593 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β {π€ β β β£ βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π€ = (π§ + π)}) β π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) |
214 | | elioore 13350 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β π₯ β β) |
215 | 214 | recnd 11238 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β π₯ β β) |
216 | 215 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β π₯ β β) |
217 | 182 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (πβπ) β
β*) |
218 | 184 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (πβ(π + 1)) β
β*) |
219 | 214 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β π₯ β β) |
220 | 75 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β π β β) |
221 | 219, 220 | resubcld 11638 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (π₯ β π) β β) |
222 | 221 | adantlr 713 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (π₯ β π) β β) |
223 | 99 | oveq1d 7420 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πβπ) β π) = (((πβπ) + π) β π)) |
224 | 42 | recnd 11238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβπ) β β) |
225 | 95 | recnd 11238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π β β) |
226 | 224, 225 | pncand 11568 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (((πβπ) + π) β π) = (πβπ)) |
227 | 223, 226 | eqtr2d 2773 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβπ) = ((πβπ) β π)) |
228 | 227 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (πβπ) = ((πβπ) β π)) |
229 | 120 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (πβπ) β β) |
230 | 214 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β π₯ β β) |
231 | 75 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β π β β) |
232 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) |
233 | 206 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (πβπ) β
β*) |
234 | 208 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (πβ(π + 1)) β
β*) |
235 | 233, 234,
210 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β (π₯ β β β§ (πβπ) < π₯ β§ π₯ < (πβ(π + 1))))) |
236 | 232, 235 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (π₯ β β β§ (πβπ) < π₯ β§ π₯ < (πβ(π + 1)))) |
237 | 236 | simp2d 1143 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (πβπ) < π₯) |
238 | 229, 230,
231, 237 | ltsub1dd 11822 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β ((πβπ) β π) < (π₯ β π)) |
239 | 228, 238 | eqbrtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (πβπ) < (π₯ β π)) |
240 | 121 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (πβ(π + 1)) β β) |
241 | 236 | simp3d 1144 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β π₯ < (πβ(π + 1))) |
242 | 230, 240,
231, 241 | ltsub1dd 11822 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (π₯ β π) < ((πβ(π + 1)) β π)) |
243 | 109 | oveq1d 7420 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πβ(π + 1)) β π) = (((πβ(π + 1)) + π) β π)) |
244 | 45 | recnd 11238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβ(π + 1)) β β) |
245 | 244, 225 | pncand 11568 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (((πβ(π + 1)) + π) β π) = (πβ(π + 1))) |
246 | 243, 245 | eqtrd 2772 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πβ(π + 1)) β π) = (πβ(π + 1))) |
247 | 246 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β ((πβ(π + 1)) β π) = (πβ(π + 1))) |
248 | 242, 247 | breqtrd 5173 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (π₯ β π) < (πβ(π + 1))) |
249 | 217, 218,
222, 239, 248 | eliood 44197 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (π₯ β π) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) |
250 | 219 | recnd 11238 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β π₯ β β) |
251 | 220 | recnd 11238 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β π β β) |
252 | 250, 251 | npcand 11571 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β ((π₯ β π) + π) = π₯) |
253 | 252 | eqcomd 2738 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β π₯ = ((π₯ β π) + π)) |
254 | 253 | adantlr 713 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β π₯ = ((π₯ β π) + π)) |
255 | | oveq1 7412 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π§ = (π₯ β π) β (π§ + π) = ((π₯ β π) + π)) |
256 | 255 | eqeq2d 2743 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π§ = (π₯ β π) β (π₯ = (π§ + π) β π₯ = ((π₯ β π) + π))) |
257 | 256 | rspcev 3612 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π₯ β π) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β§ π₯ = ((π₯ β π) + π)) β βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π₯ = (π§ + π)) |
258 | 249, 254,
257 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π₯ = (π§ + π)) |
259 | 216, 258,
167 | sylanbrc 583 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β π₯ β {π€ β β β£ βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π€ = (π§ + π)}) |
260 | 213, 259 | impbida 799 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (π₯ β {π€ β β β£ βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π€ = (π§ + π)} β π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))) |
261 | 260 | eqrdv 2730 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β {π€ β β β£ βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π€ = (π§ + π)} = ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) |
262 | 261 | reseq2d 5979 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πΉ βΎ {π€ β β β£ βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π€ = (π§ + π)}) = (πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))) |
263 | 30 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β πΉ:ββΆβ) |
264 | | ioossre 13381 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β β |
265 | 264 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β β) |
266 | 263, 265 | feqresmpt 6958 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) = (π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β¦ (πΉβπ₯))) |
267 | 262, 266 | eqtrd 2772 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πΉ βΎ {π€ β β β£ βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π€ = (π§ + π)}) = (π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β¦ (πΉβπ₯))) |
268 | 261 | oveq1d 7420 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ({π€ β β β£ βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π€ = (π§ + π)}βcnββ) = (((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βcnββ)) |
269 | 166, 267,
268 | 3eltr3d 2847 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β¦ (πΉβπ₯)) β (((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βcnββ)) |
270 | 49, 132 | sseqtrrid 4034 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β dom πΉ) |
271 | 270 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β dom πΉ) |
272 | | eqid 2732 |
. . . . . . . 8
β’ {π€ β β β£
βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π€ = (π§ + π)} = {π€ β β β£ βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π€ = (π§ + π)} |
273 | | simpll 765 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β π) |
274 | 153 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β π΄ β
β*) |
275 | 155 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β π΅ β
β*) |
276 | 157 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β π:(0...π)βΆ(π΄[,]π΅)) |
277 | | simplr 767 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β π β (0..^π)) |
278 | 160, 181 | sselid 3979 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β π§ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) |
279 | 274, 275,
276, 277, 278 | fourierdlem1 44810 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β π§ β (π΄[,]π΅)) |
280 | | eleq1 2821 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π₯ = π§ β (π₯ β (π΄[,]π΅) β π§ β (π΄[,]π΅))) |
281 | 280 | anbi2d 629 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π₯ = π§ β ((π β§ π₯ β (π΄[,]π΅)) β (π β§ π§ β (π΄[,]π΅)))) |
282 | | oveq1 7412 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π₯ = π§ β (π₯ + π) = (π§ + π)) |
283 | 282 | fveq2d 6892 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π₯ = π§ β (πΉβ(π₯ + π)) = (πΉβ(π§ + π))) |
284 | | fveq2 6888 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π₯ = π§ β (πΉβπ₯) = (πΉβπ§)) |
285 | 283, 284 | eqeq12d 2748 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π₯ = π§ β ((πΉβ(π₯ + π)) = (πΉβπ₯) β (πΉβ(π§ + π)) = (πΉβπ§))) |
286 | 281, 285 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π₯ = π§ β (((π β§ π₯ β (π΄[,]π΅)) β (πΉβ(π₯ + π)) = (πΉβπ₯)) β ((π β§ π§ β (π΄[,]π΅)) β (πΉβ(π§ + π)) = (πΉβπ§)))) |
287 | 286, 164 | chvarvv 2002 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π§ β (π΄[,]π΅)) β (πΉβ(π§ + π)) = (πΉβπ§)) |
288 | 273, 279,
287 | syl2anc 584 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (πΉβ(π§ + π)) = (πΉβπ§)) |
289 | 135, 123,
271, 225, 272, 151, 288, 54 | limcperiod 44330 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β πΏ β ((πΉ βΎ {π€ β β β£ βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π€ = (π§ + π)}) limβ ((πβ(π + 1)) + π))) |
290 | 109 | eqcomd 2738 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πβ(π + 1)) + π) = (πβ(π + 1))) |
291 | 267, 290 | oveq12d 7423 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πΉ βΎ {π€ β β β£ βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π€ = (π§ + π)}) limβ ((πβ(π + 1)) + π)) = ((π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β¦ (πΉβπ₯)) limβ (πβ(π + 1)))) |
292 | 289, 291 | eleqtrd 2835 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β πΏ β ((π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β¦ (πΉβπ₯)) limβ (πβ(π + 1)))) |
293 | 135, 123,
271, 225, 272, 151, 288, 55 | limcperiod 44330 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π
β ((πΉ βΎ {π€ β β β£ βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π€ = (π§ + π)}) limβ ((πβπ) + π))) |
294 | 99 | eqcomd 2738 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πβπ) + π) = (πβπ)) |
295 | 267, 294 | oveq12d 7423 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πΉ βΎ {π€ β β β£ βπ§ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))π€ = (π§ + π)}) limβ ((πβπ) + π)) = ((π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β¦ (πΉβπ₯)) limβ (πβπ))) |
296 | 293, 295 | eleqtrd 2835 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π
β ((π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β¦ (πΉβπ₯)) limβ (πβπ))) |
297 | 120, 121,
269, 292, 296 | iblcncfioo 44680 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β¦ (πΉβπ₯)) β
πΏ1) |
298 | 30 | ad2antrr 724 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β πΉ:ββΆβ) |
299 | 120 | adantr 481 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β (πβπ) β β) |
300 | 121 | adantr 481 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β (πβ(π + 1)) β β) |
301 | | simpr 485 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) |
302 | | eliccre 44204 |
. . . . . . 7
β’ (((πβπ) β β β§ (πβ(π + 1)) β β β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β π₯ β β) |
303 | 299, 300,
301, 302 | syl3anc 1371 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β π₯ β β) |
304 | 298, 303 | ffvelcdmd 7084 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β (πΉβπ₯) β β) |
305 | 120, 121,
297, 304 | ibliooicc 44673 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) β¦ (πΉβπ₯)) β
πΏ1) |
306 | 15, 20, 94, 110, 119, 305 | itgspltprt 44681 |
. . 3
β’ (π β β«((πβ0)[,](πβπ))(πΉβπ₯) dπ₯ = Ξ£π β (0..^π)β«((πβπ)[,](πβ(π + 1)))(πΉβπ₯) dπ₯) |
307 | | iftrue 4533 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π₯ = (πβπ) β if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))) = π
) |
308 | 307 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ = (πβπ)) β if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))) = π
) |
309 | | fourierdlem81.g |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ πΊ = (π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) β¦ if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, (πΉβπ₯)))) |
310 | | iftrue 4533 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π₯ = (πβπ) β if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, (πΉβπ₯))) = π
) |
311 | | iftrue 4533 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π₯ = (πβπ) β if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))) = π
) |
312 | 310, 311 | eqtr4d 2775 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π₯ = (πβπ) β if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, (πΉβπ₯))) = if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)))) |
313 | 312 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ π₯ = (πβπ)) β if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, (πΉβπ₯))) = if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)))) |
314 | | iffalse 4536 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (Β¬
π₯ = (πβπ) β if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, (πΉβπ₯))) = if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, (πΉβπ₯))) |
315 | 314 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((Β¬
π₯ = (πβπ) β§ π₯ = (πβ(π + 1))) β if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, (πΉβπ₯))) = if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, (πΉβπ₯))) |
316 | | iftrue 4533 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π₯ = (πβ(π + 1)) β if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, (πΉβπ₯)) = πΏ) |
317 | 316 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((Β¬
π₯ = (πβπ) β§ π₯ = (πβ(π + 1))) β if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, (πΉβπ₯)) = πΏ) |
318 | | iffalse 4536 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (Β¬
π₯ = (πβπ) β if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))) = if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))) |
319 | 318 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((Β¬
π₯ = (πβπ) β§ π₯ = (πβ(π + 1))) β if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))) = if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))) |
320 | | iftrue 4533 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π₯ = (πβ(π + 1)) β if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)) = πΏ) |
321 | 320 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((Β¬
π₯ = (πβπ) β§ π₯ = (πβ(π + 1))) β if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)) = πΏ) |
322 | 319, 321 | eqtr2d 2773 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((Β¬
π₯ = (πβπ) β§ π₯ = (πβ(π + 1))) β πΏ = if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)))) |
323 | 315, 317,
322 | 3eqtrd 2776 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((Β¬
π₯ = (πβπ) β§ π₯ = (πβ(π + 1))) β if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, (πΉβπ₯))) = if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)))) |
324 | 323 | adantll 712 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ π₯ = (πβ(π + 1))) β if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, (πΉβπ₯))) = if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)))) |
325 | 314 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, (πΉβπ₯))) = if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, (πΉβπ₯))) |
326 | | iffalse 4536 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (Β¬
π₯ = (πβ(π + 1)) β if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, (πΉβπ₯)) = (πΉβπ₯)) |
327 | 326 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, (πΉβπ₯)) = (πΉβπ₯)) |
328 | 318 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))) = if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))) |
329 | | iffalse 4536 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (Β¬
π₯ = (πβ(π + 1)) β if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)) = ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)) |
330 | 329 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)) = ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)) |
331 | 182 | ad3antrrr 728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β (πβπ) β
β*) |
332 | 184 | ad3antrrr 728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β (πβ(π + 1)) β
β*) |
333 | 60 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β π₯ β β) |
334 | 42 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β (πβπ) β β) |
335 | 60 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β π₯ β β) |
336 | 182 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β (πβπ) β
β*) |
337 | 184 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β (πβ(π + 1)) β
β*) |
338 | | simplr 767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) |
339 | | iccgelb 13376 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((πβπ) β β* β§ (πβ(π + 1)) β β* β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β (πβπ) β€ π₯) |
340 | 336, 337,
338, 339 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β (πβπ) β€ π₯) |
341 | | neqne 2948 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (Β¬
π₯ = (πβπ) β π₯ β (πβπ)) |
342 | 341 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β π₯ β (πβπ)) |
343 | 334, 335,
340, 342 | leneltd 11364 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β (πβπ) < π₯) |
344 | 343 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β (πβπ) < π₯) |
345 | 45 | ad3antrrr 728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β (πβ(π + 1)) β β) |
346 | 182 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β (πβπ) β
β*) |
347 | 184 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β (πβ(π + 1)) β
β*) |
348 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) |
349 | | iccleub 13375 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((πβπ) β β* β§ (πβ(π + 1)) β β* β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β π₯ β€ (πβ(π + 1))) |
350 | 346, 347,
348, 349 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β π₯ β€ (πβ(π + 1))) |
351 | 350 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β π₯ β€ (πβ(π + 1))) |
352 | | neqne 2948 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (Β¬
π₯ = (πβ(π + 1)) β π₯ β (πβ(π + 1))) |
353 | 352 | necomd 2996 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (Β¬
π₯ = (πβ(π + 1)) β (πβ(π + 1)) β π₯) |
354 | 353 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β (πβ(π + 1)) β π₯) |
355 | 333, 345,
351, 354 | leneltd 11364 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β π₯ < (πβ(π + 1))) |
356 | 331, 332,
333, 344, 355 | eliood 44197 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) |
357 | | fvres 6907 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯) = (πΉβπ₯)) |
358 | 356, 357 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯) = (πΉβπ₯)) |
359 | 328, 330,
358 | 3eqtrrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β (πΉβπ₯) = if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)))) |
360 | 325, 327,
359 | 3eqtrd 2776 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, (πΉβπ₯))) = if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)))) |
361 | 324, 360 | pm2.61dan 811 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, (πΉβπ₯))) = if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)))) |
362 | 313, 361 | pm2.61dan 811 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, (πΉβπ₯))) = if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)))) |
363 | 362 | mpteq2dva 5247 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) β¦ if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, (πΉβπ₯)))) = (π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) β¦ if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))))) |
364 | 309, 363 | eqtrid 2784 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β πΊ = (π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) β¦ if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))))) |
365 | | eqeq1 2736 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π₯ = π€ β (π₯ = (πβπ) β π€ = (πβπ))) |
366 | | eqeq1 2736 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π₯ = π€ β (π₯ = (πβ(π + 1)) β π€ = (πβ(π + 1)))) |
367 | | fveq2 6888 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π₯ = π€ β ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯) = ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ€)) |
368 | 366, 367 | ifbieq2d 4553 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π₯ = π€ β if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)) = if(π€ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ€))) |
369 | 365, 368 | ifbieq2d 4553 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π₯ = π€ β if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))) = if(π€ = (πβπ), π
, if(π€ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ€)))) |
370 | 369 | cbvmptv 5260 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) β¦ if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)))) = (π€ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) β¦ if(π€ = (πβπ), π
, if(π€ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ€)))) |
371 | 364, 370 | eqtrdi 2788 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β πΊ = (π€ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) β¦ if(π€ = (πβπ), π
, if(π€ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ€))))) |
372 | 371 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ = (πβπ)) β πΊ = (π€ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) β¦ if(π€ = (πβπ), π
, if(π€ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ€))))) |
373 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ = (πβπ)) β§ π€ = (π₯ β π)) β π€ = (π₯ β π)) |
374 | | oveq1 7412 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π₯ = (πβπ) β (π₯ β π) = ((πβπ) β π)) |
375 | 374 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ = (πβπ)) β§ π€ = (π₯ β π)) β (π₯ β π) = ((πβπ) β π)) |
376 | 227 | eqcomd 2738 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πβπ) β π) = (πβπ)) |
377 | 376 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ = (πβπ)) β§ π€ = (π₯ β π)) β ((πβπ) β π) = (πβπ)) |
378 | 373, 375,
377 | 3eqtrd 2776 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ = (πβπ)) β§ π€ = (π₯ β π)) β π€ = (πβπ)) |
379 | 378 | iftrued 4535 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ = (πβπ)) β§ π€ = (π₯ β π)) β if(π€ = (πβπ), π
, if(π€ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ€))) = π
) |
380 | 374 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ = (πβπ)) β (π₯ β π) = ((πβπ) β π)) |
381 | 42, 45, 29 | ltled 11358 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβπ) β€ (πβ(π + 1))) |
382 | | lbicc2 13437 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((πβπ) β β* β§ (πβ(π + 1)) β β* β§
(πβπ) β€ (πβ(π + 1))) β (πβπ) β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) |
383 | 182, 184,
381, 382 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβπ) β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) |
384 | 376, 383 | eqeltrd 2833 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πβπ) β π) β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) |
385 | 384 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ = (πβπ)) β ((πβπ) β π) β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) |
386 | 380, 385 | eqeltrd 2833 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ = (πβπ)) β (π₯ β π) β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) |
387 | | limccl 25383 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) limβ (πβπ)) β β |
388 | 387, 55 | sselid 3979 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π
β β) |
389 | 388 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ = (πβπ)) β π
β β) |
390 | 372, 379,
386, 389 | fvmptd 7002 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ = (πβπ)) β (πΊβ(π₯ β π)) = π
) |
391 | 308, 390 | eqtr4d 2775 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ = (πβπ)) β if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))) = (πΊβ(π₯ β π))) |
392 | 391 | adantlr 713 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ π₯ = (πβπ)) β if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))) = (πΊβ(π₯ β π))) |
393 | | iffalse 4536 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (Β¬
π₯ = (πβπ) β if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))) = if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))) |
394 | 393 | adantl 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))) = if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))) |
395 | 371 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ = (πβ(π + 1))) β πΊ = (π€ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) β¦ if(π€ = (πβπ), π
, if(π€ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ€))))) |
396 | | eqeq1 2736 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π€ = ((πβ(π + 1)) β π) β (π€ = (πβπ) β ((πβ(π + 1)) β π) = (πβπ))) |
397 | | eqeq1 2736 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π€ = ((πβ(π + 1)) β π) β (π€ = (πβ(π + 1)) β ((πβ(π + 1)) β π) = (πβ(π + 1)))) |
398 | | fveq2 6888 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π€ = ((πβ(π + 1)) β π) β ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ€) = ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))β((πβ(π + 1)) β π))) |
399 | 397, 398 | ifbieq2d 4553 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π€ = ((πβ(π + 1)) β π) β if(π€ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ€)) = if(((πβ(π + 1)) β π) = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))β((πβ(π + 1)) β π)))) |
400 | 396, 399 | ifbieq2d 4553 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π€ = ((πβ(π + 1)) β π) β if(π€ = (πβπ), π
, if(π€ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ€))) = if(((πβ(π + 1)) β π) = (πβπ), π
, if(((πβ(π + 1)) β π) = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))β((πβ(π + 1)) β π))))) |
401 | 400 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π€ = ((πβ(π + 1)) β π)) β if(π€ = (πβπ), π
, if(π€ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ€))) = if(((πβ(π + 1)) β π) = (πβπ), π
, if(((πβ(π + 1)) β π) = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))β((πβ(π + 1)) β π))))) |
402 | | eqeq1 2736 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((πβ(π + 1)) β π) = (πβ(π + 1)) β (((πβ(π + 1)) β π) = (πβπ) β (πβ(π + 1)) = (πβπ))) |
403 | | iftrue 4533 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((πβ(π + 1)) β π) = (πβ(π + 1)) β if(((πβ(π + 1)) β π) = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))β((πβ(π + 1)) β π))) = πΏ) |
404 | 402, 403 | ifbieq2d 4553 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((πβ(π + 1)) β π) = (πβ(π + 1)) β if(((πβ(π + 1)) β π) = (πβπ), π
, if(((πβ(π + 1)) β π) = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))β((πβ(π + 1)) β π)))) = if((πβ(π + 1)) = (πβπ), π
, πΏ)) |
405 | 246, 404 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β if(((πβ(π + 1)) β π) = (πβπ), π
, if(((πβ(π + 1)) β π) = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))β((πβ(π + 1)) β π)))) = if((πβ(π + 1)) = (πβπ), π
, πΏ)) |
406 | 405 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π€ = ((πβ(π + 1)) β π)) β if(((πβ(π + 1)) β π) = (πβπ), π
, if(((πβ(π + 1)) β π) = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))β((πβ(π + 1)) β π)))) = if((πβ(π + 1)) = (πβπ), π
, πΏ)) |
407 | 42, 29 | gtned 11345 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβ(π + 1)) β (πβπ)) |
408 | 407 | neneqd 2945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β Β¬ (πβ(π + 1)) = (πβπ)) |
409 | 408 | iffalsed 4538 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β if((πβ(π + 1)) = (πβπ), π
, πΏ) = πΏ) |
410 | 409 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π€ = ((πβ(π + 1)) β π)) β if((πβ(π + 1)) = (πβπ), π
, πΏ) = πΏ) |
411 | 401, 406,
410 | 3eqtrd 2776 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π€ = ((πβ(π + 1)) β π)) β if(π€ = (πβπ), π
, if(π€ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ€))) = πΏ) |
412 | 411 | adantlr 713 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ = (πβ(π + 1))) β§ π€ = ((πβ(π + 1)) β π)) β if(π€ = (πβπ), π
, if(π€ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ€))) = πΏ) |
413 | | ubicc2 13438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((πβπ) β β* β§ (πβ(π + 1)) β β* β§
(πβπ) β€ (πβ(π + 1))) β (πβ(π + 1)) β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) |
414 | 182, 184,
381, 413 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβ(π + 1)) β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) |
415 | 246, 414 | eqeltrd 2833 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πβ(π + 1)) β π) β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) |
416 | 415 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ = (πβ(π + 1))) β ((πβ(π + 1)) β π) β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) |
417 | | limccl 25383 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) limβ (πβ(π + 1))) β β |
418 | 417, 54 | sselid 3979 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β πΏ β β) |
419 | 418 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ = (πβ(π + 1))) β πΏ β β) |
420 | 395, 412,
416, 419 | fvmptd 7002 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ = (πβ(π + 1))) β (πΊβ((πβ(π + 1)) β π)) = πΏ) |
421 | | oveq1 7412 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π₯ = (πβ(π + 1)) β (π₯ β π) = ((πβ(π + 1)) β π)) |
422 | 421 | fveq2d 6892 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π₯ = (πβ(π + 1)) β (πΊβ(π₯ β π)) = (πΊβ((πβ(π + 1)) β π))) |
423 | 422 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ = (πβ(π + 1))) β (πΊβ(π₯ β π)) = (πΊβ((πβ(π + 1)) β π))) |
424 | | iftrue 4533 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π₯ = (πβ(π + 1)) β if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)) = πΏ) |
425 | 424 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ = (πβ(π + 1))) β if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)) = πΏ) |
426 | 420, 423,
425 | 3eqtr4rd 2783 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ = (πβ(π + 1))) β if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)) = (πΊβ(π₯ β π))) |
427 | 426 | ad4ant14 750 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ π₯ = (πβ(π + 1))) β if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)) = (πΊβ(π₯ β π))) |
428 | | iffalse 4536 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (Β¬
π₯ = (πβ(π + 1)) β if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)) = ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)) |
429 | 428 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)) = ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)) |
430 | 371 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β πΊ = (π€ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) β¦ if(π€ = (πβπ), π
, if(π€ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ€))))) |
431 | 430 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β πΊ = (π€ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) β¦ if(π€ = (πβπ), π
, if(π€ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ€))))) |
432 | | eqeq1 2736 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π€ = (π₯ β π) β (π€ = (πβπ) β (π₯ β π) = (πβπ))) |
433 | | eqeq1 2736 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π€ = (π₯ β π) β (π€ = (πβ(π + 1)) β (π₯ β π) = (πβ(π + 1)))) |
434 | | fveq2 6888 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π€ = (π₯ β π) β ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ€) = ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))β(π₯ β π))) |
435 | 433, 434 | ifbieq2d 4553 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π€ = (π₯ β π) β if(π€ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ€)) = if((π₯ β π) = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))β(π₯ β π)))) |
436 | 432, 435 | ifbieq2d 4553 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π€ = (π₯ β π) β if(π€ = (πβπ), π
, if(π€ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ€))) = if((π₯ β π) = (πβπ), π
, if((π₯ β π) = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))β(π₯ β π))))) |
437 | 436 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
((((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β§ π€ = (π₯ β π)) β if(π€ = (πβπ), π
, if(π€ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ€))) = if((π₯ β π) = (πβπ), π
, if((π₯ β π) = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))β(π₯ β π))))) |
438 | 303 | recnd 11238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β π₯ β β) |
439 | 225 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β π β β) |
440 | 438, 439 | npcand 11571 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β ((π₯ β π) + π) = π₯) |
441 | 440 | eqcomd 2738 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β π₯ = ((π₯ β π) + π)) |
442 | 441 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ (π₯ β π) = (πβπ)) β π₯ = ((π₯ β π) + π)) |
443 | | oveq1 7412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π₯ β π) = (πβπ) β ((π₯ β π) + π) = ((πβπ) + π)) |
444 | 443 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ (π₯ β π) = (πβπ)) β ((π₯ β π) + π) = ((πβπ) + π)) |
445 | 294 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ (π₯ β π) = (πβπ)) β ((πβπ) + π) = (πβπ)) |
446 | 442, 444,
445 | 3eqtrd 2776 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ (π₯ β π) = (πβπ)) β π₯ = (πβπ)) |
447 | 446 | stoic1a 1774 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β Β¬ (π₯ β π) = (πβπ)) |
448 | 447 | iffalsed 4538 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β if((π₯ β π) = (πβπ), π
, if((π₯ β π) = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))β(π₯ β π)))) = if((π₯ β π) = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))β(π₯ β π)))) |
449 | 448 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
((((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β§ π€ = (π₯ β π)) β if((π₯ β π) = (πβπ), π
, if((π₯ β π) = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))β(π₯ β π)))) = if((π₯ β π) = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))β(π₯ β π)))) |
450 | 441 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ (π₯ β π) = (πβ(π + 1))) β π₯ = ((π₯ β π) + π)) |
451 | | oveq1 7412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π₯ β π) = (πβ(π + 1)) β ((π₯ β π) + π) = ((πβ(π + 1)) + π)) |
452 | 451 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ (π₯ β π) = (πβ(π + 1))) β ((π₯ β π) + π) = ((πβ(π + 1)) + π)) |
453 | 290 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ (π₯ β π) = (πβ(π + 1))) β ((πβ(π + 1)) + π) = (πβ(π + 1))) |
454 | 450, 452,
453 | 3eqtrd 2776 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ (π₯ β π) = (πβ(π + 1))) β π₯ = (πβ(π + 1))) |
455 | 454 | stoic1a 1774 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β Β¬ (π₯ β π) = (πβ(π + 1))) |
456 | 455 | iffalsed 4538 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β if((π₯ β π) = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))β(π₯ β π))) = ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))β(π₯ β π))) |
457 | 456 | adantlr 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β if((π₯ β π) = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))β(π₯ β π))) = ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))β(π₯ β π))) |
458 | 457 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
((((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β§ π€ = (π₯ β π)) β if((π₯ β π) = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))β(π₯ β π))) = ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))β(π₯ β π))) |
459 | 437, 449,
458 | 3eqtrd 2776 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
((((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β§ π€ = (π₯ β π)) β if(π€ = (πβπ), π
, if(π€ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ€))) = ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))β(π₯ β π))) |
460 | 42 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β (πβπ) β β) |
461 | 45 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β (πβ(π + 1)) β β) |
462 | 75 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β π β β) |
463 | 303, 462 | resubcld 11638 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β (π₯ β π) β β) |
464 | 227 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β (πβπ) = ((πβπ) β π)) |
465 | 206 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β (πβπ) β
β*) |
466 | 208 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β (πβ(π + 1)) β
β*) |
467 | | iccgelb 13376 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((πβπ) β β* β§ (πβ(π + 1)) β β* β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β (πβπ) β€ π₯) |
468 | 465, 466,
301, 467 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β (πβπ) β€ π₯) |
469 | 299, 303,
462, 468 | lesub1dd 11826 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β ((πβπ) β π) β€ (π₯ β π)) |
470 | 464, 469 | eqbrtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β (πβπ) β€ (π₯ β π)) |
471 | | iccleub 13375 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((πβπ) β β* β§ (πβ(π + 1)) β β* β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β π₯ β€ (πβ(π + 1))) |
472 | 465, 466,
301, 471 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β π₯ β€ (πβ(π + 1))) |
473 | 303, 300,
462, 472 | lesub1dd 11826 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β (π₯ β π) β€ ((πβ(π + 1)) β π)) |
474 | 246 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β ((πβ(π + 1)) β π) = (πβ(π + 1))) |
475 | 473, 474 | breqtrd 5173 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β (π₯ β π) β€ (πβ(π + 1))) |
476 | 460, 461,
463, 470, 475 | eliccd 44203 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β (π₯ β π) β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) |
477 | 476 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β (π₯ β π) β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) |
478 | 135, 271 | fssresd 6755 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))):((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βΆβ) |
479 | 478 | ad3antrrr 728 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β (πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))):((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βΆβ) |
480 | 182 | ad3antrrr 728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β (πβπ) β
β*) |
481 | 184 | ad3antrrr 728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β (πβ(π + 1)) β
β*) |
482 | 303 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β π₯ β β) |
483 | 95 | ad3antrrr 728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β π β β) |
484 | 482, 483 | resubcld 11638 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β (π₯ β π) β β) |
485 | 42 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β (πβπ) β β) |
486 | 463 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β (π₯ β π) β β) |
487 | 470 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β (πβπ) β€ (π₯ β π)) |
488 | 447 | neqned 2947 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β (π₯ β π) β (πβπ)) |
489 | 485, 486,
487, 488 | leneltd 11364 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β (πβπ) < (π₯ β π)) |
490 | 489 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β (πβπ) < (π₯ β π)) |
491 | 463 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β (π₯ β π) β β) |
492 | 45 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β (πβ(π + 1)) β β) |
493 | 475 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β (π₯ β π) β€ (πβ(π + 1))) |
494 | | eqcom 2739 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π₯ β π) = (πβ(π + 1)) β (πβ(π + 1)) = (π₯ β π)) |
495 | 454 | ex 413 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β ((π₯ β π) = (πβ(π + 1)) β π₯ = (πβ(π + 1)))) |
496 | 494, 495 | biimtrrid 242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β ((πβ(π + 1)) = (π₯ β π) β π₯ = (πβ(π + 1)))) |
497 | 496 | con3dimp 409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β Β¬ (πβ(π + 1)) = (π₯ β π)) |
498 | 497 | neqned 2947 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β (πβ(π + 1)) β (π₯ β π)) |
499 | 491, 492,
493, 498 | leneltd 11364 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β (π₯ β π) < (πβ(π + 1))) |
500 | 499 | adantlr 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β (π₯ β π) < (πβ(π + 1))) |
501 | 480, 481,
484, 490, 500 | eliood 44197 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β (π₯ β π) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) |
502 | 479, 501 | ffvelcdmd 7084 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))β(π₯ β π)) β β) |
503 | 431, 459,
477, 502 | fvmptd 7002 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β (πΊβ(π₯ β π)) = ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))β(π₯ β π))) |
504 | | fvres 6907 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π₯ β π) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))β(π₯ β π)) = (πΉβ(π₯ β π))) |
505 | 501, 504 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))β(π₯ β π)) = (πΉβ(π₯ β π))) |
506 | 503, 505 | eqtrd 2772 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β (πΊβ(π₯ β π)) = (πΉβ(π₯ β π))) |
507 | 465 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β (πβπ) β
β*) |
508 | 466 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β (πβ(π + 1)) β
β*) |
509 | 120 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β (πβπ) β β) |
510 | 303 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β π₯ β β) |
511 | 468 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β (πβπ) β€ π₯) |
512 | | neqne 2948 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (Β¬
π₯ = (πβπ) β π₯ β (πβπ)) |
513 | 512 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β π₯ β (πβπ)) |
514 | 509, 510,
511, 513 | leneltd 11364 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β (πβπ) < π₯) |
515 | 514 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β (πβπ) < π₯) |
516 | 300 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β (πβ(π + 1)) β β) |
517 | 472 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β π₯ β€ (πβ(π + 1))) |
518 | | neqne 2948 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (Β¬
π₯ = (πβ(π + 1)) β π₯ β (πβ(π + 1))) |
519 | 518 | necomd 2996 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (Β¬
π₯ = (πβ(π + 1)) β (πβ(π + 1)) β π₯) |
520 | 519 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β (πβ(π + 1)) β π₯) |
521 | 482, 516,
517, 520 | leneltd 11364 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β π₯ < (πβ(π + 1))) |
522 | 507, 508,
482, 515, 521 | eliood 44197 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) |
523 | | fvres 6907 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯) = (πΉβπ₯)) |
524 | 522, 523 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯) = (πΉβπ₯)) |
525 | 440 | fveq2d 6892 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β (πΉβ((π₯ β π) + π)) = (πΉβπ₯)) |
526 | 525 | eqcomd 2738 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β (πΉβπ₯) = (πΉβ((π₯ β π) + π))) |
527 | 526 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β (πΉβπ₯) = (πΉβ((π₯ β π) + π))) |
528 | 438, 439 | subcld 11567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β (π₯ β π) β β) |
529 | | elex 3492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π₯ β π) β β β (π₯ β π) β V) |
530 | 528, 529 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β (π₯ β π) β V) |
531 | 530 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β (π₯ β π) β V) |
532 | | simp-4l 781 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β π) |
533 | 153 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π΄ β
β*) |
534 | 155 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π΅ β
β*) |
535 | 157 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π:(0...π)βΆ(π΄[,]π΅)) |
536 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π β (0..^π)) |
537 | 533, 534,
535, 536 | fourierdlem8 44817 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) β (π΄[,]π΅)) |
538 | 537 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) β (π΄[,]π΅)) |
539 | 538, 476 | sseldd 3982 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β (π₯ β π) β (π΄[,]π΅)) |
540 | 539 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β (π₯ β π) β (π΄[,]π΅)) |
541 | 532, 540 | jca 512 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β (π β§ (π₯ β π) β (π΄[,]π΅))) |
542 | | eleq1 2821 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π¦ = (π₯ β π) β (π¦ β (π΄[,]π΅) β (π₯ β π) β (π΄[,]π΅))) |
543 | 542 | anbi2d 629 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π¦ = (π₯ β π) β ((π β§ π¦ β (π΄[,]π΅)) β (π β§ (π₯ β π) β (π΄[,]π΅)))) |
544 | | oveq1 7412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π¦ = (π₯ β π) β (π¦ + π) = ((π₯ β π) + π)) |
545 | 544 | fveq2d 6892 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π¦ = (π₯ β π) β (πΉβ(π¦ + π)) = (πΉβ((π₯ β π) + π))) |
546 | | fveq2 6888 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π¦ = (π₯ β π) β (πΉβπ¦) = (πΉβ(π₯ β π))) |
547 | 545, 546 | eqeq12d 2748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π¦ = (π₯ β π) β ((πΉβ(π¦ + π)) = (πΉβπ¦) β (πΉβ((π₯ β π) + π)) = (πΉβ(π₯ β π)))) |
548 | 543, 547 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π¦ = (π₯ β π) β (((π β§ π¦ β (π΄[,]π΅)) β (πΉβ(π¦ + π)) = (πΉβπ¦)) β ((π β§ (π₯ β π) β (π΄[,]π΅)) β (πΉβ((π₯ β π) + π)) = (πΉβ(π₯ β π))))) |
549 | | eleq1 2821 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π₯ = π¦ β (π₯ β (π΄[,]π΅) β π¦ β (π΄[,]π΅))) |
550 | 549 | anbi2d 629 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π₯ = π¦ β ((π β§ π₯ β (π΄[,]π΅)) β (π β§ π¦ β (π΄[,]π΅)))) |
551 | | oveq1 7412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π₯ = π¦ β (π₯ + π) = (π¦ + π)) |
552 | 551 | fveq2d 6892 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π₯ = π¦ β (πΉβ(π₯ + π)) = (πΉβ(π¦ + π))) |
553 | | fveq2 6888 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π₯ = π¦ β (πΉβπ₯) = (πΉβπ¦)) |
554 | 552, 553 | eqeq12d 2748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π₯ = π¦ β ((πΉβ(π₯ + π)) = (πΉβπ₯) β (πΉβ(π¦ + π)) = (πΉβπ¦))) |
555 | 550, 554 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π₯ = π¦ β (((π β§ π₯ β (π΄[,]π΅)) β (πΉβ(π₯ + π)) = (πΉβπ₯)) β ((π β§ π¦ β (π΄[,]π΅)) β (πΉβ(π¦ + π)) = (πΉβπ¦)))) |
556 | 555, 164 | chvarvv 2002 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π¦ β (π΄[,]π΅)) β (πΉβ(π¦ + π)) = (πΉβπ¦)) |
557 | 548, 556 | vtoclg 3556 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π₯ β π) β V β ((π β§ (π₯ β π) β (π΄[,]π΅)) β (πΉβ((π₯ β π) + π)) = (πΉβ(π₯ β π)))) |
558 | 531, 541,
557 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β (πΉβ((π₯ β π) + π)) = (πΉβ(π₯ β π))) |
559 | 524, 527,
558 | 3eqtrd 2776 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯) = (πΉβ(π₯ β π))) |
560 | 506, 559 | eqtr4d 2775 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β (πΊβ(π₯ β π)) = ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)) |
561 | 429, 560 | eqtr4d 2775 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)) = (πΊβ(π₯ β π))) |
562 | 427, 561 | pm2.61dan 811 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)) = (πΊβ(π₯ β π))) |
563 | 394, 562 | eqtrd 2772 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))) = (πΊβ(π₯ β π))) |
564 | 392, 563 | pm2.61dan 811 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))) = (πΊβ(π₯ β π))) |
565 | 308, 389 | eqeltrd 2833 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ = (πβπ)) β if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))) β β) |
566 | 565 | adantlr 713 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ π₯ = (πβπ)) β if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))) β β) |
567 | 425, 419 | eqeltrd 2833 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ = (πβ(π + 1))) β if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)) β β) |
568 | 567 | ad4ant14 750 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ π₯ = (πβ(π + 1))) β if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)) β β) |
569 | 263, 265 | fssresd 6755 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))):((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βΆβ) |
570 | 569 | ad3antrrr 728 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β (πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))):((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βΆβ) |
571 | 570, 522 | ffvelcdmd 7084 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯) β β) |
572 | 429, 571 | eqeltrd 2833 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β§ Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) β if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)) β β) |
573 | 568, 572 | pm2.61dan 811 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)) β β) |
574 | 394, 573 | eqeltrd 2833 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β§ Β¬ π₯ = (πβπ)) β if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))) β β) |
575 | 566, 574 | pm2.61dan 811 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))) β β) |
576 | | eqid 2732 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) β¦ if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)))) = (π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) β¦ if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)))) |
577 | 576 | fvmpt2 7006 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) β§ if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))) β β) β ((π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) β¦ if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))))βπ₯) = if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)))) |
578 | 301, 575,
577 | syl2anc 584 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β ((π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) β¦ if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))))βπ₯) = if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)))) |
579 | | nfv 1917 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
β²π₯(π β§ π β (0..^π)) |
580 | | eqid 2732 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) β¦ if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)))) = (π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) β¦ if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)))) |
581 | 579, 580,
42, 45, 53, 54, 55 | cncfiooicc 44596 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) β¦ if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)))) β (((πβπ)[,](πβ(π + 1)))βcnββ)) |
582 | 364, 581 | eqeltrd 2833 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β πΊ β (((πβπ)[,](πβ(π + 1)))βcnββ)) |
583 | | cncff 24400 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (πΊ β (((πβπ)[,](πβ(π + 1)))βcnββ) β πΊ:((πβπ)[,](πβ(π + 1)))βΆβ) |
584 | 582, 583 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β πΊ:((πβπ)[,](πβ(π + 1)))βΆβ) |
585 | 584 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β πΊ:((πβπ)[,](πβ(π + 1)))βΆβ) |
586 | 585, 476 | ffvelcdmd 7084 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β (πΊβ(π₯ β π)) β β) |
587 | | fourierdlem81.h |
. . . . . . . . . 10
β’ π» = (π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) β¦ (πΊβ(π₯ β π))) |
588 | 587 | fvmpt2 7006 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) β§ (πΊβ(π₯ β π)) β β) β (π»βπ₯) = (πΊβ(π₯ β π))) |
589 | 301, 586,
588 | syl2anc 584 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β (π»βπ₯) = (πΊβ(π₯ β π))) |
590 | 564, 578,
589 | 3eqtr4rd 2783 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β (π»βπ₯) = ((π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) β¦ if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))))βπ₯)) |
591 | 590 | itgeq2dv 25290 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β β«((πβπ)[,](πβ(π + 1)))(π»βπ₯) dπ₯ = β«((πβπ)[,](πβ(π + 1)))((π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) β¦ if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))))βπ₯) dπ₯) |
592 | | ioossicc 13406 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) |
593 | 592 | sseli 3977 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) |
594 | 593 | adantl 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) |
595 | 593, 575 | sylan2 593 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))) β β) |
596 | 594, 595,
577 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β ((π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) β¦ if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))))βπ₯) = if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)))) |
597 | 229, 237 | gtned 11345 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β π₯ β (πβπ)) |
598 | 597 | neneqd 2945 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β Β¬ π₯ = (πβπ)) |
599 | 598 | iffalsed 4538 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))) = if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))) |
600 | 230, 241 | ltned 11346 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β π₯ β (πβ(π + 1))) |
601 | 600 | neneqd 2945 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β Β¬ π₯ = (πβ(π + 1))) |
602 | 601 | iffalsed 4538 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)) = ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)) |
603 | 523 | adantl 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯) = (πΉβπ₯)) |
604 | 602, 603 | eqtrd 2772 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯)) = (πΉβπ₯)) |
605 | 596, 599,
604 | 3eqtrd 2776 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β ((π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) β¦ if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))))βπ₯) = (πΉβπ₯)) |
606 | 605 | itgeq2dv 25290 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β β«((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))((π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) β¦ if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))))βπ₯) dπ₯ = β«((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))(πΉβπ₯) dπ₯) |
607 | 578, 575 | eqeltrd 2833 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) β ((π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) β¦ if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))))βπ₯) β β) |
608 | 120, 121,
607 | itgioo 25324 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β β«((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))((π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) β¦ if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))))βπ₯) dπ₯ = β«((πβπ)[,](πβ(π + 1)))((π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) β¦ if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))))βπ₯) dπ₯) |
609 | 120, 121,
304 | itgioo 25324 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β β«((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))(πΉβπ₯) dπ₯ = β«((πβπ)[,](πβ(π + 1)))(πΉβπ₯) dπ₯) |
610 | 606, 608,
609 | 3eqtr3d 2780 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β β«((πβπ)[,](πβ(π + 1)))((π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) β¦ if(π₯ = (πβπ), π
, if(π₯ = (πβ(π + 1)), πΏ, ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))βπ₯))))βπ₯) dπ₯ = β«((πβπ)[,](πβ(π + 1)))(πΉβπ₯) dπ₯) |
611 | 591, 610 | eqtr2d 2773 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β β«((πβπ)[,](πβ(π + 1)))(πΉβπ₯) dπ₯ = β«((πβπ)[,](πβ(π + 1)))(π»βπ₯) dπ₯) |
612 | 99, 109 | oveq12d 7423 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) = (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π))) |
613 | 612 | itgeq1d 44659 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β β«((πβπ)[,](πβ(π + 1)))(π»βπ₯) dπ₯ = β«(((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π))(π»βπ₯) dπ₯) |
614 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π))) β π₯ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π))) |
615 | 612 | eqcomd 2738 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π)) = ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) |
616 | 615 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π))) β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π)) = ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) |
617 | 614, 616 | eleqtrd 2835 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π))) β π₯ β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) |
618 | 584 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π))) β πΊ:((πβπ)[,](πβ(π + 1)))βΆβ) |
619 | 42 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π))) β (πβπ) β β) |
620 | 45 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π))) β (πβ(π + 1)) β β) |
621 | 97 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π))) β ((πβπ) + π) β β) |
622 | 108 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π))) β ((πβ(π + 1)) + π) β β) |
623 | | eliccre 44204 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πβπ) + π) β β β§ ((πβ(π + 1)) + π) β β β§ π₯ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π))) β π₯ β β) |
624 | 621, 622,
614, 623 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π))) β π₯ β β) |
625 | 75 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π))) β π β β) |
626 | 624, 625 | resubcld 11638 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π))) β (π₯ β π) β β) |
627 | 226 | eqcomd 2738 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβπ) = (((πβπ) + π) β π)) |
628 | 627 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π))) β (πβπ) = (((πβπ) + π) β π)) |
629 | 621 | rexrd 11260 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π))) β ((πβπ) + π) β
β*) |
630 | 622 | rexrd 11260 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π))) β ((πβ(π + 1)) + π) β
β*) |
631 | | iccgelb 13376 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((πβπ) + π) β β* β§ ((πβ(π + 1)) + π) β β* β§ π₯ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π))) β ((πβπ) + π) β€ π₯) |
632 | 629, 630,
614, 631 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π))) β ((πβπ) + π) β€ π₯) |
633 | 621, 624,
625, 632 | lesub1dd 11826 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π))) β (((πβπ) + π) β π) β€ (π₯ β π)) |
634 | 628, 633 | eqbrtrd 5169 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π))) β (πβπ) β€ (π₯ β π)) |
635 | | iccleub 13375 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((πβπ) + π) β β* β§ ((πβ(π + 1)) + π) β β* β§ π₯ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π))) β π₯ β€ ((πβ(π + 1)) + π)) |
636 | 629, 630,
614, 635 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π))) β π₯ β€ ((πβ(π + 1)) + π)) |
637 | 624, 622,
625, 636 | lesub1dd 11826 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π))) β (π₯ β π) β€ (((πβ(π + 1)) + π) β π)) |
638 | 245 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π))) β (((πβ(π + 1)) + π) β π) = (πβ(π + 1))) |
639 | 637, 638 | breqtrd 5173 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π))) β (π₯ β π) β€ (πβ(π + 1))) |
640 | 619, 620,
626, 634, 639 | eliccd 44203 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π))) β (π₯ β π) β ((πβπ)[,](πβ(π + 1)))) |
641 | 618, 640 | ffvelcdmd 7084 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π))) β (πΊβ(π₯ β π)) β β) |
642 | 617, 641,
588 | syl2anc 584 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π))) β (π»βπ₯) = (πΊβ(π₯ β π))) |
643 | | eqidd 2733 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π))) β (π¦ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π)) β¦ (πΊβ(π¦ β π))) = (π¦ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π)) β¦ (πΊβ(π¦ β π)))) |
644 | | oveq1 7412 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π¦ = π₯ β (π¦ β π) = (π₯ β π)) |
645 | 644 | fveq2d 6892 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π¦ = π₯ β (πΊβ(π¦ β π)) = (πΊβ(π₯ β π))) |
646 | 645 | adantl 482 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π))) β§ π¦ = π₯) β (πΊβ(π¦ β π)) = (πΊβ(π₯ β π))) |
647 | 643, 646,
614, 641 | fvmptd 7002 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π))) β ((π¦ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π)) β¦ (πΊβ(π¦ β π)))βπ₯) = (πΊβ(π₯ β π))) |
648 | 642, 647 | eqtr4d 2775 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π))) β (π»βπ₯) = ((π¦ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π)) β¦ (πΊβ(π¦ β π)))βπ₯)) |
649 | 648 | itgeq2dv 25290 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β β«(((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π))(π»βπ₯) dπ₯ = β«(((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π))((π¦ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π)) β¦ (πΊβ(π¦ β π)))βπ₯) dπ₯) |
650 | 74 | adantr 481 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π β
β+) |
651 | 645 | cbvmptv 5260 |
. . . . . . 7
β’ (π¦ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π)) β¦ (πΊβ(π¦ β π))) = (π₯ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π)) β¦ (πΊβ(π₯ β π))) |
652 | 42, 45, 381, 582, 650, 651 | itgiccshift 44682 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β β«(((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π))((π¦ β (((πβπ) + π)[,]((πβ(π + 1)) + π)) β¦ (πΊβ(π¦ β π)))βπ₯) dπ₯ = β«((πβπ)[,](πβ(π + 1)))(πΊβπ₯) dπ₯) |
653 | 613, 649,
652 | 3eqtrd 2776 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β β«((πβπ)[,](πβ(π + 1)))(π»βπ₯) dπ₯ = β«((πβπ)[,](πβ(π + 1)))(πΊβπ₯) dπ₯) |
654 | 132 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β dom πΉ = β) |
655 | 59, 654 | sseqtrrd 4022 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) β dom πΉ) |
656 | 42, 45, 135, 53, 655, 55, 54, 309 | itgioocnicc 44679 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πΊ β πΏ1 β§
β«((πβπ)[,](πβ(π + 1)))(πΊβπ₯) dπ₯ = β«((πβπ)[,](πβ(π + 1)))(πΉβπ₯) dπ₯)) |
657 | 656 | simprd 496 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β β«((πβπ)[,](πβ(π + 1)))(πΊβπ₯) dπ₯ = β«((πβπ)[,](πβ(π + 1)))(πΉβπ₯) dπ₯) |
658 | 611, 653,
657 | 3eqtrd 2776 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β β«((πβπ)[,](πβ(π + 1)))(πΉβπ₯) dπ₯ = β«((πβπ)[,](πβ(π + 1)))(πΉβπ₯) dπ₯) |
659 | 658 | sumeq2dv 15645 |
. . 3
β’ (π β Ξ£π β (0..^π)β«((πβπ)[,](πβ(π + 1)))(πΉβπ₯) dπ₯ = Ξ£π β (0..^π)β«((πβπ)[,](πβ(π + 1)))(πΉβπ₯) dπ₯) |
660 | 90, 306, 659 | 3eqtrrd 2777 |
. 2
β’ (π β Ξ£π β (0..^π)β«((πβπ)[,](πβ(π + 1)))(πΉβπ₯) dπ₯ = β«((π΄ + π)[,](π΅ + π))(πΉβπ₯) dπ₯) |
661 | 14, 63, 660 | 3eqtrrd 2777 |
1
β’ (π β β«((π΄ + π)[,](π΅ + π))(πΉβπ₯) dπ₯ = β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯) |