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Theorem fourierdlem81 44889
Description: The integral of a piecewise continuous periodic function 𝐹 is unchanged if the domain is shifted by its period 𝑇. In this lemma, 𝑇 is assumed to be strictly positive. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem81.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem81.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
fourierdlem81.p 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem81.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
fourierdlem81.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
fourierdlem81.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
fourierdlem81.fper ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
fourierdlem81.s 𝑆 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇))
fourierdlem81.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
fourierdlem81.cncf ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
fourierdlem81.r ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
fourierdlem81.l ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
fourierdlem81.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
fourierdlem81.h 𝐻 = (π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem81 (πœ‘ β†’ ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,π‘š,𝑝   π‘₯,𝐴,𝑖   𝐡,𝑖,π‘š,𝑝   π‘₯,𝐡   𝑖,𝐹,π‘₯   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐿   𝑖,𝑀,π‘š,𝑝   π‘₯,𝑀   𝑄,𝑖,𝑝   π‘₯,𝑄   π‘₯,𝑅   𝑆,𝑖,π‘₯   𝑇,𝑖,π‘₯   πœ‘,𝑖,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑝)   𝑃(π‘₯,𝑖,π‘š,𝑝)   𝑄(π‘š)   𝑅(𝑖,π‘š,𝑝)   𝑆(π‘š,𝑝)   𝑇(π‘š,𝑝)   𝐹(π‘š,𝑝)   𝐺(𝑖,π‘š,𝑝)   𝐻(π‘₯,𝑖,π‘š,𝑝)   𝐿(𝑖,π‘š,𝑝)
Proof of Theorem fourierdlem81
Dummy variables 𝑦 𝑀 𝑧 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem81.q . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
2 fourierdlem81.m . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
3 fourierdlem81.p . . . . . . . . . . 11 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
43fourierdlem2 44811 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
52, 4syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
61, 5mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
76simprd 496 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
87simpld 495 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡))
98simpld 495 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) = 𝐴)
109eqcomd 2738 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (π‘„β€˜0))
118simprd 496 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡)
1211eqcomd 2738 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (π‘„β€˜π‘€))
1310, 12oveq12d 7423 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) = ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€)))
1413itgeq1d 44659 . 2 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
15 0zd 12566 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
16 nnuz 12861 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
17 0p1e1 12330 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
1817fveq2i 6891 . . . . 5 (β„€β‰₯β€˜(0 + 1)) = (β„€β‰₯β€˜1)
1916, 18eqtr4i 2763 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜(0 + 1))
202, 19eleqtrdi 2843 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(0 + 1)))
216simpld 495 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
22 reex 11197 . . . . . 6 ℝ ∈ V
2322a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
24 ovex 7438 . . . . . 6 (0...𝑀) ∈ V
2524a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0...𝑀) ∈ V)
2623, 25elmapd 8830 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ↔ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„))
2721, 26mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
287simprd 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
2928r19.21bi 3248 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
30 fourierdlem81.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
3130adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€))) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
32 fourierdlem81.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
339, 32eqeltrd 2833 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) ∈ ℝ)
34 fourierdlem81.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3511, 34eqeltrd 2833 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) ∈ ℝ)
3633, 35iccssred 13407 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€)) βŠ† ℝ)
3736sselda 3981 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3831, 37ffvelcdmd 7084 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3927adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
40 elfzofz 13644 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
4140adantl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
4239, 41ffvelcdmd 7084 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
43 fzofzp1 13725 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
4443adantl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
4539, 44ffvelcdmd 7084 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
4630feqmptd 6957 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
4746reseq1d 5978 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
4847adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
49 ioossre 13381 . . . . . . . 8 ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ
5049a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ)
5150resmptd 6038 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
5248, 51eqtr2d 2773 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
53 fourierdlem81.cncf . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
54 fourierdlem81.l . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
55 fourierdlem81.r . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
5642, 45, 53, 54, 55iblcncfioo 44680 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ 𝐿1)
5752, 56eqeltrd 2833 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
5830ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
5942, 45iccssred 13407 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ)
6059sselda 3981 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
6158, 60ffvelcdmd 7084 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
6242, 45, 57, 61ibliooicc 44673 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
6315, 20, 27, 29, 38, 62itgspltprt 44681 . 2 (πœ‘ β†’ ∫((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
64 fourierdlem81.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇))
6564a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)))
66 fveq2 6888 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜0))
6766oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) = ((π‘„β€˜0) + 𝑇))
6867adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) = ((π‘„β€˜0) + 𝑇))
692nnnn0d 12528 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
70 nn0uz 12860 . . . . . . . . 9 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
7169, 70eleqtrdi 2843 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
72 eluzfz1 13504 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
7371, 72syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
74 fourierdlem81.t . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
7574rpred 13012 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
7633, 75readdcld 11239 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜0) + 𝑇) ∈ ℝ)
7765, 68, 73, 76fvmptd 7002 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜0) = ((π‘„β€˜0) + 𝑇))
789oveq1d 7420 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜0) + 𝑇) = (𝐴 + 𝑇))
7977, 78eqtr2d 2773 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝑇) = (π‘†β€˜0))
80 fveq2 6888 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑀 β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘€))
8180oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑀 β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) = ((π‘„β€˜π‘€) + 𝑇))
8281adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 𝑀) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) = ((π‘„β€˜π‘€) + 𝑇))
83 eluzfz2 13505 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
8471, 83syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
8535, 75readdcld 11239 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜π‘€) + 𝑇) ∈ ℝ)
8665, 82, 84, 85fvmptd 7002 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘€) = ((π‘„β€˜π‘€) + 𝑇))
8711oveq1d 7420 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜π‘€) + 𝑇) = (𝐡 + 𝑇))
8886, 87eqtr2d 2773 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 + 𝑇) = (π‘†β€˜π‘€))
8979, 88oveq12d 7423 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) = ((π‘†β€˜0)[,](π‘†β€˜π‘€)))
9089itgeq1d 44659 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((π‘†β€˜0)[,](π‘†β€˜π‘€))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
9127ffvelcdmda 7083 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
9275adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
9391, 92readdcld 11239 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) ∈ ℝ)
9493, 64fmptd 7110 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆:(0...𝑀)βŸΆβ„)
9575adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
9642, 45, 95, 29ltadd1dd 11821 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) < ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))
9740, 93sylan2 593 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) ∈ ℝ)
9864fvmpt2 7006 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) ∈ ℝ) β†’ (π‘†β€˜π‘–) = ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇))
9941, 97, 98syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘†β€˜π‘–) = ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇))
100 fveq2 6888 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘—))
101100oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) = ((π‘„β€˜π‘—) + 𝑇))
102101cbvmptv 5260 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘„β€˜π‘—) + 𝑇))
10364, 102eqtri 2760 . . . . . . 7 𝑆 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘„β€˜π‘—) + 𝑇))
104103a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑆 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘„β€˜π‘—) + 𝑇)))
105 fveq2 6888 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑖 + 1) β†’ (π‘„β€˜π‘—) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
106105oveq1d 7420 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑖 + 1) β†’ ((π‘„β€˜π‘—) + 𝑇) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))
107106adantl 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) β†’ ((π‘„β€˜π‘—) + 𝑇) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))
10845, 95readdcld 11239 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇) ∈ ℝ)
109104, 107, 44, 108fvmptd 7002 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))
11096, 99, 1093brtr4d 5179 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘†β€˜π‘–) < (π‘†β€˜(𝑖 + 1)))
11130adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜0)[,](π‘†β€˜π‘€))) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
11277, 76eqeltrd 2833 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜0) ∈ ℝ)
113112adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜0)[,](π‘†β€˜π‘€))) β†’ (π‘†β€˜0) ∈ ℝ)
11486, 85eqeltrd 2833 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘€) ∈ ℝ)
115114adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜0)[,](π‘†β€˜π‘€))) β†’ (π‘†β€˜π‘€) ∈ ℝ)
116113, 115iccssred 13407 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜0)[,](π‘†β€˜π‘€))) β†’ ((π‘†β€˜0)[,](π‘†β€˜π‘€)) βŠ† ℝ)
117 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜0)[,](π‘†β€˜π‘€))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜0)[,](π‘†β€˜π‘€)))
118116, 117sseldd 3982 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜0)[,](π‘†β€˜π‘€))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
119111, 118ffvelcdmd 7084 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜0)[,](π‘†β€˜π‘€))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
12099, 97eqeltrd 2833 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘†β€˜π‘–) ∈ ℝ)
121109, 108eqeltrd 2833 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
122 ioosscn 13382 . . . . . . . . 9 ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† β„‚
123122a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† β„‚)
124 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑀 = (𝑧 + 𝑇) ↔ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)))
125124rexbidv 3178 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)))
126 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 β†’ (𝑧 + 𝑇) = (𝑦 + 𝑇))
127126eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 β†’ (π‘₯ = (𝑧 + 𝑇) ↔ π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)))
128127cbvrexvw 3235 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑧 + 𝑇) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑦 + 𝑇))
129125, 128bitrdi 286 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)))
130129cbvrabv 3442 . . . . . . . 8 {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)} = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)}
131 fdm 6723 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:β„βŸΆβ„‚ β†’ dom 𝐹 = ℝ)
13230, 131syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = ℝ)
133132feq2d 6700 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ↔ 𝐹:β„βŸΆβ„‚))
13430, 133mpbird 256 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
135134adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
136 elioore 13350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
137136adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
13875adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
139137, 138readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
140139adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
1411403adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑧 + 𝑇)) β†’ (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
142 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑧 + 𝑇)) β†’ 𝑀 = (𝑧 + 𝑇))
1431323ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑧 + 𝑇)) β†’ dom 𝐹 = ℝ)
1441433adant1r 1177 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑧 + 𝑇)) β†’ dom 𝐹 = ℝ)
145141, 142, 1443eltr4d 2848 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑧 + 𝑇)) β†’ 𝑀 ∈ dom 𝐹)
1461453exp 1119 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (𝑀 = (𝑧 + 𝑇) β†’ 𝑀 ∈ dom 𝐹)))
147146adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (𝑀 = (𝑧 + 𝑇) β†’ 𝑀 ∈ dom 𝐹)))
148147rexlimdv 3153 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇) β†’ 𝑀 ∈ dom 𝐹))
149148ralrimiva 3146 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ β„‚ (βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇) β†’ 𝑀 ∈ dom 𝐹))
150 rabss 4068 . . . . . . . . 9 ({𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)} βŠ† dom 𝐹 ↔ βˆ€π‘€ ∈ β„‚ (βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇) β†’ 𝑀 ∈ dom 𝐹))
151149, 150sylibr 233 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)} βŠ† dom 𝐹)
152 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ πœ‘)
15332rexrd 11260 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
154153ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
15534rexrd 11260 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
156155ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
1573, 2, 1fourierdlem15 44824 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(𝐴[,]𝐡))
158157ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(𝐴[,]𝐡))
159 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
160 ioossicc 13406 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
161160sseli 3977 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
162161adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
163154, 156, 158, 159, 162fourierdlem1 44810 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
164 fourierdlem81.fper . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
165152, 163, 164syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
166123, 95, 130, 135, 151, 165, 53cncfperiod 44581 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}) ∈ ({𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}–cnβ†’β„‚))
167125elrab 3682 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)))
168167simprbi 497 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)} β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑧 + 𝑇))
169 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑧 + 𝑇))
170 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑧(πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
171 nfre1 3282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘§βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)
172170, 171nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑧((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑧 + 𝑇))
173 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑧(π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘†β€˜π‘–) < π‘₯ ∧ π‘₯ < (π‘†β€˜(𝑖 + 1)))
174 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇))
1751393adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
176174, 175eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1771763adant1r 1177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
17842adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
179136adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
18075ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
181 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
18242rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
183182adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
18445rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
185184adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
186 elioo2 13361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*) β†’ (𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘„β€˜π‘–) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
187183, 185, 186syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘„β€˜π‘–) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
188181, 187mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘„β€˜π‘–) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
189188simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < 𝑧)
190178, 179, 180, 189ltadd1dd 11821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) < (𝑧 + 𝑇))
1911903adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) < (𝑧 + 𝑇))
192993ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ (π‘†β€˜π‘–) = ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇))
193 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇))
194191, 192, 1933brtr4d 5179 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ (π‘†β€˜π‘–) < π‘₯)
19545adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
196188simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑧 < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
197179, 195, 180, 196ltadd1dd 11821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑧 + 𝑇) < ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))
1981973adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ (𝑧 + 𝑇) < ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))
1991093ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))
200198, 193, 1993brtr4d 5179 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ π‘₯ < (π‘†β€˜(𝑖 + 1)))
201177, 194, 2003jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘†β€˜π‘–) < π‘₯ ∧ π‘₯ < (π‘†β€˜(𝑖 + 1))))
2022013exp 1119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘₯ = (𝑧 + 𝑇) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘†β€˜π‘–) < π‘₯ ∧ π‘₯ < (π‘†β€˜(𝑖 + 1))))))
203202adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ (𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘₯ = (𝑧 + 𝑇) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘†β€˜π‘–) < π‘₯ ∧ π‘₯ < (π‘†β€˜(𝑖 + 1))))))
204172, 173, 203rexlimd 3263 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑧 + 𝑇) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘†β€˜π‘–) < π‘₯ ∧ π‘₯ < (π‘†β€˜(𝑖 + 1)))))
205169, 204mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘†β€˜π‘–) < π‘₯ ∧ π‘₯ < (π‘†β€˜(𝑖 + 1))))
206120rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘†β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
207206adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ (π‘†β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
208121rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
209208adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
210 elioo2 13361 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘†β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘†β€˜π‘–) < π‘₯ ∧ π‘₯ < (π‘†β€˜(𝑖 + 1)))))
211207, 209, 210syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘†β€˜π‘–) < π‘₯ ∧ π‘₯ < (π‘†β€˜(𝑖 + 1)))))
212205, 211mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))
213168, 212sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))
214 elioore 13350 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
215214recnd 11238 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
216215adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
217182adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
218184adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
219214adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
22075adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
221219, 220resubcld 11638 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ)
222221adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ)
22399oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘†β€˜π‘–) βˆ’ 𝑇) = (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) βˆ’ 𝑇))
22442recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ β„‚)
22595recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
226224, 225pncand 11568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–))
227223, 226eqtr2d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = ((π‘†β€˜π‘–) βˆ’ 𝑇))
228227adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = ((π‘†β€˜π‘–) βˆ’ 𝑇))
229120adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘†β€˜π‘–) ∈ ℝ)
230214adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
23175ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
232 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))
233206adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘†β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
234208adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
235233, 234, 210syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘†β€˜π‘–) < π‘₯ ∧ π‘₯ < (π‘†β€˜(𝑖 + 1)))))
236232, 235mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘†β€˜π‘–) < π‘₯ ∧ π‘₯ < (π‘†β€˜(𝑖 + 1))))
237236simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘†β€˜π‘–) < π‘₯)
238229, 230, 231, 237ltsub1dd 11822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘†β€˜π‘–) βˆ’ 𝑇) < (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
239228, 238eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
240121adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
241236simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ < (π‘†β€˜(𝑖 + 1)))
242230, 240, 231, 241ltsub1dd 11822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) < ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇))
243109oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇) βˆ’ 𝑇))
24445recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ β„‚)
245244, 225pncand 11568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
246243, 245eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
247246adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
248242, 247breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
249217, 218, 222, 239, 248eliood 44197 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
250219recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
251220recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
252250, 251npcand 11571 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇) = π‘₯)
253252eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ = ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇))
254253adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ = ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇))
255 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (𝑧 + 𝑇) = ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇))
256255eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (π‘₯ = (𝑧 + 𝑇) ↔ π‘₯ = ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇)))
257256rspcev 3612 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ π‘₯ = ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑧 + 𝑇))
258249, 254, 257syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑧 + 𝑇))
259216, 258, 167sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)})
260213, 259impbida 799 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))))
261260eqrdv 2730 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)} = ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))
262261reseq2d 5979 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}) = (𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))))
26330adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
264 ioossre 13381 . . . . . . . . . 10 ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ
265264a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ)
266263, 265feqresmpt 6958 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) = (π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
267262, 266eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}) = (π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
268261oveq1d 7420 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ({𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}–cnβ†’β„‚) = (((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
269166, 267, 2683eltr3d 2847 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
27049, 132sseqtrrid 4034 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† dom 𝐹)
271270adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† dom 𝐹)
272 eqid 2732 . . . . . . . 8 {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)} = {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}
273 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ πœ‘)
274153ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
275155ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
276157ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(𝐴[,]𝐡))
277 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
278160, 181sselid 3979 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
279274, 275, 276, 277, 278fourierdlem1 44810 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡))
280 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)))
281280anbi2d 629 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡))))
282 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ + 𝑇) = (𝑧 + 𝑇))
283282fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑇)))
284 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘§))
285283, 284eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘§)))
286281, 285imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘§))))
287286, 164chvarvv 2002 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘§))
288273, 279, 287syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘§))
289135, 123, 271, 225, 272, 151, 288, 54limcperiod 44330 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}) limβ„‚ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇)))
290109eqcomd 2738 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇) = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)))
291267, 290oveq12d 7423 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐹 β†Ύ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}) limβ„‚ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇)) = ((π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑖 + 1))))
292289, 291eleqtrd 2835 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑖 + 1))))
293135, 123, 271, 225, 272, 151, 288, 55limcperiod 44330 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}) limβ„‚ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)))
29499eqcomd 2738 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) = (π‘†β€˜π‘–))
295267, 294oveq12d 7423 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐹 β†Ύ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}) limβ„‚ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)) = ((π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘–)))
296293, 295eleqtrd 2835 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘–)))
297120, 121, 269, 292, 296iblcncfioo 44680 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
29830ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
299120adantr 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘†β€˜π‘–) ∈ ℝ)
300121adantr 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
301 simpr 485 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))))
302 eliccre 44204 . . . . . . 7 (((π‘†β€˜π‘–) ∈ ℝ ∧ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
303299, 300, 301, 302syl3anc 1371 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
304298, 303ffvelcdmd 7084 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
305120, 121, 297, 304ibliooicc 44673 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
30615, 20, 94, 110, 119, 305itgspltprt 44681 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫((π‘†β€˜0)[,](π‘†β€˜π‘€))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
307 iftrue 4533 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) = 𝑅)
308307adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) = 𝑅)
309 fourierdlem81.g . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐺 = (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
310 iftrue 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = 𝑅)
311 iftrue 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) = 𝑅)
312310, 311eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))
313312adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))
314 iffalse 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))
315314adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–) ∧ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))
316 iftrue 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = 𝐿)
317316adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–) ∧ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = 𝐿)
318 iffalse 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)))
319318adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–) ∧ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)))
320 iftrue 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) = 𝐿)
321320adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–) ∧ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) = 𝐿)
322319, 321eqtr2d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–) ∧ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝐿 = if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))
323315, 317, 3223eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–) ∧ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))
324323adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))
325314ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))
326 iffalse 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))
327326adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))
328318ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)))
329 iffalse 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))
330329adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))
331182ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
332184ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
33360ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
33442ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
33560adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
336182ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
337184ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
338 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
339 iccgelb 13376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ π‘₯)
340336, 337, 338, 339syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ π‘₯)
341 neqne 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–) β†’ π‘₯ β‰  (π‘„β€˜π‘–))
342341adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) β†’ π‘₯ β‰  (π‘„β€˜π‘–))
343334, 335, 340, 342leneltd 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < π‘₯)
344343adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < π‘₯)
34545ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
346182adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
347184adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
348 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
349 iccleub 13375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ≀ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
350346, 347, 348, 349syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ≀ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
351350ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ ≀ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
352 neqne 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β†’ π‘₯ β‰  (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
353352necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β‰  π‘₯)
354353adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β‰  π‘₯)
355333, 345, 351, 354leneltd 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
356331, 332, 333, 344, 355eliood 44197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
357 fvres 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
358356, 357syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
359328, 330, 3583eqtrrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))
360325, 327, 3593eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))
361324, 360pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))
362313, 361pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))
363362mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)))))
364309, 363eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)))))
365 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–) ↔ 𝑀 = (π‘„β€˜π‘–)))
366 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ↔ 𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
367 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€))
368366, 367ifbieq2d 4553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑀 β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) = if(𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€)))
369365, 368ifbieq2d 4553 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑀 β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) = if(𝑀 = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€))))
370369cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)))) = (𝑀 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑀 = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€))))
371364, 370eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐺 = (𝑀 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑀 = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€)))))
372371adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ 𝐺 = (𝑀 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑀 = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€)))))
373 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ 𝑀 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇)) β†’ 𝑀 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
374 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = ((π‘†β€˜π‘–) βˆ’ 𝑇))
375374ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ 𝑀 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇)) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = ((π‘†β€˜π‘–) βˆ’ 𝑇))
376227eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘†β€˜π‘–) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–))
377376ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ 𝑀 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇)) β†’ ((π‘†β€˜π‘–) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–))
378373, 375, 3773eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ 𝑀 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇)) β†’ 𝑀 = (π‘„β€˜π‘–))
379378iftrued 4535 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ 𝑀 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇)) β†’ if(𝑀 = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€))) = 𝑅)
380374adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = ((π‘†β€˜π‘–) βˆ’ 𝑇))
38142, 45, 29ltled 11358 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
382 lbicc2 13437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
383182, 184, 381, 382syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
384376, 383eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘†β€˜π‘–) βˆ’ 𝑇) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
385384adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ ((π‘†β€˜π‘–) βˆ’ 𝑇) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
386380, 385eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
387 limccl 25383 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) βŠ† β„‚
388387, 55sselid 3979 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
389388adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
390372, 379, 386, 389fvmptd 7002 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) = 𝑅)
391308, 390eqtr4d 2775 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) = (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
392391adantlr 713 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) = (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
393 iffalse 4536 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)))
394393adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)))
395371adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝐺 = (𝑀 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑀 = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€)))))
396 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 = ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) β†’ (𝑀 = (π‘„β€˜π‘–) ↔ ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–)))
397 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 = ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) β†’ (𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ↔ ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
398 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 = ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇)))
399397, 398ifbieq2d 4553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 = ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) β†’ if(𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€)) = if(((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇))))
400396, 399ifbieq2d 4553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) β†’ if(𝑀 = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€))) = if(((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇)))))
401400adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑀 = ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇)) β†’ if(𝑀 = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€))) = if(((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇)))))
402 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β†’ (((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–) ↔ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘„β€˜π‘–)))
403 iftrue 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β†’ if(((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇))) = 𝐿)
404402, 403ifbieq2d 4553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β†’ if(((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇)))) = if((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, 𝐿))
405246, 404syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ if(((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇)))) = if((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, 𝐿))
406405adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑀 = ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇)) β†’ if(((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇)))) = if((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, 𝐿))
40742, 29gtned 11345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β‰  (π‘„β€˜π‘–))
408407neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘„β€˜π‘–))
409408iffalsed 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ if((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, 𝐿) = 𝐿)
410409adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑀 = ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇)) β†’ if((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, 𝐿) = 𝐿)
411401, 406, 4103eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑀 = ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇)) β†’ if(𝑀 = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€))) = 𝐿)
412411adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ∧ 𝑀 = ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇)) β†’ if(𝑀 = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€))) = 𝐿)
413 ubicc2 13438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
414182, 184, 381, 413syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
415246, 414eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
416415adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
417 limccl 25383 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† β„‚
418417, 54sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
419418adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
420395, 412, 416, 419fvmptd 7002 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (πΊβ€˜((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇)) = 𝐿)
421 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇))
422421fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) β†’ (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) = (πΊβ€˜((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇)))
423422adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) = (πΊβ€˜((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇)))
424 iftrue 4533 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) = 𝐿)
425424adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) = 𝐿)
426420, 423, 4253eqtr4rd 2783 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) = (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
427426ad4ant14 750 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) = (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
428 iffalse 4536 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))
429428adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))
430371adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐺 = (𝑀 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑀 = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€)))))
431430ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝐺 = (𝑀 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑀 = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€)))))
432 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (𝑀 = (π‘„β€˜π‘–) ↔ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–)))
433 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ↔ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
434 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
435433, 434ifbieq2d 4553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ if(𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€)) = if((π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇))))
436432, 435ifbieq2d 4553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ if(𝑀 = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€))) = if((π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if((π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))))
437436adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ∧ 𝑀 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇)) β†’ if(𝑀 = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€))) = if((π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if((π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))))
438303recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
439225adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
440438, 439npcand 11571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇) = π‘₯)
441440eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ = ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇))
442441adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–)) β†’ π‘₯ = ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇))
443 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇) = ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇))
444443adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–)) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇) = ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇))
445294ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) = (π‘†β€˜π‘–))
446442, 444, 4453eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–)) β†’ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–))
447446stoic1a 1774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ Β¬ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–))
448447iffalsed 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ if((π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if((π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))) = if((π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇))))
449448ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ∧ 𝑀 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇)) β†’ if((π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if((π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))) = if((π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇))))
450441adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ = ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇))
451 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))
452451adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))
453290ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇) = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)))
454450, 452, 4533eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)))
455454stoic1a 1774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ Β¬ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
456455iffalsed 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if((π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇))) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
457456adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if((π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇))) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
458457adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ∧ 𝑀 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇)) β†’ if((π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇))) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
459437, 449, 4583eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ∧ 𝑀 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇)) β†’ if(𝑀 = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€))) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
46042adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
46145adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
46275ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
463303, 462resubcld 11638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ)
464227adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = ((π‘†β€˜π‘–) βˆ’ 𝑇))
465206adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘†β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
466208adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
467 iccgelb 13376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘†β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘†β€˜π‘–) ≀ π‘₯)
468465, 466, 301, 467syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘†β€˜π‘–) ≀ π‘₯)
469299, 303, 462, 468lesub1dd 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘†β€˜π‘–) βˆ’ 𝑇) ≀ (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
470464, 469eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
471 iccleub 13375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘†β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ≀ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)))
472465, 466, 301, 471syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ≀ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)))
473303, 300, 462, 472lesub1dd 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ≀ ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇))
474246adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
475473, 474breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ≀ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
476460, 461, 463, 470, 475eliccd 44203 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
477476ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
478135, 271fssresd 6755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
479478ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
480182ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
481184ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
482303ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
48395ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
484482, 483resubcld 11638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ)
48542ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
486463adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ)
487470adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
488447neqned 2947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β‰  (π‘„β€˜π‘–))
489485, 486, 487, 488leneltd 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
490489adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
491463adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ)
49245ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
493475adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ≀ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
494 eqcom 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ↔ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
495454ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β†’ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))))
496494, 495biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))))
497496con3dimp 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ Β¬ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
498497neqned 2947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β‰  (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
499491, 492, 493, 498leneltd 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
500499adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
501480, 481, 484, 490, 500eliood 44197 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
502479, 501ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) ∈ β„‚)
503431, 459, 477, 502fvmptd 7002 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
504 fvres 6907 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) = (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
505501, 504syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) = (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
506503, 505eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) = (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
507465ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘†β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
508466ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
509120ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ (π‘†β€˜π‘–) ∈ ℝ)
510303adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
511468adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ (π‘†β€˜π‘–) ≀ π‘₯)
512 neqne 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–) β†’ π‘₯ β‰  (π‘†β€˜π‘–))
513512adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ π‘₯ β‰  (π‘†β€˜π‘–))
514509, 510, 511, 513leneltd 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ (π‘†β€˜π‘–) < π‘₯)
515514adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘†β€˜π‘–) < π‘₯)
516300ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
517472ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ ≀ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)))
518 neqne 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) β†’ π‘₯ β‰  (π‘†β€˜(𝑖 + 1)))
519518necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) β†’ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) β‰  π‘₯)
520519adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) β‰  π‘₯)
521482, 516, 517, 520leneltd 11364 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ < (π‘†β€˜(𝑖 + 1)))
522507, 508, 482, 515, 521eliood 44197 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))
523 fvres 6907 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
524522, 523syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
525440fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
526525eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇)))
527526ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇)))
528438, 439subcld 11567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ β„‚)
529 elex 3492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ V)
530528, 529syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ V)
531530ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ V)
532 simp-4l 781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ πœ‘)
533153adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
534155adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
535157adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(𝐴[,]𝐡))
536 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
537533, 534, 535, 536fourierdlem8 44817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
538537adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
539538, 476sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐡))
540539ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐡))
541532, 540jca 512 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (πœ‘ ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐡)))
542 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐡)))
543542anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ↔ (πœ‘ ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐡))))
544 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (𝑦 + 𝑇) = ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇))
545544fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) = (πΉβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇)))
546 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
547545, 546eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (πΉβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇))))
548543, 547imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))))
549 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)))
550549anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))))
551 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ + 𝑇) = (𝑦 + 𝑇))
552551fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)))
553 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦))
554552, 553eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘¦)))
555550, 554imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘¦))))
556555, 164chvarvv 2002 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘¦))
557548, 556vtoclg 3556 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ V β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇))))
558531, 541, 557sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
559524, 527, 5583eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
560506, 559eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))
561429, 560eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) = (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
562427, 561pm2.61dan 811 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) = (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
563394, 562eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) = (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
564392, 563pm2.61dan 811 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) = (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
565308, 389eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
566565adantlr 713 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
567425, 419eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
568567ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
569263, 265fssresd 6755 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
570569ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
571570, 522ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
572429, 571eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
573568, 572pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
574394, 573eqeltrd 2833 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
575566, 574pm2.61dan 811 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
576 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))
577576fvmpt2 7006 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ∧ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))β€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))
578301, 575, 577syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))β€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))
579 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
580 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))
581579, 580, 42, 45, 53, 54, 55cncfiooicc 44596 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
582364, 581eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐺 ∈ (((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
583 cncff 24400 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ (((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐺:((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
584582, 583syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐺:((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
585584adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐺:((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
586585, 476ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) ∈ β„‚)
587 fourierdlem81.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
588587fvmpt2 7006 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ∧ (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) ∈ β„‚) β†’ (π»β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
589301, 586, 588syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π»β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
590564, 578, 5893eqtr4rd 2783 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π»β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))β€˜π‘₯))
591590itgeq2dv 25290 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ∫((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))(π»β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))((π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))β€˜π‘₯) dπ‘₯)
592 ioossicc 13406 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))
593592sseli 3977 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))))
594593adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))))
595593, 575sylan2 593 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
596594, 595, 577syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))β€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))
597229, 237gtned 11345 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ β‰  (π‘†β€˜π‘–))
598597neneqd 2945 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–))
599598iffalsed 4538 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)))
600230, 241ltned 11346 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ β‰  (π‘†β€˜(𝑖 + 1)))
601600neneqd 2945 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)))
602601iffalsed 4538 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))
603523adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
604602, 603eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))
605596, 599, 6043eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
606605itgeq2dv 25290 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ∫((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))((π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
607578, 575eqeltrd 2833 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
608120, 121, 607itgioo 25324 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ∫((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))((π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))((π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))β€˜π‘₯) dπ‘₯)
609120, 121, 304itgioo 25324 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ∫((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
610606, 608, 6093eqtr3d 2780 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ∫((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))((π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
611591, 610eqtr2d 2773 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ∫((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))(π»β€˜π‘₯) dπ‘₯)
61299, 109oveq12d 7423 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) = (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇)))
613612itgeq1d 44659 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ∫((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))(π»β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))(π»β€˜π‘₯) dπ‘₯)
614 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇)))
615612eqcomd 2738 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇)) = ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))))
616615adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇)) = ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))))
617614, 616eleqtrd 2835 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))))
618584adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ 𝐺:((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
61942adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
62045adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
62197adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) ∈ ℝ)
622108adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇) ∈ ℝ)
623 eliccre 44204 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
624621, 622, 614, 623syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
62575ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
626624, 625resubcld 11638 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ)
627226eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) βˆ’ 𝑇))
628627adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) βˆ’ 𝑇))
629621rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) ∈ ℝ*)
630622rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇) ∈ ℝ*)
631 iccgelb 13376 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) ∈ ℝ* ∧ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇) ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) ≀ π‘₯)
632629, 630, 614, 631syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) ≀ π‘₯)
633621, 624, 625, 632lesub1dd 11826 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) βˆ’ 𝑇) ≀ (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
634628, 633eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
635 iccleub 13375 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) ∈ ℝ* ∧ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇) ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ π‘₯ ≀ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))
636629, 630, 614, 635syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ π‘₯ ≀ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))
637624, 622, 625, 636lesub1dd 11826 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ≀ (((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇) βˆ’ 𝑇))
638245adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ (((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
639637, 638breqtrd 5173 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ≀ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
640619, 620, 626, 634, 639eliccd 44203 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
641618, 640ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) ∈ β„‚)
642617, 641, 588syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ (π»β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
643 eqidd 2733 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ (𝑦 ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (πΊβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑇))) = (𝑦 ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (πΊβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑇))))
644 oveq1 7412 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑇) = (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
645644fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ (πΊβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑇)) = (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
646645adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ (πΊβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑇)) = (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
647643, 646, 614, 641fvmptd 7002 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ ((𝑦 ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (πΊβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑇)))β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
648642, 647eqtr4d 2775 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ (π»β€˜π‘₯) = ((𝑦 ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (πΊβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑇)))β€˜π‘₯))
649648itgeq2dv 25290 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ∫(((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))(π»β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))((𝑦 ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (πΊβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑇)))β€˜π‘₯) dπ‘₯)
65074adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
651645cbvmptv 5260 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (πΊβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑇))) = (π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
65242, 45, 381, 582, 650, 651itgiccshift 44682 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ∫(((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))((𝑦 ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (πΊβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑇)))β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
653613, 649, 6523eqtrd 2776 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ∫((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))(π»β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
654132adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ dom 𝐹 = ℝ)
65559, 654sseqtrrd 4022 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† dom 𝐹)
65642, 45, 135, 53, 655, 55, 54, 309itgioocnicc 44679 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ ∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))
657656simprd 496 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
658611, 653, 6573eqtrd 2776 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ∫((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
659658sumeq2dv 15645 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
66090, 306, 6593eqtrrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
66114, 63, 6603eqtrrd 2777 1 (πœ‘ β†’ ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675   β†Ύ cres 5677  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8816  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  β„€β‰₯cuz 12818  β„+crp 12970  (,)cioo 13320  [,]cicc 13323  ...cfz 13480  ..^cfzo 13623  Ξ£csu 15628  β€“cnβ†’ccncf 24383  πΏ1cibl 25125  βˆ«citg 25126   limβ„‚ climc 25370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-symdif 4241  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-mbf 25127  df-itg1 25128  df-itg2 25129  df-ibl 25130  df-itg 25131  df-0p 25178  df-ditg 25355  df-limc 25374  df-dv 25375
This theorem is referenced by:  fourierdlem92  44900
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