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Theorem fourierdlem81 45498
Description: The integral of a piecewise continuous periodic function 𝐹 is unchanged if the domain is shifted by its period 𝑇. In this lemma, 𝑇 is assumed to be strictly positive. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem81.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem81.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
fourierdlem81.p 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem81.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
fourierdlem81.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
fourierdlem81.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
fourierdlem81.fper ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
fourierdlem81.s 𝑆 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇))
fourierdlem81.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
fourierdlem81.cncf ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
fourierdlem81.r ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
fourierdlem81.l ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
fourierdlem81.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
fourierdlem81.h 𝐻 = (π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem81 (πœ‘ β†’ ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,π‘š,𝑝   π‘₯,𝐴,𝑖   𝐡,𝑖,π‘š,𝑝   π‘₯,𝐡   𝑖,𝐹,π‘₯   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐿   𝑖,𝑀,π‘š,𝑝   π‘₯,𝑀   𝑄,𝑖,𝑝   π‘₯,𝑄   π‘₯,𝑅   𝑆,𝑖,π‘₯   𝑇,𝑖,π‘₯   πœ‘,𝑖,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑝)   𝑃(π‘₯,𝑖,π‘š,𝑝)   𝑄(π‘š)   𝑅(𝑖,π‘š,𝑝)   𝑆(π‘š,𝑝)   𝑇(π‘š,𝑝)   𝐹(π‘š,𝑝)   𝐺(𝑖,π‘š,𝑝)   𝐻(π‘₯,𝑖,π‘š,𝑝)   𝐿(𝑖,π‘š,𝑝)
Proof of Theorem fourierdlem81
Dummy variables 𝑦 𝑀 𝑧 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem81.q . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
2 fourierdlem81.m . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
3 fourierdlem81.p . . . . . . . . . . 11 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
43fourierdlem2 45420 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
52, 4syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
61, 5mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
76simprd 495 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
87simpld 494 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡))
98simpld 494 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) = 𝐴)
109eqcomd 2733 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (π‘„β€˜0))
118simprd 495 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡)
1211eqcomd 2733 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (π‘„β€˜π‘€))
1310, 12oveq12d 7432 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) = ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€)))
1413itgeq1d 45268 . 2 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
15 0zd 12592 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
16 nnuz 12887 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
17 0p1e1 12356 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
1817fveq2i 6894 . . . . 5 (β„€β‰₯β€˜(0 + 1)) = (β„€β‰₯β€˜1)
1916, 18eqtr4i 2758 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜(0 + 1))
202, 19eleqtrdi 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(0 + 1)))
216simpld 494 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
22 reex 11221 . . . . . 6 ℝ ∈ V
2322a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
24 ovex 7447 . . . . . 6 (0...𝑀) ∈ V
2524a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0...𝑀) ∈ V)
2623, 25elmapd 8850 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ↔ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„))
2721, 26mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
287simprd 495 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
2928r19.21bi 3243 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
30 fourierdlem81.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
3130adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€))) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
32 fourierdlem81.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
339, 32eqeltrd 2828 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) ∈ ℝ)
34 fourierdlem81.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3511, 34eqeltrd 2828 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) ∈ ℝ)
3633, 35iccssred 13435 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€)) βŠ† ℝ)
3736sselda 3978 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3831, 37ffvelcdmd 7089 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3927adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
40 elfzofz 13672 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
4140adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
4239, 41ffvelcdmd 7089 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
43 fzofzp1 13753 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
4443adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
4539, 44ffvelcdmd 7089 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
4630feqmptd 6961 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
4746reseq1d 5978 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
4847adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
49 ioossre 13409 . . . . . . . 8 ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ
5049a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ)
5150resmptd 6038 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
5248, 51eqtr2d 2768 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
53 fourierdlem81.cncf . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
54 fourierdlem81.l . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
55 fourierdlem81.r . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
5642, 45, 53, 54, 55iblcncfioo 45289 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ 𝐿1)
5752, 56eqeltrd 2828 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
5830ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
5942, 45iccssred 13435 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ)
6059sselda 3978 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
6158, 60ffvelcdmd 7089 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
6242, 45, 57, 61ibliooicc 45282 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
6315, 20, 27, 29, 38, 62itgspltprt 45290 . 2 (πœ‘ β†’ ∫((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
64 fourierdlem81.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇))
6564a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)))
66 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜0))
6766oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) = ((π‘„β€˜0) + 𝑇))
6867adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) = ((π‘„β€˜0) + 𝑇))
692nnnn0d 12554 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
70 nn0uz 12886 . . . . . . . . 9 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
7169, 70eleqtrdi 2838 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
72 eluzfz1 13532 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
7371, 72syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
74 fourierdlem81.t . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
7574rpred 13040 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
7633, 75readdcld 11265 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜0) + 𝑇) ∈ ℝ)
7765, 68, 73, 76fvmptd 7006 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜0) = ((π‘„β€˜0) + 𝑇))
789oveq1d 7429 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜0) + 𝑇) = (𝐴 + 𝑇))
7977, 78eqtr2d 2768 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝑇) = (π‘†β€˜0))
80 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑀 β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘€))
8180oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑀 β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) = ((π‘„β€˜π‘€) + 𝑇))
8281adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 𝑀) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) = ((π‘„β€˜π‘€) + 𝑇))
83 eluzfz2 13533 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
8471, 83syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
8535, 75readdcld 11265 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜π‘€) + 𝑇) ∈ ℝ)
8665, 82, 84, 85fvmptd 7006 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘€) = ((π‘„β€˜π‘€) + 𝑇))
8711oveq1d 7429 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜π‘€) + 𝑇) = (𝐡 + 𝑇))
8886, 87eqtr2d 2768 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 + 𝑇) = (π‘†β€˜π‘€))
8979, 88oveq12d 7432 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) = ((π‘†β€˜0)[,](π‘†β€˜π‘€)))
9089itgeq1d 45268 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((π‘†β€˜0)[,](π‘†β€˜π‘€))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
9127ffvelcdmda 7088 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
9275adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
9391, 92readdcld 11265 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) ∈ ℝ)
9493, 64fmptd 7118 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆:(0...𝑀)βŸΆβ„)
9575adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
9642, 45, 95, 29ltadd1dd 11847 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) < ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))
9740, 93sylan2 592 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) ∈ ℝ)
9864fvmpt2 7010 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) ∈ ℝ) β†’ (π‘†β€˜π‘–) = ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇))
9941, 97, 98syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘†β€˜π‘–) = ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇))
100 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘—))
101100oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) = ((π‘„β€˜π‘—) + 𝑇))
102101cbvmptv 5255 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘„β€˜π‘—) + 𝑇))
10364, 102eqtri 2755 . . . . . . 7 𝑆 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘„β€˜π‘—) + 𝑇))
104103a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑆 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘„β€˜π‘—) + 𝑇)))
105 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑖 + 1) β†’ (π‘„β€˜π‘—) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
106105oveq1d 7429 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑖 + 1) β†’ ((π‘„β€˜π‘—) + 𝑇) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))
107106adantl 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) β†’ ((π‘„β€˜π‘—) + 𝑇) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))
10845, 95readdcld 11265 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇) ∈ ℝ)
109104, 107, 44, 108fvmptd 7006 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))
11096, 99, 1093brtr4d 5174 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘†β€˜π‘–) < (π‘†β€˜(𝑖 + 1)))
11130adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜0)[,](π‘†β€˜π‘€))) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
11277, 76eqeltrd 2828 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜0) ∈ ℝ)
113112adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜0)[,](π‘†β€˜π‘€))) β†’ (π‘†β€˜0) ∈ ℝ)
11486, 85eqeltrd 2828 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘€) ∈ ℝ)
115114adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜0)[,](π‘†β€˜π‘€))) β†’ (π‘†β€˜π‘€) ∈ ℝ)
116113, 115iccssred 13435 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜0)[,](π‘†β€˜π‘€))) β†’ ((π‘†β€˜0)[,](π‘†β€˜π‘€)) βŠ† ℝ)
117 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜0)[,](π‘†β€˜π‘€))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜0)[,](π‘†β€˜π‘€)))
118116, 117sseldd 3979 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜0)[,](π‘†β€˜π‘€))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
119111, 118ffvelcdmd 7089 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜0)[,](π‘†β€˜π‘€))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
12099, 97eqeltrd 2828 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘†β€˜π‘–) ∈ ℝ)
121109, 108eqeltrd 2828 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
122 ioosscn 13410 . . . . . . . . 9 ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† β„‚
123122a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† β„‚)
124 eqeq1 2731 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑀 = (𝑧 + 𝑇) ↔ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)))
125124rexbidv 3173 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)))
126 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 β†’ (𝑧 + 𝑇) = (𝑦 + 𝑇))
127126eqeq2d 2738 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 β†’ (π‘₯ = (𝑧 + 𝑇) ↔ π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)))
128127cbvrexvw 3230 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑧 + 𝑇) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑦 + 𝑇))
129125, 128bitrdi 287 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)))
130129cbvrabv 3437 . . . . . . . 8 {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)} = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)}
131 fdm 6725 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:β„βŸΆβ„‚ β†’ dom 𝐹 = ℝ)
13230, 131syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = ℝ)
133132feq2d 6702 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ↔ 𝐹:β„βŸΆβ„‚))
13430, 133mpbird 257 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
135134adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
136 elioore 13378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
137136adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
13875adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
139137, 138readdcld 11265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
140139adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
1411403adant3 1130 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑧 + 𝑇)) β†’ (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
142 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑧 + 𝑇)) β†’ 𝑀 = (𝑧 + 𝑇))
1431323ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑧 + 𝑇)) β†’ dom 𝐹 = ℝ)
1441433adant1r 1175 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑧 + 𝑇)) β†’ dom 𝐹 = ℝ)
145141, 142, 1443eltr4d 2843 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑧 + 𝑇)) β†’ 𝑀 ∈ dom 𝐹)
1461453exp 1117 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (𝑀 = (𝑧 + 𝑇) β†’ 𝑀 ∈ dom 𝐹)))
147146adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (𝑀 = (𝑧 + 𝑇) β†’ 𝑀 ∈ dom 𝐹)))
148147rexlimdv 3148 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇) β†’ 𝑀 ∈ dom 𝐹))
149148ralrimiva 3141 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ β„‚ (βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇) β†’ 𝑀 ∈ dom 𝐹))
150 rabss 4065 . . . . . . . . 9 ({𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)} βŠ† dom 𝐹 ↔ βˆ€π‘€ ∈ β„‚ (βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇) β†’ 𝑀 ∈ dom 𝐹))
151149, 150sylibr 233 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)} βŠ† dom 𝐹)
152 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ πœ‘)
15332rexrd 11286 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
154153ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
15534rexrd 11286 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
156155ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
1573, 2, 1fourierdlem15 45433 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(𝐴[,]𝐡))
158157ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(𝐴[,]𝐡))
159 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
160 ioossicc 13434 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
161160sseli 3974 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
162161adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
163154, 156, 158, 159, 162fourierdlem1 45419 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
164 fourierdlem81.fper . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
165152, 163, 164syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
166123, 95, 130, 135, 151, 165, 53cncfperiod 45190 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}) ∈ ({𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}–cnβ†’β„‚))
167125elrab 3680 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)))
168167simprbi 496 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)} β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑧 + 𝑇))
169 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑧 + 𝑇))
170 nfv 1910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑧(πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
171 nfre1 3277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘§βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)
172170, 171nfan 1895 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑧((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑧 + 𝑇))
173 nfv 1910 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑧(π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘†β€˜π‘–) < π‘₯ ∧ π‘₯ < (π‘†β€˜(𝑖 + 1)))
174 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇))
1751393adant3 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
176174, 175eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1771763adant1r 1175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
17842adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
179136adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
18075ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
181 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
18242rexrd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
183182adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
18445rexrd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
185184adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
186 elioo2 13389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*) β†’ (𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘„β€˜π‘–) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
187183, 185, 186syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘„β€˜π‘–) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
188181, 187mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘„β€˜π‘–) < 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
189188simp2d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < 𝑧)
190178, 179, 180, 189ltadd1dd 11847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) < (𝑧 + 𝑇))
1911903adant3 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) < (𝑧 + 𝑇))
192993ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ (π‘†β€˜π‘–) = ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇))
193 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇))
194191, 192, 1933brtr4d 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ (π‘†β€˜π‘–) < π‘₯)
19545adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
196188simp3d 1142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑧 < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
197179, 195, 180, 196ltadd1dd 11847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑧 + 𝑇) < ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))
1981973adant3 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ (𝑧 + 𝑇) < ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))
1991093ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))
200198, 193, 1993brtr4d 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ π‘₯ < (π‘†β€˜(𝑖 + 1)))
201177, 194, 2003jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘†β€˜π‘–) < π‘₯ ∧ π‘₯ < (π‘†β€˜(𝑖 + 1))))
2022013exp 1117 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘₯ = (𝑧 + 𝑇) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘†β€˜π‘–) < π‘₯ ∧ π‘₯ < (π‘†β€˜(𝑖 + 1))))))
203202adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ (𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘₯ = (𝑧 + 𝑇) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘†β€˜π‘–) < π‘₯ ∧ π‘₯ < (π‘†β€˜(𝑖 + 1))))))
204172, 173, 203rexlimd 3258 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑧 + 𝑇) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘†β€˜π‘–) < π‘₯ ∧ π‘₯ < (π‘†β€˜(𝑖 + 1)))))
205169, 204mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘†β€˜π‘–) < π‘₯ ∧ π‘₯ < (π‘†β€˜(𝑖 + 1))))
206120rexrd 11286 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘†β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
207206adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ (π‘†β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
208121rexrd 11286 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
209208adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
210 elioo2 13389 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘†β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘†β€˜π‘–) < π‘₯ ∧ π‘₯ < (π‘†β€˜(𝑖 + 1)))))
211207, 209, 210syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘†β€˜π‘–) < π‘₯ ∧ π‘₯ < (π‘†β€˜(𝑖 + 1)))))
212205, 211mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))
213168, 212sylan2 592 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))
214 elioore 13378 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
215214recnd 11264 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
216215adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
217182adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
218184adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
219214adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
22075adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
221219, 220resubcld 11664 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ)
222221adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ)
22399oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘†β€˜π‘–) βˆ’ 𝑇) = (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) βˆ’ 𝑇))
22442recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ β„‚)
22595recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
226224, 225pncand 11594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–))
227223, 226eqtr2d 2768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = ((π‘†β€˜π‘–) βˆ’ 𝑇))
228227adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = ((π‘†β€˜π‘–) βˆ’ 𝑇))
229120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘†β€˜π‘–) ∈ ℝ)
230214adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
23175ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
232 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))
233206adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘†β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
234208adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
235233, 234, 210syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘†β€˜π‘–) < π‘₯ ∧ π‘₯ < (π‘†β€˜(𝑖 + 1)))))
236232, 235mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘†β€˜π‘–) < π‘₯ ∧ π‘₯ < (π‘†β€˜(𝑖 + 1))))
237236simp2d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘†β€˜π‘–) < π‘₯)
238229, 230, 231, 237ltsub1dd 11848 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘†β€˜π‘–) βˆ’ 𝑇) < (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
239228, 238eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
240121adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
241236simp3d 1142 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ < (π‘†β€˜(𝑖 + 1)))
242230, 240, 231, 241ltsub1dd 11848 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) < ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇))
243109oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇) βˆ’ 𝑇))
24445recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ β„‚)
245244, 225pncand 11594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
246243, 245eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
247246adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
248242, 247breqtrd 5168 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
249217, 218, 222, 239, 248eliood 44806 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
250219recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
251220recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
252250, 251npcand 11597 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇) = π‘₯)
253252eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ = ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇))
254253adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ = ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇))
255 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (𝑧 + 𝑇) = ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇))
256255eqeq2d 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (π‘₯ = (𝑧 + 𝑇) ↔ π‘₯ = ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇)))
257256rspcev 3607 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ π‘₯ = ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑧 + 𝑇))
258249, 254, 257syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))π‘₯ = (𝑧 + 𝑇))
259216, 258, 167sylanbrc 582 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)})
260213, 259impbida 800 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))))
261260eqrdv 2725 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)} = ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))
262261reseq2d 5979 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}) = (𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))))
26330adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
264 ioossre 13409 . . . . . . . . . 10 ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ
265264a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ)
266263, 265feqresmpt 6962 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) = (π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
267262, 266eqtrd 2767 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}) = (π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
268261oveq1d 7429 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ({𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}–cnβ†’β„‚) = (((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
269166, 267, 2683eltr3d 2842 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
27049, 132sseqtrrid 4031 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† dom 𝐹)
271270adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† dom 𝐹)
272 eqid 2727 . . . . . . . 8 {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)} = {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}
273 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ πœ‘)
274153ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
275155ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
276157ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(𝐴[,]𝐡))
277 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
278160, 181sselid 3976 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
279274, 275, 276, 277, 278fourierdlem1 45419 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡))
280 eleq1 2816 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)))
281280anbi2d 628 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡))))
282 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ + 𝑇) = (𝑧 + 𝑇))
283282fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑇)))
284 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘§))
285283, 284eqeq12d 2743 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘§)))
286281, 285imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘§))))
287286, 164chvarvv 1995 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘§))
288273, 279, 287syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘§))
289135, 123, 271, 225, 272, 151, 288, 54limcperiod 44939 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}) limβ„‚ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇)))
290109eqcomd 2733 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇) = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)))
291267, 290oveq12d 7432 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐹 β†Ύ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}) limβ„‚ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇)) = ((π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑖 + 1))))
292289, 291eleqtrd 2830 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑖 + 1))))
293135, 123, 271, 225, 272, 151, 288, 55limcperiod 44939 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}) limβ„‚ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)))
29499eqcomd 2733 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) = (π‘†β€˜π‘–))
295267, 294oveq12d 7432 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐹 β†Ύ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}) limβ„‚ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)) = ((π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘–)))
296293, 295eleqtrd 2830 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘–)))
297120, 121, 269, 292, 296iblcncfioo 45289 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
29830ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
299120adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘†β€˜π‘–) ∈ ℝ)
300121adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
301 simpr 484 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))))
302 eliccre 44813 . . . . . . 7 (((π‘†β€˜π‘–) ∈ ℝ ∧ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
303299, 300, 301, 302syl3anc 1369 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
304298, 303ffvelcdmd 7089 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
305120, 121, 297, 304ibliooicc 45282 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
30615, 20, 94, 110, 119, 305itgspltprt 45290 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫((π‘†β€˜0)[,](π‘†β€˜π‘€))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
307 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) = 𝑅)
308307adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) = 𝑅)
309 fourierdlem81.g . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐺 = (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
310 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = 𝑅)
311 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) = 𝑅)
312310, 311eqtr4d 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))
313312adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))
314 iffalse 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))
315314adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–) ∧ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))
316 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = 𝐿)
317316adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–) ∧ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = 𝐿)
318 iffalse 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)))
319318adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–) ∧ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)))
320 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) = 𝐿)
321320adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–) ∧ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) = 𝐿)
322319, 321eqtr2d 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–) ∧ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝐿 = if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))
323315, 317, 3223eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–) ∧ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))
324323adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))
325314ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))
326 iffalse 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))
327326adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))
328318ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)))
329 iffalse 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))
330329adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))
331182ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
332184ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
33360ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
33442ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
33560adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
336182ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
337184ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
338 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
339 iccgelb 13404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ π‘₯)
340336, 337, 338, 339syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ π‘₯)
341 neqne 2943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–) β†’ π‘₯ β‰  (π‘„β€˜π‘–))
342341adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) β†’ π‘₯ β‰  (π‘„β€˜π‘–))
343334, 335, 340, 342leneltd 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < π‘₯)
344343adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < π‘₯)
34545ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
346182adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
347184adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
348 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
349 iccleub 13403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ≀ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
350346, 347, 348, 349syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ≀ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
351350ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ ≀ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
352 neqne 2943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β†’ π‘₯ β‰  (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
353352necomd 2991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β‰  π‘₯)
354353adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β‰  π‘₯)
355333, 345, 351, 354leneltd 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
356331, 332, 333, 344, 355eliood 44806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
357 fvres 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
358356, 357syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
359328, 330, 3583eqtrrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))
360325, 327, 3593eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))
361324, 360pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))
362313, 361pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))
363362mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)))))
364309, 363eqtrid 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)))))
365 eqeq1 2731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–) ↔ 𝑀 = (π‘„β€˜π‘–)))
366 eqeq1 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ↔ 𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
367 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€))
368366, 367ifbieq2d 4550 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑀 β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) = if(𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€)))
369365, 368ifbieq2d 4550 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑀 β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) = if(𝑀 = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€))))
370369cbvmptv 5255 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)))) = (𝑀 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑀 = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€))))
371364, 370eqtrdi 2783 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐺 = (𝑀 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑀 = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€)))))
372371adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ 𝐺 = (𝑀 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑀 = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€)))))
373 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ 𝑀 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇)) β†’ 𝑀 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
374 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = ((π‘†β€˜π‘–) βˆ’ 𝑇))
375374ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ 𝑀 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇)) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = ((π‘†β€˜π‘–) βˆ’ 𝑇))
376227eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘†β€˜π‘–) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–))
377376ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ 𝑀 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇)) β†’ ((π‘†β€˜π‘–) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–))
378373, 375, 3773eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ 𝑀 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇)) β†’ 𝑀 = (π‘„β€˜π‘–))
379378iftrued 4532 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ 𝑀 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇)) β†’ if(𝑀 = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€))) = 𝑅)
380374adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = ((π‘†β€˜π‘–) βˆ’ 𝑇))
38142, 45, 29ltled 11384 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
382 lbicc2 13465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
383182, 184, 381, 382syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
384376, 383eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘†β€˜π‘–) βˆ’ 𝑇) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
385384adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ ((π‘†β€˜π‘–) βˆ’ 𝑇) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
386380, 385eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
387 limccl 25791 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) βŠ† β„‚
388387, 55sselid 3976 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
389388adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
390372, 379, 386, 389fvmptd 7006 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) = 𝑅)
391308, 390eqtr4d 2770 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) = (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
392391adantlr 714 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) = (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
393 iffalse 4533 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)))
394393adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)))
395371adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝐺 = (𝑀 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑀 = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€)))))
396 eqeq1 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 = ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) β†’ (𝑀 = (π‘„β€˜π‘–) ↔ ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–)))
397 eqeq1 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 = ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) β†’ (𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ↔ ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
398 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 = ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇)))
399397, 398ifbieq2d 4550 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 = ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) β†’ if(𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€)) = if(((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇))))
400396, 399ifbieq2d 4550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) β†’ if(𝑀 = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€))) = if(((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇)))))
401400adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑀 = ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇)) β†’ if(𝑀 = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€))) = if(((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇)))))
402 eqeq1 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β†’ (((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–) ↔ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘„β€˜π‘–)))
403 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β†’ if(((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇))) = 𝐿)
404402, 403ifbieq2d 4550 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β†’ if(((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇)))) = if((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, 𝐿))
405246, 404syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ if(((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇)))) = if((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, 𝐿))
406405adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑀 = ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇)) β†’ if(((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇)))) = if((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, 𝐿))
40742, 29gtned 11371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β‰  (π‘„β€˜π‘–))
408407neneqd 2940 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘„β€˜π‘–))
409408iffalsed 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ if((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, 𝐿) = 𝐿)
410409adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑀 = ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇)) β†’ if((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, 𝐿) = 𝐿)
411401, 406, 4103eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑀 = ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇)) β†’ if(𝑀 = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€))) = 𝐿)
412411adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ∧ 𝑀 = ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇)) β†’ if(𝑀 = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€))) = 𝐿)
413 ubicc2 13466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
414182, 184, 381, 413syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
415246, 414eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
416415adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
417 limccl 25791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† β„‚
418417, 54sselid 3976 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
419418adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
420395, 412, 416, 419fvmptd 7006 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (πΊβ€˜((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇)) = 𝐿)
421 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇))
422421fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) β†’ (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) = (πΊβ€˜((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇)))
423422adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) = (πΊβ€˜((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇)))
424 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) = 𝐿)
425424adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) = 𝐿)
426420, 423, 4253eqtr4rd 2778 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) = (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
427426ad4ant14 751 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) = (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
428 iffalse 4533 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))
429428adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))
430371adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐺 = (𝑀 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑀 = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€)))))
431430ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝐺 = (𝑀 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑀 = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€)))))
432 eqeq1 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (𝑀 = (π‘„β€˜π‘–) ↔ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–)))
433 eqeq1 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ↔ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
434 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
435433, 434ifbieq2d 4550 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ if(𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€)) = if((π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇))))
436432, 435ifbieq2d 4550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ if(𝑀 = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€))) = if((π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if((π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))))
437436adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ∧ 𝑀 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇)) β†’ if(𝑀 = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€))) = if((π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if((π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))))
438303recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
439225adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
440438, 439npcand 11597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇) = π‘₯)
441440eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ = ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇))
442441adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–)) β†’ π‘₯ = ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇))
443 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇) = ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇))
444443adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–)) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇) = ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇))
445294ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) = (π‘†β€˜π‘–))
446442, 444, 4453eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–)) β†’ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–))
447446stoic1a 1767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ Β¬ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–))
448447iffalsed 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ if((π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if((π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))) = if((π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇))))
449448ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ∧ 𝑀 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇)) β†’ if((π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if((π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))) = if((π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇))))
450441adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ = ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇))
451 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))
452451adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))
453290ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇) = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)))
454450, 452, 4533eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)))
455454stoic1a 1767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ Β¬ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
456455iffalsed 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if((π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇))) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
457456adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if((π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇))) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
458457adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ∧ 𝑀 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇)) β†’ if((π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇))) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
459437, 449, 4583eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ∧ 𝑀 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇)) β†’ if(𝑀 = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(𝑀 = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘€))) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
46042adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
46145adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
46275ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
463303, 462resubcld 11664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ)
464227adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = ((π‘†β€˜π‘–) βˆ’ 𝑇))
465206adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘†β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
466208adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
467 iccgelb 13404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘†β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘†β€˜π‘–) ≀ π‘₯)
468465, 466, 301, 467syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘†β€˜π‘–) ≀ π‘₯)
469299, 303, 462, 468lesub1dd 11852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘†β€˜π‘–) βˆ’ 𝑇) ≀ (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
470464, 469eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
471 iccleub 13403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘†β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ≀ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)))
472465, 466, 301, 471syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ≀ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)))
473303, 300, 462, 472lesub1dd 11852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ≀ ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇))
474246adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘†β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
475473, 474breqtrd 5168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ≀ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
476460, 461, 463, 470, 475eliccd 44812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
477476ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
478135, 271fssresd 6758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
479478ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
480182ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
481184ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
482303ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
48395ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
484482, 483resubcld 11664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ)
48542ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
486463adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ)
487470adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
488447neqned 2942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β‰  (π‘„β€˜π‘–))
489485, 486, 487, 488leneltd 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
490489adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
491463adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ)
49245ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
493475adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ≀ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
494 eqcom 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ↔ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
495454ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β†’ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))))
496494, 495biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))))
497496con3dimp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ Β¬ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
498497neqned 2942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β‰  (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
499491, 492, 493, 498leneltd 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
500499adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
501480, 481, 484, 490, 500eliood 44806 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
502479, 501ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) ∈ β„‚)
503431, 459, 477, 502fvmptd 7006 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
504 fvres 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) = (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
505501, 504syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) = (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
506503, 505eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) = (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
507465ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘†β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
508466ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
509120ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ (π‘†β€˜π‘–) ∈ ℝ)
510303adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
511468adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ (π‘†β€˜π‘–) ≀ π‘₯)
512 neqne 2943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–) β†’ π‘₯ β‰  (π‘†β€˜π‘–))
513512adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ π‘₯ β‰  (π‘†β€˜π‘–))
514509, 510, 511, 513leneltd 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ (π‘†β€˜π‘–) < π‘₯)
515514adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘†β€˜π‘–) < π‘₯)
516300ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
517472ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ ≀ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)))
518 neqne 2943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) β†’ π‘₯ β‰  (π‘†β€˜(𝑖 + 1)))
519518necomd 2991 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) β†’ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) β‰  π‘₯)
520519adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘†β€˜(𝑖 + 1)) β‰  π‘₯)
521482, 516, 517, 520leneltd 11390 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ < (π‘†β€˜(𝑖 + 1)))
522507, 508, 482, 515, 521eliood 44806 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))
523 fvres 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
524522, 523syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
525440fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
526525eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇)))
527526ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇)))
528438, 439subcld 11593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ β„‚)
529 elex 3488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ V)
530528, 529syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ V)
531530ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ V)
532 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ πœ‘)
533153adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
534155adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
535157adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(𝐴[,]𝐡))
536 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
537533, 534, 535, 536fourierdlem8 45426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
538537adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
539538, 476sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐡))
540539ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐡))
541532, 540jca 511 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (πœ‘ ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐡)))
542 eleq1 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐡)))
543542anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ↔ (πœ‘ ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐡))))
544 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (𝑦 + 𝑇) = ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇))
545544fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) = (πΉβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇)))
546 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
547545, 546eqeq12d 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (πΉβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇))))
548543, 547imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))))
549 eleq1 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)))
550549anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))))
551 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ + 𝑇) = (𝑦 + 𝑇))
552551fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)))
553 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦))
554552, 553eqeq12d 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘¦)))
555550, 554imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘¦))))
556555, 164chvarvv 1995 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘¦))
557548, 556vtoclg 3538 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ V β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇))))
558531, 541, 557sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
559524, 527, 5583eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
560506, 559eqtr4d 2770 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))
561429, 560eqtr4d 2770 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) = (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
562427, 561pm2.61dan 812 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) = (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
563394, 562eqtrd 2767 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) = (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
564392, 563pm2.61dan 812 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) = (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
565308, 389eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
566565adantlr 714 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
567425, 419eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
568567ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
569263, 265fssresd 6758 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
570569ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
571570, 522ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
572429, 571eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
573568, 572pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
574394, 573eqeltrd 2828 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–)) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
575566, 574pm2.61dan 812 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
576 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))
577576fvmpt2 7010 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ∧ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))β€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))
578301, 575, 577syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))β€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))
579 nfv 1910 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
580 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))
581579, 580, 42, 45, 53, 54, 55cncfiooicc 45205 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
582364, 581eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐺 ∈ (((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
583 cncff 24800 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ (((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐺:((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
584582, 583syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐺:((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
585584adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐺:((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
586585, 476ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) ∈ β„‚)
587 fourierdlem81.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
588587fvmpt2 7010 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ∧ (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) ∈ β„‚) β†’ (π»β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
589301, 586, 588syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π»β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
590564, 578, 5893eqtr4rd 2778 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π»β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))β€˜π‘₯))
591590itgeq2dv 25698 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ∫((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))(π»β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))((π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))β€˜π‘₯) dπ‘₯)
592 ioossicc 13434 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))
593592sseli 3974 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))))
594593adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))))
595593, 575sylan2 592 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
596594, 595, 577syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))β€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))
597229, 237gtned 11371 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ β‰  (π‘†β€˜π‘–))
598597neneqd 2940 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–))
599598iffalsed 4535 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)))
600230, 241ltned 11372 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ β‰  (π‘†β€˜(𝑖 + 1)))
601600neneqd 2940 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ Β¬ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)))
602601iffalsed 4535 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))
603523adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
604602, 603eqtrd 2767 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))
605596, 599, 6043eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
606605itgeq2dv 25698 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ∫((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))((π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
607578, 575eqeltrd 2828 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
608120, 121, 607itgioo 25732 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ∫((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))((π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))((π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))β€˜π‘₯) dπ‘₯)
609120, 121, 304itgioo 25732 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ∫((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1)))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
610606, 608, 6093eqtr3d 2775 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ∫((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))((π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘†β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘†β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘–)(,)(π‘†β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
611591, 610eqtr2d 2768 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ∫((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))(π»β€˜π‘₯) dπ‘₯)
61299, 109oveq12d 7432 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))) = (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇)))
613612itgeq1d 45268 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ∫((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))(π»β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))(π»β€˜π‘₯) dπ‘₯)
614 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇)))
615612eqcomd 2733 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇)) = ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))))
616615adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇)) = ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))))
617614, 616eleqtrd 2830 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1))))
618584adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ 𝐺:((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
61942adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
62045adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
62197adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) ∈ ℝ)
622108adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇) ∈ ℝ)
623 eliccre 44813 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
624621, 622, 614, 623syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
62575ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
626624, 625resubcld 11664 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ)
627226eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) βˆ’ 𝑇))
628627adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) βˆ’ 𝑇))
629621rexrd 11286 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) ∈ ℝ*)
630622rexrd 11286 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇) ∈ ℝ*)
631 iccgelb 13404 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) ∈ ℝ* ∧ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇) ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) ≀ π‘₯)
632629, 630, 614, 631syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) ≀ π‘₯)
633621, 624, 625, 632lesub1dd 11852 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) βˆ’ 𝑇) ≀ (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
634628, 633eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
635 iccleub 13403 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇) ∈ ℝ* ∧ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇) ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ π‘₯ ≀ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))
636629, 630, 614, 635syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ π‘₯ ≀ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))
637624, 622, 625, 636lesub1dd 11852 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ≀ (((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇) βˆ’ 𝑇))
638245adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ (((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
639637, 638breqtrd 5168 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ≀ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
640619, 620, 626, 634, 639eliccd 44812 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
641618, 640ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) ∈ β„‚)
642617, 641, 588syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ (π»β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
643 eqidd 2728 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ (𝑦 ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (πΊβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑇))) = (𝑦 ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (πΊβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑇))))
644 oveq1 7421 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑇) = (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
645644fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ (πΊβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑇)) = (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
646645adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ (πΊβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑇)) = (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
647643, 646, 614, 641fvmptd 7006 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ ((𝑦 ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (πΊβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑇)))β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
648642, 647eqtr4d 2770 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))) β†’ (π»β€˜π‘₯) = ((𝑦 ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (πΊβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑇)))β€˜π‘₯))
649648itgeq2dv 25698 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ∫(((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))(π»β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))((𝑦 ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (πΊβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑇)))β€˜π‘₯) dπ‘₯)
65074adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
651645cbvmptv 5255 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (πΊβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑇))) = (π‘₯ ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (πΊβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
65242, 45, 381, 582, 650, 651itgiccshift 45291 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ∫(((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇))((𝑦 ∈ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑇)[,]((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (πΊβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑇)))β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
653613, 649, 6523eqtrd 2771 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ∫((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))(π»β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
654132adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ dom 𝐹 = ℝ)
65559, 654sseqtrrd 4019 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† dom 𝐹)
65642, 45, 135, 53, 655, 55, 54, 309itgioocnicc 45288 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ ∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))
657656simprd 495 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
658611, 653, 6573eqtrd 2771 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ∫((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
659658sumeq2dv 15673 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((π‘†β€˜π‘–)[,](π‘†β€˜(𝑖 + 1)))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
66090, 306, 6593eqtrrd 2772 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
66114, 63, 6603eqtrrd 2772 1 (πœ‘ β†’ ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  {crab 3427  Vcvv 3469   βŠ† wss 3944  ifcif 4524   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5672   β†Ύ cres 5674  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8836  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133  β„*cxr 11269   < clt 11270   ≀ cle 11271   βˆ’ cmin 11466  β„•cn 12234  β„•0cn0 12494  β„€β‰₯cuz 12844  β„+crp 12998  (,)cioo 13348  [,]cicc 13351  ...cfz 13508  ..^cfzo 13651  Ξ£csu 15656  β€“cnβ†’ccncf 24783  πΏ1cibl 25533  βˆ«citg 25534   limβ„‚ climc 25778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cc 10450  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-symdif 4238  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-acn 9957  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-cmp 23278  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-ovol 25380  df-vol 25381  df-mbf 25535  df-itg1 25536  df-itg2 25537  df-ibl 25538  df-itg 25539  df-0p 25586  df-ditg 25763  df-limc 25782  df-dv 25783
This theorem is referenced by:  fourierdlem92  45509
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