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Theorem fourierdlem81 40921
Description: The integral of a piecewise continuous periodic function 𝐹 is unchanged if the domain is shifted by its period 𝑇. In this lemma, 𝑇 is assumed to be strictly positive. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem81.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem81.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem81.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem81.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem81.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
fourierdlem81.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem81.fper ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem81.s 𝑆 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑖) + 𝑇))
fourierdlem81.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
fourierdlem81.cncf ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem81.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
fourierdlem81.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem81.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))))
fourierdlem81.h 𝐻 = (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐺‘(𝑥𝑇)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem81 (𝜑 → ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐴,𝑖   𝐵,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐵   𝑖,𝐹,𝑥   𝑥,𝐺   𝑥,𝐿   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑥,𝑀   𝑄,𝑖,𝑝   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑆,𝑖,𝑥   𝑇,𝑖,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑅(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑆(𝑚,𝑝)   𝑇(𝑚,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝐺(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐻(𝑥,𝑖,𝑚,𝑝)   𝐿(𝑖,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem81
Dummy variables 𝑦 𝑤 𝑧 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem81.q . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
2 fourierdlem81.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 fourierdlem81.p . . . . . . . . . . 11 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
43fourierdlem2 40843 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
52, 4syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
61, 5mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
76simprd 483 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
87simpld 482 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵))
98simpld 482 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
109eqcomd 2777 . . . 4 (𝜑𝐴 = (𝑄‘0))
118simprd 483 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝑀) = 𝐵)
1211eqcomd 2777 . . . 4 (𝜑𝐵 = (𝑄𝑀))
1310, 12oveq12d 6811 . . 3 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
1413itgeq1d 40690 . 2 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))(𝐹𝑥) d𝑥)
15 0zd 11591 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
16 nnuz 11925 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
17 0p1e1 11334 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
1817fveq2i 6335 . . . . 5 (ℤ‘(0 + 1)) = (ℤ‘1)
1916, 18eqtr4i 2796 . . . 4 ℕ = (ℤ‘(0 + 1))
202, 19syl6eleq 2860 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
216simpld 482 . . . 4 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)))
22 reex 10229 . . . . . 6 ℝ ∈ V
2322a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ V)
24 ovex 6823 . . . . . 6 (0...𝑀) ∈ V
2524a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (0...𝑀) ∈ V)
2623, 25elmapd 8023 . . . 4 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ↔ 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ))
2721, 26mpbid 222 . . 3 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
287simprd 483 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
2928r19.21bi 3081 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
30 fourierdlem81.f . . . . 5 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
3130adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
32 fourierdlem81.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
339, 32eqeltrd 2850 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
34 fourierdlem81.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3511, 34eqeltrd 2850 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ ℝ)
3633, 35iccssred 40248 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)) ⊆ ℝ)
3736sselda 3752 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → 𝑥 ∈ ℝ)
3831, 37ffvelrnd 6503 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
3927adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
40 elfzofz 12693 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
4140adantl 467 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
4239, 41ffvelrnd 6503 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
43 fzofzp1 12773 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
4443adantl 467 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
4539, 44ffvelrnd 6503 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
4630feqmptd 6391 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
4746reseq1d 5533 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
4847adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
49 ioossre 12440 . . . . . . . 8 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ
5049a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
5150resmptd 5593 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)))
5248, 51eqtr2d 2806 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
53 fourierdlem81.cncf . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
54 fourierdlem81.l . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
55 fourierdlem81.r . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
5642, 45, 53, 54, 55iblcncfioo 40711 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ 𝐿1)
5752, 56eqeltrd 2850 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
5830ad2antrr 705 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
5942, 45iccssred 40248 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
6059sselda 3752 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
6158, 60ffvelrnd 6503 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
6242, 45, 57, 61ibliooicc 40704 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
6315, 20, 27, 29, 38, 62itgspltprt 40712 . 2 (𝜑 → ∫((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))(𝐹𝑥) d𝑥 = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥)
64 fourierdlem81.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑖) + 𝑇))
6564a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑖) + 𝑇)))
66 fveq2 6332 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → (𝑄𝑖) = (𝑄‘0))
6766oveq1d 6808 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → ((𝑄𝑖) + 𝑇) = ((𝑄‘0) + 𝑇))
6867adantl 467 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 = 0) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) = ((𝑄‘0) + 𝑇))
692nnnn0d 11553 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
70 nn0uz 11924 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
7169, 70syl6eleq 2860 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
72 eluzfz1 12555 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
7371, 72syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
74 fourierdlem81.t . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
7574rpred 12075 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
7633, 75readdcld 10271 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑄‘0) + 𝑇) ∈ ℝ)
7765, 68, 73, 76fvmptd 6430 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆‘0) = ((𝑄‘0) + 𝑇))
789oveq1d 6808 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑄‘0) + 𝑇) = (𝐴 + 𝑇))
7977, 78eqtr2d 2806 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) = (𝑆‘0))
80 fveq2 6332 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑀 → (𝑄𝑖) = (𝑄𝑀))
8180oveq1d 6808 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑀 → ((𝑄𝑖) + 𝑇) = ((𝑄𝑀) + 𝑇))
8281adantl 467 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 = 𝑀) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) = ((𝑄𝑀) + 𝑇))
83 eluzfz2 12556 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
8471, 83syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑀))
8535, 75readdcld 10271 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑄𝑀) + 𝑇) ∈ ℝ)
8665, 82, 84, 85fvmptd 6430 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝑀) = ((𝑄𝑀) + 𝑇))
8711oveq1d 6808 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑄𝑀) + 𝑇) = (𝐵 + 𝑇))
8886, 87eqtr2d 2806 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 + 𝑇) = (𝑆𝑀))
8979, 88oveq12d 6811 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) = ((𝑆‘0)[,](𝑆𝑀)))
9089itgeq1d 40690 . . 3 (𝜑 → ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫((𝑆‘0)[,](𝑆𝑀))(𝐹𝑥) d𝑥)
9127ffvelrnda 6502 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
9275adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → 𝑇 ∈ ℝ)
9391, 92readdcld 10271 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) ∈ ℝ)
9493, 64fmptd 6527 . . . 4 (𝜑𝑆:(0...𝑀)⟶ℝ)
9575adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑇 ∈ ℝ)
9642, 45, 95, 29ltadd1dd 10840 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))
9740, 93sylan2 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) ∈ ℝ)
9864fvmpt2 6433 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ((𝑄𝑖) + 𝑇) ∈ ℝ) → (𝑆𝑖) = ((𝑄𝑖) + 𝑇))
9941, 97, 98syl2anc 573 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆𝑖) = ((𝑄𝑖) + 𝑇))
100 fveq2 6332 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (𝑄𝑖) = (𝑄𝑗))
101100oveq1d 6808 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄𝑖) + 𝑇) = ((𝑄𝑗) + 𝑇))
102101cbvmptv 4884 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑖) + 𝑇)) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑗) + 𝑇))
10364, 102eqtri 2793 . . . . . . 7 𝑆 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑗) + 𝑇))
104103a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑆 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑗) + 𝑇)))
105 fveq2 6332 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑖 + 1) → (𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
106105oveq1d 6808 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑖 + 1) → ((𝑄𝑗) + 𝑇) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))
107106adantl 467 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) → ((𝑄𝑗) + 𝑇) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))
10845, 95readdcld 10271 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇) ∈ ℝ)
109104, 107, 44, 108fvmptd 6430 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))
11096, 99, 1093brtr4d 4818 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1)))
11130adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆‘0)[,](𝑆𝑀))) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
11277, 76eqeltrd 2850 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆‘0) ∈ ℝ)
113112adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆‘0)[,](𝑆𝑀))) → (𝑆‘0) ∈ ℝ)
11486, 85eqeltrd 2850 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆𝑀) ∈ ℝ)
115114adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆‘0)[,](𝑆𝑀))) → (𝑆𝑀) ∈ ℝ)
116113, 115iccssred 40248 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆‘0)[,](𝑆𝑀))) → ((𝑆‘0)[,](𝑆𝑀)) ⊆ ℝ)
117 simpr 471 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆‘0)[,](𝑆𝑀))) → 𝑥 ∈ ((𝑆‘0)[,](𝑆𝑀)))
118116, 117sseldd 3753 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆‘0)[,](𝑆𝑀))) → 𝑥 ∈ ℝ)
119111, 118ffvelrnd 6503 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆‘0)[,](𝑆𝑀))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
12099, 97eqeltrd 2850 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆𝑖) ∈ ℝ)
121109, 108eqeltrd 2850 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
122 ioosscn 40237 . . . . . . . . 9 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
123122a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
124 eqeq1 2775 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
125124rexbidv 3200 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
126 oveq1 6800 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 + 𝑇) = (𝑦 + 𝑇))
127126eqeq2d 2781 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
128127cbvrexv 3321 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑦 + 𝑇))
129125, 128syl6bb 276 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
130129cbvrabv 3349 . . . . . . . 8 {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
131 fdm 6191 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:ℝ⟶ℂ → dom 𝐹 = ℝ)
13230, 131syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐹 = ℝ)
133132feq2d 6171 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ↔ 𝐹:ℝ⟶ℂ))
13430, 133mpbird 247 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
135134adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
136 elioore 12410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑧 ∈ ℝ)
137136adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
13875adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
139137, 138readdcld 10271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
140139adantlr 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
1411403adant3 1126 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
142 simp3 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑤 = (𝑧 + 𝑇))
1431323ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)) → dom 𝐹 = ℝ)
1441433adant1r 1187 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)) → dom 𝐹 = ℝ)
145141, 142, 1443eltr4d 2865 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑤 ∈ dom 𝐹)
1461453exp 1112 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑤 ∈ dom 𝐹)))
147146adantr 466 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑤 ∈ dom 𝐹)))
148147rexlimdv 3178 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑤 ∈ dom 𝐹))
149148ralrimiva 3115 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑤 ∈ ℂ (∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑤 ∈ dom 𝐹))
150 rabss 3828 . . . . . . . . 9 ({𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ⊆ dom 𝐹 ↔ ∀𝑤 ∈ ℂ (∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑤 ∈ dom 𝐹))
151149, 150sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ⊆ dom 𝐹)
152 simpll 750 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝜑)
15332rexrd 10291 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
154153ad2antrr 705 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
15534rexrd 10291 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
156155ad2antrr 705 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
1573, 2, 1fourierdlem15 40856 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
158157ad2antrr 705 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
159 simplr 752 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
160 ioossicc 12464 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
161160sseli 3748 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
162161adantl 467 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
163154, 156, 158, 159, 162fourierdlem1 40842 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
164 fourierdlem81.fper . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
165152, 163, 164syl2anc 573 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
166123, 95, 130, 135, 151, 165, 53cncfperiod 40610 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) ∈ ({𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}–cn→ℂ))
167125elrab 3515 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
168167simprbi 484 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} → ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
169 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
170 nfv 1995 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧(𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀))
171 nfre1 3153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇)
172170, 171nfan 1980 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
173 nfv 1995 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧(𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑖) < 𝑥𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1)))
174 simp3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
1751393adant3 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
176174, 175eqeltrd 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ℝ)
1771763adant1r 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ℝ)
17842adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
179136adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
18075ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
181 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
18242rexrd 10291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
183182adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
18445rexrd 10291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
185184adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
186 elioo2 12421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑄𝑖) < 𝑧𝑧 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
187183, 185, 186syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑄𝑖) < 𝑧𝑧 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
188181, 187mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑄𝑖) < 𝑧𝑧 < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
189188simp2d 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < 𝑧)
190178, 179, 180, 189ltadd1dd 10840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) < (𝑧 + 𝑇))
1911903adant3 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) < (𝑧 + 𝑇))
192993ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑆𝑖) = ((𝑄𝑖) + 𝑇))
193 simp3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
194191, 192, 1933brtr4d 4818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑆𝑖) < 𝑥)
19545adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
196188simp3d 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑧 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
197179, 195, 180, 196ltadd1dd 10840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑧 + 𝑇) < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))
1981973adant3 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑧 + 𝑇) < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))
1991093ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))
200198, 193, 1993brtr4d 4818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1)))
201177, 194, 2003jca 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑖) < 𝑥𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1))))
2022013exp 1112 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑖) < 𝑥𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1))))))
203202adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑖) < 𝑥𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1))))))
204172, 173, 203rexlimd 3174 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑖) < 𝑥𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1)))))
205169, 204mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑖) < 𝑥𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1))))
206120rexrd 10291 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆𝑖) ∈ ℝ*)
207206adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑆𝑖) ∈ ℝ*)
208121rexrd 10291 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
209208adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
210 elioo2 12421 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑖) < 𝑥𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1)))))
211207, 209, 210syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑖) < 𝑥𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1)))))
212205, 211mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))
213168, 212sylan2 580 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) → 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))
214 elioore 12410 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
215214recnd 10270 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
216215adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
217182adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
218184adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
219214adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
22075adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
221219, 220resubcld 10660 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥𝑇) ∈ ℝ)
222221adantlr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥𝑇) ∈ ℝ)
22399oveq1d 6808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆𝑖) − 𝑇) = (((𝑄𝑖) + 𝑇) − 𝑇))
22442recnd 10270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℂ)
22595recnd 10270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑇 ∈ ℂ)
226224, 225pncand 10595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖) + 𝑇) − 𝑇) = (𝑄𝑖))
227223, 226eqtr2d 2806 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) = ((𝑆𝑖) − 𝑇))
228227adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) = ((𝑆𝑖) − 𝑇))
229120adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆𝑖) ∈ ℝ)
230214adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
23175ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
232 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))
233206adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆𝑖) ∈ ℝ*)
234208adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
235233, 234, 210syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑖) < 𝑥𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1)))))
236232, 235mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑖) < 𝑥𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1))))
237236simp2d 1137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆𝑖) < 𝑥)
238229, 230, 231, 237ltsub1dd 10841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑆𝑖) − 𝑇) < (𝑥𝑇))
239228, 238eqbrtrd 4808 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < (𝑥𝑇))
240121adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
241236simp3d 1138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1)))
242230, 240, 231, 241ltsub1dd 10841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥𝑇) < ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇))
243109oveq1d 6808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇) − 𝑇))
24445recnd 10270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
245244, 225pncand 10595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
246243, 245eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
247246adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
248242, 247breqtrd 4812 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥𝑇) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
249217, 218, 222, 239, 248eliood 40241 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
250219recnd 10270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
251220recnd 10270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑇 ∈ ℂ)
252250, 251npcand 10598 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑥𝑇) + 𝑇) = 𝑥)
253252eqcomd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇))
254253adantlr 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇))
255 oveq1 6800 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑥𝑇) → (𝑧 + 𝑇) = ((𝑥𝑇) + 𝑇))
256255eqeq2d 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑥𝑇) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇)))
257256rspcev 3460 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇)) → ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
258249, 254, 257syl2anc 573 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
259216, 258, 167sylanbrc 572 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
260213, 259impbida 802 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))))
261260eqrdv 2769 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} = ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))
262261reseq2d 5534 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) = (𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))))
26330adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
264 ioossre 12440 . . . . . . . . . 10 ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ
265264a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
266263, 265feqresmpt 6392 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) = (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)))
267262, 266eqtrd 2805 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) = (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)))
268261oveq1d 6808 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ({𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}–cn→ℂ) = (((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
269166, 267, 2683eltr3d 2864 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ (((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
27049, 132syl5sseqr 3803 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
271270adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
272 eqid 2771 . . . . . . . 8 {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}
273 simpll 750 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝜑)
274153ad2antrr 705 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
275155ad2antrr 705 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
276157ad2antrr 705 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
277 simplr 752 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
278160, 181sseldi 3750 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
279274, 275, 276, 277, 278fourierdlem1 40842 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
280 eleq1 2838 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
281280anbi2d 614 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))))
282 oveq1 6800 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 + 𝑇) = (𝑧 + 𝑇))
283282fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑧 + 𝑇)))
284 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
285283, 284eqeq12d 2786 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑧 + 𝑇)) = (𝐹𝑧)))
286281, 285imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑧 + 𝑇)) = (𝐹𝑧))))
287286, 164chvarv 2425 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑧 + 𝑇)) = (𝐹𝑧))
288273, 279, 287syl2anc 573 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑧 + 𝑇)) = (𝐹𝑧))
289135, 123, 271, 225, 272, 151, 288, 54limcperiod 40378 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) lim ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)))
290109eqcomd 2777 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇) = (𝑆‘(𝑖 + 1)))
291267, 290oveq12d 6811 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) lim ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)) = ((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑆‘(𝑖 + 1))))
292289, 291eleqtrd 2852 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑆‘(𝑖 + 1))))
293135, 123, 271, 225, 272, 151, 288, 55limcperiod 40378 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) lim ((𝑄𝑖) + 𝑇)))
29499eqcomd 2777 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) = (𝑆𝑖))
295267, 294oveq12d 6811 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) lim ((𝑄𝑖) + 𝑇)) = ((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑆𝑖)))
296293, 295eleqtrd 2852 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑆𝑖)))
297120, 121, 269, 292, 296iblcncfioo 40711 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
29830ad2antrr 705 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
299120adantr 466 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆𝑖) ∈ ℝ)
300121adantr 466 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
301 simpr 471 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))))
302 eliccre 40249 . . . . . . 7 (((𝑆𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
303299, 300, 301, 302syl3anc 1476 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
304298, 303ffvelrnd 6503 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
305120, 121, 297, 304ibliooicc 40704 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
30615, 20, 94, 110, 119, 305itgspltprt 40712 . . 3 (𝜑 → ∫((𝑆‘0)[,](𝑆𝑀))(𝐹𝑥) d𝑥 = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥)
307 iftrue 4231 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑆𝑖) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = 𝑅)
308307adantl 467 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = 𝑅)
309 fourierdlem81.g . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐺 = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))))
310 iftrue 4231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑄𝑖) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝑅)
311 iftrue 4231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑄𝑖) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = 𝑅)
312310, 311eqtr4d 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑄𝑖) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
313312adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
314 iffalse 4234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥 = (𝑄𝑖) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)))
315314adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ 𝑥 = (𝑄𝑖) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)))
316 iftrue 4231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) = 𝐿)
317316adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ 𝑥 = (𝑄𝑖) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) = 𝐿)
318 iffalse 4234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥 = (𝑄𝑖) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
319318adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ 𝑥 = (𝑄𝑖) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
320 iftrue 4231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = 𝐿)
321320adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ 𝑥 = (𝑄𝑖) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = 𝐿)
322319, 321eqtr2d 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ 𝑥 = (𝑄𝑖) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝐿 = if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
323315, 317, 3223eqtrd 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((¬ 𝑥 = (𝑄𝑖) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
324323adantll 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
325314ad2antlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)))
326 iffalse 4234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
327326adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
328318ad2antlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
329 iffalse 4234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
330329adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
331182ad3antrrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
332184ad3antrrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
33360ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
33442ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
33560adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → 𝑥 ∈ ℝ)
336182ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
337184ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
338 simplr 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
339 iccgelb 12435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ≤ 𝑥)
340336, 337, 338, 339syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → (𝑄𝑖) ≤ 𝑥)
341 neqne 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑥 = (𝑄𝑖) → 𝑥 ≠ (𝑄𝑖))
342341adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → 𝑥 ≠ (𝑄𝑖))
343334, 335, 340, 342leneltd 10393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
344343adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
34545ad3antrrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
346182adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
347184adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
348 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
349 iccleub 12434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
350346, 347, 348, 349syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
351350ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
352 neqne 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → 𝑥 ≠ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
353352necomd 2998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≠ 𝑥)
354353adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≠ 𝑥)
355333, 345, 351, 354leneltd 10393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
356331, 332, 333, 344, 355eliood 40241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
357 fvres 6348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
358356, 357syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
359328, 330, 3583eqtrrd 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐹𝑥) = if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
360325, 327, 3593eqtrd 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
361324, 360pm2.61dan 814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
362313, 361pm2.61dan 814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
363362mpteq2dva 4878 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))))
364309, 363syl5eq 2817 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐺 = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))))
365 eqeq1 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 = (𝑄𝑖) ↔ 𝑤 = (𝑄𝑖)))
366 eqeq1 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ 𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1))))
367 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤))
368366, 367ifbieq2d 4250 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑤 → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤)))
369365, 368ifbieq2d 4250 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑤 → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤))))
370369cbvmptv 4884 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))) = (𝑤 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤))))
371364, 370syl6eq 2821 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐺 = (𝑤 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤)))))
372371adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → 𝐺 = (𝑤 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤)))))
373 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ 𝑤 = (𝑥𝑇)) → 𝑤 = (𝑥𝑇))
374 oveq1 6800 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑆𝑖) → (𝑥𝑇) = ((𝑆𝑖) − 𝑇))
375374ad2antlr 706 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ 𝑤 = (𝑥𝑇)) → (𝑥𝑇) = ((𝑆𝑖) − 𝑇))
376227eqcomd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆𝑖) − 𝑇) = (𝑄𝑖))
377376ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ 𝑤 = (𝑥𝑇)) → ((𝑆𝑖) − 𝑇) = (𝑄𝑖))
378373, 375, 3773eqtrd 2809 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ 𝑤 = (𝑥𝑇)) → 𝑤 = (𝑄𝑖))
379378iftrued 4233 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ 𝑤 = (𝑥𝑇)) → if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤))) = 𝑅)
380374adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → (𝑥𝑇) = ((𝑆𝑖) − 𝑇))
38142, 45, 29ltled 10387 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
382 lbicc2 12495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄𝑖) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
383182, 184, 381, 382syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
384376, 383eqeltrd 2850 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆𝑖) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
385384adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → ((𝑆𝑖) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
386380, 385eqeltrd 2850 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → (𝑥𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
387 limccl 23859 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) ⊆ ℂ
388387, 55sseldi 3750 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ℂ)
389388adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → 𝑅 ∈ ℂ)
390372, 379, 386, 389fvmptd 6430 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → (𝐺‘(𝑥𝑇)) = 𝑅)
391308, 390eqtr4d 2808 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
392391adantlr 694 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
393 iffalse 4234 . . . . . . . . . . 11 𝑥 = (𝑆𝑖) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
394393adantl 467 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
395371adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → 𝐺 = (𝑤 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤)))))
396 eqeq1 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) → (𝑤 = (𝑄𝑖) ↔ ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄𝑖)))
397 eqeq1 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) → (𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1))))
398 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)))
399397, 398ifbieq2d 4250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) → if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤)) = if(((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇))))
400396, 399ifbieq2d 4250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) → if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤))) = if(((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄𝑖), 𝑅, if(((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)))))
401400adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑤 = ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)) → if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤))) = if(((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄𝑖), 𝑅, if(((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)))))
402 eqeq1 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → (((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄𝑖) ↔ (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄𝑖)))
403 iftrue 4231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇))) = 𝐿)
404402, 403ifbieq2d 4250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄𝑖), 𝑅, if(((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)))) = if((𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄𝑖), 𝑅, 𝐿))
405246, 404syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → if(((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄𝑖), 𝑅, if(((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)))) = if((𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄𝑖), 𝑅, 𝐿))
406405adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑤 = ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)) → if(((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄𝑖), 𝑅, if(((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)))) = if((𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄𝑖), 𝑅, 𝐿))
40742, 29gtned 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≠ (𝑄𝑖))
408407neneqd 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄𝑖))
409408iffalsed 4236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → if((𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄𝑖), 𝑅, 𝐿) = 𝐿)
410409adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑤 = ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)) → if((𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄𝑖), 𝑅, 𝐿) = 𝐿)
411401, 406, 4103eqtrd 2809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑤 = ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)) → if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤))) = 𝐿)
412411adantlr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)) → if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤))) = 𝐿)
413 ubicc2 12496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
414182, 184, 381, 413syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
415246, 414eqeltrd 2850 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
416415adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
417 limccl 23859 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
418417, 54sseldi 3750 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ℂ)
419418adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → 𝐿 ∈ ℂ)
420395, 412, 416, 419fvmptd 6430 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝐺‘((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)) = 𝐿)
421 oveq1 6800 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)) → (𝑥𝑇) = ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇))
422421fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)) → (𝐺‘(𝑥𝑇)) = (𝐺‘((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)))
423422adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝐺‘(𝑥𝑇)) = (𝐺‘((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)))
424 iftrue 4231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = 𝐿)
425424adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = 𝐿)
426420, 423, 4253eqtr4rd 2816 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
427426ad4ant14 1208 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
428 iffalse 4234 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
429428adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
430371adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝐺 = (𝑤 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤)))))
431430ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → 𝐺 = (𝑤 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤)))))
432 eqeq1 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = (𝑥𝑇) → (𝑤 = (𝑄𝑖) ↔ (𝑥𝑇) = (𝑄𝑖)))
433 eqeq1 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = (𝑥𝑇) → (𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1))))
434 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = (𝑥𝑇) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)))
435433, 434ifbieq2d 4250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = (𝑥𝑇) → if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤)) = if((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇))))
436432, 435ifbieq2d 4250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = (𝑥𝑇) → if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤))) = if((𝑥𝑇) = (𝑄𝑖), 𝑅, if((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)))))
437436adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥𝑇)) → if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤))) = if((𝑥𝑇) = (𝑄𝑖), 𝑅, if((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)))))
438303recnd 10270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
439225adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑇 ∈ ℂ)
440438, 439npcand 10598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑥𝑇) + 𝑇) = 𝑥)
441440eqcomd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇))
442441adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ (𝑥𝑇) = (𝑄𝑖)) → 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇))
443 oveq1 6800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥𝑇) = (𝑄𝑖) → ((𝑥𝑇) + 𝑇) = ((𝑄𝑖) + 𝑇))
444443adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ (𝑥𝑇) = (𝑄𝑖)) → ((𝑥𝑇) + 𝑇) = ((𝑄𝑖) + 𝑇))
445294ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ (𝑥𝑇) = (𝑄𝑖)) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) = (𝑆𝑖))
446442, 444, 4453eqtrd 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ (𝑥𝑇) = (𝑄𝑖)) → 𝑥 = (𝑆𝑖))
447446stoic1a 1845 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → ¬ (𝑥𝑇) = (𝑄𝑖))
448447iffalsed 4236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → if((𝑥𝑇) = (𝑄𝑖), 𝑅, if((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)))) = if((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇))))
449448ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥𝑇)) → if((𝑥𝑇) = (𝑄𝑖), 𝑅, if((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)))) = if((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇))))
450441adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ (𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇))
451 oveq1 6800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → ((𝑥𝑇) + 𝑇) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))
452451adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ (𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝑥𝑇) + 𝑇) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))
453290ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ (𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇) = (𝑆‘(𝑖 + 1)))
454450, 452, 4533eqtrd 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ (𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)))
455454stoic1a 1845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → ¬ (𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
456455iffalsed 4236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → if((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)))
457456adantlr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → if((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)))
458457adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥𝑇)) → if((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)))
459437, 449, 4583eqtrd 2809 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥𝑇)) → if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)))
46042adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
46145adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
46275ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
463303, 462resubcld 10660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥𝑇) ∈ ℝ)
464227adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) = ((𝑆𝑖) − 𝑇))
465206adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆𝑖) ∈ ℝ*)
466208adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
467 iccgelb 12435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑆𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆𝑖) ≤ 𝑥)
468465, 466, 301, 467syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆𝑖) ≤ 𝑥)
469299, 303, 462, 468lesub1dd 10845 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑆𝑖) − 𝑇) ≤ (𝑥𝑇))
470464, 469eqbrtrd 4808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑥𝑇))
471 iccleub 12434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑆𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑆‘(𝑖 + 1)))
472465, 466, 301, 471syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑆‘(𝑖 + 1)))
473303, 300, 462, 472lesub1dd 10845 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥𝑇) ≤ ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇))
474246adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
475473, 474breqtrd 4812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥𝑇) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
476460, 461, 463, 470, 475eliccd 40247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
477476ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑥𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
478135, 271fssresd 6211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
479478ad3antrrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
480182ad3antrrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
481184ad3antrrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
482303ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
48395ad3antrrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → 𝑇 ∈ ℝ)
484482, 483resubcld 10660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑥𝑇) ∈ ℝ)
48542ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
486463adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → (𝑥𝑇) ∈ ℝ)
487470adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑥𝑇))
488447neqned 2950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → (𝑥𝑇) ≠ (𝑄𝑖))
489485, 486, 487, 488leneltd 10393 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → (𝑄𝑖) < (𝑥𝑇))
490489adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑄𝑖) < (𝑥𝑇))
491463adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑥𝑇) ∈ ℝ)
49245ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
493475adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑥𝑇) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
494 eqcom 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑥𝑇))
495454ex 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))))
496494, 495syl5bir 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑥𝑇) → 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))))
497496con3dimp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → ¬ (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑥𝑇))
498497neqned 2950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≠ (𝑥𝑇))
499491, 492, 493, 498leneltd 10393 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑥𝑇) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
500499adantlr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑥𝑇) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
501480, 481, 484, 490, 500eliood 40241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑥𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
502479, 501ffvelrnd 6503 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)) ∈ ℂ)
503431, 459, 477, 502fvmptd 6430 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝐺‘(𝑥𝑇)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)))
504 fvres 6348 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)) = (𝐹‘(𝑥𝑇)))
505501, 504syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)) = (𝐹‘(𝑥𝑇)))
506503, 505eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝐺‘(𝑥𝑇)) = (𝐹‘(𝑥𝑇)))
507465ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑆𝑖) ∈ ℝ*)
508466ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
509120ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → (𝑆𝑖) ∈ ℝ)
510303adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → 𝑥 ∈ ℝ)
511468adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → (𝑆𝑖) ≤ 𝑥)
512 neqne 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥 = (𝑆𝑖) → 𝑥 ≠ (𝑆𝑖))
513512adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → 𝑥 ≠ (𝑆𝑖))
514509, 510, 511, 513leneltd 10393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → (𝑆𝑖) < 𝑥)
515514adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑆𝑖) < 𝑥)
516300ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
517472ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ≤ (𝑆‘(𝑖 + 1)))
518 neqne 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)) → 𝑥 ≠ (𝑆‘(𝑖 + 1)))
519518necomd 2998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) ≠ 𝑥)
520519adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) ≠ 𝑥)
521482, 516, 517, 520leneltd 10393 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1)))
522507, 508, 482, 515, 521eliood 40241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))
523 fvres 6348 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
524522, 523syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
525440fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘((𝑥𝑇) + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
526525eqcomd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘((𝑥𝑇) + 𝑇)))
527526ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘((𝑥𝑇) + 𝑇)))
528438, 439subcld 10594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥𝑇) ∈ ℂ)
529 elex 3364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝑇) ∈ ℂ → (𝑥𝑇) ∈ V)
530528, 529syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥𝑇) ∈ V)
531530ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑥𝑇) ∈ V)
532 simp-4l 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → 𝜑)
533153adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
534155adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
535157adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
536 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
537533, 534, 535, 536fourierdlem8 40849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
538537adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
539538, 476sseldd 3753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐵))
540539ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑥𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐵))
541532, 540jca 501 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝜑 ∧ (𝑥𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
542 eleq1 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (𝑥𝑇) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
543542anbi2d 614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑥𝑇) → ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑥𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐵))))
544 oveq1 6800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝑥𝑇) → (𝑦 + 𝑇) = ((𝑥𝑇) + 𝑇))
545544fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (𝑥𝑇) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘((𝑥𝑇) + 𝑇)))
546 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (𝑥𝑇) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝑥𝑇)))
547545, 546eqeq12d 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑥𝑇) → ((𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦) ↔ (𝐹‘((𝑥𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥𝑇))))
548543, 547imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑥𝑇) → (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘((𝑥𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥𝑇)))))
549 eleq1 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
550549anbi2d 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))))
551 oveq1 6800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + 𝑇) = (𝑦 + 𝑇))
552551fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)))
553 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
554552, 553eqeq12d 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦)))
555550, 554imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦))))
556555, 164chvarv 2425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦))
557548, 556vtoclg 3417 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝑇) ∈ V → ((𝜑 ∧ (𝑥𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘((𝑥𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥𝑇))))
558531, 541, 557sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝐹‘((𝑥𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥𝑇)))
559524, 527, 5583eqtrd 2809 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹‘(𝑥𝑇)))
560506, 559eqtr4d 2808 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝐺‘(𝑥𝑇)) = ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
561429, 560eqtr4d 2808 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
562427, 561pm2.61dan 814 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
563394, 562eqtrd 2805 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
564392, 563pm2.61dan 814 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
565308, 389eqeltrd 2850 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) ∈ ℂ)
566565adantlr 694 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) ∈ ℂ)
567425, 419eqeltrd 2850 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ∈ ℂ)
568567ad4ant14 1208 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ∈ ℂ)
569263, 265fssresd 6211 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))):((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
570569ad3antrrr 709 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))):((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
571570, 522ffvelrnd 6503 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) ∈ ℂ)
572429, 571eqeltrd 2850 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ∈ ℂ)
573568, 572pm2.61dan 814 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ∈ ℂ)
574394, 573eqeltrd 2850 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) ∈ ℂ)
575566, 574pm2.61dan 814 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) ∈ ℂ)
576 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
577576fvmpt2 6433 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ∧ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))‘𝑥) = if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
578301, 575, 577syl2anc 573 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))‘𝑥) = if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
579 nfv 1995 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀))
580 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
581579, 580, 42, 45, 53, 54, 55cncfiooicc 40625 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))) ∈ (((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
582364, 581eqeltrd 2850 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐺 ∈ (((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
583 cncff 22916 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ (((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → 𝐺:((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
584582, 583syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐺:((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
585584adantr 466 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝐺:((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
586585, 476ffvelrnd 6503 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝐺‘(𝑥𝑇)) ∈ ℂ)
587 fourierdlem81.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐺‘(𝑥𝑇)))
588587fvmpt2 6433 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐺‘(𝑥𝑇)) ∈ ℂ) → (𝐻𝑥) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
589301, 586, 588syl2anc 573 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝐻𝑥) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
590564, 578, 5893eqtr4rd 2816 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝐻𝑥) = ((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))‘𝑥))
591590itgeq2dv 23768 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))(𝐻𝑥) d𝑥 = ∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))‘𝑥) d𝑥)
592 ioossicc 12464 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))
593592sseli 3748 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))))
594593adantl 467 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))))
595593, 575sylan2 580 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) ∈ ℂ)
596594, 595, 577syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))‘𝑥) = if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
597229, 237gtned 10374 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≠ (𝑆𝑖))
598597neneqd 2948 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖))
599598iffalsed 4236 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
600230, 241ltned 10375 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≠ (𝑆‘(𝑖 + 1)))
601600neneqd 2948 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)))
602601iffalsed 4236 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
603523adantl 467 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
604602, 603eqtrd 2805 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = (𝐹𝑥))
605596, 599, 6043eqtrd 2809 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
606605itgeq2dv 23768 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))‘𝑥) d𝑥 = ∫((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥)
607578, 575eqeltrd 2850 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))‘𝑥) ∈ ℂ)
608120, 121, 607itgioo 23802 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))‘𝑥) d𝑥 = ∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))‘𝑥) d𝑥)
609120, 121, 304itgioo 23802 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥)
610606, 608, 6093eqtr3d 2813 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))‘𝑥) d𝑥 = ∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥)
611591, 610eqtr2d 2806 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))(𝐻𝑥) d𝑥)
61299, 109oveq12d 6811 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) = (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)))
613612itgeq1d 40690 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))(𝐻𝑥) d𝑥 = ∫(((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))(𝐻𝑥) d𝑥)
614 simpr 471 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)))
615612eqcomd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)) = ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))))
616615adantr 466 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)) = ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))))
617614, 616eleqtrd 2852 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))))
618584adantr 466 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → 𝐺:((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
61942adantr 466 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
62045adantr 466 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
62197adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) ∈ ℝ)
622108adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇) ∈ ℝ)
623 eliccre 40249 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑄𝑖) + 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
624621, 622, 614, 623syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
62575ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ)
626624, 625resubcld 10660 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ∈ ℝ)
627226eqcomd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) = (((𝑄𝑖) + 𝑇) − 𝑇))
628627adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (𝑄𝑖) = (((𝑄𝑖) + 𝑇) − 𝑇))
629621rexrd 10291 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) ∈ ℝ*)
630622rexrd 10291 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇) ∈ ℝ*)
631 iccgelb 12435 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑄𝑖) + 𝑇) ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) ≤ 𝑥)
632629, 630, 614, 631syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) ≤ 𝑥)
633621, 624, 625, 632lesub1dd 10845 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (((𝑄𝑖) + 𝑇) − 𝑇) ≤ (𝑥𝑇))
634628, 633eqbrtrd 4808 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑥𝑇))
635 iccleub 12434 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑄𝑖) + 𝑇) ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → 𝑥 ≤ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))
636629, 630, 614, 635syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → 𝑥 ≤ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))
637624, 622, 625, 636lesub1dd 10845 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ≤ (((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇) − 𝑇))
638245adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
639637, 638breqtrd 4812 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
640619, 620, 626, 634, 639eliccd 40247 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
641618, 640ffvelrnd 6503 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (𝐺‘(𝑥𝑇)) ∈ ℂ)
642617, 641, 588syl2anc 573 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (𝐻𝑥) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
643 eqidd 2772 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑇))) = (𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑇))))
644 oveq1 6800 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝑇) = (𝑥𝑇))
645644fveq2d 6336 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (𝐺‘(𝑦𝑇)) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
646645adantl 467 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝐺‘(𝑦𝑇)) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
647643, 646, 614, 641fvmptd 6430 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → ((𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑇)))‘𝑥) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
648642, 647eqtr4d 2808 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (𝐻𝑥) = ((𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑇)))‘𝑥))
649648itgeq2dv 23768 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫(((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))(𝐻𝑥) d𝑥 = ∫(((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))((𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑇)))‘𝑥) d𝑥)
65074adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
651645cbvmptv 4884 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑇))) = (𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (𝐺‘(𝑥𝑇)))
65242, 45, 381, 582, 650, 651itgiccshift 40713 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫(((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))((𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑇)))‘𝑥) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐺𝑥) d𝑥)
653613, 649, 6523eqtrd 2809 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))(𝐻𝑥) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐺𝑥) d𝑥)
654132adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom 𝐹 = ℝ)
65559, 654sseqtr4d 3791 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
65642, 45, 135, 53, 655, 55, 54, 309itgioocnicc 40710 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥))
657656simprd 483 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥)
658611, 653, 6573eqtrd 2809 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥)
659658sumeq2dv 14641 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥 = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥)
66090, 306, 6593eqtrrd 2810 . 2 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐹𝑥) d𝑥)
66114, 63, 6603eqtrrd 2810 1 (𝜑 → ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  {crab 3065  Vcvv 3351  wss 3723  ifcif 4225   class class class wbr 4786  cmpt 4863  dom cdm 5249  cres 5251  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  𝑚 cmap 8009  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141  *cxr 10275   < clt 10276  cle 10277  cmin 10468  cn 11222  0cn0 11494  cuz 11888  +crp 12035  (,)cioo 12380  [,]cicc 12383  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  Σcsu 14624  cnccncf 22899  𝐿1cibl 23605  citg 23606   lim climc 23846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cc 9459  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-disj 4755  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-ofr 7045  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-omul 7718  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-acn 8968  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-cmp 21411  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cncf 22901  df-ovol 23452  df-vol 23453  df-mbf 23607  df-itg1 23608  df-itg2 23609  df-ibl 23610  df-itg 23611  df-0p 23657  df-ditg 23831  df-limc 23850  df-dv 23851
This theorem is referenced by:  fourierdlem92  40932
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