Theorem ovnsupge0 47304

Description: The set used in the definition of the Lebesgue outer measure is a subset of the nonnegative extended reals. This is a substep for (a)(i) of the proof of Proposition 115D (a) of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovnsupge0.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
ovnsupge0.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
ovnsupge0.3	⊢ 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}

Assertion

Ref	Expression
ovnsupge0	⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ (0[,]+∞))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑋,𝑘   𝑖,𝑗,𝑘,𝜑   𝑧,𝑖,𝜑

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧, 𝑖, 𝑗, 𝑘)   𝑀(𝑧, 𝑖, 𝑗, 𝑘)   𝑋(𝑧, 𝑖)

Proof of Theorem ovnsupge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovnsupge0.3	. 2 ⊢ 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}
2		simp3 1156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))
3		nnex 12250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ ∈ V
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) → ℕ ∈ V)
5		icossicc 13475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
6		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ)
7		ovnsupge0.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
8	7	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ Fin)
9		elmapi 8848	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) → 𝑖:ℕ⟶((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋))
10	9	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑖:ℕ⟶((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋))
11		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
12	6, 8, 10, 11	ovnprodcl 47301	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)) ∈ (0[,)+∞))
13	5, 12	sselid 3936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)) ∈ (0[,]+∞))
14		eqid 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))
15	13, 14	fmptd 7113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) → (𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))):ℕ⟶(0[,]+∞))
16	4, 15	sge0cl 47128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))) ∈ (0[,]+∞))
17	16	3adant3 1150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))) → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))) ∈ (0[,]+∞))
18	2, 17	eqeltrd 2865	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞))
19	18	3adant3l 1199	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ∧ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞))
20	19	3exp 1137	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) → ((𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞))))
21	20	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) → ((𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞))))
22	21	rexlimdv 3166	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞)))
23	22	ralrimiva 3159	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ* (∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞)))
24		rabss 4025	. . 3 ⊢ ({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))} ⊆ (0[,]+∞) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ* (∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞)))
25	23, 24	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))} ⊆ (0[,]+∞))
26	1, 25	eqsstrid 3976	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ (0[,]+∞))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  {crab 3418  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906  ∪ ciun 4958   ↦ cmpt 5194   × cxp 5661   ∘ ccom 5667  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8826  Xcixp 8897  Fincfn 8945  ℝcr 11110  0cc0 11111  +∞cpnf 11251  ℝ^*cxr 11253  ℕcn 12244  [,)cico 13386  [,]cicc 13387  ∏cprod 15976  volcvol 25653  Σ^{^}csumge0 47109

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fi 9374  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13149  df-xadd 13150  df-xmul 13151  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-fl 13839  df-seq 14052  df-exp 14112  df-hash 14381  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-clim 15559  df-rlim 15560  df-sum 15758  df-prod 15977  df-rest 17493  df-topgen 17514  df-psmet 21544  df-xmet 21545  df-met 21546  df-bl 21547  df-mopn 21548  df-top 23081  df-topon 23098  df-bases 23133  df-cmp 23574  df-ovol 25654  df-vol 25655  df-sumge0 47110

This theorem is used by:  ovnlerp  47309  ovnf  47310