Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnsupge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovnsupge0 46083
Description: The set used in the definition of the Lebesgue outer measure is a subset of the nonnegative extended reals. This is a substep for (a)(i) of the proof of Proposition 115D (a) of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnsupge0.1 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
ovnsupge0.2 (𝜑𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
ovnsupge0.3 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}
Assertion
Ref Expression
ovnsupge0 (𝜑𝑀 ⊆ (0[,]+∞))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑋,𝑘   𝑖,𝑗,𝑘,𝜑   𝑧,𝑖,𝜑
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑖,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑧,𝑖,𝑗,𝑘)   𝑋(𝑧,𝑖)

Proof of Theorem ovnsupge0
StepHypRef Expression
1 ovnsupge0.3 . 2 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}
2 simp3 1135 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))
3 nnex 12251 . . . . . . . . . . . 12 ℕ ∈ V
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) → ℕ ∈ V)
5 icossicc 13448 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
6 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ)
7 ovnsupge0.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
87ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ Fin)
9 elmapi 8868 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) → 𝑖:ℕ⟶((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋))
109ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑖:ℕ⟶((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋))
11 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
126, 8, 10, 11ovnprodcl 46080 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)) ∈ (0[,)+∞))
135, 12sselid 3974 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)) ∈ (0[,]+∞))
14 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))
1513, 14fmptd 7123 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) → (𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))):ℕ⟶(0[,]+∞))
164, 15sge0cl 45907 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))) ∈ (0[,]+∞))
17163adant3 1129 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))) → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))) ∈ (0[,]+∞))
182, 17eqeltrd 2825 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞))
19183adant3l 1177 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ∧ (𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞))
20193exp 1116 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) → ((𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞))))
2120adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) → ((𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞))))
2221rexlimdv 3142 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) → (∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞)))
2322ralrimiva 3135 . . 3 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ* (∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞)))
24 rabss 4065 . . 3 ({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))} ⊆ (0[,]+∞) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ* (∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞)))
2523, 24sylibr 233 . 2 (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))} ⊆ (0[,]+∞))
261, 25eqsstrid 4025 1 (𝜑𝑀 ⊆ (0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  wrex 3059  {crab 3418  Vcvv 3461  wss 3944   ciun 4997  cmpt 5232   × cxp 5676  ccom 5682  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  m cmap 8845  Xcixp 8916  Fincfn 8964  cr 11139  0cc0 11140  +∞cpnf 11277  *cxr 11279  cn 12245  [,)cico 13361  [,]cicc 13362  cprod 15885  volcvol 25436  Σ^csumge0 45888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-dju 9926  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-rlim 15469  df-sum 15669  df-prod 15886  df-rest 17407  df-topgen 17428  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-top 22840  df-topon 22857  df-bases 22893  df-cmp 23335  df-ovol 25437  df-vol 25438  df-sumge0 45889
This theorem is referenced by:  ovnlerp  46088  ovnf  46089
  Copyright terms: Public domain W3C validator