Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnsupge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovnsupge0 43678
Description: The set used in the definition of the Lebesgue outer measure is a subset of the nonnegative extended reals. This is a substep for (a)(i) of the proof of Proposition 115D (a) of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnsupge0.1 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
ovnsupge0.2 (𝜑𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
ovnsupge0.3 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}
Assertion
Ref Expression
ovnsupge0 (𝜑𝑀 ⊆ (0[,]+∞))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑋,𝑘   𝑖,𝑗,𝑘,𝜑   𝑧,𝑖,𝜑
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑖,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑧,𝑖,𝑗,𝑘)   𝑋(𝑧,𝑖)

Proof of Theorem ovnsupge0
StepHypRef Expression
1 ovnsupge0.3 . 2 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}
2 simp3 1139 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))
3 nnex 11735 . . . . . . . . . . . 12 ℕ ∈ V
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) → ℕ ∈ V)
5 icossicc 12923 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
6 nfv 1921 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ)
7 ovnsupge0.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
87ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ Fin)
9 elmapi 8472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) → 𝑖:ℕ⟶((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋))
109ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑖:ℕ⟶((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋))
11 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
126, 8, 10, 11ovnprodcl 43675 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)) ∈ (0[,)+∞))
135, 12sseldi 3885 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)) ∈ (0[,]+∞))
14 eqid 2739 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))
1513, 14fmptd 6901 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) → (𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))):ℕ⟶(0[,]+∞))
164, 15sge0cl 43502 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))) ∈ (0[,]+∞))
17163adant3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))) → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))) ∈ (0[,]+∞))
182, 17eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞))
19183adant3l 1181 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ∧ (𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞))
20193exp 1120 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) → ((𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞))))
2120adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) → ((𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞))))
2221rexlimdv 3194 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) → (∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞)))
2322ralrimiva 3097 . . 3 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ* (∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞)))
24 rabss 3971 . . 3 ({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))} ⊆ (0[,]+∞) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ* (∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞)))
2523, 24sylibr 237 . 2 (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))} ⊆ (0[,]+∞))
261, 25eqsstrid 3935 1 (𝜑𝑀 ⊆ (0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3054  wrex 3055  {crab 3058  Vcvv 3400  wss 3853   ciun 4891  cmpt 5120   × cxp 5533  ccom 5539  wf 6346  cfv 6350  (class class class)co 7183  m cmap 8450  Xcixp 8520  Fincfn 8568  cr 10627  0cc0 10628  +∞cpnf 10763  *cxr 10765  cn 11729  [,)cico 12836  [,]cicc 12837  cprod 15364  volcvol 24228  Σ^csumge0 43483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-inf2 9190  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705  ax-pre-sup 10706
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-of 7438  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-2o 8145  df-er 8333  df-map 8452  df-pm 8453  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-fi 8961  df-sup 8992  df-inf 8993  df-oi 9060  df-dju 9416  df-card 9454  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-div 11389  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-n0 11990  df-z 12076  df-uz 12338  df-q 12444  df-rp 12486  df-xneg 12603  df-xadd 12604  df-xmul 12605  df-ioo 12838  df-ico 12840  df-icc 12841  df-fz 12995  df-fzo 13138  df-fl 13266  df-seq 13474  df-exp 13535  df-hash 13796  df-cj 14561  df-re 14562  df-im 14563  df-sqrt 14697  df-abs 14698  df-clim 14948  df-rlim 14949  df-sum 15149  df-prod 15365  df-rest 16812  df-topgen 16833  df-psmet 20222  df-xmet 20223  df-met 20224  df-bl 20225  df-mopn 20226  df-top 21658  df-topon 21675  df-bases 21710  df-cmp 22151  df-ovol 24229  df-vol 24230  df-sumge0 43484
This theorem is referenced by:  ovnlerp  43683  ovnf  43684
  Copyright terms: Public domain W3C validator