Theorem ovnsupge0 46595

Description: The set used in the definition of the Lebesgue outer measure is a subset of the nonnegative extended reals. This is a substep for (a)(i) of the proof of Proposition 115D (a) of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovnsupge0.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
ovnsupge0.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
ovnsupge0.3	⊢ 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}

Assertion

Ref	Expression
ovnsupge0	⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ (0[,]+∞))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑋,𝑘   𝑖,𝑗,𝑘,𝜑   𝑧,𝑖,𝜑

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑖,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑧,𝑖,𝑗,𝑘)   𝑋(𝑧,𝑖)

Proof of Theorem ovnsupge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovnsupge0.3	. 2 ⊢ 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}
2		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))
3		nnex 12126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ ∈ V
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) → ℕ ∈ V)
5		icossicc 13331	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
6		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ)
7		ovnsupge0.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
8	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ Fin)
9		elmapi 8768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) → 𝑖:ℕ⟶((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋))
10	9	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑖:ℕ⟶((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋))
11		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
12	6, 8, 10, 11	ovnprodcl 46592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)) ∈ (0[,)+∞))
13	5, 12	sselid 3927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)) ∈ (0[,]+∞))
14		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))
15	13, 14	fmptd 7042	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) → (𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))):ℕ⟶(0[,]+∞))
16	4, 15	sge0cl 46419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))) ∈ (0[,]+∞))
17	16	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))) → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))) ∈ (0[,]+∞))
18	2, 17	eqeltrd 2831	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞))
19	18	3adant3l 1181	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ∧ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞))
20	19	3exp 1119	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) → ((𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞))))
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) → ((𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞))))
22	21	rexlimdv 3131	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞)))
23	22	ralrimiva 3124	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ* (∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞)))
24		rabss 4017	. . 3 ⊢ ({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))} ⊆ (0[,]+∞) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ* (∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞)))
25	23, 24	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))} ⊆ (0[,]+∞))
26	1, 25	eqsstrid 3968	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ (0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  {crab 3395  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  ∪ ciun 4936   ↦ cmpt 5167   × cxp 5609   ∘ ccom 5615  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   ↑_m cmap 8745  Xcixp 8816  Fincfn 8864  ℝcr 11000  0cc0 11001  +∞cpnf 11138  ℝ^*cxr 11140  ℕcn 12120  [,)cico 13242  [,]cicc 13243  ∏cprod 15805  volcvol 25386  Σ^{^}csumge0 46400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fi 9290  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-dju 9789  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-q 12842  df-rp 12886  df-xneg 13006  df-xadd 13007  df-xmul 13008  df-ioo 13244  df-ico 13246  df-icc 13247  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-fl 13691  df-seq 13904  df-exp 13964  df-hash 14233  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-clim 15390  df-rlim 15391  df-sum 15589  df-prod 15806  df-rest 17321  df-topgen 17342  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-top 22804  df-topon 22821  df-bases 22856  df-cmp 23297  df-ovol 25387  df-vol 25388  df-sumge0 46401

This theorem is referenced by:  ovnlerp  46600  ovnf  46601