Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnsupge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovnsupge0 42824
 Description: The set used in the definition of the Lebesgue outer measure is a subset of the nonnegative extended reals. This is a substep for (a)(i) of the proof of Proposition 115D (a) of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnsupge0.1 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
ovnsupge0.2 (𝜑𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
ovnsupge0.3 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}
Assertion
Ref Expression
ovnsupge0 (𝜑𝑀 ⊆ (0[,]+∞))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑋,𝑘   𝑖,𝑗,𝑘,𝜑   𝑧,𝑖,𝜑
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑖,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑧,𝑖,𝑗,𝑘)   𝑋(𝑧,𝑖)

Proof of Theorem ovnsupge0
StepHypRef Expression
1 ovnsupge0.3 . 2 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}
2 simp3 1132 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))
3 nnex 11636 . . . . . . . . . . . 12 ℕ ∈ V
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) → ℕ ∈ V)
5 icossicc 12816 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
6 nfv 1908 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ)
7 ovnsupge0.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
87ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ Fin)
9 elmapi 8420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) → 𝑖:ℕ⟶((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋))
109ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑖:ℕ⟶((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋))
11 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
126, 8, 10, 11ovnprodcl 42821 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)) ∈ (0[,)+∞))
135, 12sseldi 3963 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)) ∈ (0[,]+∞))
14 eqid 2819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))
1513, 14fmptd 6871 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) → (𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))):ℕ⟶(0[,]+∞))
164, 15sge0cl 42648 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)) → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))) ∈ (0[,]+∞))
17163adant3 1126 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))) → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))) ∈ (0[,]+∞))
182, 17eqeltrd 2911 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞))
19183adant3l 1174 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ∧ (𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞))
20193exp 1113 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) → ((𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞))))
2120adantr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) → ((𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞))))
2221rexlimdv 3281 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) → (∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞)))
2322ralrimiva 3180 . . 3 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ* (∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞)))
24 rabss 4046 . . 3 ({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))} ⊆ (0[,]+∞) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ* (∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞)))
2523, 24sylibr 236 . 2 (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))} ⊆ (0[,]+∞))
261, 25eqsstrid 4013 1 (𝜑𝑀 ⊆ (0[,]+∞))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ∀wral 3136  ∃wrex 3137  {crab 3140  Vcvv 3493   ⊆ wss 3934  ∪ ciun 4910   ↦ cmpt 5137   × cxp 5546   ∘ ccom 5552  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148   ↑m cmap 8398  Xcixp 8453  Fincfn 8501  ℝcr 10528  0cc0 10529  +∞cpnf 10664  ℝ*cxr 10666  ℕcn 11630  [,)cico 12732  [,]cicc 12733  ∏cprod 15251  volcvol 24056  Σ^csumge0 42629 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-dju 9322  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-prod 15252  df-rest 16688  df-topgen 16709  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-top 21494  df-topon 21511  df-bases 21546  df-cmp 21987  df-ovol 24057  df-vol 24058  df-sumge0 42630 This theorem is referenced by:  ovnlerp  42829  ovnf  42830
 Copyright terms: Public domain W3C validator