MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blsscls2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blsscls2 24368
Description: A smaller closed ball is contained in a larger open ball. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mopni.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
blcld.3 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≀ 𝑅}
Assertion
Ref Expression
blsscls2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) β†’ 𝑆 βŠ† (𝑃(ballβ€˜π·)𝑇))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝑅   𝑧,𝑃   𝑧,𝑇   𝑧,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧)   𝐽(𝑧)

Proof of Theorem blsscls2
StepHypRef Expression
1 blcld.3 . 2 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≀ 𝑅}
2 simplr3 1214 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑅 < 𝑇)
3 xmetcl 24192 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
43ad4ant124 1170 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
5 simplr1 1212 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
6 simplr2 1213 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑇 ∈ ℝ*)
7 xrlelttr 13141 . . . . . . . 8 (((𝑃𝐷𝑧) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ*) β†’ (((𝑃𝐷𝑧) ≀ 𝑅 ∧ 𝑅 < 𝑇) β†’ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))
87expcomd 416 . . . . . . 7 (((𝑃𝐷𝑧) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ*) β†’ (𝑅 < 𝑇 β†’ ((𝑃𝐷𝑧) ≀ 𝑅 β†’ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇)))
94, 5, 6, 8syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑅 < 𝑇 β†’ ((𝑃𝐷𝑧) ≀ 𝑅 β†’ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇)))
102, 9mpd 15 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑃𝐷𝑧) ≀ 𝑅 β†’ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))
11 simp2 1134 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇) β†’ 𝑇 ∈ ℝ*)
12 elbl2 24251 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑇 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑇) ↔ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))
1312an4s 657 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑇) ↔ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))
1411, 13sylanr1 679 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑇) ↔ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))
1514anassrs 467 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑧 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑇) ↔ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))
1610, 15sylibrd 259 . . . 4 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑃𝐷𝑧) ≀ 𝑅 β†’ 𝑧 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑇)))
1716ralrimiva 3140 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((𝑃𝐷𝑧) ≀ 𝑅 β†’ 𝑧 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑇)))
18 rabss 4064 . . 3 ({𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≀ 𝑅} βŠ† (𝑃(ballβ€˜π·)𝑇) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((𝑃𝐷𝑧) ≀ 𝑅 β†’ 𝑧 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑇)))
1917, 18sylibr 233 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≀ 𝑅} βŠ† (𝑃(ballβ€˜π·)𝑇))
201, 19eqsstrid 4025 1 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) β†’ 𝑆 βŠ† (𝑃(ballβ€˜π·)𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  {crab 3426   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  βˆžMetcxmet 21225  ballcbl 21227  MetOpencmopn 21230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-bl 21235
This theorem is referenced by:  blcld  24369  blsscls  24371  ubthlem1  30632
  Copyright terms: Public domain W3C validator