MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blsscls2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blsscls2 24441
Description: A smaller closed ball is contained in a larger open ball. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mopni.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
blcld.3 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≀ 𝑅}
Assertion
Ref Expression
blsscls2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) β†’ 𝑆 βŠ† (𝑃(ballβ€˜π·)𝑇))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝑅   𝑧,𝑃   𝑧,𝑇   𝑧,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧)   𝐽(𝑧)

Proof of Theorem blsscls2
StepHypRef Expression
1 blcld.3 . 2 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≀ 𝑅}
2 simplr3 1214 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑅 < 𝑇)
3 xmetcl 24265 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
43ad4ant124 1170 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
5 simplr1 1212 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
6 simplr2 1213 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑇 ∈ ℝ*)
7 xrlelttr 13177 . . . . . . . 8 (((𝑃𝐷𝑧) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ*) β†’ (((𝑃𝐷𝑧) ≀ 𝑅 ∧ 𝑅 < 𝑇) β†’ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))
87expcomd 415 . . . . . . 7 (((𝑃𝐷𝑧) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ*) β†’ (𝑅 < 𝑇 β†’ ((𝑃𝐷𝑧) ≀ 𝑅 β†’ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇)))
94, 5, 6, 8syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑅 < 𝑇 β†’ ((𝑃𝐷𝑧) ≀ 𝑅 β†’ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇)))
102, 9mpd 15 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑃𝐷𝑧) ≀ 𝑅 β†’ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))
11 simp2 1134 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇) β†’ 𝑇 ∈ ℝ*)
12 elbl2 24324 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑇 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑇) ↔ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))
1312an4s 658 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑇) ↔ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))
1411, 13sylanr1 680 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑇) ↔ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))
1514anassrs 466 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑧 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑇) ↔ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))
1610, 15sylibrd 258 . . . 4 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑃𝐷𝑧) ≀ 𝑅 β†’ 𝑧 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑇)))
1716ralrimiva 3143 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((𝑃𝐷𝑧) ≀ 𝑅 β†’ 𝑧 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑇)))
18 rabss 4069 . . 3 ({𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≀ 𝑅} βŠ† (𝑃(ballβ€˜π·)𝑇) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((𝑃𝐷𝑧) ≀ 𝑅 β†’ 𝑧 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑇)))
1917, 18sylibr 233 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≀ 𝑅} βŠ† (𝑃(ballβ€˜π·)𝑇))
201, 19eqsstrid 4030 1 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) β†’ 𝑆 βŠ† (𝑃(ballβ€˜π·)𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  {crab 3430   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„*cxr 11287   < clt 11288   ≀ cle 11289  βˆžMetcxmet 21278  ballcbl 21280  MetOpencmopn 21283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-bl 21288
This theorem is referenced by:  blcld  24442  blsscls  24444  ubthlem1  30708
  Copyright terms: Public domain W3C validator