Proof of Theorem blsscls2
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | blcld.3 | . 2
⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅} | 
| 2 |  | simplr3 1217 | . . . . . 6
⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ*
∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑅 < 𝑇) | 
| 3 |  | xmetcl 24342 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑧) ∈
ℝ*) | 
| 4 | 3 | ad4ant124 1173 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ*
∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑧) ∈
ℝ*) | 
| 5 |  | simplr1 1215 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ*
∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈
ℝ*) | 
| 6 |  | simplr2 1216 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ*
∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑇 ∈
ℝ*) | 
| 7 |  | xrlelttr 13199 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝑃𝐷𝑧) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*
∧ 𝑇 ∈
ℝ*) → (((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 < 𝑇) → (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇)) | 
| 8 | 7 | expcomd 416 | . . . . . . 7
⊢ (((𝑃𝐷𝑧) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*
∧ 𝑇 ∈
ℝ*) → (𝑅 < 𝑇 → ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 → (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))) | 
| 9 | 4, 5, 6, 8 | syl3anc 1372 | . . . . . 6
⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ*
∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑅 < 𝑇 → ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 → (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))) | 
| 10 | 2, 9 | mpd 15 | . . . . 5
⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ*
∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 → (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇)) | 
| 11 |  | simp2 1137 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑅 ∈ ℝ*
∧ 𝑇 ∈
ℝ* ∧ 𝑅
< 𝑇) → 𝑇 ∈
ℝ*) | 
| 12 |  | elbl2 24401 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑇 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇) ↔ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇)) | 
| 13 | 12 | an4s 660 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇) ↔ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇)) | 
| 14 | 11, 13 | sylanr1 682 | . . . . . 6
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ*
∧ 𝑅 < 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇) ↔ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇)) | 
| 15 | 14 | anassrs 467 | . . . . 5
⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ*
∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇) ↔ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇)) | 
| 16 | 10, 15 | sylibrd 259 | . . . 4
⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ*
∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 → 𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇))) | 
| 17 | 16 | ralrimiva 3145 | . . 3
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ*
∧ 𝑅 < 𝑇)) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 → 𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇))) | 
| 18 |  | rabss 4071 | . . 3
⊢ ({𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅} ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 → 𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇))) | 
| 19 | 17, 18 | sylibr 234 | . 2
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ*
∧ 𝑅 < 𝑇)) → {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅} ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇)) | 
| 20 | 1, 19 | eqsstrid 4021 | 1
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ*
∧ 𝑅 < 𝑇)) → 𝑆 ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇)) |