MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blsscls2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blsscls2 23858
Description: A smaller closed ball is contained in a larger open ball. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mopni.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
blcld.3 𝑆 = {𝑧𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅}
Assertion
Ref Expression
blsscls2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ*𝑅 < 𝑇)) → 𝑆 ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝑅   𝑧,𝑃   𝑧,𝑇   𝑧,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧)   𝐽(𝑧)

Proof of Theorem blsscls2
StepHypRef Expression
1 blcld.3 . 2 𝑆 = {𝑧𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅}
2 simplr3 1217 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ*𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑅 < 𝑇)
3 xmetcl 23682 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑧𝑋) → (𝑃𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
43ad4ant124 1173 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ*𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑃𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
5 simplr1 1215 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ*𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ*)
6 simplr2 1216 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ*𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ*)
7 xrlelttr 13074 . . . . . . . 8 (((𝑃𝐷𝑧) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅𝑅 < 𝑇) → (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))
87expcomd 417 . . . . . . 7 (((𝑃𝐷𝑧) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ*) → (𝑅 < 𝑇 → ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 → (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇)))
94, 5, 6, 8syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ*𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑅 < 𝑇 → ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 → (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇)))
102, 9mpd 15 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ*𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 → (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))
11 simp2 1137 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ*𝑅 < 𝑇) → 𝑇 ∈ ℝ*)
12 elbl2 23741 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑇 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃𝑋𝑧𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇) ↔ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))
1312an4s 658 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑇 ∈ ℝ*𝑧𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇) ↔ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))
1411, 13sylanr1 680 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ ((𝑅 ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ*𝑅 < 𝑇) ∧ 𝑧𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇) ↔ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))
1514anassrs 468 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ*𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇) ↔ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))
1610, 15sylibrd 258 . . . 4 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ*𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇)))
1716ralrimiva 3143 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ*𝑅 < 𝑇)) → ∀𝑧𝑋 ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇)))
18 rabss 4029 . . 3 ({𝑧𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅} ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇) ↔ ∀𝑧𝑋 ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇)))
1917, 18sylibr 233 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ*𝑅 < 𝑇)) → {𝑧𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅} ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇))
201, 19eqsstrid 3992 1 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ*𝑅 < 𝑇)) → 𝑆 ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  {crab 3407  wss 3910   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7356  *cxr 11187   < clt 11188  cle 11189  ∞Metcxmet 20779  ballcbl 20781  MetOpencmopn 20784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-er 8647  df-map 8766  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-psmet 20786  df-xmet 20787  df-bl 20789
This theorem is referenced by:  blcld  23859  blsscls  23861  ubthlem1  29810
  Copyright terms: Public domain W3C validator