MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppmapnn0fiub0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsuppmapnn0fiub0 12999
Description: If all functions of a finite set of functions over the nonnegative integers are finitely supported, then all these functions are zero for all integers greater than a fixed integer. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
fsuppmapnn0fiub0 ((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑓𝑀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑀,𝑚   𝑅,𝑓,𝑚   𝑓,𝑉,𝑚   𝑓,𝑍,𝑚   𝑥,𝑀   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑍,𝑓,𝑚

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiub0
StepHypRef Expression
1 fsuppmapnn0fiubex 12998 . 2 ((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚)))
2 ssel2 3755 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑓𝑀) → 𝑓 ∈ (𝑅𝑚0))
32ancoms 450 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓𝑀𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0)) → 𝑓 ∈ (𝑅𝑚0))
4 elmapfn 8082 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (𝑅𝑚0) → 𝑓 Fn ℕ0)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑀𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0)) → 𝑓 Fn ℕ0)
65expcom 402 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) → (𝑓𝑀𝑓 Fn ℕ0))
763ad2ant1 1163 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → (𝑓𝑀𝑓 Fn ℕ0))
87adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑓𝑀𝑓 Fn ℕ0))
98imp 395 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) → 𝑓 Fn ℕ0)
10 nn0ex 11544 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
1110a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) → ℕ0 ∈ V)
12 simpll3 1273 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) → 𝑍𝑉)
13 suppvalfn 7503 . . . . . . . 8 ((𝑓 Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝑍𝑉) → (𝑓 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑓𝑥) ≠ 𝑍})
149, 11, 12, 13syl3anc 1490 . . . . . . 7 ((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑓𝑥) ≠ 𝑍})
1514sseq1d 3791 . . . . . 6 ((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) → ((𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) ↔ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑓𝑥) ≠ 𝑍} ⊆ (0...𝑚)))
16 rabss 3838 . . . . . 6 ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑓𝑥) ≠ 𝑍} ⊆ (0...𝑚) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑓𝑥) ≠ 𝑍𝑥 ∈ (0...𝑚)))
1715, 16syl6bb 278 . . . . 5 ((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) → ((𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑓𝑥) ≠ 𝑍𝑥 ∈ (0...𝑚))))
18 nne 2940 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑓𝑥) ≠ 𝑍 ↔ (𝑓𝑥) = 𝑍)
1918biimpi 207 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑓𝑥) ≠ 𝑍 → (𝑓𝑥) = 𝑍)
20192a1d 26 . . . . . . . 8 (¬ (𝑓𝑥) ≠ 𝑍 → (((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍)))
21 elfz2nn0 12637 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0...𝑚) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑥𝑚))
22 nn0re 11547 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℝ)
23 nn0re 11547 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℝ)
24 lenlt 10369 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝑥𝑚 ↔ ¬ 𝑚 < 𝑥))
2522, 23, 24syl2an 589 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑚 ↔ ¬ 𝑚 < 𝑥))
26 pm2.21 121 . . . . . . . . . . . 12 𝑚 < 𝑥 → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍))
2725, 26syl6bi 244 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑚 → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍)))
28273impia 1145 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑥𝑚) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍))
2928a1d 25 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑥𝑚) → (((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍)))
3021, 29sylbi 208 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0...𝑚) → (((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍)))
3120, 30ja 174 . . . . . . 7 (((𝑓𝑥) ≠ 𝑍𝑥 ∈ (0...𝑚)) → (((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍)))
3231com12 32 . . . . . 6 (((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑓𝑥) ≠ 𝑍𝑥 ∈ (0...𝑚)) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍)))
3332ralimdva 3108 . . . . 5 ((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑓𝑥) ≠ 𝑍𝑥 ∈ (0...𝑚)) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍)))
3417, 33sylbid 231 . . . 4 ((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) → ((𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍)))
3534ralimdva 3108 . . 3 (((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) → ∀𝑓𝑀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍)))
3635reximdva 3162 . 2 ((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → (∃𝑚 ∈ ℕ0𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑓𝑀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍)))
371, 36syld 47 1 ((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑓𝑀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2936  wral 3054  wrex 3055  {crab 3058  Vcvv 3349  wss 3731   class class class wbr 4808   Fn wfn 6062  cfv 6067  (class class class)co 6841   supp csupp 7496  𝑚 cmap 8059  Fincfn 8159   finSupp cfsupp 8481  cr 10187  0cc0 10188   < clt 10327  cle 10328  0cn0 11537  ...cfz 12532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-supp 7497  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-1o 7763  df-oadd 7767  df-er 7946  df-map 8061  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-fsupp 8482  df-sup 8554  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-nn 11274  df-n0 11538  df-z 11624  df-uz 11886  df-fz 12533
This theorem is referenced by:  pmatcoe1fsupp  20784
  Copyright terms: Public domain W3C validator