Theorem fsuppmapnn0fiub0 14143

Description: If all functions of a finite set of functions over the nonnegative integers are finitely supported, then all these functions are zero for all integers greater than a fixed integer. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fsuppmapnn0fiub0	⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑓 ∈ 𝑀 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑀,𝑚   𝑅,𝑓,𝑚   𝑓,𝑉,𝑚   𝑓,𝑍,𝑚   𝑥,𝑀   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑍,𝑓,𝑚

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiub0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppmapnn0fiubex 14142	. 2 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚)))
2		ssel2 3904	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0))
3	2	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0)) → 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0))
4		elmapfn 8894	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) → 𝑓 Fn ℕ0)
5	3, 4	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0)) → 𝑓 Fn ℕ0)
6	5	expcom 419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) → (𝑓 ∈ 𝑀 → 𝑓 Fn ℕ0))
7	6	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑓 ∈ 𝑀 → 𝑓 Fn ℕ0))
8	7	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑓 ∈ 𝑀 → 𝑓 Fn ℕ0))
9	8	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝑓 Fn ℕ0)
10		nn0ex 12619	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ∈ V
11	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → ℕ0 ∈ V)
12		simpll3 1233	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝑍 ∈ 𝑉)
13		suppvalfn 8192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑓 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍})
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍})
15	14	sseq1d 3940	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → ((𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) ↔ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍} ⊆ (0...𝑚)))
16		rabss 3994	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍} ⊆ (0...𝑚) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 → 𝑥 ∈ (0...𝑚)))
17	15, 16	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → ((𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 → 𝑥 ∈ (0...𝑚))))
18		nne 2959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 ↔ (𝑓‘𝑥) = 𝑍)
19	18	biimpi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)
20	19	2a1d 27	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 → (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
21		elfz2nn0 13759	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝑚) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ≤ 𝑚))
22		nn0re 12622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℝ)
23		nn0re 12622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℝ)
24		lenlt 11395	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝑚 ↔ ¬ 𝑚 < 𝑥))
25	22, 23, 24	syl2an 608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ 𝑚 ↔ ¬ 𝑚 < 𝑥))
26		pm2.21 124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑚 < 𝑥 → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍))
27	25, 26	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ 𝑚 → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
28	27	3impia 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ≤ 𝑚) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍))
29	28	a1d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ≤ 𝑚) → (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
30	21, 29	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝑚) → (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
31	20, 30	ja 188	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 → 𝑥 ∈ (0...𝑚)) → (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
32	31	com12 33	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 → 𝑥 ∈ (0...𝑚)) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
33	32	ralimdva 3174	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 → 𝑥 ∈ (0...𝑚)) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
34	17, 33	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → ((𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
35	34	ralimdva 3174	. . 3 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) → ∀𝑓 ∈ 𝑀 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
36	35	reximdva 3175	. 2 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑓 ∈ 𝑀 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
37	1, 36	syld 48	1 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑓 ∈ 𝑀 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896   class class class wbr 5102   Fn wfn 6538  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   supp csupp 8183   ↑_m cmap 8854  Fincfn 8980   finSupp cfsupp 9360  ℝcr 11206  0cc0 11207   < clt 11350   ≤ cle 11351  ℕ₀cn0 12613  ...cfz 13646

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8184  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-map 8856  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-fsupp 9361  df-sup 9441  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647

This theorem is used by:  pmatcoe1fsupp  23028