MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppmapnn0fiub0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsuppmapnn0fiub0 13907
Description: If all functions of a finite set of functions over the nonnegative integers are finitely supported, then all these functions are zero for all integers greater than a fixed integer. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
fsuppmapnn0fiub0 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑓𝑀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑀,𝑚   𝑅,𝑓,𝑚   𝑓,𝑉,𝑚   𝑓,𝑍,𝑚   𝑥,𝑀   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑍,𝑓,𝑚

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiub0
StepHypRef Expression
1 fsuppmapnn0fiubex 13906 . 2 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚)))
2 ssel2 3943 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑓𝑀) → 𝑓 ∈ (𝑅m0))
32ancoms 460 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓𝑀𝑀 ⊆ (𝑅m0)) → 𝑓 ∈ (𝑅m0))
4 elmapfn 8809 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (𝑅m0) → 𝑓 Fn ℕ0)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑀𝑀 ⊆ (𝑅m0)) → 𝑓 Fn ℕ0)
65expcom 415 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ⊆ (𝑅m0) → (𝑓𝑀𝑓 Fn ℕ0))
763ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → (𝑓𝑀𝑓 Fn ℕ0))
87adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑓𝑀𝑓 Fn ℕ0))
98imp 408 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) → 𝑓 Fn ℕ0)
10 nn0ex 12427 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
1110a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) → ℕ0 ∈ V)
12 simpll3 1215 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) → 𝑍𝑉)
13 suppvalfn 8104 . . . . . . . 8 ((𝑓 Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝑍𝑉) → (𝑓 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑓𝑥) ≠ 𝑍})
149, 11, 12, 13syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑓𝑥) ≠ 𝑍})
1514sseq1d 3979 . . . . . 6 ((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) → ((𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) ↔ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑓𝑥) ≠ 𝑍} ⊆ (0...𝑚)))
16 rabss 4033 . . . . . 6 ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑓𝑥) ≠ 𝑍} ⊆ (0...𝑚) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑓𝑥) ≠ 𝑍𝑥 ∈ (0...𝑚)))
1715, 16bitrdi 287 . . . . 5 ((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) → ((𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑓𝑥) ≠ 𝑍𝑥 ∈ (0...𝑚))))
18 nne 2944 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑓𝑥) ≠ 𝑍 ↔ (𝑓𝑥) = 𝑍)
1918biimpi 215 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑓𝑥) ≠ 𝑍 → (𝑓𝑥) = 𝑍)
20192a1d 26 . . . . . . . 8 (¬ (𝑓𝑥) ≠ 𝑍 → (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍)))
21 elfz2nn0 13541 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0...𝑚) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑥𝑚))
22 nn0re 12430 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℝ)
23 nn0re 12430 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℝ)
24 lenlt 11241 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝑥𝑚 ↔ ¬ 𝑚 < 𝑥))
2522, 23, 24syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑚 ↔ ¬ 𝑚 < 𝑥))
26 pm2.21 123 . . . . . . . . . . . 12 𝑚 < 𝑥 → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍))
2725, 26syl6bi 253 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑚 → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍)))
28273impia 1118 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑥𝑚) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍))
2928a1d 25 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑥𝑚) → (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍)))
3021, 29sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0...𝑚) → (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍)))
3120, 30ja 186 . . . . . . 7 (((𝑓𝑥) ≠ 𝑍𝑥 ∈ (0...𝑚)) → (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍)))
3231com12 32 . . . . . 6 (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑓𝑥) ≠ 𝑍𝑥 ∈ (0...𝑚)) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍)))
3332ralimdva 3161 . . . . 5 ((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑓𝑥) ≠ 𝑍𝑥 ∈ (0...𝑚)) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍)))
3417, 33sylbid 239 . . . 4 ((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) → ((𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍)))
3534ralimdva 3161 . . 3 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) → ∀𝑓𝑀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍)))
3635reximdva 3162 . 2 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → (∃𝑚 ∈ ℕ0𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑓𝑀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍)))
371, 36syld 47 1 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑓𝑀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3406  Vcvv 3447  wss 3914   class class class wbr 5109   Fn wfn 6495  cfv 6500  (class class class)co 7361   supp csupp 8096  m cmap 8771  Fincfn 8889   finSupp cfsupp 9311  cr 11058  0cc0 11059   < clt 11197  cle 11198  0cn0 12421  ...cfz 13433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434
This theorem is referenced by:  pmatcoe1fsupp  22073
  Copyright terms: Public domain W3C validator