Theorem fsuppmapnn0fiub0 14025

Description: If all functions of a finite set of functions over the nonnegative integers are finitely supported, then all these functions are zero for all integers greater than a fixed integer. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fsuppmapnn0fiub0	⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑓 ∈ 𝑀 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑀,𝑚   𝑅,𝑓,𝑚   𝑓,𝑉,𝑚   𝑓,𝑍,𝑚   𝑥,𝑀   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑍,𝑓,𝑚

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiub0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppmapnn0fiubex 14024	. 2 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚)))
2		ssel2 3940	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0))
3	2	ancoms 463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0)) → 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0))
4		elmapfn 8858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) → 𝑓 Fn ℕ0)
5	3, 4	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0)) → 𝑓 Fn ℕ0)
6	5	expcom 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) → (𝑓 ∈ 𝑀 → 𝑓 Fn ℕ0))
7	6	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑓 ∈ 𝑀 → 𝑓 Fn ℕ0))
8	7	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑓 ∈ 𝑀 → 𝑓 Fn ℕ0))
9	8	imp 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝑓 Fn ℕ0)
10		nn0ex 12506	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ∈ V
11	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → ℕ0 ∈ V)
12		simpll3 1231	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝑍 ∈ 𝑉)
13		suppvalfn 8160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑓 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍})
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1396	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍})
15	14	sseq1d 3976	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → ((𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) ↔ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍} ⊆ (0...𝑚)))
16		rabss 4032	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍} ⊆ (0...𝑚) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 → 𝑥 ∈ (0...𝑚)))
17	15, 16	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → ((𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 → 𝑥 ∈ (0...𝑚))))
18		nne 2968	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 ↔ (𝑓‘𝑥) = 𝑍)
19	18	biimpi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)
20	19	2a1d 27	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 → (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
21		elfz2nn0 13642	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝑚) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ≤ 𝑚))
22		nn0re 12509	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℝ)
23		nn0re 12509	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℝ)
24		lenlt 11284	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝑚 ↔ ¬ 𝑚 < 𝑥))
25	22, 23, 24	syl2an 607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ 𝑚 ↔ ¬ 𝑚 < 𝑥))
26		pm2.21 124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑚 < 𝑥 → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍))
27	25, 26	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ 𝑚 → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
28	27	3impia 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ≤ 𝑚) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍))
29	28	a1d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ≤ 𝑚) → (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
30	21, 29	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝑚) → (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
31	20, 30	ja 188	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 → 𝑥 ∈ (0...𝑚)) → (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
32	31	com12 33	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 → 𝑥 ∈ (0...𝑚)) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
33	32	ralimdva 3183	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 → 𝑥 ∈ (0...𝑚)) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
34	17, 33	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → ((𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
35	34	ralimdva 3183	. . 3 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) → ∀𝑓 ∈ 𝑀 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
36	35	reximdva 3184	. 2 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑓 ∈ 𝑀 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
37	1, 36	syld 48	1 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑓 ∈ 𝑀 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  {crab 3423  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5110   Fn wfn 6529  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408   supp csupp 8152   ↑_m cmap 8820  Fincfn 8939   finSupp cfsupp 9317  ℝcr 11095  0cc0 11096   < clt 11239   ≤ cle 11240  ℕ₀cn0 12500  ...cfz 13531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532

This theorem is referenced by:  pmatcoe1fsupp  22823