Theorem fsuppmapnn0fiub0 13907

Description: If all functions of a finite set of functions over the nonnegative integers are finitely supported, then all these functions are zero for all integers greater than a fixed integer. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fsuppmapnn0fiub0	⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑓 ∈ 𝑀 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑀,𝑚   𝑅,𝑓,𝑚   𝑓,𝑉,𝑚   𝑓,𝑍,𝑚   𝑥,𝑀   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑍,𝑓,𝑚

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiub0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppmapnn0fiubex 13906	. 2 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚)))
2		ssel2 3925	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0))
3	2	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0)) → 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0))
4		elmapfn 8798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) → 𝑓 Fn ℕ0)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0)) → 𝑓 Fn ℕ0)
6	5	expcom 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) → (𝑓 ∈ 𝑀 → 𝑓 Fn ℕ0))
7	6	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑓 ∈ 𝑀 → 𝑓 Fn ℕ0))
8	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑓 ∈ 𝑀 → 𝑓 Fn ℕ0))
9	8	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝑓 Fn ℕ0)
10		nn0ex 12398	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ∈ V
11	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → ℕ0 ∈ V)
12		simpll3 1215	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝑍 ∈ 𝑉)
13		suppvalfn 8107	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑓 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍})
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍})
15	14	sseq1d 3962	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → ((𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) ↔ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍} ⊆ (0...𝑚)))
16		rabss 4019	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍} ⊆ (0...𝑚) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 → 𝑥 ∈ (0...𝑚)))
17	15, 16	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → ((𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 → 𝑥 ∈ (0...𝑚))))
18		nne 2933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 ↔ (𝑓‘𝑥) = 𝑍)
19	18	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)
20	19	2a1d 26	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 → (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
21		elfz2nn0 13525	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝑚) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ≤ 𝑚))
22		nn0re 12401	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℝ)
23		nn0re 12401	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℝ)
24		lenlt 11202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝑚 ↔ ¬ 𝑚 < 𝑥))
25	22, 23, 24	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ 𝑚 ↔ ¬ 𝑚 < 𝑥))
26		pm2.21 123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑚 < 𝑥 → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍))
27	25, 26	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ 𝑚 → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
28	27	3impia 1117	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ≤ 𝑚) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍))
29	28	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ≤ 𝑚) → (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
30	21, 29	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝑚) → (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
31	20, 30	ja 186	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 → 𝑥 ∈ (0...𝑚)) → (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
32	31	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 → 𝑥 ∈ (0...𝑚)) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
33	32	ralimdva 3145	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 → 𝑥 ∈ (0...𝑚)) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
34	17, 33	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → ((𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
35	34	ralimdva 3145	. . 3 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) → ∀𝑓 ∈ 𝑀 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
36	35	reximdva 3146	. 2 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑓 ∈ 𝑀 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
37	1, 36	syld 47	1 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑓 ∈ 𝑀 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048  ∃wrex 3057  {crab 3396  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5095   Fn wfn 6484  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   supp csupp 8099   ↑_m cmap 8759  Fincfn 8879   finSupp cfsupp 9256  ℝcr 11016  0cc0 11017   < clt 11157   ≤ cle 11158  ℕ₀cn0 12392  ...cfz 13414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9257  df-sup 9337  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-fz 13415

This theorem is referenced by:  pmatcoe1fsupp  22636