Theorem fsuppmapnn0fiub0 13964

Description: If all functions of a finite set of functions over the nonnegative integers are finitely supported, then all these functions are zero for all integers greater than a fixed integer. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fsuppmapnn0fiub0	⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑓 ∈ 𝑀 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑀,𝑚   𝑅,𝑓,𝑚   𝑓,𝑉,𝑚   𝑓,𝑍,𝑚   𝑥,𝑀   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑍,𝑓,𝑚

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiub0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppmapnn0fiubex 13963	. 2 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚)))
2		ssel2 3978	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0))
3	2	ancoms 457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0)) → 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0))
4		elmapfn 8863	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) → 𝑓 Fn ℕ0)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0)) → 𝑓 Fn ℕ0)
6	5	expcom 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) → (𝑓 ∈ 𝑀 → 𝑓 Fn ℕ0))
7	6	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑓 ∈ 𝑀 → 𝑓 Fn ℕ0))
8	7	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑓 ∈ 𝑀 → 𝑓 Fn ℕ0))
9	8	imp 405	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝑓 Fn ℕ0)
10		nn0ex 12484	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ∈ V
11	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → ℕ0 ∈ V)
12		simpll3 1212	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝑍 ∈ 𝑉)
13		suppvalfn 8158	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑓 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍})
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍})
15	14	sseq1d 4014	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → ((𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) ↔ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍} ⊆ (0...𝑚)))
16		rabss 4070	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍} ⊆ (0...𝑚) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 → 𝑥 ∈ (0...𝑚)))
17	15, 16	bitrdi 286	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → ((𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 → 𝑥 ∈ (0...𝑚))))
18		nne 2942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 ↔ (𝑓‘𝑥) = 𝑍)
19	18	biimpi 215	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)
20	19	2a1d 26	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 → (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
21		elfz2nn0 13598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝑚) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ≤ 𝑚))
22		nn0re 12487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℝ)
23		nn0re 12487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℝ)
24		lenlt 11298	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝑚 ↔ ¬ 𝑚 < 𝑥))
25	22, 23, 24	syl2an 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ 𝑚 ↔ ¬ 𝑚 < 𝑥))
26		pm2.21 123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑚 < 𝑥 → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍))
27	25, 26	syl6bi 252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ 𝑚 → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
28	27	3impia 1115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ≤ 𝑚) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍))
29	28	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ≤ 𝑚) → (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
30	21, 29	sylbi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝑚) → (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
31	20, 30	ja 186	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 → 𝑥 ∈ (0...𝑚)) → (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
32	31	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 → 𝑥 ∈ (0...𝑚)) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
33	32	ralimdva 3165	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 → 𝑥 ∈ (0...𝑚)) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
34	17, 33	sylbid 239	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → ((𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
35	34	ralimdva 3165	. . 3 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) → ∀𝑓 ∈ 𝑀 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
36	35	reximdva 3166	. 2 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑓 ∈ 𝑀 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
37	1, 36	syld 47	1 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑓 ∈ 𝑀 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  {crab 3430  Vcvv 3472   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5149   Fn wfn 6539  ‘cfv 6544  (class class class)co 7413   supp csupp 8150   ↑_m cmap 8824  Fincfn 8943   finSupp cfsupp 9365  ℝcr 11113  0cc0 11114   < clt 11254   ≤ cle 11255  ℕ₀cn0 12478  ...cfz 13490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-fz 13491

This theorem is referenced by:  pmatcoe1fsupp  22425