Theorem tskwe2 10811

Description: A Tarski class is well-orderable. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
tskwe2	⊢ (𝑇 ∈ Tarski → 𝑇 ∈ dom card)

Proof of Theorem tskwe2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 4612	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑇 → 𝑦 ⊆ 𝑇)
2		tskssel 10795	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑦 ≺ 𝑇) → 𝑦 ∈ 𝑇)
3	2	3exp 1118	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑦 ⊆ 𝑇 → (𝑦 ≺ 𝑇 → 𝑦 ∈ 𝑇)))
4	1, 3	syl5 34	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑦 ∈ 𝒫 𝑇 → (𝑦 ≺ 𝑇 → 𝑦 ∈ 𝑇)))
5	4	ralrimiv 3143	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑇(𝑦 ≺ 𝑇 → 𝑦 ∈ 𝑇))
6		rabss 4082	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑇 ∣ 𝑦 ≺ 𝑇} ⊆ 𝑇 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑇(𝑦 ≺ 𝑇 → 𝑦 ∈ 𝑇))
7	5, 6	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → {𝑦 ∈ 𝒫 𝑇 ∣ 𝑦 ≺ 𝑇} ⊆ 𝑇)
8		tskwe 9988	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑇 ∣ 𝑦 ≺ 𝑇} ⊆ 𝑇) → 𝑇 ∈ dom card)
9	7, 8	mpdan 687	1 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → 𝑇 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  {crab 3433   ⊆ wss 3963  𝒫 cpw 4605   class class class wbr 5148  dom cdm 5689   ≺ csdm 8983  cardccrd 9973  Tarskictsk 10786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-card 9977  df-tsk 10787

This theorem is referenced by:  tskurn  10827  inaprc  10874