Theorem tskwe2 10691

Description: A Tarski class is well-orderable. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
tskwe2	⊢ (𝑇 ∈ Tarski → 𝑇 ∈ dom card)

Proof of Theorem tskwe2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 4549	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑇 → 𝑦 ⊆ 𝑇)
2		tskssel 10675	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑦 ≺ 𝑇) → 𝑦 ∈ 𝑇)
3	2	3exp 1120	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑦 ⊆ 𝑇 → (𝑦 ≺ 𝑇 → 𝑦 ∈ 𝑇)))
4	1, 3	syl5 34	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑦 ∈ 𝒫 𝑇 → (𝑦 ≺ 𝑇 → 𝑦 ∈ 𝑇)))
5	4	ralrimiv 3129	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑇(𝑦 ≺ 𝑇 → 𝑦 ∈ 𝑇))
6		rabss 4011	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑇 ∣ 𝑦 ≺ 𝑇} ⊆ 𝑇 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑇(𝑦 ≺ 𝑇 → 𝑦 ∈ 𝑇))
7	5, 6	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → {𝑦 ∈ 𝒫 𝑇 ∣ 𝑦 ≺ 𝑇} ⊆ 𝑇)
8		tskwe 9869	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑇 ∣ 𝑦 ≺ 𝑇} ⊆ 𝑇) → 𝑇 ∈ dom card)
9	7, 8	mpdan 688	1 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → 𝑇 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3390   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542   class class class wbr 5086  dom cdm 5626   ≺ csdm 8887  cardccrd 9854  Tarskictsk 10666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-ord 6322  df-on 6323  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-card 9858  df-tsk 10667

This theorem is referenced by:  tskurn  10707  inaprc  10754