MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tskwe2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tskwe2 10387
Description: A Tarski class is well-orderable. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tskwe2 (𝑇 ∈ Tarski → 𝑇 ∈ dom card)

Proof of Theorem tskwe2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 4522 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑇𝑦𝑇)
2 tskssel 10371 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑦𝑇𝑦𝑇) → 𝑦𝑇)
323exp 1121 . . . . 5 (𝑇 ∈ Tarski → (𝑦𝑇 → (𝑦𝑇𝑦𝑇)))
41, 3syl5 34 . . . 4 (𝑇 ∈ Tarski → (𝑦 ∈ 𝒫 𝑇 → (𝑦𝑇𝑦𝑇)))
54ralrimiv 3104 . . 3 (𝑇 ∈ Tarski → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑇(𝑦𝑇𝑦𝑇))
6 rabss 3985 . . 3 ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑇𝑦𝑇} ⊆ 𝑇 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑇(𝑦𝑇𝑦𝑇))
75, 6sylibr 237 . 2 (𝑇 ∈ Tarski → {𝑦 ∈ 𝒫 𝑇𝑦𝑇} ⊆ 𝑇)
8 tskwe 9566 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑇𝑦𝑇} ⊆ 𝑇) → 𝑇 ∈ dom card)
97, 8mpdan 687 1 (𝑇 ∈ Tarski → 𝑇 ∈ dom card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2110  wral 3061  {crab 3065  wss 3866  𝒫 cpw 4513   class class class wbr 5053  dom cdm 5551  csdm 8625  cardccrd 9551  Tarskictsk 10362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-ord 6216  df-on 6217  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-card 9555  df-tsk 10363
This theorem is referenced by:  tskurn  10403  inaprc  10450
  Copyright terms: Public domain W3C validator