MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tskwe2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tskwe2 10643
Description: A Tarski class is well-orderable. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tskwe2 (𝑇 ∈ Tarski → 𝑇 ∈ dom card)

Proof of Theorem tskwe2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 4566 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑇𝑦𝑇)
2 tskssel 10627 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑦𝑇𝑦𝑇) → 𝑦𝑇)
323exp 1120 . . . . 5 (𝑇 ∈ Tarski → (𝑦𝑇 → (𝑦𝑇𝑦𝑇)))
41, 3syl5 34 . . . 4 (𝑇 ∈ Tarski → (𝑦 ∈ 𝒫 𝑇 → (𝑦𝑇𝑦𝑇)))
54ralrimiv 3141 . . 3 (𝑇 ∈ Tarski → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑇(𝑦𝑇𝑦𝑇))
6 rabss 4028 . . 3 ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑇𝑦𝑇} ⊆ 𝑇 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑇(𝑦𝑇𝑦𝑇))
75, 6sylibr 233 . 2 (𝑇 ∈ Tarski → {𝑦 ∈ 𝒫 𝑇𝑦𝑇} ⊆ 𝑇)
8 tskwe 9820 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑇𝑦𝑇} ⊆ 𝑇) → 𝑇 ∈ dom card)
97, 8mpdan 686 1 (𝑇 ∈ Tarski → 𝑇 ∈ dom card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  wral 3063  {crab 3406  wss 3909  𝒫 cpw 4559   class class class wbr 5104  dom cdm 5631  csdm 8816  cardccrd 9805  Tarskictsk 10618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6317  df-on 6318  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-card 9809  df-tsk 10619
This theorem is referenced by:  tskurn  10659  inaprc  10706
  Copyright terms: Public domain W3C validator