Theorem tskwe2 10685

Description: A Tarski class is well-orderable. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
tskwe2	⊢ (𝑇 ∈ Tarski → 𝑇 ∈ dom card)

Proof of Theorem tskwe2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 4538	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑇 → 𝑦 ⊆ 𝑇)
2		tskssel 10669	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑦 ≺ 𝑇) → 𝑦 ∈ 𝑇)
3	2	3exp 1120	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑦 ⊆ 𝑇 → (𝑦 ≺ 𝑇 → 𝑦 ∈ 𝑇)))
4	1, 3	syl5 34	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑦 ∈ 𝒫 𝑇 → (𝑦 ≺ 𝑇 → 𝑦 ∈ 𝑇)))
5	4	ralrimiv 3126	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑇(𝑦 ≺ 𝑇 → 𝑦 ∈ 𝑇))
6		rabss 4003	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑇 ∣ 𝑦 ≺ 𝑇} ⊆ 𝑇 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑇(𝑦 ≺ 𝑇 → 𝑦 ∈ 𝑇))
7	5, 6	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → {𝑦 ∈ 𝒫 𝑇 ∣ 𝑦 ≺ 𝑇} ⊆ 𝑇)
8		tskwe 9863	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑇 ∣ 𝑦 ≺ 𝑇} ⊆ 𝑇) → 𝑇 ∈ dom card)
9	7, 8	mpdan 688	1 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → 𝑇 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ∀wral 3049  {crab 3387   ⊆ wss 3885  𝒫 cpw 4531   class class class wbr 5074  dom cdm 5620   ≺ csdm 8881  cardccrd 9848  Tarskictsk 10660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rab 3388  df-v 3429  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-ord 6315  df-on 6316  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-card 9852  df-tsk 10661

This theorem is referenced by:  tskurn  10701  inaprc  10748