Theorem tskwe2 10764

Description: A Tarski class is well-orderable. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
tskwe2	⊢ (𝑇 ∈ Tarski → 𝑇 ∈ dom card)

Proof of Theorem tskwe2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 4568	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑇 → 𝑦 ⊆ 𝑇)
2		tskssel 10748	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑦 ≺ 𝑇) → 𝑦 ∈ 𝑇)
3	2	3exp 1136	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑦 ⊆ 𝑇 → (𝑦 ≺ 𝑇 → 𝑦 ∈ 𝑇)))
4	1, 3	syl5 35	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑦 ∈ 𝒫 𝑇 → (𝑦 ≺ 𝑇 → 𝑦 ∈ 𝑇)))
5	4	ralrimiv 3155	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑇(𝑦 ≺ 𝑇 → 𝑦 ∈ 𝑇))
6		rabss 4023	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑇 ∣ 𝑦 ≺ 𝑇} ⊆ 𝑇 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑇(𝑦 ≺ 𝑇 → 𝑦 ∈ 𝑇))
7	5, 6	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → {𝑦 ∈ 𝒫 𝑇 ∣ 𝑦 ≺ 𝑇} ⊆ 𝑇)
8		tskwe 9943	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑇 ∣ 𝑦 ≺ 𝑇} ⊆ 𝑇) → 𝑇 ∈ dom card)
9	7, 8	mpdan 699	1 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → 𝑇 ∈ dom card)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  {crab 3415   ⊆ wss 3904  𝒫 cpw 4561   class class class wbr 5108  dom cdm 5660   ≺ csdm 8940  cardccrd 9928  Tarskictsk 10739

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-ord 6363  df-on 6364  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-card 9932  df-tsk 10740

This theorem is used by:  tskurn  10780  inaprc  10827