Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgperiod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgperiod 44995
Description: The integral of a periodic function, with period 𝑇 stays the same if the domain of integration is shifted. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgperiod.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
itgperiod.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
itgperiod.aleb (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
itgperiod.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
itgperiod.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
itgperiod.fper ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
itgperiod.fcn (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
Assertion
Ref Expression
itgperiod (πœ‘ β†’ ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑇   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem itgperiod
Dummy variables 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgperiod.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 itgperiod.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3 itgperiod.t . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
43rpred 13020 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
5 itgperiod.aleb . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
61, 2, 4, 5leadd1dd 11832 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝑇) ≀ (𝐡 + 𝑇))
76ditgpos 25605 . . 3 (πœ‘ β†’ ⨜[(𝐴 + 𝑇) β†’ (𝐡 + 𝑇)](πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐡 + 𝑇))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
81, 4readdcld 11247 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
92, 4readdcld 11247 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 + 𝑇) ∈ ℝ)
10 itgperiod.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
1110adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
128adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
139adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (𝐡 + 𝑇) ∈ ℝ)
14 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)))
15 eliccre 44516 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐡 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1612, 13, 14, 15syl3anc 1369 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1711, 16ffvelcdmd 7086 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
188, 9, 17itgioo 25565 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐡 + 𝑇))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
197, 18eqtr2d 2771 . 2 (πœ‘ β†’ ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ⨜[(𝐴 + 𝑇) β†’ (𝐡 + 𝑇)](πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
20 eqid 2730 . . . 4 (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦 + 𝑇)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦 + 𝑇))
214recnd 11246 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
2220addccncf 24657 . . . . 5 (𝑇 ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
2321, 22syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
241, 2iccssred 13415 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
25 ax-resscn 11169 . . . . 5 ℝ βŠ† β„‚
2624, 25sstrdi 3993 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚)
278, 9iccssred 13415 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) βŠ† ℝ)
2827, 25sstrdi 3993 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) βŠ† β„‚)
298adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
309adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐡 + 𝑇) ∈ ℝ)
3124sselda 3981 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
324adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
3331, 32readdcld 11247 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑦 + 𝑇) ∈ ℝ)
341adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
35 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))
362adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
37 elicc2 13393 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡)))
3834, 36, 37syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡)))
3935, 38mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡))
4039simp2d 1141 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ 𝑦)
4134, 31, 32, 40leadd1dd 11832 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴 + 𝑇) ≀ (𝑦 + 𝑇))
4239simp3d 1142 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑦 ≀ 𝐡)
4331, 36, 32, 42leadd1dd 11832 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑦 + 𝑇) ≀ (𝐡 + 𝑇))
4429, 30, 33, 41, 43eliccd 44515 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑦 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)))
4520, 23, 26, 28, 44cncfmptssg 44885 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑦 + 𝑇)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))))
46 eqeq1 2734 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑀 = (𝑧 + 𝑇) ↔ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)))
4746rexbidv 3176 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)))
48 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 β†’ (𝑧 + 𝑇) = (𝑦 + 𝑇))
4948eqeq2d 2741 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 β†’ (π‘₯ = (𝑧 + 𝑇) ↔ π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)))
5049cbvrexvw 3233 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑧 + 𝑇) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇))
5147, 50bitrdi 286 . . . . . 6 (𝑀 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)))
5251cbvrabv 3440 . . . . 5 {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇)} = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)}
5310ffdmd 6747 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
54 simp3 1136 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 = (𝑧 + 𝑇)) β†’ 𝑀 = (𝑧 + 𝑇))
5524sselda 3981 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
564adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
5755, 56readdcld 11247 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
58573adant3 1130 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 = (𝑧 + 𝑇)) β†’ (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
5954, 58eqeltrd 2831 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 = (𝑧 + 𝑇)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
6059rexlimdv3a 3157 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇) β†’ 𝑀 ∈ ℝ))
6160ralrimivw 3148 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ β„‚ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇) β†’ 𝑀 ∈ ℝ))
62 rabss 4068 . . . . . . 7 ({𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇)} βŠ† ℝ ↔ βˆ€π‘€ ∈ β„‚ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇) β†’ 𝑀 ∈ ℝ))
6361, 62sylibr 233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇)} βŠ† ℝ)
6410fdmd 6727 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = ℝ)
6563, 64sseqtrrd 4022 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇)} βŠ† dom 𝐹)
66 itgperiod.fper . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
67 itgperiod.fcn . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
6826, 4, 52, 53, 65, 66, 67cncfperiod 44893 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}) ∈ ({𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}–cnβ†’β„‚))
6947elrab 3682 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)))
70 simprr 769 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑧 + 𝑇))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑧 + 𝑇))
71 nfv 1915 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘§πœ‘
72 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑧 π‘₯ ∈ β„‚
73 nfre1 3280 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘§βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)
7472, 73nfan 1900 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑧(π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑧 + 𝑇))
7571, 74nfan 1900 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑧(πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)))
76 nfv 1915 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑧 π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))
77 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇))
781adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
79 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡))
802adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
81 elicc2 13393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ 𝐡)))
8278, 80, 81syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ 𝐡)))
8379, 82mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ 𝐡))
8483simp2d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ 𝑧)
8578, 55, 56, 84leadd1dd 11832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴 + 𝑇) ≀ (𝑧 + 𝑇))
8683simp3d 1142 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑧 ≀ 𝐡)
8755, 80, 56, 86leadd1dd 11832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑧 + 𝑇) ≀ (𝐡 + 𝑇))
8857, 85, 873jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≀ (𝑧 + 𝑇) ∧ (𝑧 + 𝑇) ≀ (𝐡 + 𝑇)))
89883adant3 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ ((𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≀ (𝑧 + 𝑇) ∧ (𝑧 + 𝑇) ≀ (𝐡 + 𝑇)))
9083ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
9193ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ (𝐡 + 𝑇) ∈ ℝ)
92 elicc2 13393 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐡 + 𝑇) ∈ ℝ) β†’ ((𝑧 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↔ ((𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≀ (𝑧 + 𝑇) ∧ (𝑧 + 𝑇) ≀ (𝐡 + 𝑇))))
9390, 91, 92syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ ((𝑧 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↔ ((𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≀ (𝑧 + 𝑇) ∧ (𝑧 + 𝑇) ≀ (𝐡 + 𝑇))))
9489, 93mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ (𝑧 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)))
9577, 94eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)))
96953exp 1117 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ (π‘₯ = (𝑧 + 𝑇) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)))))
9796adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑧 + 𝑇))) β†’ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ (π‘₯ = (𝑧 + 𝑇) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)))))
9875, 76, 97rexlimd 3261 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑧 + 𝑇))) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑧 + 𝑇) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))))
9970, 98mpd 15 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑧 + 𝑇))) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)))
10069, 99sylan2b 592 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)))
10116recnd 11246 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
1021adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1032adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1044adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
10516, 104resubcld 11646 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ)
1061recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
107106, 21pncand 11576 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = 𝐴)
108107eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) βˆ’ 𝑇))
109108adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ 𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) βˆ’ 𝑇))
110 elicc2 13393 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐡 + 𝑇) ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ (𝐡 + 𝑇))))
11112, 13, 110syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ (𝐡 + 𝑇))))
11214, 111mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ (𝐡 + 𝑇)))
113112simp2d 1141 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (𝐴 + 𝑇) ≀ π‘₯)
11412, 16, 104, 113lesub1dd 11834 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ ((𝐴 + 𝑇) βˆ’ 𝑇) ≀ (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
115109, 114eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ 𝐴 ≀ (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
116112simp3d 1142 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ π‘₯ ≀ (𝐡 + 𝑇))
11716, 13, 104, 116lesub1dd 11834 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ≀ ((𝐡 + 𝑇) βˆ’ 𝑇))
1182recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
119118, 21pncand 11576 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝐡 + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = 𝐡)
120119adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ ((𝐡 + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = 𝐡)
121117, 120breqtrd 5173 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ≀ 𝐡)
122102, 103, 105, 115, 121eliccd 44515 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐡))
12321adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
124101, 123npcand 11579 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇) = π‘₯)
125124eqcomd 2736 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ π‘₯ = ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇))
126 oveq1 7418 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (𝑧 + 𝑇) = ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇))
127126rspceeqv 3632 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ = ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑧 + 𝑇))
128122, 125, 127syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑧 + 𝑇))
129101, 128, 69sylanbrc 581 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇)})
130100, 129impbida 797 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))))
131130eqrdv 2728 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇)} = ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)))
132131reseq2d 5980 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}) = (𝐹 β†Ύ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))))
133131, 65eqsstrrd 4020 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) βŠ† dom 𝐹)
13453, 133feqresmpt 6960 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) = (π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
135132, 134eqtr2d 2771 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (𝐹 β†Ύ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}))
1361, 2, 4iccshift 44529 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) = {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇)})
137136oveq1d 7426 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))–cnβ†’β„‚) = ({𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}–cnβ†’β„‚))
13868, 135, 1373eltr4d 2846 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))–cnβ†’β„‚))
139 ioosscn 13390 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚
140139a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚)
141 1cnd 11213 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
142 ssid 4003 . . . . . 6 β„‚ βŠ† β„‚
143142a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
144140, 141, 143constcncfg 44886 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
145 fconstmpt 5737 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐡) Γ— {1}) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1)
146 ioombl 25314 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol
147146a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol)
148 ioovolcl 25319 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)) ∈ ℝ)
1491, 2, 148syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)) ∈ ℝ)
150 iblconst 25567 . . . . . 6 (((𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol ∧ (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝐴(,)𝐡) Γ— {1}) ∈ 𝐿1)
151147, 149, 141, 150syl3anc 1369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴(,)𝐡) Γ— {1}) ∈ 𝐿1)
152145, 151eqeltrrid 2836 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1) ∈ 𝐿1)
153144, 152elind 4193 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1) ∈ (((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) ∩ 𝐿1))
15424resmptd 6039 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) = (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑦 + 𝑇)))
155154eqcomd 2736 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑦 + 𝑇)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)))
156155oveq2d 7427 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑦 + 𝑇))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))))
15725a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
158157sselda 3981 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
15921adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
160158, 159addcld 11237 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 + 𝑇) ∈ β„‚)
161160fmpttd 7115 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)):β„βŸΆβ„‚)
162 ssid 4003 . . . . . . 7 ℝ βŠ† ℝ
163162a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† ℝ)
164 eqid 2730 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
165164tgioo2 24539 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
166164, 165dvres 25660 . . . . . 6 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)):β„βŸΆβ„‚) ∧ (ℝ βŠ† ℝ ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡))))
167157, 161, 163, 24, 166syl22anc 835 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡))))
168156, 167eqtrd 2770 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑦 + 𝑇))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡))))
169 iccntr 24557 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
1701, 2, 169syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
171170reseq2d 5980 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)))
172 reelprrecn 11204 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
173172a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
174 1cnd 11213 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ β„‚)
175173dvmptid 25709 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
176 0cnd 11211 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ β„‚)
177173, 21dvmptc 25710 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑇)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 0))
178173, 158, 174, 175, 159, 176, 177dvmptadd 25712 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)))
179178reseq1d 5979 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)))
180 ioossre 13389 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
181180a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)
182181resmptd 6039 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 + 0)))
183 1p0e1 12340 . . . . . . 7 (1 + 0) = 1
184183mpteq2i 5252 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 + 0)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1)
185184a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 + 0)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1))
186179, 182, 1853eqtrd 2774 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1))
187168, 171, 1863eqtrd 2774 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑦 + 𝑇))) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1))
188 fveq2 6890 . . 3 (π‘₯ = (𝑦 + 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)))
189 oveq1 7418 . . 3 (𝑦 = 𝐴 β†’ (𝑦 + 𝑇) = (𝐴 + 𝑇))
190 oveq1 7418 . . 3 (𝑦 = 𝐡 β†’ (𝑦 + 𝑇) = (𝐡 + 𝑇))
1911, 2, 5, 45, 138, 153, 187, 188, 189, 190, 8, 9itgsubsticc 44990 . 2 (πœ‘ β†’ ⨜[(𝐴 + 𝑇) β†’ (𝐡 + 𝑇)](πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]((πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦)
1925ditgpos 25605 . . 3 (πœ‘ β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]((πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦 = ∫(𝐴(,)𝐡)((πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦)
19310adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
194193, 33ffvelcdmd 7086 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) ∈ β„‚)
195 1cnd 11213 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 1 ∈ β„‚)
196194, 195mulcld 11238 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) ∈ β„‚)
1971, 2, 196itgioo 25565 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦)
198 fvoveq1 7434 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) = (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)))
199198oveq1d 7426 . . . . 5 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) = ((πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) Β· 1))
200199cbvitgv 25526 . . . 4 ∫(𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) Β· 1) dπ‘₯
20110adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
20224sselda 3981 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2034adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
204202, 203readdcld 11247 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (π‘₯ + 𝑇) ∈ ℝ)
205201, 204ffvelcdmd 7086 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) ∈ β„‚)
206205mulridd 11235 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) Β· 1) = (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)))
207206, 66eqtrd 2770 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) Β· 1) = (πΉβ€˜π‘₯))
208207itgeq2dv 25531 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) Β· 1) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
209200, 208eqtrid 2782 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
210192, 197, 2093eqtrd 2774 . 2 (πœ‘ β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]((πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
21119, 191, 2103eqtrd 2774 1 (πœ‘ β†’ ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  {crab 3430   βŠ† wss 3947  {csn 4627  {cpr 4629   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„+crp 12978  (,)cioo 13328  [,]cicc 13331  TopOpenctopn 17371  topGenctg 17387  β„‚fldccnfld 21144  intcnt 22741  β€“cnβ†’ccncf 24616  volcvol 25212  πΏ1cibl 25366  βˆ«citg 25367  β¨œcdit 25595   D cdv 25612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-symdif 4241  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-ovol 25213  df-vol 25214  df-mbf 25368  df-itg1 25369  df-itg2 25370  df-ibl 25371  df-itg 25372  df-0p 25419  df-ditg 25596  df-limc 25615  df-dv 25616
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator