Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgperiod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgperiod 44697
Description: The integral of a periodic function, with period 𝑇 stays the same if the domain of integration is shifted. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgperiod.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
itgperiod.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
itgperiod.aleb (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
itgperiod.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
itgperiod.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
itgperiod.fper ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
itgperiod.fcn (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
Assertion
Ref Expression
itgperiod (πœ‘ β†’ ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑇   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem itgperiod
Dummy variables 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgperiod.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 itgperiod.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3 itgperiod.t . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
43rpred 13016 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
5 itgperiod.aleb . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
61, 2, 4, 5leadd1dd 11828 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝑇) ≀ (𝐡 + 𝑇))
76ditgpos 25373 . . 3 (πœ‘ β†’ ⨜[(𝐴 + 𝑇) β†’ (𝐡 + 𝑇)](πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐡 + 𝑇))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
81, 4readdcld 11243 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
92, 4readdcld 11243 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 + 𝑇) ∈ ℝ)
10 itgperiod.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
1110adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
128adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
139adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (𝐡 + 𝑇) ∈ ℝ)
14 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)))
15 eliccre 44218 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐡 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1612, 13, 14, 15syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1711, 16ffvelcdmd 7088 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
188, 9, 17itgioo 25333 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐡 + 𝑇))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
197, 18eqtr2d 2774 . 2 (πœ‘ β†’ ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ⨜[(𝐴 + 𝑇) β†’ (𝐡 + 𝑇)](πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
20 eqid 2733 . . . 4 (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦 + 𝑇)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦 + 𝑇))
214recnd 11242 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
2220addccncf 24433 . . . . 5 (𝑇 ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
2321, 22syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
241, 2iccssred 13411 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
25 ax-resscn 11167 . . . . 5 ℝ βŠ† β„‚
2624, 25sstrdi 3995 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚)
278, 9iccssred 13411 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) βŠ† ℝ)
2827, 25sstrdi 3995 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) βŠ† β„‚)
298adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
309adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐡 + 𝑇) ∈ ℝ)
3124sselda 3983 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
324adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
3331, 32readdcld 11243 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑦 + 𝑇) ∈ ℝ)
341adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
35 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))
362adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
37 elicc2 13389 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡)))
3834, 36, 37syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡)))
3935, 38mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡))
4039simp2d 1144 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ 𝑦)
4134, 31, 32, 40leadd1dd 11828 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴 + 𝑇) ≀ (𝑦 + 𝑇))
4239simp3d 1145 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑦 ≀ 𝐡)
4331, 36, 32, 42leadd1dd 11828 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑦 + 𝑇) ≀ (𝐡 + 𝑇))
4429, 30, 33, 41, 43eliccd 44217 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑦 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)))
4520, 23, 26, 28, 44cncfmptssg 44587 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑦 + 𝑇)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))))
46 eqeq1 2737 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑀 = (𝑧 + 𝑇) ↔ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)))
4746rexbidv 3179 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)))
48 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 β†’ (𝑧 + 𝑇) = (𝑦 + 𝑇))
4948eqeq2d 2744 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 β†’ (π‘₯ = (𝑧 + 𝑇) ↔ π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)))
5049cbvrexvw 3236 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑧 + 𝑇) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇))
5147, 50bitrdi 287 . . . . . 6 (𝑀 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)))
5251cbvrabv 3443 . . . . 5 {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇)} = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)}
5310ffdmd 6749 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
54 simp3 1139 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 = (𝑧 + 𝑇)) β†’ 𝑀 = (𝑧 + 𝑇))
5524sselda 3983 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
564adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
5755, 56readdcld 11243 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
58573adant3 1133 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 = (𝑧 + 𝑇)) β†’ (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
5954, 58eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 = (𝑧 + 𝑇)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
6059rexlimdv3a 3160 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇) β†’ 𝑀 ∈ ℝ))
6160ralrimivw 3151 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ β„‚ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇) β†’ 𝑀 ∈ ℝ))
62 rabss 4070 . . . . . . 7 ({𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇)} βŠ† ℝ ↔ βˆ€π‘€ ∈ β„‚ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇) β†’ 𝑀 ∈ ℝ))
6361, 62sylibr 233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇)} βŠ† ℝ)
6410fdmd 6729 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = ℝ)
6563, 64sseqtrrd 4024 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇)} βŠ† dom 𝐹)
66 itgperiod.fper . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
67 itgperiod.fcn . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
6826, 4, 52, 53, 65, 66, 67cncfperiod 44595 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}) ∈ ({𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}–cnβ†’β„‚))
6947elrab 3684 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)))
70 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑧 + 𝑇))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑧 + 𝑇))
71 nfv 1918 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘§πœ‘
72 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑧 π‘₯ ∈ β„‚
73 nfre1 3283 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘§βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)
7472, 73nfan 1903 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑧(π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑧 + 𝑇))
7571, 74nfan 1903 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑧(πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)))
76 nfv 1918 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑧 π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))
77 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇))
781adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
79 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡))
802adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
81 elicc2 13389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ 𝐡)))
8278, 80, 81syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ 𝐡)))
8379, 82mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ 𝐡))
8483simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ 𝑧)
8578, 55, 56, 84leadd1dd 11828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴 + 𝑇) ≀ (𝑧 + 𝑇))
8683simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑧 ≀ 𝐡)
8755, 80, 56, 86leadd1dd 11828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑧 + 𝑇) ≀ (𝐡 + 𝑇))
8857, 85, 873jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≀ (𝑧 + 𝑇) ∧ (𝑧 + 𝑇) ≀ (𝐡 + 𝑇)))
89883adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ ((𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≀ (𝑧 + 𝑇) ∧ (𝑧 + 𝑇) ≀ (𝐡 + 𝑇)))
9083ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
9193ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ (𝐡 + 𝑇) ∈ ℝ)
92 elicc2 13389 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐡 + 𝑇) ∈ ℝ) β†’ ((𝑧 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↔ ((𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≀ (𝑧 + 𝑇) ∧ (𝑧 + 𝑇) ≀ (𝐡 + 𝑇))))
9390, 91, 92syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ ((𝑧 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↔ ((𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≀ (𝑧 + 𝑇) ∧ (𝑧 + 𝑇) ≀ (𝐡 + 𝑇))))
9489, 93mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ (𝑧 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)))
9577, 94eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)))
96953exp 1120 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ (π‘₯ = (𝑧 + 𝑇) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)))))
9796adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑧 + 𝑇))) β†’ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ (π‘₯ = (𝑧 + 𝑇) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)))))
9875, 76, 97rexlimd 3264 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑧 + 𝑇))) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑧 + 𝑇) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))))
9970, 98mpd 15 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑧 + 𝑇))) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)))
10069, 99sylan2b 595 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)))
10116recnd 11242 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
1021adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1032adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1044adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
10516, 104resubcld 11642 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ)
1061recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
107106, 21pncand 11572 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = 𝐴)
108107eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) βˆ’ 𝑇))
109108adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ 𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) βˆ’ 𝑇))
110 elicc2 13389 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐡 + 𝑇) ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ (𝐡 + 𝑇))))
11112, 13, 110syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ (𝐡 + 𝑇))))
11214, 111mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ (𝐡 + 𝑇)))
113112simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (𝐴 + 𝑇) ≀ π‘₯)
11412, 16, 104, 113lesub1dd 11830 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ ((𝐴 + 𝑇) βˆ’ 𝑇) ≀ (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
115109, 114eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ 𝐴 ≀ (π‘₯ βˆ’ 𝑇))
116112simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ π‘₯ ≀ (𝐡 + 𝑇))
11716, 13, 104, 116lesub1dd 11830 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ≀ ((𝐡 + 𝑇) βˆ’ 𝑇))
1182recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
119118, 21pncand 11572 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝐡 + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = 𝐡)
120119adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ ((𝐡 + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = 𝐡)
121117, 120breqtrd 5175 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ≀ 𝐡)
122102, 103, 105, 115, 121eliccd 44217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐡))
12321adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
124101, 123npcand 11575 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇) = π‘₯)
125124eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ π‘₯ = ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇))
126 oveq1 7416 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (𝑧 + 𝑇) = ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇))
127126rspceeqv 3634 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ = ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑧 + 𝑇))
128122, 125, 127syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)π‘₯ = (𝑧 + 𝑇))
129101, 128, 69sylanbrc 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) β†’ π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇)})
130100, 129impbida 800 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))))
131130eqrdv 2731 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇)} = ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)))
132131reseq2d 5982 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}) = (𝐹 β†Ύ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))))
133131, 65eqsstrrd 4022 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) βŠ† dom 𝐹)
13453, 133feqresmpt 6962 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))) = (π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
135132, 134eqtr2d 2774 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (𝐹 β†Ύ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}))
1361, 2, 4iccshift 44231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) = {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇)})
137136oveq1d 7424 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))–cnβ†’β„‚) = ({𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}–cnβ†’β„‚))
13868, 135, 1373eltr4d 2849 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇)) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))–cnβ†’β„‚))
139 ioosscn 13386 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚
140139a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚)
141 1cnd 11209 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
142 ssid 4005 . . . . . 6 β„‚ βŠ† β„‚
143142a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
144140, 141, 143constcncfg 44588 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
145 fconstmpt 5739 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐡) Γ— {1}) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1)
146 ioombl 25082 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol
147146a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol)
148 ioovolcl 25087 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)) ∈ ℝ)
1491, 2, 148syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)) ∈ ℝ)
150 iblconst 25335 . . . . . 6 (((𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol ∧ (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝐴(,)𝐡) Γ— {1}) ∈ 𝐿1)
151147, 149, 141, 150syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴(,)𝐡) Γ— {1}) ∈ 𝐿1)
152145, 151eqeltrrid 2839 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1) ∈ 𝐿1)
153144, 152elind 4195 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1) ∈ (((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) ∩ 𝐿1))
15424resmptd 6041 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) = (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑦 + 𝑇)))
155154eqcomd 2739 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑦 + 𝑇)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)))
156155oveq2d 7425 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑦 + 𝑇))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))))
15725a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
158157sselda 3983 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
15921adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
160158, 159addcld 11233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 + 𝑇) ∈ β„‚)
161160fmpttd 7115 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)):β„βŸΆβ„‚)
162 ssid 4005 . . . . . . 7 ℝ βŠ† ℝ
163162a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† ℝ)
164 eqid 2733 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
165164tgioo2 24319 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
166164, 165dvres 25428 . . . . . 6 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)):β„βŸΆβ„‚) ∧ (ℝ βŠ† ℝ ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡))))
167157, 161, 163, 24, 166syl22anc 838 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡))))
168156, 167eqtrd 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑦 + 𝑇))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡))))
169 iccntr 24337 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
1701, 2, 169syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
171170reseq2d 5982 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)))
172 reelprrecn 11202 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
173172a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
174 1cnd 11209 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ β„‚)
175173dvmptid 25474 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
176 0cnd 11207 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ β„‚)
177173, 21dvmptc 25475 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑇)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 0))
178173, 158, 174, 175, 159, 176, 177dvmptadd 25477 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)))
179178reseq1d 5981 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)))
180 ioossre 13385 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
181180a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)
182181resmptd 6041 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 + 0)))
183 1p0e1 12336 . . . . . . 7 (1 + 0) = 1
184183mpteq2i 5254 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 + 0)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1)
185184a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 + 0)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1))
186179, 182, 1853eqtrd 2777 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1))
187168, 171, 1863eqtrd 2777 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑦 + 𝑇))) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1))
188 fveq2 6892 . . 3 (π‘₯ = (𝑦 + 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)))
189 oveq1 7416 . . 3 (𝑦 = 𝐴 β†’ (𝑦 + 𝑇) = (𝐴 + 𝑇))
190 oveq1 7416 . . 3 (𝑦 = 𝐡 β†’ (𝑦 + 𝑇) = (𝐡 + 𝑇))
1911, 2, 5, 45, 138, 153, 187, 188, 189, 190, 8, 9itgsubsticc 44692 . 2 (πœ‘ β†’ ⨜[(𝐴 + 𝑇) β†’ (𝐡 + 𝑇)](πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]((πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦)
1925ditgpos 25373 . . 3 (πœ‘ β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]((πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦 = ∫(𝐴(,)𝐡)((πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦)
19310adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
194193, 33ffvelcdmd 7088 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) ∈ β„‚)
195 1cnd 11209 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 1 ∈ β„‚)
196194, 195mulcld 11234 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) ∈ β„‚)
1971, 2, 196itgioo 25333 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦)
198 fvoveq1 7432 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) = (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)))
199198oveq1d 7424 . . . . 5 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) = ((πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) Β· 1))
200199cbvitgv 25294 . . . 4 ∫(𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) Β· 1) dπ‘₯
20110adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
20224sselda 3983 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2034adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
204202, 203readdcld 11243 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (π‘₯ + 𝑇) ∈ ℝ)
205201, 204ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) ∈ β„‚)
206205mulridd 11231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) Β· 1) = (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)))
207206, 66eqtrd 2773 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) Β· 1) = (πΉβ€˜π‘₯))
208207itgeq2dv 25299 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) Β· 1) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
209200, 208eqtrid 2785 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
210192, 197, 2093eqtrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]((πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) Β· 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
21119, 191, 2103eqtrd 2777 1 (πœ‘ β†’ ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐡 + 𝑇))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433   βŠ† wss 3949  {csn 4629  {cpr 4631   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„+crp 12974  (,)cioo 13324  [,]cicc 13327  TopOpenctopn 17367  topGenctg 17383  β„‚fldccnfld 20944  intcnt 22521  β€“cnβ†’ccncf 24392  volcvol 24980  πΏ1cibl 25134  βˆ«citg 25135  β¨œcdit 25363   D cdv 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-symdif 4243  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137  df-itg2 25138  df-ibl 25139  df-itg 25140  df-0p 25187  df-ditg 25364  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator