Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgperiod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgperiod 44117
Description: The integral of a periodic function, with period 𝑇 stays the same if the domain of integration is shifted. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgperiod.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
itgperiod.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
itgperiod.aleb (𝜑𝐴𝐵)
itgperiod.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
itgperiod.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
itgperiod.fper ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
itgperiod.fcn (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
Assertion
Ref Expression
itgperiod (𝜑 → ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itgperiod
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgperiod.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 itgperiod.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 itgperiod.t . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
43rpred 12911 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
5 itgperiod.aleb . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
61, 2, 4, 5leadd1dd 11727 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇))
76ditgpos 25166 . . 3 (𝜑 → ⨜[(𝐴 + 𝑇) → (𝐵 + 𝑇)](𝐹𝑥) d𝑥 = ∫((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))(𝐹𝑥) d𝑥)
81, 4readdcld 11142 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
92, 4readdcld 11142 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
10 itgperiod.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
1110adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
128adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
139adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
14 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
15 eliccre 43638 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
1612, 13, 14, 15syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
1711, 16ffvelcdmd 7032 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
188, 9, 17itgioo 25126 . . 3 (𝜑 → ∫((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐹𝑥) d𝑥)
197, 18eqtr2d 2777 . 2 (𝜑 → ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐹𝑥) d𝑥 = ⨜[(𝐴 + 𝑇) → (𝐵 + 𝑇)](𝐹𝑥) d𝑥)
20 eqid 2736 . . . 4 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 + 𝑇)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 + 𝑇))
214recnd 11141 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
2220addccncf 24226 . . . . 5 (𝑇 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
2321, 22syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
241, 2iccssred 13305 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
25 ax-resscn 11066 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
2624, 25sstrdi 3954 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
278, 9iccssred 13305 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ⊆ ℝ)
2827, 25sstrdi 3954 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ⊆ ℂ)
298adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
309adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
3124sselda 3942 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
324adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑇 ∈ ℝ)
3331, 32readdcld 11142 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 + 𝑇) ∈ ℝ)
341adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
35 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
362adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
37 elicc2 13283 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
3834, 36, 37syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
3935, 38mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵))
4039simp2d 1143 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑦)
4134, 31, 32, 40leadd1dd 11727 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝑦 + 𝑇))
4239simp3d 1144 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦𝐵)
4331, 36, 32, 42leadd1dd 11727 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇))
4429, 30, 33, 41, 43eliccd 43637 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
4520, 23, 26, 28, 44cncfmptssg 44007 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))))
46 eqeq1 2740 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
4746rexbidv 3173 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
48 oveq1 7358 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 + 𝑇) = (𝑦 + 𝑇))
4948eqeq2d 2747 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
5049cbvrexvw 3224 . . . . . . 7 (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇))
5147, 50bitrdi 286 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
5251cbvrabv 3415 . . . . 5 {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
5310ffdmd 6696 . . . . 5 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
54 simp3 1138 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑤 = (𝑧 + 𝑇))
5524sselda 3942 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
564adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑇 ∈ ℝ)
5755, 56readdcld 11142 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
58573adant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
5954, 58eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑤 ∈ ℝ)
6059rexlimdv3a 3154 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑤 ∈ ℝ))
6160ralrimivw 3145 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℂ (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑤 ∈ ℝ))
62 rabss 4027 . . . . . . 7 ({𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ⊆ ℝ ↔ ∀𝑤 ∈ ℂ (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑤 ∈ ℝ))
6361, 62sylibr 233 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ⊆ ℝ)
6410fdmd 6676 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝐹 = ℝ)
6563, 64sseqtrrd 3983 . . . . 5 (𝜑 → {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ⊆ dom 𝐹)
66 itgperiod.fper . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
67 itgperiod.fcn . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
6826, 4, 52, 53, 65, 66, 67cncfperiod 44015 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) ∈ ({𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}–cn→ℂ))
6947elrab 3643 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
70 simprr 771 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
71 nfv 1917 . . . . . . . . . . . 12 𝑧𝜑
72 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 𝑥 ∈ ℂ
73 nfre1 3266 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)
7472, 73nfan 1902 . . . . . . . . . . . 12 𝑧(𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
7571, 74nfan 1902 . . . . . . . . . . 11 𝑧(𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
76 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 𝑧 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))
77 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
781adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
79 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
802adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
81 elicc2 13283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵)))
8278, 80, 81syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵)))
8379, 82mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵))
8483simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑧)
8578, 55, 56, 84leadd1dd 11727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝑧 + 𝑇))
8683simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧𝐵)
8755, 80, 56, 86leadd1dd 11727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑧 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇))
8857, 85, 873jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝑧 + 𝑇) ∧ (𝑧 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇)))
89883adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → ((𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝑧 + 𝑇) ∧ (𝑧 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇)))
9083ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
9193ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
92 elicc2 13283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ) → ((𝑧 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↔ ((𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝑧 + 𝑇) ∧ (𝑧 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇))))
9390, 91, 92syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → ((𝑧 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↔ ((𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝑧 + 𝑇) ∧ (𝑧 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇))))
9489, 93mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
9577, 94eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
96953exp 1119 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))))
9796adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))))
9875, 76, 97rexlimd 3247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))))
9970, 98mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
10069, 99sylan2b 594 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
10116recnd 11141 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℂ)
1021adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 ∈ ℝ)
1032adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐵 ∈ ℝ)
1044adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ)
10516, 104resubcld 11541 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ∈ ℝ)
1061recnd 11141 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
107106, 21pncand 11471 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐴)
108107eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇))
109108adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇))
110 elicc2 13283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇))))
11112, 13, 110syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇))))
11214, 111mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇)))
113112simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥)
11412, 16, 104, 113lesub1dd 11729 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇) ≤ (𝑥𝑇))
115109, 114eqbrtrd 5125 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 ≤ (𝑥𝑇))
116112simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇))
11716, 13, 104, 116lesub1dd 11729 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ≤ ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇))
1182recnd 11141 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
119118, 21pncand 11471 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐵)
120119adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐵)
121117, 120breqtrd 5129 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ≤ 𝐵)
122102, 103, 105, 115, 121eliccd 43637 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐵))
12321adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℂ)
124101, 123npcand 11474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → ((𝑥𝑇) + 𝑇) = 𝑥)
125124eqcomd 2742 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇))
126 oveq1 7358 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑥𝑇) → (𝑧 + 𝑇) = ((𝑥𝑇) + 𝑇))
127126rspceeqv 3593 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇)) → ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
128122, 125, 127syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
129101, 128, 69sylanbrc 583 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
130100, 129impbida 799 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))))
131130eqrdv 2734 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} = ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
132131reseq2d 5935 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) = (𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))))
133131, 65eqsstrrd 3981 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ⊆ dom 𝐹)
13453, 133feqresmpt 6908 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) = (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹𝑥)))
135132, 134eqtr2d 2777 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝐹 ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}))
1361, 2, 4iccshift 43651 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
137136oveq1d 7366 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))–cn→ℂ) = ({𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}–cn→ℂ))
13868, 135, 1373eltr4d 2853 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ (((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))–cn→ℂ))
139 ioosscn 13280 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
140139a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
141 1cnd 11108 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
142 ssid 3964 . . . . . 6 ℂ ⊆ ℂ
143142a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
144140, 141, 143constcncfg 44008 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
145 fconstmpt 5692 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐵) × {1}) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1)
146 ioombl 24875 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
147146a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
148 ioovolcl 24880 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
1491, 2, 148syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
150 iblconst 25128 . . . . . 6 (((𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴(,)𝐵) × {1}) ∈ 𝐿1)
151147, 149, 141, 150syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) × {1}) ∈ 𝐿1)
152145, 151eqeltrrid 2843 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) ∈ 𝐿1)
153144, 152elind 4152 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) ∈ (((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ∩ 𝐿1))
15424resmptd 5992 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇)))
155154eqcomd 2742 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ↾ (𝐴[,]𝐵)))
156155oveq2d 7367 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ↾ (𝐴[,]𝐵))))
15725a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
158157sselda 3942 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
15921adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℂ)
160158, 159addcld 11132 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝑇) ∈ ℂ)
161160fmpttd 7059 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)):ℝ⟶ℂ)
162 ssid 3964 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℝ
163162a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
164 eqid 2736 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
165164tgioo2 24112 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
166164, 165dvres 25221 . . . . . 6 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
167157, 161, 163, 24, 166syl22anc 837 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
168156, 167eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
169 iccntr 24130 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
1701, 2, 169syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
171170reseq2d 5935 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
172 reelprrecn 11101 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
173172a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
174 1cnd 11108 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
175173dvmptid 25267 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
176 0cnd 11106 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℂ)
177173, 21dvmptc 25268 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑇)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 0))
178173, 158, 174, 175, 159, 176, 177dvmptadd 25270 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)))
179178reseq1d 5934 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
180 ioossre 13279 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
181180a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
182181resmptd 5992 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 + 0)))
183 1p0e1 12235 . . . . . . 7 (1 + 0) = 1
184183mpteq2i 5208 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 + 0)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1)
185184a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 + 0)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
186179, 182, 1853eqtrd 2780 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
187168, 171, 1863eqtrd 2780 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇))) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
188 fveq2 6839 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 𝑇) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)))
189 oveq1 7358 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 + 𝑇) = (𝐴 + 𝑇))
190 oveq1 7358 . . 3 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 + 𝑇) = (𝐵 + 𝑇))
1911, 2, 5, 45, 138, 153, 187, 188, 189, 190, 8, 9itgsubsticc 44112 . 2 (𝜑 → ⨜[(𝐴 + 𝑇) → (𝐵 + 𝑇)](𝐹𝑥) d𝑥 = ⨜[𝐴𝐵]((𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦)
1925ditgpos 25166 . . 3 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵]((𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦)
19310adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
194193, 33ffvelcdmd 7032 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) ∈ ℂ)
195 1cnd 11108 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
196194, 195mulcld 11133 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) ∈ ℂ)
1971, 2, 196itgioo 25126 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦)
198 fvoveq1 7374 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)))
199198oveq1d 7366 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) = ((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) · 1))
200199cbvitgv 25087 . . . 4 ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) · 1) d𝑥
20110adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
20224sselda 3942 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
2034adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑇 ∈ ℝ)
204202, 203readdcld 11142 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
205201, 204ffvelcdmd 7032 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) ∈ ℂ)
206205mulid1d 11130 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) · 1) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)))
207206, 66eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) · 1) = (𝐹𝑥))
208207itgeq2dv 25092 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) · 1) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
209200, 208eqtrid 2788 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
210192, 197, 2093eqtrd 2780 . 2 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵]((𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
21119, 191, 2103eqtrd 2780 1 (𝜑 → ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  wrex 3071  {crab 3405  wss 3908  {csn 4584  {cpr 4586   class class class wbr 5103  cmpt 5186   × cxp 5629  dom cdm 5631  ran crn 5632  cres 5633  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7351  cc 11007  cr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014  cle 11148  cmin 11343  +crp 12869  (,)cioo 13218  [,]cicc 13221  TopOpenctopn 17257  topGenctg 17273  fldccnfld 20743  intcnt 22314  cnccncf 24185  volcvol 24773  𝐿1cibl 24927  citg 24928  cdit 25156   D cdv 25173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-inf2 9535  ax-cc 10329  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-symdif 4200  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-disj 5069  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-ofr 7610  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-2o 8405  df-oadd 8408  df-omul 8409  df-er 8606  df-map 8725  df-pm 8726  df-ixp 8794  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-fi 9305  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9404  df-dju 9795  df-card 9833  df-acn 9836  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-xneg 12987  df-xadd 12988  df-xmul 12989  df-ioo 13222  df-ioc 13223  df-ico 13224  df-icc 13225  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-fl 13651  df-mod 13729  df-seq 13861  df-exp 13922  df-hash 14185  df-cj 14938  df-re 14939  df-im 14940  df-sqrt 15074  df-abs 15075  df-limsup 15307  df-clim 15324  df-rlim 15325  df-sum 15525  df-struct 16973  df-sets 16990  df-slot 17008  df-ndx 17020  df-base 17038  df-ress 17067  df-plusg 17100  df-mulr 17101  df-starv 17102  df-sca 17103  df-vsca 17104  df-ip 17105  df-tset 17106  df-ple 17107  df-ds 17109  df-unif 17110  df-hom 17111  df-cco 17112  df-rest 17258  df-topn 17259  df-0g 17277  df-gsum 17278  df-topgen 17279  df-pt 17280  df-prds 17283  df-xrs 17338  df-qtop 17343  df-imas 17344  df-xps 17346  df-mre 17420  df-mrc 17421  df-acs 17423  df-mgm 18451  df-sgrp 18500  df-mnd 18511  df-submnd 18556  df-mulg 18826  df-cntz 19050  df-cmn 19517  df-psmet 20735  df-xmet 20736  df-met 20737  df-bl 20738  df-mopn 20739  df-fbas 20740  df-fg 20741  df-cnfld 20744  df-top 22189  df-topon 22206  df-topsp 22228  df-bases 22242  df-cld 22316  df-ntr 22317  df-cls 22318  df-nei 22395  df-lp 22433  df-perf 22434  df-cn 22524  df-cnp 22525  df-haus 22612  df-cmp 22684  df-tx 22859  df-hmeo 23052  df-fil 23143  df-fm 23235  df-flim 23236  df-flf 23237  df-xms 23619  df-ms 23620  df-tms 23621  df-cncf 24187  df-ovol 24774  df-vol 24775  df-mbf 24929  df-itg1 24930  df-itg2 24931  df-ibl 24932  df-itg 24933  df-0p 24980  df-ditg 25157  df-limc 25176  df-dv 25177
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator