Theorem leftf 27863

Description: The functionality of the left options function. (Contributed by Scott Fenton, 6-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
leftf	⊢ L : No ⟶𝒫 No

Proof of Theorem leftf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-left 27838	. 2 ⊢ L = (𝑥 ∈ No ↦ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑦 <s 𝑥})
2		bdayon 27760	. . . . . . . 8 ⊢ ( bday ‘𝑥) ∈ On
3		oldf 27845	. . . . . . . . 9 ⊢ O :On⟶𝒫 No
4	3	ffvelcdmi 7037	. . . . . . . 8 ⊢ (( bday ‘𝑥) ∈ On → ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∈ 𝒫 No )
5	2, 4	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ No → ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∈ 𝒫 No )
6	5	elpwid 4565	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ No → ( O ‘( bday ‘𝑥)) ⊆ No )
7	6	sselda 3935	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥))) → 𝑦 ∈ No )
8	7	a1d 25	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥))) → (𝑦 <s 𝑥 → 𝑦 ∈ No ))
9	8	ralrimiva 3130	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ No → ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥))(𝑦 <s 𝑥 → 𝑦 ∈ No ))
10		fvex 6855	. . . . . 6 ⊢ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∈ V
11	10	rabex 5286	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑦 <s 𝑥} ∈ V
12	11	elpw 4560	. . . 4 ⊢ ({𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑦 <s 𝑥} ∈ 𝒫 No ↔ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑦 <s 𝑥} ⊆ No )
13		rabss 4024	. . . 4 ⊢ ({𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑦 <s 𝑥} ⊆ No ↔ ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥))(𝑦 <s 𝑥 → 𝑦 ∈ No ))
14	12, 13	bitri 275	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑦 <s 𝑥} ∈ 𝒫 No ↔ ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥))(𝑦 <s 𝑥 → 𝑦 ∈ No ))
15	9, 14	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ No → {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑦 <s 𝑥} ∈ 𝒫 No )
16	1, 15	fmpti 7066	1 ⊢ L : No ⟶𝒫 No

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3401   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5100  Oncon0 6325  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500   No csur 27619   <s clts 27620   bday cbday 27621   O cold 27831   L cleft 27833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-1o 8407  df-2o 8408  df-no 27622  df-lts 27623  df-bday 27624  df-slts 27766  df-cuts 27768  df-made 27835  df-old 27836  df-left 27838

This theorem is referenced by:  sltsleft  27868  lltr  27870  lrold  27905  cutminmax  27944