Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  leftf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leftf 34028
Description: The functionality of the left options function. (Contributed by Scott Fenton, 6-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
leftf L : No ⟶𝒫 No

Proof of Theorem leftf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-left 34013 . 2 L = (𝑥 No ↦ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday 𝑥)) ∣ 𝑦 <s 𝑥})
2 bdayelon 33950 . . . . . . . 8 ( bday 𝑥) ∈ On
3 oldf 34020 . . . . . . . . 9 O :On⟶𝒫 No
43ffvelrni 6954 . . . . . . . 8 (( bday 𝑥) ∈ On → ( O ‘( bday 𝑥)) ∈ 𝒫 No )
52, 4mp1i 13 . . . . . . 7 (𝑥 No → ( O ‘( bday 𝑥)) ∈ 𝒫 No )
65elpwid 4549 . . . . . 6 (𝑥 No → ( O ‘( bday 𝑥)) ⊆ No )
76sselda 3925 . . . . 5 ((𝑥 No 𝑦 ∈ ( O ‘( bday 𝑥))) → 𝑦 No )
87a1d 25 . . . 4 ((𝑥 No 𝑦 ∈ ( O ‘( bday 𝑥))) → (𝑦 <s 𝑥𝑦 No ))
98ralrimiva 3109 . . 3 (𝑥 No → ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday 𝑥))(𝑦 <s 𝑥𝑦 No ))
10 fvex 6781 . . . . . 6 ( O ‘( bday 𝑥)) ∈ V
1110rabex 5259 . . . . 5 {𝑦 ∈ ( O ‘( bday 𝑥)) ∣ 𝑦 <s 𝑥} ∈ V
1211elpw 4542 . . . 4 ({𝑦 ∈ ( O ‘( bday 𝑥)) ∣ 𝑦 <s 𝑥} ∈ 𝒫 No ↔ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday 𝑥)) ∣ 𝑦 <s 𝑥} ⊆ No )
13 rabss 4009 . . . 4 ({𝑦 ∈ ( O ‘( bday 𝑥)) ∣ 𝑦 <s 𝑥} ⊆ No ↔ ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday 𝑥))(𝑦 <s 𝑥𝑦 No ))
1412, 13bitri 274 . . 3 ({𝑦 ∈ ( O ‘( bday 𝑥)) ∣ 𝑦 <s 𝑥} ∈ 𝒫 No ↔ ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday 𝑥))(𝑦 <s 𝑥𝑦 No ))
159, 14sylibr 233 . 2 (𝑥 No → {𝑦 ∈ ( O ‘( bday 𝑥)) ∣ 𝑦 <s 𝑥} ∈ 𝒫 No )
161, 15fmpti 6980 1 L : No ⟶𝒫 No
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2109  wral 3065  {crab 3069  wss 3891  𝒫 cpw 4538   class class class wbr 5078  Oncon0 6263  wf 6426  cfv 6430   No csur 33822   <s cslt 33823   bday cbday 33824   O cold 34006   L cleft 34008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-1o 8281  df-2o 8282  df-no 33825  df-slt 33826  df-bday 33827  df-sslt 33955  df-scut 33957  df-made 34010  df-old 34011  df-left 34013
This theorem is referenced by:  ssltleft  34033  lrold  34056
  Copyright terms: Public domain W3C validator