Theorem leftf 27784

Description: The functionality of the left options function. (Contributed by Scott Fenton, 6-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
leftf	⊢ L : No ⟶𝒫 No

Proof of Theorem leftf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-left 27765	. 2 ⊢ L = (𝑥 ∈ No ↦ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑦 <s 𝑥})
2		bdayelon 27695	. . . . . . . 8 ⊢ ( bday ‘𝑥) ∈ On
3		oldf 27772	. . . . . . . . 9 ⊢ O :On⟶𝒫 No
4	3	ffvelcdmi 7058	. . . . . . . 8 ⊢ (( bday ‘𝑥) ∈ On → ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∈ 𝒫 No )
5	2, 4	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ No → ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∈ 𝒫 No )
6	5	elpwid 4575	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ No → ( O ‘( bday ‘𝑥)) ⊆ No )
7	6	sselda 3949	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥))) → 𝑦 ∈ No )
8	7	a1d 25	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥))) → (𝑦 <s 𝑥 → 𝑦 ∈ No ))
9	8	ralrimiva 3126	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ No → ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥))(𝑦 <s 𝑥 → 𝑦 ∈ No ))
10		fvex 6874	. . . . . 6 ⊢ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∈ V
11	10	rabex 5297	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑦 <s 𝑥} ∈ V
12	11	elpw 4570	. . . 4 ⊢ ({𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑦 <s 𝑥} ∈ 𝒫 No ↔ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑦 <s 𝑥} ⊆ No )
13		rabss 4038	. . . 4 ⊢ ({𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑦 <s 𝑥} ⊆ No ↔ ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥))(𝑦 <s 𝑥 → 𝑦 ∈ No ))
14	12, 13	bitri 275	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑦 <s 𝑥} ∈ 𝒫 No ↔ ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥))(𝑦 <s 𝑥 → 𝑦 ∈ No ))
15	9, 14	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ No → {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑦 <s 𝑥} ∈ 𝒫 No )
16	1, 15	fmpti 7087	1 ⊢ L : No ⟶𝒫 No

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  {crab 3408   ⊆ wss 3917  𝒫 cpw 4566   class class class wbr 5110  Oncon0 6335  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514   No csur 27558   <s cslt 27559   bday cbday 27560   O cold 27758   L cleft 27760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-1o 8437  df-2o 8438  df-no 27561  df-slt 27562  df-bday 27563  df-sslt 27700  df-scut 27702  df-made 27762  df-old 27763  df-left 27765

This theorem is referenced by:  ssltleft  27789  lltropt  27791  lrold  27815