Theorem leftf 28274

Description: The functionality of the left options function. (Contributed by Scott Fenton, 6-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
leftf	⊢ L:No⟶𝒫 No

Proof of Theorem leftf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-left 28249	. 2 ⊢ L = (𝑥 ∈ No ↦ {𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑥)) ∣ 𝑦 <s 𝑥})
2		bdayon 28171	. . . . . . . 8 ⊢ (bday‘𝑥) ∈ On
3		oldf 28256	. . . . . . . . 9 ⊢ O:On⟶𝒫 No
4	3	ffvelcdmi 7110	. . . . . . . 8 ⊢ ((bday‘𝑥) ∈ On → (O‘(bday‘𝑥)) ∈ 𝒫 No)
5	2, 4	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ No → (O‘(bday‘𝑥)) ∈ 𝒫 No)
6	5	elpwid 4569	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ No → (O‘(bday‘𝑥)) ⊆ No)
7	6	sselda 3913	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑥))) → 𝑦 ∈ No)
8	7	a1d 26	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑥))) → (𝑦 <s 𝑥 → 𝑦 ∈ No))
9	8	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ No → ∀𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑥))(𝑦 <s 𝑥 → 𝑦 ∈ No))
10		fvex 6924	. . . . . 6 ⊢ (O‘(bday‘𝑥)) ∈ V
11	10	rabex 5305	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑥)) ∣ 𝑦 <s 𝑥} ∈ V
12	11	elpw 4564	. . . 4 ⊢ ({𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑥)) ∣ 𝑦 <s 𝑥} ∈ 𝒫 No ↔ {𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑥)) ∣ 𝑦 <s 𝑥} ⊆ No)
13		rabss 3998	. . . 4 ⊢ ({𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑥)) ∣ 𝑦 <s 𝑥} ⊆ No ↔ ∀𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑥))(𝑦 <s 𝑥 → 𝑦 ∈ No))
14	12, 13	bitri 278	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑥)) ∣ 𝑦 <s 𝑥} ∈ 𝒫 No ↔ ∀𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑥))(𝑦 <s 𝑥 → 𝑦 ∈ No))
15	9, 14	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ No → {𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑥)) ∣ 𝑦 <s 𝑥} ∈ 𝒫 No)
16	1, 15	fmpti 7139	1 ⊢ L:No⟶𝒫 No

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  {crab 3416   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5106  Oncon0 6383  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  Nocsur 28030   <s clts 28031  bdaycbday 28032  Ocold 28242  Lcleft 28244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-1o 8507  df-2o 8508  df-no 28033  df-lts 28034  df-bday 28035  df-slts 28177  df-cuts 28179  df-made 28246  df-old 28247  df-left 28249

This theorem is used by:  sltsleft  28279  lltr  28281  lrold  28316  cutminmax  28355