Theorem leftf 27851

Description: The functionality of the left options function. (Contributed by Scott Fenton, 6-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
leftf	⊢ L : No ⟶𝒫 No

Proof of Theorem leftf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-left 27826	. 2 ⊢ L = (𝑥 ∈ No ↦ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑦 <s 𝑥})
2		bdayon 27748	. . . . . . . 8 ⊢ ( bday ‘𝑥) ∈ On
3		oldf 27833	. . . . . . . . 9 ⊢ O :On⟶𝒫 No
4	3	ffvelcdmi 7028	. . . . . . . 8 ⊢ (( bday ‘𝑥) ∈ On → ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∈ 𝒫 No )
5	2, 4	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ No → ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∈ 𝒫 No )
6	5	elpwid 4563	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ No → ( O ‘( bday ‘𝑥)) ⊆ No )
7	6	sselda 3933	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥))) → 𝑦 ∈ No )
8	7	a1d 25	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥))) → (𝑦 <s 𝑥 → 𝑦 ∈ No ))
9	8	ralrimiva 3128	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ No → ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥))(𝑦 <s 𝑥 → 𝑦 ∈ No ))
10		fvex 6847	. . . . . 6 ⊢ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∈ V
11	10	rabex 5284	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑦 <s 𝑥} ∈ V
12	11	elpw 4558	. . . 4 ⊢ ({𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑦 <s 𝑥} ∈ 𝒫 No ↔ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑦 <s 𝑥} ⊆ No )
13		rabss 4022	. . . 4 ⊢ ({𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑦 <s 𝑥} ⊆ No ↔ ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥))(𝑦 <s 𝑥 → 𝑦 ∈ No ))
14	12, 13	bitri 275	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑦 <s 𝑥} ∈ 𝒫 No ↔ ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥))(𝑦 <s 𝑥 → 𝑦 ∈ No ))
15	9, 14	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ No → {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑦 <s 𝑥} ∈ 𝒫 No )
16	1, 15	fmpti 7057	1 ⊢ L : No ⟶𝒫 No

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  {crab 3399   ⊆ wss 3901  𝒫 cpw 4554   class class class wbr 5098  Oncon0 6317  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492   No csur 27607   <s clts 27608   bday cbday 27609   O cold 27819   L cleft 27821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-1o 8397  df-2o 8398  df-no 27610  df-lts 27611  df-bday 27612  df-slts 27754  df-cuts 27756  df-made 27823  df-old 27824  df-left 27826

This theorem is referenced by:  sltsleft  27856  lltr  27858  lrold  27893  cutminmax  27932