Theorem dvdsssfz1 16216

Description: The set of divisors of a number is a subset of a finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsssfz1	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐴))

Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem dvdsssfz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12480	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → 𝑝 ∈ ℤ)
2		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ)
3		dvdsle 16208	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ 𝐴 → 𝑝 ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anr 597	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ 𝐴 → 𝑝 ≤ 𝐴))
5		ibar 528	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (𝑝 ≤ 𝐴 ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ≤ 𝐴)))
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → (𝑝 ≤ 𝐴 ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ≤ 𝐴)))
7		nnz 12480	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
9		fznn 13483	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝑝 ∈ (1...𝐴) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ≤ 𝐴)))
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → (𝑝 ∈ (1...𝐴) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ≤ 𝐴)))
11	6, 10	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → (𝑝 ≤ 𝐴 ↔ 𝑝 ∈ (1...𝐴)))
12	4, 11	sylibd 239	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ 𝐴 → 𝑝 ∈ (1...𝐴)))
13	12	ralrimiva 3121	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∀𝑝 ∈ ℕ (𝑝 ∥ 𝐴 → 𝑝 ∈ (1...𝐴)))
14		rabss 4019	. 2 ⊢ ({𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐴) ↔ ∀𝑝 ∈ ℕ (𝑝 ∥ 𝐴 → 𝑝 ∈ (1...𝐴)))
15	13, 14	sylibr 234	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3392   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5088  (class class class)co 7340  1c1 10998   ≤ cle 11138  ℕcn 12116  ℤcz 12459  ...cfz 13398   ∥ cdvds 16150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-nn 12117  df-n0 12373  df-z 12460  df-uz 12724  df-fz 13399  df-dvds 16151

This theorem is referenced by:  dvdsfi  16687  prmdvdsfi  26998  sgmf  27036  sgmnncl  27038  mumul  27072  sqff1o  27073  fsumdvdsdiag  27075  fsumdvdscom  27076  dvdsflsumcom  27079  musumsum  27083  muinv  27084  fsumdvdsmul  27086  fsumdvdsmulOLD  27088  perfectlem2  27122  dchrvmasumlem1  27387  dchrisum0ff  27399  dchrisum0  27412  vmalogdivsum2  27430  logsqvma  27434  selberg  27440  selberg34r  27463  pntsval2  27468  pntrlog2bndlem1  27469  perfectALTVlem2  47720