MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsssfz1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsssfz1 15263
Description: The set of divisors of a number is a subset of a finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdsssfz1 (𝐴 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐴} ⊆ (1...𝐴))
Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem dvdsssfz1
StepHypRef Expression
1 nnz 11665 . . . . 5 (𝑝 ∈ ℕ → 𝑝 ∈ ℤ)
2 id 22 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ)
3 dvdsle 15255 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑝𝐴𝑝𝐴))
41, 2, 3syl2anr 586 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → (𝑝𝐴𝑝𝐴))
5 ibar 520 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ℕ → (𝑝𝐴 ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝𝐴)))
65adantl 469 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → (𝑝𝐴 ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝𝐴)))
7 nnz 11665 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
87adantr 468 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
9 fznn 12631 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → (𝑝 ∈ (1...𝐴) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝𝐴)))
108, 9syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → (𝑝 ∈ (1...𝐴) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝𝐴)))
116, 10bitr4d 273 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → (𝑝𝐴𝑝 ∈ (1...𝐴)))
124, 11sylibd 230 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → (𝑝𝐴𝑝 ∈ (1...𝐴)))
1312ralrimiva 3154 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → ∀𝑝 ∈ ℕ (𝑝𝐴𝑝 ∈ (1...𝐴)))
14 rabss 3876 . 2 ({𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐴} ⊆ (1...𝐴) ↔ ∀𝑝 ∈ ℕ (𝑝𝐴𝑝 ∈ (1...𝐴)))
1513, 14sylibr 225 1 (𝐴 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐴} ⊆ (1...𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wcel 2156  wral 3096  {crab 3100  wss 3769   class class class wbr 4844  (class class class)co 6874  1c1 10222  cle 10360  cn 11305  cz 11643  ...cfz 12549  cdvds 15203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-er 7979  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-nn 11306  df-n0 11560  df-z 11644  df-uz 11905  df-fz 12550  df-dvds 15204
This theorem is referenced by:  phisum  15712  prmdvdsfi  25047  0sgm  25084  sgmf  25085  sgmnncl  25087  mumul  25121  sqff1o  25122  fsumdvdsdiag  25124  fsumdvdscom  25125  dvdsflsumcom  25128  musum  25131  musumsum  25132  muinv  25133  fsumdvdsmul  25135  vmasum  25155  perfectlem2  25169  dchrvmasumlem1  25398  dchrisum0ff  25410  dchrisum0  25423  vmalogdivsum2  25441  logsqvma  25445  logsqvma2  25446  selberg  25451  selberg34r  25474  pntsval2  25479  pntrlog2bndlem1  25480  perfectALTVlem2  42206
  Copyright terms: Public domain W3C validator