Theorem dvdsssfz1 16441

Description: The set of divisors of a number is a subset of a finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsssfz1	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐴))

Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem dvdsssfz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12669	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → 𝑝 ∈ ℤ)
2		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ)
3		dvdsle 16433	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ 𝐴 → 𝑝 ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anr 609	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ 𝐴 → 𝑝 ≤ 𝐴))
5		ibar 538	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (𝑝 ≤ 𝐴 ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ≤ 𝐴)))
6	5	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → (𝑝 ≤ 𝐴 ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ≤ 𝐴)))
7		nnz 12669	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
8	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
9		fznn 13680	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝑝 ∈ (1...𝐴) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ≤ 𝐴)))
10	8, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → (𝑝 ∈ (1...𝐴) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ≤ 𝐴)))
11	6, 10	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → (𝑝 ≤ 𝐴 ↔ 𝑝 ∈ (1...𝐴)))
12	4, 11	sylibd 242	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ 𝐴 → 𝑝 ∈ (1...𝐴)))
13	12	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∀𝑝 ∈ ℕ (𝑝 ∥ 𝐴 → 𝑝 ∈ (1...𝐴)))
14		rabss 4018	. 2 ⊢ ({𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐴) ↔ ∀𝑝 ∈ ℕ (𝑝 ∥ 𝐴 → 𝑝 ∈ (1...𝐴)))
15	13, 14	sylibr 237	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  {crab 3412   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  (class class class)co 7409  1c1 11158   ≤ cle 11301  ℕcn 12290  ℤcz 12648  ...cfz 13594   ∥ cdvds 16375

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-fz 13595  df-dvds 16376

This theorem is used by:  dvdsfi  16913  prmdvdsfi  27383  sgmf  27421  sgmnncl  27423  mumul  27457  sqff1o  27458  fsumdvdsdiag  27460  fsumdvdscom  27461  dvdsflsumcom  27464  musumsum  27468  muinv  27469  fsumdvdsmul  27471  perfectlem2  27506  dchrvmasumlem1  27771  dchrisum0ff  27783  dchrisum0  27796  vmalogdivsum2  27814  logsqvma  27818  selberg  27824  selberg34r  27847  pntsval2  27852  pntrlog2bndlem1  27853  perfectALTVlem2  48736