Theorem nnubfi 37779

Description: A bounded above set of positive integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnubfi	⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 < 𝐵} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nnubfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfi 13995	. 2 ⊢ (0...𝐵) ∈ Fin
2		ssel2 3958	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ)
3		nnnn0 12513	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ0)
5	4	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ0)
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝑥 ∈ ℕ0)
7		nnnn0 12513	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
8	7	ad3antlr 731	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ0)
9		nnre 12252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
10	2, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
11	10	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
12		nnre 12252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
13	12	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
14		ltle 11328	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝐵 → 𝑥 ≤ 𝐵))
15	11, 13, 14	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 < 𝐵 → 𝑥 ≤ 𝐵))
16	15	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝑥 ≤ 𝐵)
17		elfz2nn0 13640	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
18	6, 8, 16, 17	syl3anbrc 1344	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝑥 ∈ (0...𝐵))
19	18	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 < 𝐵 → 𝑥 ∈ (0...𝐵)))
20	19	ralrimiva 3133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝐵 → 𝑥 ∈ (0...𝐵)))
21		rabss 4052	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 < 𝐵} ⊆ (0...𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝐵 → 𝑥 ∈ (0...𝐵)))
22	20, 21	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 < 𝐵} ⊆ (0...𝐵))
23		ssfi 9192	. 2 ⊢ (((0...𝐵) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 < 𝐵} ⊆ (0...𝐵)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 < 𝐵} ∈ Fin)
24	1, 22, 23	sylancr 587	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 < 𝐵} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  {crab 3420   ⊆ wss 3931   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410  Fincfn 8964  ℝcr 11133  0cc0 11134   < clt 11274   ≤ cle 11275  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12506  ...cfz 13529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530

This theorem is referenced by: (None)