Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnubfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnubfi 35012
 Description: A bounded above set of positive integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnubfi ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥𝐴𝑥 < 𝐵} ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nnubfi
StepHypRef Expression
1 fzfi 13332 . 2 (0...𝐵) ∈ Fin
2 ssel2 3960 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ)
3 nnnn0 11896 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ0)
54adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ0)
65adantr 483 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝑥 ∈ ℕ0)
7 nnnn0 11896 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
87ad3antlr 729 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ0)
9 nnre 11637 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
102, 9syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
1110adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
12 nnre 11637 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
1312ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
14 ltle 10721 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝐵𝑥𝐵))
1511, 13, 14syl2anc 586 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 < 𝐵𝑥𝐵))
1615imp 409 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝑥𝐵)
17 elfz2nn0 12990 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0...𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0𝑥𝐵))
186, 8, 16, 17syl3anbrc 1337 . . . . 5 ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝑥 ∈ (0...𝐵))
1918ex 415 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 < 𝐵𝑥 ∈ (0...𝐵)))
2019ralrimiva 3180 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∀𝑥𝐴 (𝑥 < 𝐵𝑥 ∈ (0...𝐵)))
21 rabss 4046 . . 3 ({𝑥𝐴𝑥 < 𝐵} ⊆ (0...𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑥 < 𝐵𝑥 ∈ (0...𝐵)))
2220, 21sylibr 236 . 2 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥𝐴𝑥 < 𝐵} ⊆ (0...𝐵))
23 ssfi 8730 . 2 (((0...𝐵) ∈ Fin ∧ {𝑥𝐴𝑥 < 𝐵} ⊆ (0...𝐵)) → {𝑥𝐴𝑥 < 𝐵} ∈ Fin)
241, 22, 23sylancr 589 1 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥𝐴𝑥 < 𝐵} ∈ Fin)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2107  ∀wral 3136  {crab 3140   ⊆ wss 3934   class class class wbr 5057  (class class class)co 7148  Fincfn 8501  ℝcr 10528  0cc0 10529   < clt 10667   ≤ cle 10668  ℕcn 11630  ℕ0cn0 11889  ...cfz 12884 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator