Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnubfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnubfi 36259
Description: A bounded above set of positive integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnubfi ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥𝐴𝑥 < 𝐵} ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nnubfi
StepHypRef Expression
1 fzfi 13886 . 2 (0...𝐵) ∈ Fin
2 ssel2 3943 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ)
3 nnnn0 12428 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ0)
54adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ0)
65adantr 482 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝑥 ∈ ℕ0)
7 nnnn0 12428 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
87ad3antlr 730 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ0)
9 nnre 12168 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
102, 9syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
1110adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
12 nnre 12168 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
1312ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
14 ltle 11251 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝐵𝑥𝐵))
1511, 13, 14syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 < 𝐵𝑥𝐵))
1615imp 408 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝑥𝐵)
17 elfz2nn0 13541 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0...𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0𝑥𝐵))
186, 8, 16, 17syl3anbrc 1344 . . . . 5 ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝑥 ∈ (0...𝐵))
1918ex 414 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 < 𝐵𝑥 ∈ (0...𝐵)))
2019ralrimiva 3140 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∀𝑥𝐴 (𝑥 < 𝐵𝑥 ∈ (0...𝐵)))
21 rabss 4033 . . 3 ({𝑥𝐴𝑥 < 𝐵} ⊆ (0...𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑥 < 𝐵𝑥 ∈ (0...𝐵)))
2220, 21sylibr 233 . 2 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥𝐴𝑥 < 𝐵} ⊆ (0...𝐵))
23 ssfi 9123 . 2 (((0...𝐵) ∈ Fin ∧ {𝑥𝐴𝑥 < 𝐵} ⊆ (0...𝐵)) → {𝑥𝐴𝑥 < 𝐵} ∈ Fin)
241, 22, 23sylancr 588 1 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥𝐴𝑥 < 𝐵} ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107  wral 3061  {crab 3406  wss 3914   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  cr 11058  0cc0 11059   < clt 11197  cle 11198  cn 12161  0cn0 12421  ...cfz 13433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator