Theorem nnubfi 38950

Description: A bounded above set of positive integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnubfi	⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 < 𝐵} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nnubfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfi 14155	. 2 ⊢ (0...𝐵) ∈ Fin
2		ssel2 3908	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ)
3		nnnn0 12653	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ0)
5	4	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ0)
6	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝑥 ∈ ℕ0)
7		nnnn0 12653	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
8	7	ad3antlr 744	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ0)
9		nnre 12382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
10	2, 9	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
11	10	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
12		nnre 12382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
13	12	ad2antlr 740	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
14		ltle 11437	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝐵 → 𝑥 ≤ 𝐵))
15	11, 13, 14	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 < 𝐵 → 𝑥 ≤ 𝐵))
16	15	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝑥 ≤ 𝐵)
17		elfz2nn0 13792	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
18	6, 8, 16, 17	syl3anbrc 1362	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝑥 ∈ (0...𝐵))
19	18	ex 418	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 < 𝐵 → 𝑥 ∈ (0...𝐵)))
20	19	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝐵 → 𝑥 ∈ (0...𝐵)))
21		rabss 3998	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 < 𝐵} ⊆ (0...𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝐵 → 𝑥 ∈ (0...𝐵)))
22	20, 21	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 < 𝐵} ⊆ (0...𝐵))
23		ssfi 9226	. 2 ⊢ (((0...𝐵) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 < 𝐵} ⊆ (0...𝐵)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 < 𝐵} ∈ Fin)
24	1, 22, 23	sylancr 599	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 < 𝐵} ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  {crab 3416   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  Fincfn 9011  ℝcr 11238  0cc0 11239   < clt 11382   ≤ cle 11383  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  ...cfz 13679

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680

This theorem is used by: (None)