Theorem nnubfi 35027

Description: A bounded above set of positive integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnubfi	⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 < 𝐵} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nnubfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfi 13343	. 2 ⊢ (0...𝐵) ∈ Fin
2		ssel2 3964	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ)
3		nnnn0 11907	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ0)
5	4	adantlr 713	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ0)
6	5	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝑥 ∈ ℕ0)
7		nnnn0 11907	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
8	7	ad3antlr 729	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ0)
9		nnre 11647	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
10	2, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
11	10	adantlr 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
12		nnre 11647	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
13	12	ad2antlr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
14		ltle 10731	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝐵 → 𝑥 ≤ 𝐵))
15	11, 13, 14	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 < 𝐵 → 𝑥 ≤ 𝐵))
16	15	imp 409	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝑥 ≤ 𝐵)
17		elfz2nn0 13001	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
18	6, 8, 16, 17	syl3anbrc 1339	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝑥 ∈ (0...𝐵))
19	18	ex 415	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 < 𝐵 → 𝑥 ∈ (0...𝐵)))
20	19	ralrimiva 3184	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝐵 → 𝑥 ∈ (0...𝐵)))
21		rabss 4050	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 < 𝐵} ⊆ (0...𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝐵 → 𝑥 ∈ (0...𝐵)))
22	20, 21	sylibr 236	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 < 𝐵} ⊆ (0...𝐵))
23		ssfi 8740	. 2 ⊢ (((0...𝐵) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 < 𝐵} ⊆ (0...𝐵)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 < 𝐵} ∈ Fin)
24	1, 22, 23	sylancr 589	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 < 𝐵} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  {crab 3144   ⊆ wss 3938   class class class wbr 5068  (class class class)co 7158  Fincfn 8511  ℝcr 10538  0cc0 10539   < clt 10677   ≤ cle 10678  ℕcn 11640  ℕ₀cn0 11900  ...cfz 12895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896

This theorem is referenced by: (None)