Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnubfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnubfi 36618
Description: A bounded above set of positive integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnubfi ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥𝐴𝑥 < 𝐵} ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nnubfi
StepHypRef Expression
1 fzfi 13937 . 2 (0...𝐵) ∈ Fin
2 ssel2 3978 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ)
3 nnnn0 12479 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ0)
54adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ0)
65adantr 482 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝑥 ∈ ℕ0)
7 nnnn0 12479 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
87ad3antlr 730 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ0)
9 nnre 12219 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
102, 9syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
1110adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
12 nnre 12219 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
1312ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
14 ltle 11302 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝐵𝑥𝐵))
1511, 13, 14syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 < 𝐵𝑥𝐵))
1615imp 408 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝑥𝐵)
17 elfz2nn0 13592 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0...𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0𝑥𝐵))
186, 8, 16, 17syl3anbrc 1344 . . . . 5 ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝑥 ∈ (0...𝐵))
1918ex 414 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 < 𝐵𝑥 ∈ (0...𝐵)))
2019ralrimiva 3147 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∀𝑥𝐴 (𝑥 < 𝐵𝑥 ∈ (0...𝐵)))
21 rabss 4070 . . 3 ({𝑥𝐴𝑥 < 𝐵} ⊆ (0...𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑥 < 𝐵𝑥 ∈ (0...𝐵)))
2220, 21sylibr 233 . 2 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥𝐴𝑥 < 𝐵} ⊆ (0...𝐵))
23 ssfi 9173 . 2 (((0...𝐵) ∈ Fin ∧ {𝑥𝐴𝑥 < 𝐵} ⊆ (0...𝐵)) → {𝑥𝐴𝑥 < 𝐵} ∈ Fin)
241, 22, 23sylancr 588 1 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥𝐴𝑥 < 𝐵} ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107  wral 3062  {crab 3433  wss 3949   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  cr 11109  0cc0 11110   < clt 11248  cle 11249  cn 12212  0cn0 12472  ...cfz 13484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator