Theorem nnubfi 38501

Description: A bounded above set of positive integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnubfi	⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 < 𝐵} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nnubfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfi 14037	. 2 ⊢ (0...𝐵) ∈ Fin
2		ssel2 3926	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ)
3		nnnn0 12536	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ0)
5	4	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ0)
6	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝑥 ∈ ℕ0)
7		nnnn0 12536	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
8	7	ad3antlr 744	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ0)
9		nnre 12265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
10	2, 9	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
11	10	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
12		nnre 12265	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
13	12	ad2antlr 740	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
14		ltle 11323	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝐵 → 𝑥 ≤ 𝐵))
15	11, 13, 14	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 < 𝐵 → 𝑥 ≤ 𝐵))
16	15	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝑥 ≤ 𝐵)
17		elfz2nn0 13674	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
18	6, 8, 16, 17	syl3anbrc 1362	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝑥 ∈ (0...𝐵))
19	18	ex 418	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 < 𝐵 → 𝑥 ∈ (0...𝐵)))
20	19	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝐵 → 𝑥 ∈ (0...𝐵)))
21		rabss 4018	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 < 𝐵} ⊆ (0...𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝐵 → 𝑥 ∈ (0...𝐵)))
22	20, 21	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 < 𝐵} ⊆ (0...𝐵))
23		ssfi 9168	. 2 ⊢ (((0...𝐵) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 < 𝐵} ⊆ (0...𝐵)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 < 𝐵} ∈ Fin)
24	1, 22, 23	sylancr 599	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 < 𝐵} ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  {crab 3412   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  (class class class)co 7414  Fincfn 8953  ℝcr 11124  0cc0 11125   < clt 11268   ≤ cle 11269  ℕcn 12258  ℕ₀cn0 12529  ...cfz 13562

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13563

This theorem is used by: (None)