Theorem ovolshftlem2 25724

Description: Lemma for ovolshft 25725. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovolshft.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
ovolshft.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ovolshft.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐶) ∈ 𝐴})
ovolshft.4	⊢ 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}

Assertion

Ref	Expression
ovolshftlem2	⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑔 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑔)), ℝ*, < ))} ⊆ 𝑀)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐶,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑓,𝑔,𝑦,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝜑,𝑓,𝑔,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑓)

Proof of Theorem ovolshftlem2

Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolshft.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2	1	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑔 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ 𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		ovolshft.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4	3	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑔 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ 𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔)) → 𝐶 ∈ ℝ)
5		ovolshft.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐶) ∈ 𝐴})
6	5	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑔 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ 𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔)) → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐶) ∈ 𝐴})
7		ovolshft.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
8		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑔)) = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑔))
9		2fveq3 6890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (1st ‘(𝑔‘𝑚)) = (1st ‘(𝑔‘𝑛)))
10	9	oveq1d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((1st ‘(𝑔‘𝑚)) + 𝐶) = ((1st ‘(𝑔‘𝑛)) + 𝐶))
11		2fveq3 6890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (2nd ‘(𝑔‘𝑚)) = (2nd ‘(𝑔‘𝑛)))
12	11	oveq1d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((2nd ‘(𝑔‘𝑚)) + 𝐶) = ((2nd ‘(𝑔‘𝑛)) + 𝐶))
13	10, 12	opeq12d 4848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ⟨((1st ‘(𝑔‘𝑚)) + 𝐶), ((2nd ‘(𝑔‘𝑚)) + 𝐶)⟩ = ⟨((1st ‘(𝑔‘𝑛)) + 𝐶), ((2nd ‘(𝑔‘𝑛)) + 𝐶)⟩)
14	13	cbvmptv 5217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ⟨((1st ‘(𝑔‘𝑚)) + 𝐶), ((2nd ‘(𝑔‘𝑚)) + 𝐶)⟩) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨((1st ‘(𝑔‘𝑛)) + 𝐶), ((2nd ‘(𝑔‘𝑛)) + 𝐶)⟩)
15		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑔 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ 𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔)) → 𝑔 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ))
16		elovolmlem 25688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ↔ 𝑔:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
17	15, 16	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑔 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ 𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔)) → 𝑔:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
18		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑔 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ 𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔)) → 𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔))
19	2, 4, 6, 7, 8, 14, 17, 18	ovolshftlem1 25723	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑔 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ 𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔)) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑔)), ℝ*, < ) ∈ 𝑀)
20		eleq1a 2860	. . . . . 6 ⊢ (sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑔)), ℝ*, < ) ∈ 𝑀 → (𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑔)), ℝ*, < ) → 𝑧 ∈ 𝑀))
21	19, 20	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑔 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) ∧ 𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔)) → (𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑔)), ℝ*, < ) → 𝑧 ∈ 𝑀))
22	21	expimpd 459	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑔 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → ((𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑔)), ℝ*, < )) → 𝑧 ∈ 𝑀))
23	22	rexlimdva 3168	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (∃𝑔 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑔)), ℝ*, < )) → 𝑧 ∈ 𝑀))
24	23	ralrimiva 3159	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ* (∃𝑔 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑔)), ℝ*, < )) → 𝑧 ∈ 𝑀))
25		rabss 4025	. 2 ⊢ ({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑔 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑔)), ℝ*, < ))} ⊆ 𝑀 ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ* (∃𝑔 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑔)), ℝ*, < )) → 𝑧 ∈ 𝑀))
26	24, 25	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑔 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑔)), ℝ*, < ))} ⊆ 𝑀)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  {crab 3418   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ⟨cop 4597  ∪ cuni 4874   ↦ cmpt 5194   × cxp 5661  ran crn 5664   ∘ ccom 5667  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  1^st c1st 7990  2^nd c2nd 7991   ↑_m cmap 8830  supcsup 9407  ℝcr 11118  1c1 11120   + caddc 11122  ℝ^*cxr 11261   < clt 11262   ≤ cle 11263   − cmin 11460  ℕcn 12252  (,)cioo 13392  seqcseq 14059  abscabs 15313

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-pre-sup 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11891  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12883  df-rp 13037  df-ioo 13396  df-ico 13398  df-fz 13556  df-seq 14060  df-exp 14120  df-cj 15178  df-re 15179  df-im 15180  df-sqrt 15314  df-abs 15315

This theorem is used by:  ovolshft  25725