Theorem rightf 27920

Description: The functionality of the right options function. (Contributed by Scott Fenton, 6-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
rightf	⊢ R : No ⟶𝒫 No

Proof of Theorem rightf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-right 27905	. 2 ⊢ R = (𝑥 ∈ No ↦ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑥 <s 𝑦})
2		bdayelon 27836	. . . . . . . 8 ⊢ ( bday ‘𝑥) ∈ On
3		oldf 27911	. . . . . . . . 9 ⊢ O :On⟶𝒫 No
4	3	ffvelcdmi 7103	. . . . . . . 8 ⊢ (( bday ‘𝑥) ∈ On → ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∈ 𝒫 No )
5	2, 4	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ No → ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∈ 𝒫 No )
6	5	elpwid 4614	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ No → ( O ‘( bday ‘𝑥)) ⊆ No )
7	6	sselda 3995	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥))) → 𝑦 ∈ No )
8	7	a1d 25	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥))) → (𝑥 <s 𝑦 → 𝑦 ∈ No ))
9	8	ralrimiva 3144	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ No → ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥))(𝑥 <s 𝑦 → 𝑦 ∈ No ))
10		fvex 6920	. . . . . 6 ⊢ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∈ V
11	10	rabex 5345	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑥 <s 𝑦} ∈ V
12	11	elpw 4609	. . . 4 ⊢ ({𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑥 <s 𝑦} ∈ 𝒫 No ↔ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑥 <s 𝑦} ⊆ No )
13		rabss 4082	. . . 4 ⊢ ({𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑥 <s 𝑦} ⊆ No ↔ ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥))(𝑥 <s 𝑦 → 𝑦 ∈ No ))
14	12, 13	bitri 275	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑥 <s 𝑦} ∈ 𝒫 No ↔ ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥))(𝑥 <s 𝑦 → 𝑦 ∈ No ))
15	9, 14	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ No → {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑥 <s 𝑦} ∈ 𝒫 No )
16	1, 15	fmpti 7132	1 ⊢ R : No ⟶𝒫 No

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  {crab 3433   ⊆ wss 3963  𝒫 cpw 4605   class class class wbr 5148  Oncon0 6386  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563   No csur 27699   <s cslt 27700   bday cbday 27701   O cold 27897   R cright 27900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-1o 8505  df-2o 8506  df-no 27702  df-slt 27703  df-bday 27704  df-sslt 27841  df-scut 27843  df-made 27901  df-old 27902  df-right 27905

This theorem is referenced by:  ssltright  27925  lltropt  27926  lrold  27950