Theorem rightf 27862

Description: The functionality of the right options function. (Contributed by Scott Fenton, 6-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
rightf	⊢ R : No ⟶𝒫 No

Proof of Theorem rightf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-right 27837	. 2 ⊢ R = (𝑥 ∈ No ↦ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑥 <s 𝑦})
2		bdayon 27758	. . . . . . . 8 ⊢ ( bday ‘𝑥) ∈ On
3		oldf 27843	. . . . . . . . 9 ⊢ O :On⟶𝒫 No
4	3	ffvelcdmi 7029	. . . . . . . 8 ⊢ (( bday ‘𝑥) ∈ On → ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∈ 𝒫 No )
5	2, 4	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ No → ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∈ 𝒫 No )
6	5	elpwid 4551	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ No → ( O ‘( bday ‘𝑥)) ⊆ No )
7	6	sselda 3922	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥))) → 𝑦 ∈ No )
8	7	a1d 25	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥))) → (𝑥 <s 𝑦 → 𝑦 ∈ No ))
9	8	ralrimiva 3130	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ No → ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥))(𝑥 <s 𝑦 → 𝑦 ∈ No ))
10		fvex 6847	. . . . . 6 ⊢ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∈ V
11	10	rabex 5276	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑥 <s 𝑦} ∈ V
12	11	elpw 4546	. . . 4 ⊢ ({𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑥 <s 𝑦} ∈ 𝒫 No ↔ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑥 <s 𝑦} ⊆ No )
13		rabss 4011	. . . 4 ⊢ ({𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑥 <s 𝑦} ⊆ No ↔ ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥))(𝑥 <s 𝑦 → 𝑦 ∈ No ))
14	12, 13	bitri 275	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑥 <s 𝑦} ∈ 𝒫 No ↔ ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥))(𝑥 <s 𝑦 → 𝑦 ∈ No ))
15	9, 14	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ No → {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑥 <s 𝑦} ∈ 𝒫 No )
16	1, 15	fmpti 7058	1 ⊢ R : No ⟶𝒫 No

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3390   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542   class class class wbr 5086  Oncon0 6317  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492   No csur 27617   <s clts 27618   bday cbday 27619   O cold 27829   R cright 27832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-1o 8398  df-2o 8399  df-no 27620  df-lts 27621  df-bday 27622  df-slts 27764  df-cuts 27766  df-made 27833  df-old 27834  df-right 27837

This theorem is referenced by:  sltsright  27867  lltr  27868  lrold  27903