Theorem rightf 28224

Description: The functionality of the right options function. (Contributed by Scott Fenton, 6-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
rightf	⊢ R : No ⟶𝒫 No

Proof of Theorem rightf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-right 28199	. 2 ⊢ R = (𝑥 ∈ No ↦ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑥 <s 𝑦})
2		bdayon 28120	. . . . . . . 8 ⊢ ( bday ‘𝑥) ∈ On
3		oldf 28205	. . . . . . . . 9 ⊢ O :On⟶𝒫 No
4	3	ffvelcdmi 7075	. . . . . . . 8 ⊢ (( bday ‘𝑥) ∈ On → ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∈ 𝒫 No )
5	2, 4	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ No → ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∈ 𝒫 No )
6	5	elpwid 4566	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ No → ( O ‘( bday ‘𝑥)) ⊆ No )
7	6	sselda 3931	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥))) → 𝑦 ∈ No )
8	7	a1d 26	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥))) → (𝑥 <s 𝑦 → 𝑦 ∈ No ))
9	8	ralrimiva 3155	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ No → ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥))(𝑥 <s 𝑦 → 𝑦 ∈ No ))
10		fvex 6890	. . . . . 6 ⊢ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∈ V
11	10	rabex 5300	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑥 <s 𝑦} ∈ V
12	11	elpw 4561	. . . 4 ⊢ ({𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑥 <s 𝑦} ∈ 𝒫 No ↔ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑥 <s 𝑦} ⊆ No )
13		rabss 4018	. . . 4 ⊢ ({𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑥 <s 𝑦} ⊆ No ↔ ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥))(𝑥 <s 𝑦 → 𝑦 ∈ No ))
14	12, 13	bitri 278	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑥 <s 𝑦} ∈ 𝒫 No ↔ ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥))(𝑥 <s 𝑦 → 𝑦 ∈ No ))
15	9, 14	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ No → {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑥 <s 𝑦} ∈ 𝒫 No )
16	1, 15	fmpti 7104	1 ⊢ R : No ⟶𝒫 No

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  {crab 3413   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557   class class class wbr 5103  Oncon0 6355  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531   No csur 27979   <s clts 27980   bday cbday 27981   O cold 28191   R cright 28194

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-1o 8460  df-2o 8461  df-no 27982  df-lts 27983  df-bday 27984  df-slts 28126  df-cuts 28128  df-made 28195  df-old 28196  df-right 28199

This theorem is used by:  sltsright  28229  lltr  28230  lrold  28265