Theorem rightf 28129

Description: The functionality of the right options function. (Contributed by Scott Fenton, 6-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
rightf	⊢ R : No ⟶𝒫 No

Proof of Theorem rightf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-right 28104	. 2 ⊢ R = (𝑥 ∈ No ↦ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑥 <s 𝑦})
2		bdayon 28025	. . . . . . . 8 ⊢ ( bday ‘𝑥) ∈ On
3		oldf 28110	. . . . . . . . 9 ⊢ O :On⟶𝒫 No
4	3	ffvelcdmi 7080	. . . . . . . 8 ⊢ (( bday ‘𝑥) ∈ On → ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∈ 𝒫 No )
5	2, 4	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ No → ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∈ 𝒫 No )
6	5	elpwid 4569	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ No → ( O ‘( bday ‘𝑥)) ⊆ No )
7	6	sselda 3934	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥))) → 𝑦 ∈ No )
8	7	a1d 26	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥))) → (𝑥 <s 𝑦 → 𝑦 ∈ No ))
9	8	ralrimiva 3156	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ No → ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥))(𝑥 <s 𝑦 → 𝑦 ∈ No ))
10		fvex 6895	. . . . . 6 ⊢ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∈ V
11	10	rabex 5307	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑥 <s 𝑦} ∈ V
12	11	elpw 4564	. . . 4 ⊢ ({𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑥 <s 𝑦} ∈ 𝒫 No ↔ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑥 <s 𝑦} ⊆ No )
13		rabss 4021	. . . 4 ⊢ ({𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑥 <s 𝑦} ⊆ No ↔ ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥))(𝑥 <s 𝑦 → 𝑦 ∈ No ))
14	12, 13	bitri 278	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑥 <s 𝑦} ∈ 𝒫 No ↔ ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥))(𝑥 <s 𝑦 → 𝑦 ∈ No ))
15	9, 14	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ No → {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑥)) ∣ 𝑥 <s 𝑦} ∈ 𝒫 No )
16	1, 15	fmpti 7109	1 ⊢ R : No ⟶𝒫 No

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  {crab 3414   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5107  Oncon0 6361  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537   No csur 27884   <s clts 27885   bday cbday 27886   O cold 28096   R cright 28099

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-1o 8459  df-2o 8460  df-no 27887  df-lts 27888  df-bday 27889  df-slts 28031  df-cuts 28033  df-made 28100  df-old 28101  df-right 28104

This theorem is used by:  sltsright  28134  lltr  28135  lrold  28170