Theorem rightf 28247

Description: The functionality of the right options function. (Contributed by Scott Fenton, 6-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
rightf	⊢ R:No⟶𝒫 No

Proof of Theorem rightf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-right 28222	. 2 ⊢ R = (𝑥 ∈ No ↦ {𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑥)) ∣ 𝑥 <s 𝑦})
2		bdayon 28143	. . . . . . . 8 ⊢ (bday‘𝑥) ∈ On
3		oldf 28228	. . . . . . . . 9 ⊢ O:On⟶𝒫 No
4	3	ffvelcdmi 7083	. . . . . . . 8 ⊢ ((bday‘𝑥) ∈ On → (O‘(bday‘𝑥)) ∈ 𝒫 No)
5	2, 4	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ No → (O‘(bday‘𝑥)) ∈ 𝒫 No)
6	5	elpwid 4565	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ No → (O‘(bday‘𝑥)) ⊆ No)
7	6	sselda 3908	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑥))) → 𝑦 ∈ No)
8	7	a1d 26	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑥))) → (𝑥 <s 𝑦 → 𝑦 ∈ No))
9	8	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ No → ∀𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑥))(𝑥 <s 𝑦 → 𝑦 ∈ No))
10		fvex 6898	. . . . . 6 ⊢ (O‘(bday‘𝑥)) ∈ V
11	10	rabex 5299	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑥)) ∣ 𝑥 <s 𝑦} ∈ V
12	11	elpw 4560	. . . 4 ⊢ ({𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑥)) ∣ 𝑥 <s 𝑦} ∈ 𝒫 No ↔ {𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑥)) ∣ 𝑥 <s 𝑦} ⊆ No)
13		rabss 3995	. . . 4 ⊢ ({𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑥)) ∣ 𝑥 <s 𝑦} ⊆ No ↔ ∀𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑥))(𝑥 <s 𝑦 → 𝑦 ∈ No))
14	12, 13	bitri 278	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑥)) ∣ 𝑥 <s 𝑦} ∈ 𝒫 No ↔ ∀𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑥))(𝑥 <s 𝑦 → 𝑦 ∈ No))
15	9, 14	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ No → {𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑥)) ∣ 𝑥 <s 𝑦} ∈ 𝒫 No)
16	1, 15	fmpti 7112	1 ⊢ R:No⟶𝒫 No

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {crab 3412   ⊆ wss 3895  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5102  Oncon0 6362  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  Nocsur 28002   <s clts 28003  bdaycbday 28004  Ocold 28214  Rcright 28217

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-1o 8479  df-2o 8480  df-no 28005  df-lts 28006  df-bday 28007  df-slts 28149  df-cuts 28151  df-made 28218  df-old 28219  df-right 28222

This theorem is used by:  sltsright  28252  lltr  28253  lrold  28288