Theorem ressplusg 17000

Description: +_g is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressplusg.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressplusg.2	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ressplusg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Proof of Theorem ressplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressplusg.1	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
2		ressplusg.2	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		plusgid 16989	. 2 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4		basendxnplusgndx 16992	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
5	4	necomi 2998	. 2 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 16951	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ndxcnx 16894  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941  +_gcplusg 16962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975

This theorem is referenced by:  issstrmgm  18337  gsumress  18366  issubmnd  18412  ress0g  18413  submnd0  18414  resmhm  18459  resmhm2  18460  resmhm2b  18461  smndex1mgm  18546  smndex1sgrp  18547  smndex1mnd  18549  smndex1id  18550  submmulg  18747  subg0  18761  subginv  18762  subgcl  18765  subgsub  18767  subgmulg  18769  issubg2  18770  nmznsg  18796  resghm  18850  subgga  18906  gasubg  18908  resscntz  18938  symgplusg  18990  sylow2blem2  19226  sylow3lem6  19237  subglsm  19279  pj1ghm  19309  subgabl  19437  subcmn  19438  submcmn2  19440  cntrcmnd  19443  cycsubmcmn  19489  ringidss  19816  opprsubg  19878  unitgrp  19909  unitlinv  19919  unitrinv  19920  invrpropd  19940  isdrng2  20001  drngmcl  20004  drngid2  20007  isdrngd  20016  subrgugrp  20043  issubrg2  20044  subrgpropd  20059  cntzsdrg  20070  abvres  20099  islss3  20221  sralmod  20457  xrs1mnd  20636  xrs10  20637  xrs1cmn  20638  xrge0subm  20639  cnmsubglem  20661  expmhm  20667  nn0srg  20668  rge0srg  20669  zringplusg  20677  expghm  20697  psgnghm  20785  psgnco  20788  evpmodpmf1o  20801  replusg  20815  phlssphl  20864  frlmplusgval  20971  resspsradd  21185  mpladd  21213  ressmpladd  21230  mhpmulcl  21339  mplplusg  21391  ply1plusg  21396  ressply1add  21401  mdetralt  21757  invrvald  21825  submtmd  23255  imasdsf1olem  23526  xrge0gsumle  23996  clmadd  24237  isclmp  24260  ipcau2  24398  reefgim  25609  efabl  25706  efsubm  25707  dchrptlem2  26413  dchrsum2  26416  qabvle  26773  padicabv  26778  ostth2lem2  26782  ostth3  26786  ressplusf  31235  ressmulgnn  31292  xrge0plusg  31296  submomnd  31336  ringinvval  31489  dvrcan5  31490  rhmunitinv  31521  xrge0slmod  31548  idlinsubrg  31608  drgextlsp  31681  fedgmullem2  31711  qqhghm  31938  qqhrhm  31939  esumpfinvallem  32042  lcdvadd  39611  mhphflem  40284  deg1mhm  41032  sge0tsms  43918  cnfldsrngadd  45324  issubmgm2  45344  resmgmhm  45352  resmgmhm2  45353  resmgmhm2b  45354  lidlrng  45485  amgmlemALT  46507