Theorem ressplusg 17379

Description: +_g is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressplusg.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressplusg.2	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ressplusg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Proof of Theorem ressplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressplusg.1	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
2		ressplusg.2	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		plusgid 17372	. 2 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4		basendxnplusgndx 17375	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
5	4	necomi 3009	. 2 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17337	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ndxcnx 17288  Basecbs 17304   ↾_s cress 17325  +_gcplusg 17345

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358

This theorem is used by:  issstrmgm  18748  idressid  18778  gsumress  18787  issubmgm2  18808  resmgmhm  18816  resmgmhm2  18817  resmgmhm2b  18818  issubmnd  18869  ress0gOLD  18871  submnd0OLD  18873  resmhm  18932  resmhm2  18933  resmhm2b  18934  smndex1mgm  19022  smndex1sgrp  19023  smndex1mnd  19025  smndex1id  19026  ressmulgnn  19202  ressmulgnnd  19204  submmulg  19244  subg0  19258  subginv  19259  subgcl  19262  subgsub  19265  subgmulg  19267  issubg2  19268  nmznsg  19294  resghm  19362  subgga  19430  gasubg  19432  resscntz  19463  symgplusg  19513  sylow2blem2  19751  sylow3lem6  19762  subglsm  19803  pj1ghm  19833  subgabl  19966  subcmn  19967  submcmn2  19969  cntrcmnd  19972  cycsubmcmn  20019  submomnd  20262  ringidss  20421  opprsubg  20496  unitgrp  20527  unitlinv  20537  unitrinv  20538  invrpropd  20562  rhmunitinv  20674  issubrng2  20723  subrngpropd  20733  subrgugrp  20756  issubrg2  20757  subrgpropd  20773  isdrng2  20909  isdrng3lem1  20917  isdrng3lem2  20918  drngid2  20922  isdrngd  20934  isdrngdOLD  20936  cntzsdrg  20971  abvres  21000  islss3  21146  sralmod  21374  rnglidlrng  21447  rngqiprngghmlem3  21495  cnmsubglem  21646  expmhm  21652  nn0srg  21653  rge0srg  21654  xrge0plusg  21655  xrs1mnd  21656  xrs10  21657  xrs1cmn  21658  xrge0subm  21659  zringplusg  21670  expghm  21691  psgnghm  21796  psgnco  21799  evpmodpmf1o  21812  replusg  21826  phlssphl  21875  frlmplusgval  21980  resspsradd  22192  mplplusg  22224  ressmpladd  22247  mhpmulcl  22380  ply1plusg  22451  ressply1add  22457  evls1addd  22599  mdetralt  22833  invrvald  22901  submtmd  24333  imasdsf1olem  24602  xrge0gsumle  25063  clmadd  25305  isclmp  25328  ipcau2  25465  reefgim  26689  efabl  26790  efsubm  26791  dchrptlem2  27504  dchrsum2  27507  qabvle  27864  padicabv  27869  ostth2lem2  27873  ostth3  27877  ressplusf  33406  ringinvval  33677  dvrcan5  33678  xrge0slmod  33791  idlinsubrg  33862  zringfrac  33967  drgextlsp  34107  fedgmullem2  34143  algextdeglem8  34237  2sqr3minply  34293  cos9thpiminply  34301  qqhghm  34501  qqhrhm  34502  esumpfinvallem  34587  lcdvadd  42473  primrootsunit1  42966  aks6d1c6isolem2  43044  mhphflem  43445  deg1mhm  44044  sge0tsms  47211  cnfldsrngadd  49080  amgmlemALT  50824