Theorem ressplusg 17254

Description: +_g is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressplusg.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressplusg.2	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ressplusg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Proof of Theorem ressplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressplusg.1	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
2		ressplusg.2	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		plusgid 17247	. 2 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4		basendxnplusgndx 17250	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
5	4	necomi 2979	. 2 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17212	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ndxcnx 17163  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  +_gcplusg 17220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233

This theorem is referenced by:  issstrmgm  18580  gsumress  18609  issubmgm2  18630  resmgmhm  18638  resmgmhm2  18639  resmgmhm2b  18640  issubmnd  18688  ress0g  18689  submnd0  18690  resmhm  18747  resmhm2  18748  resmhm2b  18749  smndex1mgm  18834  smndex1sgrp  18835  smndex1mnd  18837  smndex1id  18838  ressmulgnn  19008  ressmulgnnd  19010  submmulg  19050  subg0  19064  subginv  19065  subgcl  19068  subgsub  19070  subgmulg  19072  issubg2  19073  nmznsg  19100  resghm  19164  subgga  19232  gasubg  19234  resscntz  19265  symgplusg  19313  sylow2blem2  19551  sylow3lem6  19562  subglsm  19603  pj1ghm  19633  subgabl  19766  subcmn  19767  submcmn2  19769  cntrcmnd  19772  cycsubmcmn  19819  ringidss  20186  opprsubg  20261  unitgrp  20292  unitlinv  20302  unitrinv  20303  invrpropd  20327  rhmunitinv  20420  issubrng2  20467  subrngpropd  20477  subrgugrp  20500  issubrg2  20501  subrgpropd  20517  isdrng2  20652  drngmclOLD  20660  drngid2  20661  isdrngd  20674  isdrngdOLD  20676  cntzsdrg  20711  abvres  20740  islss3  20865  sralmod  21094  rnglidlrng  21157  rngqiprngghmlem3  21199  xrs1mnd  21321  xrs10  21322  xrs1cmn  21323  xrge0subm  21324  cnmsubglem  21347  expmhm  21353  nn0srg  21354  rge0srg  21355  zringplusg  21364  expghm  21385  psgnghm  21489  psgnco  21492  evpmodpmf1o  21505  replusg  21519  phlssphl  21568  frlmplusgval  21673  resspsradd  21884  mplplusg  21916  ressmpladd  21936  mhpmulcl  22036  ply1plusg  22108  ressply1add  22114  evls1addd  22258  mdetralt  22495  invrvald  22563  submtmd  23991  imasdsf1olem  24261  xrge0gsumle  24722  clmadd  24974  isclmp  24997  ipcau2  25134  reefgim  26360  efabl  26459  efsubm  26460  dchrptlem2  27176  dchrsum2  27179  qabvle  27536  padicabv  27541  ostth2lem2  27545  ostth3  27549  ressplusf  32885  xrge0plusg  32954  submomnd  33024  ringinvval  33186  dvrcan5  33187  xrge0slmod  33319  idlinsubrg  33402  zringfrac  33525  drgextlsp  33589  fedgmullem2  33626  algextdeglem8  33714  2sqr3minply  33770  cos9thpiminply  33778  qqhghm  33978  qqhrhm  33979  esumpfinvallem  34064  lcdvadd  41591  primrootsunit1  42085  aks6d1c6isolem2  42163  mhphflem  42584  deg1mhm  43189  sge0tsms  46378  cnfldsrngadd  48150  amgmlemALT  49792