Theorem ressplusg 17235

Description: +_g is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressplusg.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressplusg.2	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ressplusg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Proof of Theorem ressplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressplusg.1	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
2		ressplusg.2	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		plusgid 17224	. 2 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4		basendxnplusgndx 17227	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
5	4	necomi 2996	. 2 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17186	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ndxcnx 17126  Basecbs 17144   ↾_s cress 17173  +_gcplusg 17197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210

This theorem is referenced by:  issstrmgm  18572  gsumress  18601  issubmnd  18652  ress0g  18653  submnd0  18654  resmhm  18701  resmhm2  18702  resmhm2b  18703  smndex1mgm  18788  smndex1sgrp  18789  smndex1mnd  18791  smndex1id  18792  submmulg  18998  subg0  19012  subginv  19013  subgcl  19016  subgsub  19018  subgmulg  19020  issubg2  19021  nmznsg  19048  resghm  19108  subgga  19164  gasubg  19166  resscntz  19197  symgplusg  19250  sylow2blem2  19489  sylow3lem6  19500  subglsm  19541  pj1ghm  19571  subgabl  19704  subcmn  19705  submcmn2  19707  cntrcmnd  19710  cycsubmcmn  19757  ringidss  20094  opprsubg  20166  unitgrp  20197  unitlinv  20207  unitrinv  20208  invrpropd  20232  rhmunitinv  20290  subrgugrp  20338  issubrg2  20339  subrgpropd  20355  isdrng2  20371  drngmcl  20374  drngid2  20378  isdrngd  20390  isdrngdOLD  20392  cntzsdrg  20418  abvres  20447  islss3  20570  sralmod  20809  xrs1mnd  20983  xrs10  20984  xrs1cmn  20985  xrge0subm  20986  cnmsubglem  21008  expmhm  21014  nn0srg  21015  rge0srg  21016  zringplusg  21024  expghm  21045  psgnghm  21133  psgnco  21136  evpmodpmf1o  21149  replusg  21163  phlssphl  21212  frlmplusgval  21319  resspsradd  21536  mplplusg  21566  ressmpladd  21584  mhpmulcl  21692  ply1plusg  21747  ressply1add  21752  mdetralt  22110  invrvald  22178  submtmd  23608  imasdsf1olem  23879  xrge0gsumle  24349  clmadd  24590  isclmp  24613  ipcau2  24751  reefgim  25962  efabl  26059  efsubm  26060  dchrptlem2  26768  dchrsum2  26771  qabvle  27128  padicabv  27133  ostth2lem2  27137  ostth3  27141  ressplusf  32127  ressmulgnn  32184  xrge0plusg  32188  submomnd  32228  ringinvval  32384  dvrcan5  32385  xrge0slmod  32463  idlinsubrg  32549  evls1addd  32648  drgextlsp  32681  fedgmullem2  32715  qqhghm  32968  qqhrhm  32969  esumpfinvallem  33072  lcdvadd  40468  mhphflem  41168  deg1mhm  41949  sge0tsms  45096  cnfldsrngadd  46540  issubmgm2  46560  resmgmhm  46568  resmgmhm2  46569  resmgmhm2b  46570  issubrng2  46737  subrngpropd  46747  rnglidlrng  46758  rngqiprngghmlem3  46774  amgmlemALT  47850