Theorem ressplusg 17455

Description: +_g is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressplusg.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressplusg.2	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ressplusg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Proof of Theorem ressplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressplusg.1	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
2		ressplusg.2	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		plusgid 17448	. 2 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4		basendxnplusgndx 17451	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
5	4	necomi 3010	. 2 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17413	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ndxcnx 17364  Basecbs 17380   ↾_s cress 17401  +_gcplusg 17421

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434

This theorem is used by:  issstrmgm  18824  idressid  18855  gsumress  18864  issubmgm2  18885  resmgmhm  18893  resmgmhm2  18894  resmgmhm2b  18895  issubmnd  18946  ress0gOLD  18948  submnd0OLD  18950  resmhm  19009  resmhm2  19010  resmhm2b  19011  smndex1mgm  19099  smndex1sgrp  19100  smndex1mnd  19102  smndex1id  19103  ressmulgnn  19279  ressmulgnnd  19281  submmulg  19321  subg0  19335  subginv  19336  subgcl  19339  subgsub  19342  subgmulg  19344  issubg2  19345  nmznsg  19371  resghm  19439  subgga  19507  gasubg  19509  resscntz  19540  symgplusg  19590  sylow2blem2  19828  sylow3lem6  19839  subglsm  19880  pj1ghm  19910  subgabl  20043  subcmn  20044  submcmn2  20046  cntrcmnd  20049  cycsubmcmn  20096  submomnd  20339  ringidss  20499  opprsubg  20575  unitgrp  20606  unitlinv  20616  unitrinv  20617  invrpropd  20641  rhmunitinv  20754  issubrng2  20803  subrngpropd  20813  subrgugrp  20836  issubrg2  20837  subrgpropd  20853  isdrng2  20990  isdrng3lem1  20998  isdrng3lem2  20999  drngid2  21003  isdrngd  21015  isdrngdOLD  21017  cntzsdrg  21052  abvres  21081  islss3  21227  sralmod  21455  rnglidlrng  21528  rngqiprngghmlem3  21578  cnmsubglem  21729  expmhm  21735  nn0srg  21736  rge0srg  21737  xrge0plusg  21738  xrs1mnd  21739  xrs10  21740  xrs1cmn  21741  xrge0subm  21742  zringplusg  21753  expghm  21774  psgnghm  21879  psgnco  21882  evpmodpmf1o  21895  replusg  21909  phlssphl  21958  frlmplusgval  22063  resspsradd  22275  mplplusg  22307  ressmpladd  22330  mhpmulcl  22463  ply1plusg  22534  ressply1add  22540  evls1addd  22682  mdetralt  22916  invrvald  22984  submtmd  24416  imasdsf1olem  24685  xrge0gsumle  25146  clmadd  25388  isclmp  25411  ipcau2  25548  reefgim  26770  efabl  26871  efsubm  26872  dchrptlem2  27585  dchrsum2  27588  qabvle  27945  padicabv  27950  ostth2lem2  27954  ostth3  27958  ressplusf  33517  ringinvval  33788  dvrcan5  33789  xrge0slmod  33902  idlinsubrg  33974  zringfrac  34079  drgextlsp  34219  fedgmullem2  34255  algextdeglem8  34349  2sqr3minply  34405  cos9thpiminply  34413  qqhghm  34613  qqhrhm  34614  esumpfinvallem  34699  lcdvadd  42634  primrootsunit1  43127  aks6d1c6isolem2  43205  mhphflem  43604  deg1mhm  44186  sge0tsms  47359  cnfldsrngadd  49228  amgmlemALT  50957