Theorem ressplusg 17202

Description: +_g is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressplusg.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressplusg.2	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ressplusg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Proof of Theorem ressplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressplusg.1	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
2		ressplusg.2	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		plusgid 17195	. 2 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4		basendxnplusgndx 17198	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
5	4	necomi 2983	. 2 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17160	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ndxcnx 17111  Basecbs 17127   ↾_s cress 17148  +_gcplusg 17168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181

This theorem is referenced by:  issstrmgm  18569  gsumress  18598  issubmgm2  18619  resmgmhm  18627  resmgmhm2  18628  resmgmhm2b  18629  issubmnd  18677  ress0g  18678  submnd0  18679  resmhm  18736  resmhm2  18737  resmhm2b  18738  smndex1mgm  18823  smndex1sgrp  18824  smndex1mnd  18826  smndex1id  18827  ressmulgnn  18997  ressmulgnnd  18999  submmulg  19039  subg0  19053  subginv  19054  subgcl  19057  subgsub  19059  subgmulg  19061  issubg2  19062  nmznsg  19088  resghm  19152  subgga  19220  gasubg  19222  resscntz  19253  symgplusg  19303  sylow2blem2  19541  sylow3lem6  19552  subglsm  19593  pj1ghm  19623  subgabl  19756  subcmn  19757  submcmn2  19759  cntrcmnd  19762  cycsubmcmn  19809  submomnd  20052  ringidss  20203  opprsubg  20279  unitgrp  20310  unitlinv  20320  unitrinv  20321  invrpropd  20345  rhmunitinv  20435  issubrng2  20482  subrngpropd  20492  subrgugrp  20515  issubrg2  20516  subrgpropd  20532  isdrng2  20667  drngmclOLD  20675  drngid2  20676  isdrngd  20689  isdrngdOLD  20691  cntzsdrg  20726  abvres  20755  islss3  20901  sralmod  21130  rnglidlrng  21193  rngqiprngghmlem3  21235  cnmsubglem  21376  expmhm  21382  nn0srg  21383  rge0srg  21384  xrge0plusg  21385  xrs1mnd  21386  xrs10  21387  xrs1cmn  21388  xrge0subm  21389  zringplusg  21400  expghm  21421  psgnghm  21526  psgnco  21529  evpmodpmf1o  21542  replusg  21556  phlssphl  21605  frlmplusgval  21710  resspsradd  21921  mplplusg  21953  ressmpladd  21975  mhpmulcl  22083  ply1plusg  22155  ressply1add  22161  evls1addd  22306  mdetralt  22543  invrvald  22611  submtmd  24039  imasdsf1olem  24308  xrge0gsumle  24769  clmadd  25021  isclmp  25044  ipcau2  25181  reefgim  26407  efabl  26506  efsubm  26507  dchrptlem2  27223  dchrsum2  27226  qabvle  27583  padicabv  27588  ostth2lem2  27592  ostth3  27596  ressplusf  32973  ringinvval  33245  dvrcan5  33246  xrge0slmod  33357  idlinsubrg  33440  zringfrac  33563  drgextlsp  33678  fedgmullem2  33715  algextdeglem8  33809  2sqr3minply  33865  cos9thpiminply  33873  qqhghm  34073  qqhrhm  34074  esumpfinvallem  34159  lcdvadd  41769  primrootsunit1  42263  aks6d1c6isolem2  42341  mhphflem  42754  deg1mhm  43357  sge0tsms  46540  cnfldsrngadd  48324  amgmlemALT  49964