Theorem ressplusg 17223

Description: +_g is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressplusg.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressplusg.2	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ressplusg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Proof of Theorem ressplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressplusg.1	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
2		ressplusg.2	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		plusgid 17216	. 2 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4		basendxnplusgndx 17219	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
5	4	necomi 2987	. 2 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17181	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ndxcnx 17132  Basecbs 17148   ↾_s cress 17169  +_gcplusg 17189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202

This theorem is referenced by:  issstrmgm  18590  gsumress  18619  issubmgm2  18640  resmgmhm  18648  resmgmhm2  18649  resmgmhm2b  18650  issubmnd  18698  ress0g  18699  submnd0  18700  resmhm  18757  resmhm2  18758  resmhm2b  18759  smndex1mgm  18844  smndex1sgrp  18845  smndex1mnd  18847  smndex1id  18848  ressmulgnn  19018  ressmulgnnd  19020  submmulg  19060  subg0  19074  subginv  19075  subgcl  19078  subgsub  19080  subgmulg  19082  issubg2  19083  nmznsg  19109  resghm  19173  subgga  19241  gasubg  19243  resscntz  19274  symgplusg  19324  sylow2blem2  19562  sylow3lem6  19573  subglsm  19614  pj1ghm  19644  subgabl  19777  subcmn  19778  submcmn2  19780  cntrcmnd  19783  cycsubmcmn  19830  submomnd  20073  ringidss  20224  opprsubg  20300  unitgrp  20331  unitlinv  20341  unitrinv  20342  invrpropd  20366  rhmunitinv  20456  issubrng2  20503  subrngpropd  20513  subrgugrp  20536  issubrg2  20537  subrgpropd  20553  isdrng2  20688  drngmclOLD  20696  drngid2  20697  isdrngd  20710  isdrngdOLD  20712  cntzsdrg  20747  abvres  20776  islss3  20922  sralmod  21151  rnglidlrng  21214  rngqiprngghmlem3  21256  cnmsubglem  21397  expmhm  21403  nn0srg  21404  rge0srg  21405  xrge0plusg  21406  xrs1mnd  21407  xrs10  21408  xrs1cmn  21409  xrge0subm  21410  zringplusg  21421  expghm  21442  psgnghm  21547  psgnco  21550  evpmodpmf1o  21563  replusg  21577  phlssphl  21626  frlmplusgval  21731  resspsradd  21942  mplplusg  21974  ressmpladd  21996  mhpmulcl  22104  ply1plusg  22176  ressply1add  22182  evls1addd  22327  mdetralt  22564  invrvald  22632  submtmd  24060  imasdsf1olem  24329  xrge0gsumle  24790  clmadd  25042  isclmp  25065  ipcau2  25202  reefgim  26428  efabl  26527  efsubm  26528  dchrptlem2  27244  dchrsum2  27247  qabvle  27604  padicabv  27609  ostth2lem2  27613  ostth3  27617  ressplusf  33055  ringinvval  33328  dvrcan5  33329  xrge0slmod  33440  idlinsubrg  33523  zringfrac  33646  drgextlsp  33770  fedgmullem2  33807  algextdeglem8  33901  2sqr3minply  33957  cos9thpiminply  33965  qqhghm  34165  qqhrhm  34166  esumpfinvallem  34251  lcdvadd  41970  primrootsunit1  42464  aks6d1c6isolem2  42542  mhphflem  42951  deg1mhm  43554  sge0tsms  46735  cnfldsrngadd  48519  amgmlemALT  50159