Theorem ressplusg 17261

Description: +_g is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressplusg.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressplusg.2	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ressplusg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Proof of Theorem ressplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressplusg.1	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
2		ressplusg.2	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		plusgid 17254	. 2 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4		basendxnplusgndx 17257	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
5	4	necomi 2980	. 2 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17219	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ndxcnx 17170  Basecbs 17186   ↾_s cress 17207  +_gcplusg 17227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240

This theorem is referenced by:  issstrmgm  18587  gsumress  18616  issubmgm2  18637  resmgmhm  18645  resmgmhm2  18646  resmgmhm2b  18647  issubmnd  18695  ress0g  18696  submnd0  18697  resmhm  18754  resmhm2  18755  resmhm2b  18756  smndex1mgm  18841  smndex1sgrp  18842  smndex1mnd  18844  smndex1id  18845  ressmulgnn  19015  ressmulgnnd  19017  submmulg  19057  subg0  19071  subginv  19072  subgcl  19075  subgsub  19077  subgmulg  19079  issubg2  19080  nmznsg  19107  resghm  19171  subgga  19239  gasubg  19241  resscntz  19272  symgplusg  19320  sylow2blem2  19558  sylow3lem6  19569  subglsm  19610  pj1ghm  19640  subgabl  19773  subcmn  19774  submcmn2  19776  cntrcmnd  19779  cycsubmcmn  19826  ringidss  20193  opprsubg  20268  unitgrp  20299  unitlinv  20309  unitrinv  20310  invrpropd  20334  rhmunitinv  20427  issubrng2  20474  subrngpropd  20484  subrgugrp  20507  issubrg2  20508  subrgpropd  20524  isdrng2  20659  drngmclOLD  20667  drngid2  20668  isdrngd  20681  isdrngdOLD  20683  cntzsdrg  20718  abvres  20747  islss3  20872  sralmod  21101  rnglidlrng  21164  rngqiprngghmlem3  21206  xrs1mnd  21328  xrs10  21329  xrs1cmn  21330  xrge0subm  21331  cnmsubglem  21354  expmhm  21360  nn0srg  21361  rge0srg  21362  zringplusg  21371  expghm  21392  psgnghm  21496  psgnco  21499  evpmodpmf1o  21512  replusg  21526  phlssphl  21575  frlmplusgval  21680  resspsradd  21891  mplplusg  21923  ressmpladd  21943  mhpmulcl  22043  ply1plusg  22115  ressply1add  22121  evls1addd  22265  mdetralt  22502  invrvald  22570  submtmd  23998  imasdsf1olem  24268  xrge0gsumle  24729  clmadd  24981  isclmp  25004  ipcau2  25141  reefgim  26367  efabl  26466  efsubm  26467  dchrptlem2  27183  dchrsum2  27186  qabvle  27543  padicabv  27548  ostth2lem2  27552  ostth3  27556  ressplusf  32892  xrge0plusg  32961  submomnd  33031  ringinvval  33193  dvrcan5  33194  xrge0slmod  33326  idlinsubrg  33409  zringfrac  33532  drgextlsp  33596  fedgmullem2  33633  algextdeglem8  33721  2sqr3minply  33777  cos9thpiminply  33785  qqhghm  33985  qqhrhm  33986  esumpfinvallem  34071  lcdvadd  41598  primrootsunit1  42092  aks6d1c6isolem2  42170  mhphflem  42591  deg1mhm  43196  sge0tsms  46385  cnfldsrngadd  48154  amgmlemALT  49796