Theorem ressplusg 17376

Description: +_g is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressplusg.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressplusg.2	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ressplusg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Proof of Theorem ressplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressplusg.1	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
2		ressplusg.2	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		plusgid 17369	. 2 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4		basendxnplusgndx 17372	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
5	4	necomi 3009	. 2 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17334	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ndxcnx 17285  Basecbs 17301   ↾_s cress 17322  +_gcplusg 17342

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355

This theorem is used by:  issstrmgm  18745  idressid  18775  gsumress  18784  issubmgm2  18805  resmgmhm  18813  resmgmhm2  18814  resmgmhm2b  18815  issubmnd  18866  ress0gOLD  18868  submnd0OLD  18870  resmhm  18929  resmhm2  18930  resmhm2b  18931  smndex1mgm  19019  smndex1sgrp  19020  smndex1mnd  19022  smndex1id  19023  ressmulgnn  19199  ressmulgnnd  19201  submmulg  19241  subg0  19255  subginv  19256  subgcl  19259  subgsub  19262  subgmulg  19264  issubg2  19265  nmznsg  19291  resghm  19359  subgga  19427  gasubg  19429  resscntz  19460  symgplusg  19510  sylow2blem2  19748  sylow3lem6  19759  subglsm  19800  pj1ghm  19830  subgabl  19963  subcmn  19964  submcmn2  19966  cntrcmnd  19969  cycsubmcmn  20016  submomnd  20259  ringidss  20418  opprsubg  20493  unitgrp  20524  unitlinv  20534  unitrinv  20535  invrpropd  20559  rhmunitinv  20671  issubrng2  20720  subrngpropd  20730  subrgugrp  20753  issubrg2  20754  subrgpropd  20770  isdrng2  20906  isdrng3lem1  20914  isdrng3lem2  20915  drngid2  20919  isdrngd  20931  isdrngdOLD  20933  cntzsdrg  20968  abvres  20997  islss3  21143  sralmod  21371  rnglidlrng  21444  rngqiprngghmlem3  21492  cnmsubglem  21643  expmhm  21649  nn0srg  21650  rge0srg  21651  xrge0plusg  21652  xrs1mnd  21653  xrs10  21654  xrs1cmn  21655  xrge0subm  21656  zringplusg  21667  expghm  21688  psgnghm  21793  psgnco  21796  evpmodpmf1o  21809  replusg  21823  phlssphl  21872  frlmplusgval  21977  resspsradd  22189  mplplusg  22221  ressmpladd  22244  mhpmulcl  22377  ply1plusg  22448  ressply1add  22454  evls1addd  22596  mdetralt  22830  invrvald  22898  submtmd  24330  imasdsf1olem  24599  xrge0gsumle  25060  clmadd  25302  isclmp  25325  ipcau2  25462  reefgim  26686  efabl  26787  efsubm  26788  dchrptlem2  27501  dchrsum2  27504  qabvle  27861  padicabv  27866  ostth2lem2  27870  ostth3  27874  ressplusf  33403  ringinvval  33674  dvrcan5  33675  xrge0slmod  33788  idlinsubrg  33859  zringfrac  33964  drgextlsp  34104  fedgmullem2  34140  algextdeglem8  34234  2sqr3minply  34290  cos9thpiminply  34298  qqhghm  34498  qqhrhm  34499  esumpfinvallem  34584  lcdvadd  42470  primrootsunit1  42963  aks6d1c6isolem2  43041  mhphflem  43442  deg1mhm  44041  sge0tsms  47208  cnfldsrngadd  49077  amgmlemALT  50821