Theorem ressplusg 17349

Description: +_g is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressplusg.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressplusg.2	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ressplusg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Proof of Theorem ressplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressplusg.1	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
2		ressplusg.2	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		plusgid 17338	. 2 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4		basendxnplusgndx 17341	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
5	4	necomi 3001	. 2 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17300	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ndxcnx 17240  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  +_gcplusg 17311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324

This theorem is referenced by:  issstrmgm  18691  gsumress  18720  issubmgm2  18741  resmgmhm  18749  resmgmhm2  18750  resmgmhm2b  18751  issubmnd  18799  ress0g  18800  submnd0  18801  resmhm  18855  resmhm2  18856  resmhm2b  18857  smndex1mgm  18942  smndex1sgrp  18943  smndex1mnd  18945  smndex1id  18946  ressmulgnn  19116  ressmulgnnd  19118  submmulg  19158  subg0  19172  subginv  19173  subgcl  19176  subgsub  19178  subgmulg  19180  issubg2  19181  nmznsg  19208  resghm  19272  subgga  19340  gasubg  19342  resscntz  19373  symgplusg  19424  sylow2blem2  19663  sylow3lem6  19674  subglsm  19715  pj1ghm  19745  subgabl  19878  subcmn  19879  submcmn2  19881  cntrcmnd  19884  cycsubmcmn  19931  ringidss  20300  opprsubg  20378  unitgrp  20409  unitlinv  20419  unitrinv  20420  invrpropd  20444  rhmunitinv  20537  issubrng2  20584  subrngpropd  20594  subrgugrp  20619  issubrg2  20620  subrgpropd  20636  isdrng2  20765  drngmclOLD  20773  drngid2  20774  isdrngd  20787  isdrngdOLD  20789  cntzsdrg  20825  abvres  20854  islss3  20980  sralmod  21217  rnglidlrng  21280  rngqiprngghmlem3  21322  xrs1mnd  21445  xrs10  21446  xrs1cmn  21447  xrge0subm  21448  cnmsubglem  21471  expmhm  21477  nn0srg  21478  rge0srg  21479  zringplusg  21488  expghm  21509  psgnghm  21621  psgnco  21624  evpmodpmf1o  21637  replusg  21651  phlssphl  21700  frlmplusgval  21807  resspsradd  22018  mplplusg  22050  ressmpladd  22070  mhpmulcl  22176  ply1plusg  22246  ressply1add  22252  evls1addd  22396  mdetralt  22635  invrvald  22703  submtmd  24133  imasdsf1olem  24404  xrge0gsumle  24874  clmadd  25126  isclmp  25149  ipcau2  25287  reefgim  26512  efabl  26610  efsubm  26611  dchrptlem2  27327  dchrsum2  27330  qabvle  27687  padicabv  27692  ostth2lem2  27696  ostth3  27700  ressplusf  32930  xrge0plusg  32999  submomnd  33060  ringinvval  33215  dvrcan5  33216  xrge0slmod  33341  idlinsubrg  33424  zringfrac  33547  drgextlsp  33608  fedgmullem2  33643  algextdeglem8  33715  2sqr3minply  33738  qqhghm  33934  qqhrhm  33935  esumpfinvallem  34038  lcdvadd  41554  primrootsunit1  42054  aks6d1c6isolem2  42132  mhphflem  42551  deg1mhm  43161  sge0tsms  46301  cnfldsrngadd  47885  amgmlemALT  48897