Theorem ressplusg 17211

Description: +_g is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressplusg.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressplusg.2	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ressplusg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Proof of Theorem ressplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressplusg.1	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
2		ressplusg.2	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		plusgid 17204	. 2 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4		basendxnplusgndx 17207	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
5	4	necomi 2986	. 2 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17169	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ndxcnx 17120  Basecbs 17136   ↾_s cress 17157  +_gcplusg 17177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190

This theorem is referenced by:  issstrmgm  18578  gsumress  18607  issubmgm2  18628  resmgmhm  18636  resmgmhm2  18637  resmgmhm2b  18638  issubmnd  18686  ress0g  18687  submnd0  18688  resmhm  18745  resmhm2  18746  resmhm2b  18747  smndex1mgm  18832  smndex1sgrp  18833  smndex1mnd  18835  smndex1id  18836  ressmulgnn  19006  ressmulgnnd  19008  submmulg  19048  subg0  19062  subginv  19063  subgcl  19066  subgsub  19068  subgmulg  19070  issubg2  19071  nmznsg  19097  resghm  19161  subgga  19229  gasubg  19231  resscntz  19262  symgplusg  19312  sylow2blem2  19550  sylow3lem6  19561  subglsm  19602  pj1ghm  19632  subgabl  19765  subcmn  19766  submcmn2  19768  cntrcmnd  19771  cycsubmcmn  19818  submomnd  20061  ringidss  20212  opprsubg  20288  unitgrp  20319  unitlinv  20329  unitrinv  20330  invrpropd  20354  rhmunitinv  20444  issubrng2  20491  subrngpropd  20501  subrgugrp  20524  issubrg2  20525  subrgpropd  20541  isdrng2  20676  drngmclOLD  20684  drngid2  20685  isdrngd  20698  isdrngdOLD  20700  cntzsdrg  20735  abvres  20764  islss3  20910  sralmod  21139  rnglidlrng  21202  rngqiprngghmlem3  21244  cnmsubglem  21385  expmhm  21391  nn0srg  21392  rge0srg  21393  xrge0plusg  21394  xrs1mnd  21395  xrs10  21396  xrs1cmn  21397  xrge0subm  21398  zringplusg  21409  expghm  21430  psgnghm  21535  psgnco  21538  evpmodpmf1o  21551  replusg  21565  phlssphl  21614  frlmplusgval  21719  resspsradd  21930  mplplusg  21962  ressmpladd  21984  mhpmulcl  22092  ply1plusg  22164  ressply1add  22170  evls1addd  22315  mdetralt  22552  invrvald  22620  submtmd  24048  imasdsf1olem  24317  xrge0gsumle  24778  clmadd  25030  isclmp  25053  ipcau2  25190  reefgim  26416  efabl  26515  efsubm  26516  dchrptlem2  27232  dchrsum2  27235  qabvle  27592  padicabv  27597  ostth2lem2  27601  ostth3  27605  ressplusf  33045  ringinvval  33317  dvrcan5  33318  xrge0slmod  33429  idlinsubrg  33512  zringfrac  33635  drgextlsp  33750  fedgmullem2  33787  algextdeglem8  33881  2sqr3minply  33937  cos9thpiminply  33945  qqhghm  34145  qqhrhm  34146  esumpfinvallem  34231  lcdvadd  41857  primrootsunit1  42351  aks6d1c6isolem2  42429  mhphflem  42839  deg1mhm  43442  sge0tsms  46624  cnfldsrngadd  48408  amgmlemALT  50048