Theorem ressplusg 17340

Description: +_g is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressplusg.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressplusg.2	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ressplusg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Proof of Theorem ressplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressplusg.1	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
2		ressplusg.2	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		plusgid 17333	. 2 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4		basendxnplusgndx 17336	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
5	4	necomi 3018	. 2 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17298	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  ndxcnx 17249  Basecbs 17265   ↾_s cress 17286  +_gcplusg 17306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319

This theorem is referenced by:  issstrmgm  18707  gsumress  18736  issubmgm2  18757  resmgmhm  18765  resmgmhm2  18766  resmgmhm2b  18767  issubmnd  18815  ress0g  18816  submnd0  18817  resmhm  18875  resmhm2  18876  resmhm2b  18877  smndex1mgm  18965  smndex1sgrp  18966  smndex1mnd  18968  smndex1id  18969  ressmulgnn  19138  ressmulgnnd  19140  submmulg  19180  subg0  19194  subginv  19195  subgcl  19198  subgsub  19201  subgmulg  19203  issubg2  19204  nmznsg  19230  resghm  19298  subgga  19366  gasubg  19368  resscntz  19399  symgplusg  19449  sylow2blem2  19687  sylow3lem6  19698  subglsm  19739  pj1ghm  19769  subgabl  19902  subcmn  19903  submcmn2  19905  cntrcmnd  19908  cycsubmcmn  19955  submomnd  20198  ringidss  20356  opprsubg  20430  unitgrp  20461  unitlinv  20471  unitrinv  20472  invrpropd  20496  rhmunitinv  20590  issubrng2  20639  subrngpropd  20649  subrgugrp  20672  issubrg2  20673  subrgpropd  20689  isdrng2  20823  drngid2  20831  isdrngd  20843  isdrngdOLD  20845  cntzsdrg  20879  abvres  20908  islss3  21054  sralmod  21282  rnglidlrng  21351  rngqiprngghmlem3  21396  cnmsubglem  21545  expmhm  21551  nn0srg  21552  rge0srg  21553  xrge0plusg  21554  xrs1mnd  21555  xrs10  21556  xrs1cmn  21557  xrge0subm  21558  zringplusg  21569  expghm  21590  psgnghm  21695  psgnco  21698  evpmodpmf1o  21711  replusg  21725  phlssphl  21774  frlmplusgval  21879  resspsradd  22089  mplplusg  22121  ressmpladd  22144  mhpmulcl  22277  ply1plusg  22348  ressply1add  22354  evls1addd  22496  mdetralt  22730  invrvald  22798  submtmd  24226  imasdsf1olem  24495  xrge0gsumle  24956  clmadd  25198  isclmp  25221  ipcau2  25358  reefgim  26575  efabl  26677  efsubm  26678  dchrptlem2  27391  dchrsum2  27394  qabvle  27751  padicabv  27756  ostth2lem2  27760  ostth3  27764  ressplusf  33220  ringinvval  33491  dvrcan5  33492  xrge0slmod  33607  idlinsubrg  33679  zringfrac  33785  drgextlsp  33925  fedgmullem2  33961  algextdeglem8  34055  2sqr3minply  34111  cos9thpiminply  34119  qqhghm  34319  qqhrhm  34320  esumpfinvallem  34405  lcdvadd  42256  primrootsunit1  42749  aks6d1c6isolem2  42827  mhphflem  43213  deg1mhm  43812  sge0tsms  46979  cnfldsrngadd  48809  amgmlemALT  50459