Theorem ressplusg 16834

Description: +_g is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressplusg.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressplusg.2	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ressplusg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Proof of Theorem ressplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressplusg.1	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
2		ressplusg.2	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		plusgid 16829	. 2 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4		basendxnplusgndx 16830	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
5	4	necomi 2995	. 2 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 16793	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ndxcnx 16744  Basecbs 16760   ↾_s cress 16784  +_gcplusg 16802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815

This theorem is referenced by:  issstrmgm  18125  gsumress  18154  issubmnd  18200  ress0g  18201  submnd0  18202  resmhm  18247  resmhm2  18248  resmhm2b  18249  smndex1mgm  18334  smndex1sgrp  18335  smndex1mnd  18337  smndex1id  18338  submmulg  18535  subg0  18549  subginv  18550  subgcl  18553  subgsub  18555  subgmulg  18557  issubg2  18558  nmznsg  18584  resghm  18638  subgga  18694  gasubg  18696  resscntz  18726  symgplusg  18775  sylow2blem2  19010  sylow3lem6  19021  subglsm  19063  pj1ghm  19093  subgabl  19221  subcmn  19222  submcmn2  19224  cntrcmnd  19227  cycsubmcmn  19273  ringidss  19595  opprsubg  19654  unitgrp  19685  unitlinv  19695  unitrinv  19696  invrpropd  19716  isdrng2  19777  drngmcl  19780  drngid2  19783  isdrngd  19792  subrgugrp  19819  issubrg2  19820  subrgpropd  19835  cntzsdrg  19846  abvres  19875  islss3  19996  sralmod  20224  xrs1mnd  20401  xrs10  20402  xrs1cmn  20403  xrge0subm  20404  cnmsubglem  20426  expmhm  20432  nn0srg  20433  rge0srg  20434  zringplusg  20442  expghm  20462  psgnghm  20542  psgnco  20545  evpmodpmf1o  20558  replusg  20572  phlssphl  20621  frlmplusgval  20726  resspsradd  20941  mpladd  20969  ressmpladd  20986  mhpmulcl  21089  mplplusg  21141  ply1plusg  21146  ressply1add  21151  mdetralt  21505  invrvald  21573  submtmd  23001  imasdsf1olem  23271  xrge0gsumle  23730  clmadd  23971  isclmp  23994  ipcau2  24131  reefgim  25342  efabl  25439  efsubm  25440  dchrptlem2  26146  dchrsum2  26149  qabvle  26506  padicabv  26511  ostth2lem2  26515  ostth3  26519  ressplusf  30955  ressmulgnn  31011  xrge0plusg  31015  submomnd  31055  ringinvval  31208  dvrcan5  31209  rhmunitinv  31240  xrge0slmod  31262  idlinsubrg  31322  drgextlsp  31395  fedgmullem2  31425  qqhghm  31650  qqhrhm  31651  esumpfinvallem  31754  lcdvadd  39348  mhphflem  39994  deg1mhm  40735  sge0tsms  43593  cnfldsrngadd  44997  issubmgm2  45017  resmgmhm  45025  resmgmhm2  45026  resmgmhm2b  45027  lidlrng  45158  amgmlemALT  46178