Theorem ressplusg 17334

Description: +_g is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressplusg.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressplusg.2	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ressplusg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Proof of Theorem ressplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressplusg.1	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
2		ressplusg.2	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		plusgid 17324	. 2 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4		basendxnplusgndx 17327	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
5	4	necomi 2995	. 2 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17287	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ndxcnx 17230  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  +_gcplusg 17297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310

This theorem is referenced by:  issstrmgm  18666  gsumress  18695  issubmgm2  18716  resmgmhm  18724  resmgmhm2  18725  resmgmhm2b  18726  issubmnd  18774  ress0g  18775  submnd0  18776  resmhm  18833  resmhm2  18834  resmhm2b  18835  smndex1mgm  18920  smndex1sgrp  18921  smndex1mnd  18923  smndex1id  18924  ressmulgnn  19094  ressmulgnnd  19096  submmulg  19136  subg0  19150  subginv  19151  subgcl  19154  subgsub  19156  subgmulg  19158  issubg2  19159  nmznsg  19186  resghm  19250  subgga  19318  gasubg  19320  resscntz  19351  symgplusg  19400  sylow2blem2  19639  sylow3lem6  19650  subglsm  19691  pj1ghm  19721  subgabl  19854  subcmn  19855  submcmn2  19857  cntrcmnd  19860  cycsubmcmn  19907  ringidss  20274  opprsubg  20352  unitgrp  20383  unitlinv  20393  unitrinv  20394  invrpropd  20418  rhmunitinv  20511  issubrng2  20558  subrngpropd  20568  subrgugrp  20591  issubrg2  20592  subrgpropd  20608  isdrng2  20743  drngmclOLD  20751  drngid2  20752  isdrngd  20765  isdrngdOLD  20767  cntzsdrg  20803  abvres  20832  islss3  20957  sralmod  21194  rnglidlrng  21257  rngqiprngghmlem3  21299  xrs1mnd  21422  xrs10  21423  xrs1cmn  21424  xrge0subm  21425  cnmsubglem  21448  expmhm  21454  nn0srg  21455  rge0srg  21456  zringplusg  21465  expghm  21486  psgnghm  21598  psgnco  21601  evpmodpmf1o  21614  replusg  21628  phlssphl  21677  frlmplusgval  21784  resspsradd  21995  mplplusg  22027  ressmpladd  22047  mhpmulcl  22153  ply1plusg  22225  ressply1add  22231  evls1addd  22375  mdetralt  22614  invrvald  22682  submtmd  24112  imasdsf1olem  24383  xrge0gsumle  24855  clmadd  25107  isclmp  25130  ipcau2  25268  reefgim  26494  efabl  26592  efsubm  26593  dchrptlem2  27309  dchrsum2  27312  qabvle  27669  padicabv  27674  ostth2lem2  27678  ostth3  27682  ressplusf  32948  xrge0plusg  33018  submomnd  33087  ringinvval  33239  dvrcan5  33240  xrge0slmod  33376  idlinsubrg  33459  zringfrac  33582  drgextlsp  33644  fedgmullem2  33681  algextdeglem8  33765  2sqr3minply  33791  qqhghm  33989  qqhrhm  33990  esumpfinvallem  34075  lcdvadd  41599  primrootsunit1  42098  aks6d1c6isolem2  42176  mhphflem  42606  deg1mhm  43212  sge0tsms  46395  cnfldsrngadd  48078  amgmlemALT  49322