Theorem ressplusg 17468

Description: +_g is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressplusg.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressplusg.2	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ressplusg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Proof of Theorem ressplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressplusg.1	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
2		ressplusg.2	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		plusgid 17461	. 2 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4		basendxnplusgndx 17464	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
5	4	necomi 3009	. 2 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17426	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ndxcnx 17377  Basecbs 17393   ↾_s cress 17414  +_gcplusg 17434

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447

This theorem is used by:  issstrmgm  18837  idressid  18868  gsumress  18877  issubmgm2  18898  resmgmhm  18906  resmgmhm2  18907  resmgmhm2b  18908  issubmnd  18959  ress0gOLD  18961  submnd0OLD  18963  resmhm  19022  resmhm2  19023  resmhm2b  19024  smndex1mgm  19112  smndex1sgrp  19113  smndex1mnd  19115  smndex1id  19116  ressmulgnn  19292  ressmulgnnd  19294  submmulg  19334  subg0  19348  subginv  19349  subgcl  19352  subgsub  19355  subgmulg  19357  issubg2  19358  nmznsg  19384  resghm  19452  subgga  19520  gasubg  19522  resscntz  19553  symgplusg  19603  sylow2blem2  19841  sylow3lem6  19852  subglsm  19893  pj1ghm  19923  subgabl  20056  subcmn  20057  submcmn2  20059  cntrcmnd  20062  cycsubmcmn  20109  submomnd  20352  ringidss  20512  opprsubg  20588  unitgrp  20619  unitlinv  20629  unitrinv  20630  invrpropd  20654  rhmunitinv  20767  issubrng2  20816  subrngpropd  20826  subrgugrp  20849  issubrg2  20850  subrgpropd  20866  isdrng2  21003  isdrng3lem1  21011  isdrng3lem2  21012  drngid2  21016  isdrngd  21028  isdrngdOLD  21030  cntzsdrg  21065  abvres  21094  islss3  21240  sralmod  21468  rnglidlrng  21541  rngqiprngghmlem3  21591  cnmsubglem  21742  expmhm  21748  nn0srg  21749  rge0srg  21750  xrge0plusg  21751  xrs1mnd  21752  xrs10  21753  xrs1cmn  21754  xrge0subm  21755  zringplusg  21766  expghm  21787  psgnghm  21892  psgnco  21895  evpmodpmf1o  21908  replusg  21922  phlssphl  21971  frlmplusgval  22076  resspsradd  22288  mplplusg  22320  ressmpladd  22343  mhpmulcl  22476  ply1plusg  22547  ressply1add  22553  evls1addd  22695  mdetralt  22929  invrvald  22997  submtmd  24429  imasdsf1olem  24698  xrge0gsumle  25159  clmadd  25401  isclmp  25424  ipcau2  25561  reefgim  26783  efabl  26884  efsubm  26885  dchrptlem2  27598  dchrsum2  27601  qabvle  27958  padicabv  27963  ostth2lem2  27967  ostth3  27971  ressplusf  33571  ringinvval  33842  dvrcan5  33843  xrge0slmod  33956  idlinsubrg  34028  zringfrac  34133  drgextlsp  34273  fedgmullem2  34309  algextdeglem8  34403  2sqr3minply  34459  cos9thpiminply  34467  qqhghm  34667  qqhrhm  34668  esumpfinvallem  34753  lcdvadd  42748  primrootsunit1  43241  aks6d1c6isolem2  43319  mhphflem  43718  deg1mhm  44296  sge0tsms  47484  cnfldsrngadd  49353  amgmlemALT  51157