Theorem ressplusg 17345

Description: +_g is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressplusg.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressplusg.2	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ressplusg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Proof of Theorem ressplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressplusg.1	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
2		ressplusg.2	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		plusgid 17338	. 2 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4		basendxnplusgndx 17341	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
5	4	necomi 3012	. 2 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17303	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ndxcnx 17254  Basecbs 17270   ↾_s cress 17291  +_gcplusg 17311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324

This theorem is referenced by:  issstrmgm  18712  gsumress  18741  issubmgm2  18762  resmgmhm  18770  resmgmhm2  18771  resmgmhm2b  18772  issubmnd  18820  ress0g  18821  submnd0  18822  resmhm  18880  resmhm2  18881  resmhm2b  18882  smndex1mgm  18970  smndex1sgrp  18971  smndex1mnd  18973  smndex1id  18974  ressmulgnn  19143  ressmulgnnd  19145  submmulg  19185  subg0  19199  subginv  19200  subgcl  19203  subgsub  19206  subgmulg  19208  issubg2  19209  nmznsg  19235  resghm  19303  subgga  19371  gasubg  19373  resscntz  19404  symgplusg  19454  sylow2blem2  19692  sylow3lem6  19703  subglsm  19744  pj1ghm  19774  subgabl  19907  subcmn  19908  submcmn2  19910  cntrcmnd  19913  cycsubmcmn  19960  submomnd  20203  ringidss  20361  opprsubg  20435  unitgrp  20466  unitlinv  20476  unitrinv  20477  invrpropd  20501  rhmunitinv  20595  issubrng2  20644  subrngpropd  20654  subrgugrp  20677  issubrg2  20678  subrgpropd  20694  isdrng2  20830  drngid2  20838  isdrngd  20850  isdrngdOLD  20852  cntzsdrg  20886  abvres  20915  islss3  21061  sralmod  21289  rnglidlrng  21362  rngqiprngghmlem3  21410  cnmsubglem  21561  expmhm  21567  nn0srg  21568  rge0srg  21569  xrge0plusg  21570  xrs1mnd  21571  xrs10  21572  xrs1cmn  21573  xrge0subm  21574  zringplusg  21585  expghm  21606  psgnghm  21711  psgnco  21714  evpmodpmf1o  21727  replusg  21741  phlssphl  21790  frlmplusgval  21895  resspsradd  22105  mplplusg  22137  ressmpladd  22160  mhpmulcl  22293  ply1plusg  22364  ressply1add  22370  evls1addd  22512  mdetralt  22746  invrvald  22814  submtmd  24242  imasdsf1olem  24511  xrge0gsumle  24972  clmadd  25214  isclmp  25237  ipcau2  25374  reefgim  26594  efabl  26696  efsubm  26697  dchrptlem2  27410  dchrsum2  27413  qabvle  27770  padicabv  27775  ostth2lem2  27779  ostth3  27783  ressplusf  33264  ringinvval  33535  dvrcan5  33536  xrge0slmod  33649  idlinsubrg  33720  zringfrac  33825  drgextlsp  33965  fedgmullem2  34001  algextdeglem8  34095  2sqr3minply  34151  cos9thpiminply  34159  qqhghm  34359  qqhrhm  34360  esumpfinvallem  34445  lcdvadd  42352  primrootsunit1  42845  aks6d1c6isolem2  42923  mhphflem  43311  deg1mhm  43910  sge0tsms  47077  cnfldsrngadd  48910  amgmlemALT  50586