Theorem ressplusg 17335

Description: +_g is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressplusg.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressplusg.2	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ressplusg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Proof of Theorem ressplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressplusg.1	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
2		ressplusg.2	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		plusgid 17324	. 2 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4		basendxnplusgndx 17327	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
5	4	necomi 2992	. 2 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17286	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ndxcnx 17226  Basecbs 17244   ↾_s cress 17273  +_gcplusg 17297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310

This theorem is referenced by:  issstrmgm  18678  gsumress  18707  issubmgm2  18728  resmgmhm  18736  resmgmhm2  18737  resmgmhm2b  18738  issubmnd  18786  ress0g  18787  submnd0  18788  resmhm  18845  resmhm2  18846  resmhm2b  18847  smndex1mgm  18932  smndex1sgrp  18933  smndex1mnd  18935  smndex1id  18936  ressmulgnn  19106  ressmulgnnd  19108  submmulg  19148  subg0  19162  subginv  19163  subgcl  19166  subgsub  19168  subgmulg  19170  issubg2  19171  nmznsg  19198  resghm  19262  subgga  19330  gasubg  19332  resscntz  19363  symgplusg  19414  sylow2blem2  19653  sylow3lem6  19664  subglsm  19705  pj1ghm  19735  subgabl  19868  subcmn  19869  submcmn2  19871  cntrcmnd  19874  cycsubmcmn  19921  ringidss  20290  opprsubg  20368  unitgrp  20399  unitlinv  20409  unitrinv  20410  invrpropd  20434  rhmunitinv  20527  issubrng2  20574  subrngpropd  20584  subrgugrp  20607  issubrg2  20608  subrgpropd  20624  isdrng2  20759  drngmclOLD  20767  drngid2  20768  isdrngd  20781  isdrngdOLD  20783  cntzsdrg  20819  abvres  20848  islss3  20974  sralmod  21211  rnglidlrng  21274  rngqiprngghmlem3  21316  xrs1mnd  21439  xrs10  21440  xrs1cmn  21441  xrge0subm  21442  cnmsubglem  21465  expmhm  21471  nn0srg  21472  rge0srg  21473  zringplusg  21482  expghm  21503  psgnghm  21615  psgnco  21618  evpmodpmf1o  21631  replusg  21645  phlssphl  21694  frlmplusgval  21801  resspsradd  22012  mplplusg  22044  ressmpladd  22064  mhpmulcl  22170  ply1plusg  22240  ressply1add  22246  evls1addd  22390  mdetralt  22629  invrvald  22697  submtmd  24127  imasdsf1olem  24398  xrge0gsumle  24868  clmadd  25120  isclmp  25143  ipcau2  25281  reefgim  26508  efabl  26606  efsubm  26607  dchrptlem2  27323  dchrsum2  27326  qabvle  27683  padicabv  27688  ostth2lem2  27692  ostth3  27696  ressplusf  32932  xrge0plusg  33000  submomnd  33069  ringinvval  33224  dvrcan5  33225  xrge0slmod  33355  idlinsubrg  33438  zringfrac  33561  drgextlsp  33622  fedgmullem2  33657  algextdeglem8  33729  2sqr3minply  33752  qqhghm  33950  qqhrhm  33951  esumpfinvallem  34054  lcdvadd  41579  primrootsunit1  42078  aks6d1c6isolem2  42156  mhphflem  42582  deg1mhm  43188  sge0tsms  46335  cnfldsrngadd  48005  amgmlemALT  49033