Theorem ressplusg 17239

Description: +_g is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressplusg.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressplusg.2	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ressplusg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Proof of Theorem ressplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressplusg.1	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
2		ressplusg.2	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		plusgid 17228	. 2 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4		basendxnplusgndx 17231	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
5	4	necomi 2993	. 2 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17190	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  ndxcnx 17130  Basecbs 17148   ↾_s cress 17177  +_gcplusg 17201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214

This theorem is referenced by:  issstrmgm  18578  gsumress  18607  issubmgm2  18628  resmgmhm  18636  resmgmhm2  18637  resmgmhm2b  18638  issubmnd  18686  ress0g  18687  submnd0  18688  resmhm  18737  resmhm2  18738  resmhm2b  18739  smndex1mgm  18824  smndex1sgrp  18825  smndex1mnd  18827  smndex1id  18828  submmulg  19034  subg0  19048  subginv  19049  subgcl  19052  subgsub  19054  subgmulg  19056  issubg2  19057  nmznsg  19084  resghm  19146  subgga  19205  gasubg  19207  resscntz  19238  symgplusg  19291  sylow2blem2  19530  sylow3lem6  19541  subglsm  19582  pj1ghm  19612  subgabl  19745  subcmn  19746  submcmn2  19748  cntrcmnd  19751  cycsubmcmn  19798  ringidss  20165  opprsubg  20243  unitgrp  20274  unitlinv  20284  unitrinv  20285  invrpropd  20309  rhmunitinv  20402  issubrng2  20446  subrngpropd  20456  subrgugrp  20481  issubrg2  20482  subrgpropd  20498  isdrng2  20514  drngmcl  20517  drngid2  20521  isdrngd  20533  isdrngdOLD  20535  cntzsdrg  20561  abvres  20590  islss3  20714  sralmod  20954  rnglidlrng  21036  rngqiprngghmlem3  21048  xrs1mnd  21183  xrs10  21184  xrs1cmn  21185  xrge0subm  21186  cnmsubglem  21208  expmhm  21214  nn0srg  21215  rge0srg  21216  zringplusg  21225  expghm  21246  psgnghm  21352  psgnco  21355  evpmodpmf1o  21368  replusg  21382  phlssphl  21431  frlmplusgval  21538  resspsradd  21755  mplplusg  21785  ressmpladd  21803  mhpmulcl  21911  ply1plusg  21966  ressply1add  21972  mdetralt  22330  invrvald  22398  submtmd  23828  imasdsf1olem  24099  xrge0gsumle  24569  clmadd  24821  isclmp  24844  ipcau2  24982  reefgim  26198  efabl  26295  efsubm  26296  dchrptlem2  27004  dchrsum2  27007  qabvle  27364  padicabv  27369  ostth2lem2  27373  ostth3  27377  ressplusf  32394  ressmulgnn  32451  xrge0plusg  32455  submomnd  32498  ringinvval  32654  dvrcan5  32655  xrge0slmod  32733  idlinsubrg  32823  evls1addd  32922  drgextlsp  32968  fedgmullem2  33003  algextdeglem8  33069  qqhghm  33266  qqhrhm  33267  esumpfinvallem  33370  lcdvadd  40771  mhphflem  41470  deg1mhm  42251  sge0tsms  45394  cnfldsrngadd  46838  amgmlemALT  47937