Theorem ressplusg 17190

Description: +_g is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressplusg.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressplusg.2	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ressplusg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Proof of Theorem ressplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressplusg.1	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
2		ressplusg.2	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		plusgid 17183	. 2 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4		basendxnplusgndx 17186	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
5	4	necomi 2982	. 2 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17148	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ndxcnx 17099  Basecbs 17115   ↾_s cress 17136  +_gcplusg 17156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169

This theorem is referenced by:  issstrmgm  18556  gsumress  18585  issubmgm2  18606  resmgmhm  18614  resmgmhm2  18615  resmgmhm2b  18616  issubmnd  18664  ress0g  18665  submnd0  18666  resmhm  18723  resmhm2  18724  resmhm2b  18725  smndex1mgm  18810  smndex1sgrp  18811  smndex1mnd  18813  smndex1id  18814  ressmulgnn  18984  ressmulgnnd  18986  submmulg  19026  subg0  19040  subginv  19041  subgcl  19044  subgsub  19046  subgmulg  19048  issubg2  19049  nmznsg  19075  resghm  19139  subgga  19207  gasubg  19209  resscntz  19240  symgplusg  19290  sylow2blem2  19528  sylow3lem6  19539  subglsm  19580  pj1ghm  19610  subgabl  19743  subcmn  19744  submcmn2  19746  cntrcmnd  19749  cycsubmcmn  19796  submomnd  20039  ringidss  20190  opprsubg  20265  unitgrp  20296  unitlinv  20306  unitrinv  20307  invrpropd  20331  rhmunitinv  20421  issubrng2  20468  subrngpropd  20478  subrgugrp  20501  issubrg2  20502  subrgpropd  20518  isdrng2  20653  drngmclOLD  20661  drngid2  20662  isdrngd  20675  isdrngdOLD  20677  cntzsdrg  20712  abvres  20741  islss3  20887  sralmod  21116  rnglidlrng  21179  rngqiprngghmlem3  21221  cnmsubglem  21362  expmhm  21368  nn0srg  21369  rge0srg  21370  xrge0plusg  21371  xrs1mnd  21372  xrs10  21373  xrs1cmn  21374  xrge0subm  21375  zringplusg  21386  expghm  21407  psgnghm  21512  psgnco  21515  evpmodpmf1o  21528  replusg  21542  phlssphl  21591  frlmplusgval  21696  resspsradd  21907  mplplusg  21939  ressmpladd  21959  mhpmulcl  22059  ply1plusg  22131  ressply1add  22137  evls1addd  22281  mdetralt  22518  invrvald  22586  submtmd  24014  imasdsf1olem  24283  xrge0gsumle  24744  clmadd  24996  isclmp  25019  ipcau2  25156  reefgim  26382  efabl  26481  efsubm  26482  dchrptlem2  27198  dchrsum2  27201  qabvle  27558  padicabv  27563  ostth2lem2  27567  ostth3  27571  ressplusf  32936  ringinvval  33194  dvrcan5  33195  xrge0slmod  33305  idlinsubrg  33388  zringfrac  33511  drgextlsp  33598  fedgmullem2  33635  algextdeglem8  33729  2sqr3minply  33785  cos9thpiminply  33793  qqhghm  33993  qqhrhm  33994  esumpfinvallem  34079  lcdvadd  41636  primrootsunit1  42130  aks6d1c6isolem2  42208  mhphflem  42629  deg1mhm  43233  sge0tsms  46418  cnfldsrngadd  48193  amgmlemALT  49835