Theorem ressplusg 17230

Description: +_g is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressplusg.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressplusg.2	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ressplusg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Proof of Theorem ressplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressplusg.1	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
2		ressplusg.2	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		plusgid 17223	. 2 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4		basendxnplusgndx 17226	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
5	4	necomi 2979	. 2 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17188	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ndxcnx 17139  Basecbs 17155   ↾_s cress 17176  +_gcplusg 17196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209

This theorem is referenced by:  issstrmgm  18556  gsumress  18585  issubmgm2  18606  resmgmhm  18614  resmgmhm2  18615  resmgmhm2b  18616  issubmnd  18664  ress0g  18665  submnd0  18666  resmhm  18723  resmhm2  18724  resmhm2b  18725  smndex1mgm  18810  smndex1sgrp  18811  smndex1mnd  18813  smndex1id  18814  ressmulgnn  18984  ressmulgnnd  18986  submmulg  19026  subg0  19040  subginv  19041  subgcl  19044  subgsub  19046  subgmulg  19048  issubg2  19049  nmznsg  19076  resghm  19140  subgga  19208  gasubg  19210  resscntz  19241  symgplusg  19289  sylow2blem2  19527  sylow3lem6  19538  subglsm  19579  pj1ghm  19609  subgabl  19742  subcmn  19743  submcmn2  19745  cntrcmnd  19748  cycsubmcmn  19795  ringidss  20162  opprsubg  20237  unitgrp  20268  unitlinv  20278  unitrinv  20279  invrpropd  20303  rhmunitinv  20396  issubrng2  20443  subrngpropd  20453  subrgugrp  20476  issubrg2  20477  subrgpropd  20493  isdrng2  20628  drngmclOLD  20636  drngid2  20637  isdrngd  20650  isdrngdOLD  20652  cntzsdrg  20687  abvres  20716  islss3  20841  sralmod  21070  rnglidlrng  21133  rngqiprngghmlem3  21175  xrs1mnd  21297  xrs10  21298  xrs1cmn  21299  xrge0subm  21300  cnmsubglem  21323  expmhm  21329  nn0srg  21330  rge0srg  21331  zringplusg  21340  expghm  21361  psgnghm  21465  psgnco  21468  evpmodpmf1o  21481  replusg  21495  phlssphl  21544  frlmplusgval  21649  resspsradd  21860  mplplusg  21892  ressmpladd  21912  mhpmulcl  22012  ply1plusg  22084  ressply1add  22090  evls1addd  22234  mdetralt  22471  invrvald  22539  submtmd  23967  imasdsf1olem  24237  xrge0gsumle  24698  clmadd  24950  isclmp  24973  ipcau2  25110  reefgim  26336  efabl  26435  efsubm  26436  dchrptlem2  27152  dchrsum2  27155  qabvle  27512  padicabv  27517  ostth2lem2  27521  ostth3  27525  ressplusf  32858  xrge0plusg  32927  submomnd  32997  ringinvval  33159  dvrcan5  33160  xrge0slmod  33292  idlinsubrg  33375  zringfrac  33498  drgextlsp  33562  fedgmullem2  33599  algextdeglem8  33687  2sqr3minply  33743  cos9thpiminply  33751  qqhghm  33951  qqhrhm  33952  esumpfinvallem  34037  lcdvadd  41564  primrootsunit1  42058  aks6d1c6isolem2  42136  mhphflem  42557  deg1mhm  43162  sge0tsms  46351  cnfldsrngadd  48123  amgmlemALT  49765