Theorem ressplusg 17362

Description: +_g is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressplusg.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressplusg.2	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ressplusg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Proof of Theorem ressplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressplusg.1	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
2		ressplusg.2	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		plusgid 17355	. 2 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4		basendxnplusgndx 17358	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
5	4	necomi 3014	. 2 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17320	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ndxcnx 17271  Basecbs 17287   ↾_s cress 17308  +_gcplusg 17328

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341

This theorem is used by:  issstrmgm  18729  idressid  18755  gsumress  18762  issubmgm2  18783  resmgmhm  18791  resmgmhm2  18792  resmgmhm2b  18793  issubmnd  18841  ress0gOLD  18843  submnd0OLD  18845  resmhm  18903  resmhm2  18904  resmhm2b  18905  smndex1mgm  18993  smndex1sgrp  18994  smndex1mnd  18996  smndex1id  18997  ressmulgnn  19166  ressmulgnnd  19168  submmulg  19208  subg0  19222  subginv  19223  subgcl  19226  subgsub  19229  subgmulg  19231  issubg2  19232  nmznsg  19258  resghm  19326  subgga  19394  gasubg  19396  resscntz  19427  symgplusg  19477  sylow2blem2  19715  sylow3lem6  19726  subglsm  19767  pj1ghm  19797  subgabl  19930  subcmn  19931  submcmn2  19933  cntrcmnd  19936  cycsubmcmn  19983  submomnd  20226  ringidss  20385  opprsubg  20460  unitgrp  20491  unitlinv  20501  unitrinv  20502  invrpropd  20526  rhmunitinv  20638  issubrng2  20687  subrngpropd  20697  subrgugrp  20720  issubrg2  20721  subrgpropd  20737  isdrng2  20873  isdrng3lem1  20881  isdrng3lem2  20882  drngid2  20886  isdrngd  20898  isdrngdOLD  20900  cntzsdrg  20935  abvres  20964  islss3  21110  sralmod  21338  rnglidlrng  21411  rngqiprngghmlem3  21459  cnmsubglem  21610  expmhm  21616  nn0srg  21617  rge0srg  21618  xrge0plusg  21619  xrs1mnd  21620  xrs10  21621  xrs1cmn  21622  xrge0subm  21623  zringplusg  21634  expghm  21655  psgnghm  21760  psgnco  21763  evpmodpmf1o  21776  replusg  21790  phlssphl  21839  frlmplusgval  21944  resspsradd  22154  mplplusg  22186  ressmpladd  22209  mhpmulcl  22342  ply1plusg  22413  ressply1add  22419  evls1addd  22561  mdetralt  22795  invrvald  22863  submtmd  24292  imasdsf1olem  24561  xrge0gsumle  25022  clmadd  25264  isclmp  25287  ipcau2  25424  reefgim  26644  efabl  26746  efsubm  26747  dchrptlem2  27460  dchrsum2  27463  qabvle  27820  padicabv  27825  ostth2lem2  27829  ostth3  27833  ressplusf  33323  ringinvval  33594  dvrcan5  33595  xrge0slmod  33708  idlinsubrg  33779  zringfrac  33884  drgextlsp  34024  fedgmullem2  34060  algextdeglem8  34154  2sqr3minply  34210  cos9thpiminply  34218  qqhghm  34418  qqhrhm  34419  esumpfinvallem  34504  lcdvadd  42404  primrootsunit1  42897  aks6d1c6isolem2  42975  mhphflem  43361  deg1mhm  43960  sge0tsms  47127  cnfldsrngadd  48960  amgmlemALT  50684