Theorem ressplusg 17214

Description: +_g is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressplusg.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressplusg.2	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ressplusg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Proof of Theorem ressplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressplusg.1	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
2		ressplusg.2	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		plusgid 17207	. 2 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4		basendxnplusgndx 17210	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
5	4	necomi 2979	. 2 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17172	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ndxcnx 17123  Basecbs 17139   ↾_s cress 17160  +_gcplusg 17180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193

This theorem is referenced by:  issstrmgm  18546  gsumress  18575  issubmgm2  18596  resmgmhm  18604  resmgmhm2  18605  resmgmhm2b  18606  issubmnd  18654  ress0g  18655  submnd0  18656  resmhm  18713  resmhm2  18714  resmhm2b  18715  smndex1mgm  18800  smndex1sgrp  18801  smndex1mnd  18803  smndex1id  18804  ressmulgnn  18974  ressmulgnnd  18976  submmulg  19016  subg0  19030  subginv  19031  subgcl  19034  subgsub  19036  subgmulg  19038  issubg2  19039  nmznsg  19066  resghm  19130  subgga  19198  gasubg  19200  resscntz  19231  symgplusg  19281  sylow2blem2  19519  sylow3lem6  19530  subglsm  19571  pj1ghm  19601  subgabl  19734  subcmn  19735  submcmn2  19737  cntrcmnd  19740  cycsubmcmn  19787  submomnd  20030  ringidss  20181  opprsubg  20256  unitgrp  20287  unitlinv  20297  unitrinv  20298  invrpropd  20322  rhmunitinv  20415  issubrng2  20462  subrngpropd  20472  subrgugrp  20495  issubrg2  20496  subrgpropd  20512  isdrng2  20647  drngmclOLD  20655  drngid2  20656  isdrngd  20669  isdrngdOLD  20671  cntzsdrg  20706  abvres  20735  islss3  20881  sralmod  21110  rnglidlrng  21173  rngqiprngghmlem3  21215  cnmsubglem  21356  expmhm  21362  nn0srg  21363  rge0srg  21364  xrge0plusg  21365  xrs1mnd  21366  xrs10  21367  xrs1cmn  21368  xrge0subm  21369  zringplusg  21380  expghm  21401  psgnghm  21506  psgnco  21509  evpmodpmf1o  21522  replusg  21536  phlssphl  21585  frlmplusgval  21690  resspsradd  21901  mplplusg  21933  ressmpladd  21953  mhpmulcl  22053  ply1plusg  22125  ressply1add  22131  evls1addd  22275  mdetralt  22512  invrvald  22580  submtmd  24008  imasdsf1olem  24278  xrge0gsumle  24739  clmadd  24991  isclmp  25014  ipcau2  25151  reefgim  26377  efabl  26476  efsubm  26477  dchrptlem2  27193  dchrsum2  27196  qabvle  27553  padicabv  27558  ostth2lem2  27562  ostth3  27566  ressplusf  32924  ringinvval  33194  dvrcan5  33195  xrge0slmod  33304  idlinsubrg  33387  zringfrac  33510  drgextlsp  33579  fedgmullem2  33616  algextdeglem8  33710  2sqr3minply  33766  cos9thpiminply  33774  qqhghm  33974  qqhrhm  33975  esumpfinvallem  34060  lcdvadd  41596  primrootsunit1  42090  aks6d1c6isolem2  42168  mhphflem  42589  deg1mhm  43193  sge0tsms  46381  cnfldsrngadd  48166  amgmlemALT  49808