MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressbasss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressbasss2 17285
Description: The base set of a restriction to 𝐴 is a subset of 𝐴. (Contributed by SN, 10-Jan-2025.)
Hypothesis
Ref Expression
ressbasss2.r 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
Assertion
Ref Expression
ressbasss2 (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴

Proof of Theorem ressbasss2
StepHypRef Expression
1 ressbasss2.r . . 3 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
2 eqid 2734 . . 3 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
31, 2ressbasssg 17281 . 2 (Base‘𝑅) ⊆ (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))
4 inss1 4244 . 2 (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) ⊆ 𝐴
53, 4sstri 4004 1 (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1536  cin 3961  wss 3962  cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  s cress 17273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-1cn 11210  ax-addcl 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-nn 12264  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274
This theorem is referenced by:  imadrhmcl  20814  imacrhmcl  42500
  Copyright terms: Public domain W3C validator