Theorem ressbasss2 17339

Description: The base set of a restriction to 𝐴 is a subset of 𝐴. (Contributed by SN, 10-Jan-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
ressbasss2.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ressbasss2	⊢ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴

Proof of Theorem ressbasss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbasss2.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3	1, 2	ressbasssg 17335	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) ⊆ (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))
4		inss1 4185	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) ⊆ 𝐴
5	3, 4	sstri 3943	1 ⊢ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307   ↾_s cress 17328

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-1cn 11186  ax-addcl 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-nn 12262  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329

This theorem is used by:  imadrhmcl  20969  imacrhmcl  43410