Theorem ressmulr 17259

Description: ._r is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulr.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ressmulr.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ressmulr	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Proof of Theorem ressmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulr.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		ressmulr.2	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		mulridx 17247	. 2 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
4		basendxnmulrndx 17248	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	4	necomi 2987	. 2 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17201	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ndxcnx 17152  Basecbs 17168   ↾_s cress 17189  ._rcmulr 17210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-mulr 17223

This theorem is referenced by:  mgpress  20120  rdivmuldivd  20382  subrngmcl  20523  issubrng2  20524  subrngpropd  20534  subrg1  20548  subrgdvds  20552  subrguss  20553  subrginv  20554  subrgdv  20555  subrgunit  20556  subrgugrp  20557  issubrg2  20558  subrgpropd  20574  primefld  20771  abvres  20797  suborng  20842  sralmod  21172  rnglidlmmgm  21233  rnglidlmsgrp  21234  rnglidlrng  21235  rngqiprngimfolem  21278  rngqiprnglinlem1  21279  rngqiprngimf1lem  21282  rngqiprngimf1  21288  rngqiprnglin  21290  rng2idl1cntr  21293  rngqiprngfulem5  21303  nn0srg  21425  rge0srg  21426  zringmulr  21445  pzriprnglem6  21474  remulr  21599  issubassa3  21854  resspsrmul  21963  resspsrvsca  21964  mplmulr  21995  ressmplmul  22017  ply1mulr  22198  ressply1mul  22203  evls1muld  22346  dmatcrng  22476  scmatcrng  22495  scmatsrng1  22497  scmatmhm  22508  clmmul  25051  isclmp  25073  cphsubrglem  25153  ipcau2  25210  qabvexp  27608  ostthlem2  27610  padicabv  27612  ostth2lem2  27616  ostth3  27620  ress1r  33314  subrdom  33366  xrge0slmod  33428  idlinsubrg  33511  zringfrac  33634  ressply1evls1  33645  resssra  33751  drgextlsp  33758  fedgmullem1  33794  fedgmullem2  33795  extdg1id  33831  fldextrspunlsplem  33838  2sqr3minply  33945  xrge0iifmhm  34104  qqhrhm  34154  imacrhmcl  42970  cnfldsrngmul  48636  zlidlring  48707  uzlidlring  48708  aacllem  50273