Theorem ressmulr 17351

Description: ._r is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulr.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ressmulr.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ressmulr	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Proof of Theorem ressmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulr.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		ressmulr.2	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		mulridx 17338	. 2 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
4		basendxnmulrndx 17339	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	4	necomi 2995	. 2 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17287	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ndxcnx 17230  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  ._rcmulr 17298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-mulr 17311

This theorem is referenced by:  mgpress  20147  rdivmuldivd  20413  subrngmcl  20557  issubrng2  20558  subrngpropd  20568  subrg1  20582  subrgdvds  20586  subrguss  20587  subrginv  20588  subrgdv  20589  subrgunit  20590  subrgugrp  20591  issubrg2  20592  subrgpropd  20608  primefld  20806  abvres  20832  sralmod  21194  rnglidlmmgm  21255  rnglidlmsgrp  21256  rnglidlrng  21257  rngqiprngimfolem  21300  rngqiprnglinlem1  21301  rngqiprngimf1lem  21304  rngqiprngimf1  21310  rngqiprnglin  21312  rng2idl1cntr  21315  rngqiprngfulem5  21325  nn0srg  21455  rge0srg  21456  zringmulr  21468  pzriprnglem6  21497  remulr  21629  issubassa3  21886  resspsrmul  21996  resspsrvsca  21997  mplmulr  22028  ressmplmul  22048  ply1mulr  22227  ressply1mul  22232  evls1muld  22376  dmatcrng  22508  scmatcrng  22527  scmatsrng1  22529  scmatmhm  22540  clmmul  25108  isclmp  25130  cphsubrglem  25211  ipcau2  25268  qabvexp  27670  ostthlem2  27672  padicabv  27674  ostth2lem2  27678  ostth3  27682  ress1r  33238  subrdom  33288  suborng  33345  xrge0slmod  33376  idlinsubrg  33459  zringfrac  33582  resssra  33638  drgextlsp  33644  fedgmullem1  33680  fedgmullem2  33681  extdg1id  33716  fldextrspunlsplem  33723  2sqr3minply  33791  xrge0iifmhm  33938  qqhrhm  33990  imacrhmcl  42524  cnfldsrngmul  48079  zlidlring  48150  uzlidlring  48151  aacllem  49320