Theorem ressmulr 17239

Description: ._r is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulr.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ressmulr.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ressmulr	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Proof of Theorem ressmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulr.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		ressmulr.2	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		mulridx 17227	. 2 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
4		basendxnmulrndx 17228	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	4	necomi 2987	. 2 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17181	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ndxcnx 17132  Basecbs 17148   ↾_s cress 17169  ._rcmulr 17190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-mulr 17203

This theorem is referenced by:  mgpress  20097  rdivmuldivd  20361  subrngmcl  20502  issubrng2  20503  subrngpropd  20513  subrg1  20527  subrgdvds  20531  subrguss  20532  subrginv  20533  subrgdv  20534  subrgunit  20535  subrgugrp  20536  issubrg2  20537  subrgpropd  20553  primefld  20750  abvres  20776  suborng  20821  sralmod  21151  rnglidlmmgm  21212  rnglidlmsgrp  21213  rnglidlrng  21214  rngqiprngimfolem  21257  rngqiprnglinlem1  21258  rngqiprngimf1lem  21261  rngqiprngimf1  21267  rngqiprnglin  21269  rng2idl1cntr  21272  rngqiprngfulem5  21282  nn0srg  21404  rge0srg  21405  zringmulr  21424  pzriprnglem6  21453  remulr  21578  issubassa3  21833  resspsrmul  21943  resspsrvsca  21944  mplmulr  21975  ressmplmul  21997  ply1mulr  22178  ressply1mul  22183  evls1muld  22328  dmatcrng  22458  scmatcrng  22477  scmatsrng1  22479  scmatmhm  22490  clmmul  25043  isclmp  25065  cphsubrglem  25145  ipcau2  25202  qabvexp  27605  ostthlem2  27607  padicabv  27609  ostth2lem2  27613  ostth3  27617  ress1r  33326  subrdom  33378  xrge0slmod  33440  idlinsubrg  33523  zringfrac  33646  ressply1evls1  33657  resssra  33763  drgextlsp  33770  fedgmullem1  33806  fedgmullem2  33807  extdg1id  33843  fldextrspunlsplem  33850  2sqr3minply  33957  xrge0iifmhm  34116  qqhrhm  34166  imacrhmcl  42881  cnfldsrngmul  48520  zlidlring  48591  uzlidlring  48592  aacllem  50157