Theorem ressmulr 17398

Description: ._r is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulr.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ressmulr.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ressmulr	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Proof of Theorem ressmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulr.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		ressmulr.2	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		mulridx 17386	. 2 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
4		basendxnmulrndx 17387	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	4	necomi 3011	. 2 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17340	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ndxcnx 17291  Basecbs 17307   ↾_s cress 17328  ._rcmulr 17349

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-mulr 17362

This theorem is used by:  mgpress  20289  rdivmuldivd  20560  subrngmcl  20725  issubrng2  20726  subrngpropd  20736  subrg1  20750  subrgdvds  20754  subrguss  20755  subrginv  20756  subrgdv  20757  subrgunit  20758  subrgugrp  20759  issubrg2  20760  subrgpropd  20776  primefld  20977  abvres  21003  suborng  21048  sralmod  21377  rnglidlmmgm  21448  rnglidlmsgrp  21449  rnglidlrng  21450  rngqiprngimfolem  21499  rngqiprnglinlem1  21500  rngqiprngimf1lem  21503  rngqiprngimf1  21509  rngqiprnglin  21511  rng2idl1cntr  21514  rngqiprngfulem5  21524  nn0srg  21656  rge0srg  21657  zringmulr  21676  pzriprnglem6  21705  remulr  21830  issubassa3  22087  resspsrmul  22196  resspsrvsca  22197  mplmulr  22228  ressmplmul  22251  ply1mulr  22456  ressply1mul  22461  evls1muld  22603  dmatcrng  22730  scmatcrng  22749  scmatsrng1  22751  scmatmhm  22762  clmmul  25309  isclmp  25331  cphsubrglem  25411  ipcau2  25468  qabvexp  27870  ostthlem2  27872  padicabv  27874  ostth2lem2  27878  ostth3  27882  ress1r  33680  subrdom  33733  xrge0slmod  33796  idlinsubrg  33867  zringfrac  33972  ressply1evls1  33983  resssra  34105  drgextlsp  34112  fedgmullem1  34147  fedgmullem2  34148  extdg1id  34184  fldextrspunlsplem  34191  2sqr3minply  34298  xrge0iifmhm  34457  qqhrhm  34507  imacrhmcl  43410  cnfldsrngmul  49086  zlidlring  49157  uzlidlring  49158  aacllem  50780