Theorem ressmulr 17251

Description: ._r is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulr.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ressmulr.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ressmulr	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Proof of Theorem ressmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulr.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		ressmulr.2	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		mulridx 17238	. 2 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
4		basendxnmulrndx 17239	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	4	necomi 2995	. 2 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17185	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ndxcnx 17125  Basecbs 17143   ↾_s cress 17172  ._rcmulr 17197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-mulr 17210

This theorem is referenced by:  mgpress  20001  mgpressOLD  20002  rdivmuldivd  20226  subrg1  20328  subrgmcl  20330  subrgdvds  20332  subrguss  20333  subrginv  20334  subrgdv  20335  subrgunit  20336  subrgugrp  20337  issubrg2  20338  subrgpropd  20354  primefld  20420  abvres  20446  sralmod  20808  nn0srg  21014  rge0srg  21015  zringmulr  21026  remulr  21163  issubassa3  21419  resspsrmul  21536  resspsrvsca  21537  mplmulr  21566  ressmplmul  21584  ply1mulr  21748  ressply1mul  21752  dmatcrng  22003  scmatcrng  22022  scmatsrng1  22024  scmatmhm  22035  clmmul  24590  isclmp  24612  cphsubrglem  24693  ipcau2  24750  qabvexp  27126  ostthlem2  27128  padicabv  27130  ostth2lem2  27134  ostth3  27138  ress1r  32378  suborng  32428  xrge0slmod  32458  idlinsubrg  32544  evls1muld  32644  drgextlsp  32676  fedgmullem1  32709  fedgmullem2  32710  extdg1id  32737  xrge0iifmhm  32914  qqhrhm  32964  imacrhmcl  41091  cnfldsrngmul  46531  subrngmcl  46726  issubrng2  46727  subrngpropd  46737  rnglidlmmgm  46746  rnglidlmsgrp  46747  rnglidlrng  46748  rngqiprngimfolem  46765  rngqiprnglinlem1  46766  rngqiprngimf1lem  46769  rngqiprngimf1  46775  rngqiprnglin  46777  rng2idl1cntr  46780  rngqiprngfulem5  46790  pzriprnglem6  46800  zlidlring  46816  uzlidlring  46817  aacllem  47838