Theorem ressmulr 17277

Description: ._r is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulr.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ressmulr.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ressmulr	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Proof of Theorem ressmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulr.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		ressmulr.2	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		mulridx 17265	. 2 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
4		basendxnmulrndx 17266	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	4	necomi 2980	. 2 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17219	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ndxcnx 17170  Basecbs 17186   ↾_s cress 17207  ._rcmulr 17228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-mulr 17241

This theorem is referenced by:  mgpress  20066  rdivmuldivd  20329  subrngmcl  20473  issubrng2  20474  subrngpropd  20484  subrg1  20498  subrgdvds  20502  subrguss  20503  subrginv  20504  subrgdv  20505  subrgunit  20506  subrgugrp  20507  issubrg2  20508  subrgpropd  20524  primefld  20721  abvres  20747  sralmod  21101  rnglidlmmgm  21162  rnglidlmsgrp  21163  rnglidlrng  21164  rngqiprngimfolem  21207  rngqiprnglinlem1  21208  rngqiprngimf1lem  21211  rngqiprngimf1  21217  rngqiprnglin  21219  rng2idl1cntr  21222  rngqiprngfulem5  21232  nn0srg  21361  rge0srg  21362  zringmulr  21374  pzriprnglem6  21403  remulr  21527  issubassa3  21782  resspsrmul  21892  resspsrvsca  21893  mplmulr  21924  ressmplmul  21944  ply1mulr  22117  ressply1mul  22122  evls1muld  22266  dmatcrng  22396  scmatcrng  22415  scmatsrng1  22417  scmatmhm  22428  clmmul  24982  isclmp  25004  cphsubrglem  25084  ipcau2  25141  qabvexp  27544  ostthlem2  27546  padicabv  27548  ostth2lem2  27552  ostth3  27556  ress1r  33192  subrdom  33242  suborng  33300  xrge0slmod  33326  idlinsubrg  33409  zringfrac  33532  ressply1evls1  33541  resssra  33590  drgextlsp  33596  fedgmullem1  33632  fedgmullem2  33633  extdg1id  33668  fldextrspunlsplem  33675  2sqr3minply  33777  xrge0iifmhm  33936  qqhrhm  33986  imacrhmcl  42509  cnfldsrngmul  48155  zlidlring  48226  uzlidlring  48227  aacllem  49794