Theorem ressmulr 17385

Description: ._r is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulr.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ressmulr.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ressmulr	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Proof of Theorem ressmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulr.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		ressmulr.2	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		mulridx 17373	. 2 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
4		basendxnmulrndx 17374	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	4	necomi 3015	. 2 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17327	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ndxcnx 17278  Basecbs 17294   ↾_s cress 17315  ._rcmulr 17336

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-mulr 17349

This theorem is used by:  mgpress  20257  rdivmuldivd  20528  subrngmcl  20693  issubrng2  20694  subrngpropd  20704  subrg1  20718  subrgdvds  20722  subrguss  20723  subrginv  20724  subrgdv  20725  subrgunit  20726  subrgugrp  20727  issubrg2  20728  subrgpropd  20744  primefld  20945  abvres  20971  suborng  21016  sralmod  21345  rnglidlmmgm  21416  rnglidlmsgrp  21417  rnglidlrng  21418  rngqiprngimfolem  21467  rngqiprnglinlem1  21468  rngqiprngimf1lem  21471  rngqiprngimf1  21477  rngqiprnglin  21479  rng2idl1cntr  21482  rngqiprngfulem5  21492  nn0srg  21624  rge0srg  21625  zringmulr  21644  pzriprnglem6  21673  remulr  21798  issubassa3  22053  resspsrmul  22162  resspsrvsca  22163  mplmulr  22194  ressmplmul  22217  ply1mulr  22422  ressply1mul  22427  evls1muld  22569  dmatcrng  22696  scmatcrng  22715  scmatsrng1  22717  scmatmhm  22728  clmmul  25271  isclmp  25293  cphsubrglem  25373  ipcau2  25430  qabvexp  27827  ostthlem2  27829  padicabv  27831  ostth2lem2  27835  ostth3  27839  ress1r  33583  subrdom  33636  xrge0slmod  33699  idlinsubrg  33770  zringfrac  33875  ressply1evls1  33886  resssra  34008  drgextlsp  34015  fedgmullem1  34050  fedgmullem2  34051  extdg1id  34087  fldextrspunlsplem  34094  2sqr3minply  34201  xrge0iifmhm  34360  qqhrhm  34410  imacrhmcl  43329  cnfldsrngmul  48969  zlidlring  49040  uzlidlring  49041  aacllem  50662