MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressmulr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressmulr 16617
Description: .r is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ressmulr.1 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
ressmulr.2 · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
ressmulr (𝐴𝑉· = (.r𝑆))

Proof of Theorem ressmulr
StepHypRef Expression
1 ressmulr.1 . 2 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
2 ressmulr.2 . 2 · = (.r𝑅)
3 df-mulr 16571 . 2 .r = Slot 3
4 3nn 11708 . 2 3 ∈ ℕ
5 1lt3 11802 . 2 1 < 3
61, 2, 3, 4, 5resslem 16549 1 (𝐴𝑉· = (.r𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  cfv 6348  (class class class)co 7148  3c3 11685  s cress 16476  .rcmulr 16558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-mulr 16571
This theorem is referenced by:  mgpress  19242  subrg1  19537  subrgmcl  19539  subrgdvds  19541  subrguss  19542  subrginv  19543  subrgdv  19544  subrgunit  19545  subrgugrp  19546  issubrg2  19547  subrgpropd  19562  primefld  19576  abvres  19602  sralmod  19951  issubassa3  20089  resspsrmul  20189  resspsrvsca  20190  mplmul  20215  ressmplmul  20231  mplmulr  20381  ply1mulr  20387  ressply1mul  20391  nn0srg  20607  rge0srg  20608  zringmulr  20618  remulr  20747  dmatcrng  21103  scmatcrng  21122  scmatsrng1  21124  scmatmhm  21135  clmmul  23671  isclmp  23693  cphsubrglem  23773  ipcau2  23829  qabvexp  26194  ostthlem2  26196  padicabv  26198  ostth2lem2  26202  ostth3  26206  ress1r  30853  rdivmuldivd  30855  suborng  30881  xrge0slmod  30910  drgextlsp  30984  fedgmullem1  31013  fedgmullem2  31014  extdg1id  31041  xrge0iifmhm  31170  qqhrhm  31218  cnfldsrngmul  44023  lidlmmgm  44181  lidlmsgrp  44182  lidlrng  44183  zlidlring  44184  uzlidlring  44185  aacllem  44887
  Copyright terms: Public domain W3C validator