Theorem ressmulr 17366

Description: ._r is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulr.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ressmulr.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ressmulr	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Proof of Theorem ressmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulr.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		ressmulr.2	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		mulridx 17353	. 2 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
4		basendxnmulrndx 17354	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	4	necomi 3001	. 2 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17300	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ndxcnx 17240  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  ._rcmulr 17312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-mulr 17325

This theorem is referenced by:  mgpress  20176  mgpressOLD  20177  rdivmuldivd  20439  subrngmcl  20583  issubrng2  20584  subrngpropd  20594  subrg1  20610  subrgdvds  20614  subrguss  20615  subrginv  20616  subrgdv  20617  subrgunit  20618  subrgugrp  20619  issubrg2  20620  subrgpropd  20636  primefld  20828  abvres  20854  sralmod  21217  rnglidlmmgm  21278  rnglidlmsgrp  21279  rnglidlrng  21280  rngqiprngimfolem  21323  rngqiprnglinlem1  21324  rngqiprngimf1lem  21327  rngqiprngimf1  21333  rngqiprnglin  21335  rng2idl1cntr  21338  rngqiprngfulem5  21348  nn0srg  21478  rge0srg  21479  zringmulr  21491  pzriprnglem6  21520  remulr  21652  issubassa3  21909  resspsrmul  22019  resspsrvsca  22020  mplmulr  22051  ressmplmul  22071  ply1mulr  22248  ressply1mul  22253  evls1muld  22397  dmatcrng  22529  scmatcrng  22548  scmatsrng1  22550  scmatmhm  22561  clmmul  25127  isclmp  25149  cphsubrglem  25230  ipcau2  25287  qabvexp  27688  ostthlem2  27690  padicabv  27692  ostth2lem2  27696  ostth3  27700  ress1r  33214  subrdom  33254  suborng  33310  xrge0slmod  33341  idlinsubrg  33424  zringfrac  33547  resssra  33602  drgextlsp  33608  fedgmullem1  33642  fedgmullem2  33643  extdg1id  33676  2sqr3minply  33738  xrge0iifmhm  33885  qqhrhm  33935  imacrhmcl  42469  cnfldsrngmul  47886  zlidlring  47957  uzlidlring  47958  aacllem  48895