Theorem ressmulr 16624

Description: ._r is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulr.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ressmulr.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ressmulr	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Proof of Theorem ressmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulr.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		ressmulr.2	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		df-mulr 16578	. 2 ⊢ .r = Slot 3
4		3nn 11715	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
5		1lt3 11809	. 2 ⊢ 1 < 3
6	1, 2, 3, 4, 5	resslem 16556	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  3c3 11692   ↾_s cress 16483  ._rcmulr 16565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-mulr 16578

This theorem is referenced by:  mgpress  19249  subrg1  19544  subrgmcl  19546  subrgdvds  19548  subrguss  19549  subrginv  19550  subrgdv  19551  subrgunit  19552  subrgugrp  19553  issubrg2  19554  subrgpropd  19569  primefld  19583  abvres  19609  sralmod  19958  issubassa3  20096  resspsrmul  20196  resspsrvsca  20197  mplmul  20222  ressmplmul  20238  mplmulr  20388  ply1mulr  20394  ressply1mul  20398  nn0srg  20614  rge0srg  20615  zringmulr  20625  remulr  20754  dmatcrng  21110  scmatcrng  21129  scmatsrng1  21131  scmatmhm  21142  clmmul  23678  isclmp  23700  cphsubrglem  23780  ipcau2  23836  qabvexp  26201  ostthlem2  26203  padicabv  26205  ostth2lem2  26209  ostth3  26213  ress1r  30860  rdivmuldivd  30862  suborng  30888  xrge0slmod  30917  drgextlsp  30996  fedgmullem1  31025  fedgmullem2  31026  extdg1id  31053  xrge0iifmhm  31182  qqhrhm  31230  cnfldsrngmul  44037  lidlmmgm  44195  lidlmsgrp  44196  lidlrng  44197  zlidlring  44198  uzlidlring  44199  aacllem  44901