Theorem ressmulr 17352

Description: ._r is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulr.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ressmulr.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ressmulr	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Proof of Theorem ressmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulr.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		ressmulr.2	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		mulridx 17339	. 2 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
4		basendxnmulrndx 17340	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	4	necomi 2992	. 2 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17286	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ndxcnx 17226  Basecbs 17244   ↾_s cress 17273  ._rcmulr 17298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-mulr 17311

This theorem is referenced by:  mgpress  20166  mgpressOLD  20167  rdivmuldivd  20429  subrngmcl  20573  issubrng2  20574  subrngpropd  20584  subrg1  20598  subrgdvds  20602  subrguss  20603  subrginv  20604  subrgdv  20605  subrgunit  20606  subrgugrp  20607  issubrg2  20608  subrgpropd  20624  primefld  20822  abvres  20848  sralmod  21211  rnglidlmmgm  21272  rnglidlmsgrp  21273  rnglidlrng  21274  rngqiprngimfolem  21317  rngqiprnglinlem1  21318  rngqiprngimf1lem  21321  rngqiprngimf1  21327  rngqiprnglin  21329  rng2idl1cntr  21332  rngqiprngfulem5  21342  nn0srg  21472  rge0srg  21473  zringmulr  21485  pzriprnglem6  21514  remulr  21646  issubassa3  21903  resspsrmul  22013  resspsrvsca  22014  mplmulr  22045  ressmplmul  22065  ply1mulr  22242  ressply1mul  22247  evls1muld  22391  dmatcrng  22523  scmatcrng  22542  scmatsrng1  22544  scmatmhm  22555  clmmul  25121  isclmp  25143  cphsubrglem  25224  ipcau2  25281  qabvexp  27684  ostthlem2  27686  padicabv  27688  ostth2lem2  27692  ostth3  27696  ress1r  33223  subrdom  33268  suborng  33324  xrge0slmod  33355  idlinsubrg  33438  zringfrac  33561  resssra  33616  drgextlsp  33622  fedgmullem1  33656  fedgmullem2  33657  extdg1id  33690  2sqr3minply  33752  xrge0iifmhm  33899  qqhrhm  33951  imacrhmcl  42500  cnfldsrngmul  48006  zlidlring  48077  uzlidlring  48078  aacllem  49031