Theorem ressmulr 17348

Description: ._r is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulr.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ressmulr.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ressmulr	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Proof of Theorem ressmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulr.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		ressmulr.2	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		mulridx 17336	. 2 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
4		basendxnmulrndx 17337	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	4	necomi 3014	. 2 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17290	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ndxcnx 17241  Basecbs 17257   ↾_s cress 17278  ._rcmulr 17299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-mulr 17312

This theorem is referenced by:  mgpress  20214  rdivmuldivd  20483  subrngmcl  20630  issubrng2  20631  subrngpropd  20641  subrg1  20655  subrgdvds  20659  subrguss  20660  subrginv  20661  subrgdv  20662  subrgunit  20663  subrgugrp  20664  issubrg2  20665  subrgpropd  20681  primefld  20874  abvres  20900  suborng  20945  sralmod  21274  rnglidlmmgm  21341  rnglidlmsgrp  21342  rnglidlrng  21343  rngqiprngimfolem  21389  rngqiprnglinlem1  21390  rngqiprngimf1lem  21393  rngqiprngimf1  21399  rngqiprnglin  21401  rng2idl1cntr  21404  rngqiprngfulem5  21414  nn0srg  21544  rge0srg  21545  zringmulr  21564  pzriprnglem6  21593  remulr  21718  issubassa3  21973  resspsrmul  22082  resspsrvsca  22083  mplmulr  22114  ressmplmul  22137  ply1mulr  22342  ressply1mul  22347  evls1muld  22489  dmatcrng  22616  scmatcrng  22635  scmatsrng1  22637  scmatmhm  22648  clmmul  25191  isclmp  25213  cphsubrglem  25293  ipcau2  25350  qabvexp  27744  ostthlem2  27746  padicabv  27748  ostth2lem2  27752  ostth3  27756  ress1r  33460  subrdom  33513  xrge0slmod  33578  idlinsubrg  33650  zringfrac  33756  ressply1evls1  33767  resssra  33889  drgextlsp  33896  fedgmullem1  33931  fedgmullem2  33932  extdg1id  33968  fldextrspunlsplem  33975  2sqr3minply  34082  xrge0iifmhm  34241  qqhrhm  34291  imacrhmcl  43143  cnfldsrngmul  48784  zlidlring  48855  uzlidlring  48856  aacllem  50431