Theorem ressmulr 17211

Description: ._r is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulr.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ressmulr.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ressmulr	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Proof of Theorem ressmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulr.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		ressmulr.2	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		mulridx 17199	. 2 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
4		basendxnmulrndx 17200	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	4	necomi 2982	. 2 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17153	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ndxcnx 17104  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  ._rcmulr 17162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-mulr 17175

This theorem is referenced by:  mgpress  20069  rdivmuldivd  20332  subrngmcl  20473  issubrng2  20474  subrngpropd  20484  subrg1  20498  subrgdvds  20502  subrguss  20503  subrginv  20504  subrgdv  20505  subrgunit  20506  subrgugrp  20507  issubrg2  20508  subrgpropd  20524  primefld  20721  abvres  20747  suborng  20792  sralmod  21122  rnglidlmmgm  21183  rnglidlmsgrp  21184  rnglidlrng  21185  rngqiprngimfolem  21228  rngqiprnglinlem1  21229  rngqiprngimf1lem  21232  rngqiprngimf1  21238  rngqiprnglin  21240  rng2idl1cntr  21243  rngqiprngfulem5  21253  nn0srg  21375  rge0srg  21376  zringmulr  21395  pzriprnglem6  21424  remulr  21549  issubassa3  21804  resspsrmul  21914  resspsrvsca  21915  mplmulr  21946  ressmplmul  21966  ply1mulr  22139  ressply1mul  22144  evls1muld  22288  dmatcrng  22418  scmatcrng  22437  scmatsrng1  22439  scmatmhm  22450  clmmul  25003  isclmp  25025  cphsubrglem  25105  ipcau2  25162  qabvexp  27565  ostthlem2  27567  padicabv  27569  ostth2lem2  27573  ostth3  27577  ress1r  33199  subrdom  33249  xrge0slmod  33311  idlinsubrg  33394  zringfrac  33517  ressply1evls1  33526  resssra  33597  drgextlsp  33604  fedgmullem1  33640  fedgmullem2  33641  extdg1id  33677  fldextrspunlsplem  33684  2sqr3minply  33791  xrge0iifmhm  33950  qqhrhm  34000  imacrhmcl  42553  cnfldsrngmul  48200  zlidlring  48271  uzlidlring  48272  aacllem  49839