Theorem ressmulr 17361

Description: ._r is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulr.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ressmulr.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ressmulr	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Proof of Theorem ressmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulr.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		ressmulr.2	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		mulridx 17349	. 2 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
4		basendxnmulrndx 17350	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	4	necomi 3012	. 2 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17303	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ndxcnx 17254  Basecbs 17270   ↾_s cress 17291  ._rcmulr 17312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-mulr 17325

This theorem is referenced by:  mgpress  20227  rdivmuldivd  20496  subrngmcl  20643  issubrng2  20644  subrngpropd  20654  subrg1  20668  subrgdvds  20672  subrguss  20673  subrginv  20674  subrgdv  20675  subrgunit  20676  subrgugrp  20677  issubrg2  20678  subrgpropd  20694  primefld  20889  abvres  20915  suborng  20960  sralmod  21289  rnglidlmmgm  21360  rnglidlmsgrp  21361  rnglidlrng  21362  rngqiprngimfolem  21411  rngqiprnglinlem1  21412  rngqiprngimf1lem  21415  rngqiprngimf1  21421  rngqiprnglin  21423  rng2idl1cntr  21426  rngqiprngfulem5  21436  nn0srg  21568  rge0srg  21569  zringmulr  21588  pzriprnglem6  21617  remulr  21742  issubassa3  21997  resspsrmul  22106  resspsrvsca  22107  mplmulr  22138  ressmplmul  22161  ply1mulr  22366  ressply1mul  22371  evls1muld  22513  dmatcrng  22640  scmatcrng  22659  scmatsrng1  22661  scmatmhm  22672  clmmul  25215  isclmp  25237  cphsubrglem  25317  ipcau2  25374  qabvexp  27771  ostthlem2  27773  padicabv  27775  ostth2lem2  27779  ostth3  27783  ress1r  33533  subrdom  33586  xrge0slmod  33649  idlinsubrg  33720  zringfrac  33825  ressply1evls1  33836  resssra  33958  drgextlsp  33965  fedgmullem1  34000  fedgmullem2  34001  extdg1id  34037  fldextrspunlsplem  34044  2sqr3minply  34151  xrge0iifmhm  34310  qqhrhm  34360  imacrhmcl  43269  cnfldsrngmul  48911  zlidlring  48982  uzlidlring  48983  aacllem  50584