Theorem ressmulr 17270

Description: ._r is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulr.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ressmulr.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ressmulr	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Proof of Theorem ressmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulr.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		ressmulr.2	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		mulridx 17258	. 2 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
4		basendxnmulrndx 17259	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	4	necomi 2986	. 2 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17212	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ndxcnx 17163  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  ._rcmulr 17221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-mulr 17234

This theorem is referenced by:  mgpress  20131  rdivmuldivd  20393  subrngmcl  20534  issubrng2  20535  subrngpropd  20545  subrg1  20559  subrgdvds  20563  subrguss  20564  subrginv  20565  subrgdv  20566  subrgunit  20567  subrgugrp  20568  issubrg2  20569  subrgpropd  20585  primefld  20782  abvres  20808  suborng  20853  sralmod  21182  rnglidlmmgm  21243  rnglidlmsgrp  21244  rnglidlrng  21245  rngqiprngimfolem  21288  rngqiprnglinlem1  21289  rngqiprngimf1lem  21292  rngqiprngimf1  21298  rngqiprnglin  21300  rng2idl1cntr  21303  rngqiprngfulem5  21313  nn0srg  21417  rge0srg  21418  zringmulr  21437  pzriprnglem6  21466  remulr  21591  issubassa3  21846  resspsrmul  21954  resspsrvsca  21955  mplmulr  21986  ressmplmul  22008  ply1mulr  22189  ressply1mul  22194  evls1muld  22337  dmatcrng  22467  scmatcrng  22486  scmatsrng1  22488  scmatmhm  22499  clmmul  25042  isclmp  25064  cphsubrglem  25144  ipcau2  25201  qabvexp  27589  ostthlem2  27591  padicabv  27593  ostth2lem2  27597  ostth3  27601  ress1r  33294  subrdom  33346  xrge0slmod  33408  idlinsubrg  33491  zringfrac  33614  ressply1evls1  33625  resssra  33731  drgextlsp  33738  fedgmullem1  33773  fedgmullem2  33774  extdg1id  33810  fldextrspunlsplem  33817  2sqr3minply  33924  xrge0iifmhm  34083  qqhrhm  34133  imacrhmcl  42959  cnfldsrngmul  48639  zlidlring  48710  uzlidlring  48711  aacllem  50276