Theorem ressmulr 17326

Description: ._r is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulr.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ressmulr.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ressmulr	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Proof of Theorem ressmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulr.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		ressmulr.2	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		mulridx 17314	. 2 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
4		basendxnmulrndx 17315	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	4	necomi 3010	. 2 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17268	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  ndxcnx 17219  Basecbs 17235   ↾_s cress 17256  ._rcmulr 17277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-mulr 17290

This theorem is referenced by:  mgpress  20186  rdivmuldivd  20448  subrngmcl  20593  issubrng2  20594  subrngpropd  20604  subrg1  20618  subrgdvds  20622  subrguss  20623  subrginv  20624  subrgdv  20625  subrgunit  20626  subrgugrp  20627  issubrg2  20628  subrgpropd  20644  primefld  20841  abvres  20867  suborng  20912  sralmod  21241  rnglidlmmgm  21302  rnglidlmsgrp  21303  rnglidlrng  21304  rngqiprngimfolem  21347  rngqiprnglinlem1  21348  rngqiprngimf1lem  21351  rngqiprngimf1  21357  rngqiprnglin  21359  rng2idl1cntr  21362  rngqiprngfulem5  21372  nn0srg  21476  rge0srg  21477  zringmulr  21496  pzriprnglem6  21525  remulr  21650  issubassa3  21905  resspsrmul  22014  resspsrvsca  22015  mplmulr  22046  ressmplmul  22069  ply1mulr  22274  ressply1mul  22279  evls1muld  22422  dmatcrng  22549  scmatcrng  22568  scmatsrng1  22570  scmatmhm  22581  clmmul  25124  isclmp  25146  cphsubrglem  25226  ipcau2  25283  qabvexp  27677  ostthlem2  27679  padicabv  27681  ostth2lem2  27685  ostth3  27689  ress1r  33373  subrdom  33429  xrge0slmod  33494  idlinsubrg  33577  zringfrac  33710  ressply1evls1  33721  resssra  33844  drgextlsp  33851  fedgmullem1  33886  fedgmullem2  33887  extdg1id  33923  fldextrspunlsplem  33930  2sqr3minply  34037  xrge0iifmhm  34196  qqhrhm  34246  imacrhmcl  43096  cnfldsrngmul  48745  zlidlring  48816  uzlidlring  48817  aacllem  50382