Theorem ressmulr 17261

Description: ._r is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulr.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ressmulr.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ressmulr	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Proof of Theorem ressmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulr.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		ressmulr.2	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		mulridx 17249	. 2 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
4		basendxnmulrndx 17250	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	4	necomi 2987	. 2 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17203	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ndxcnx 17154  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  ._rcmulr 17212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-mulr 17225

This theorem is referenced by:  mgpress  20122  rdivmuldivd  20384  subrngmcl  20525  issubrng2  20526  subrngpropd  20536  subrg1  20550  subrgdvds  20554  subrguss  20555  subrginv  20556  subrgdv  20557  subrgunit  20558  subrgugrp  20559  issubrg2  20560  subrgpropd  20576  primefld  20773  abvres  20799  suborng  20844  sralmod  21174  rnglidlmmgm  21235  rnglidlmsgrp  21236  rnglidlrng  21237  rngqiprngimfolem  21280  rngqiprnglinlem1  21281  rngqiprngimf1lem  21284  rngqiprngimf1  21290  rngqiprnglin  21292  rng2idl1cntr  21295  rngqiprngfulem5  21305  nn0srg  21427  rge0srg  21428  zringmulr  21447  pzriprnglem6  21476  remulr  21601  issubassa3  21856  resspsrmul  21964  resspsrvsca  21965  mplmulr  21996  ressmplmul  22018  ply1mulr  22199  ressply1mul  22204  evls1muld  22347  dmatcrng  22477  scmatcrng  22496  scmatsrng1  22498  scmatmhm  22509  clmmul  25052  isclmp  25074  cphsubrglem  25154  ipcau2  25211  qabvexp  27603  ostthlem2  27605  padicabv  27607  ostth2lem2  27611  ostth3  27615  ress1r  33309  subrdom  33361  xrge0slmod  33423  idlinsubrg  33506  zringfrac  33629  ressply1evls1  33640  resssra  33746  drgextlsp  33753  fedgmullem1  33789  fedgmullem2  33790  extdg1id  33826  fldextrspunlsplem  33833  2sqr3minply  33940  xrge0iifmhm  34099  qqhrhm  34149  imacrhmcl  42973  cnfldsrngmul  48651  zlidlring  48722  uzlidlring  48723  aacllem  50288