Theorem ressmulr 17248

Description: ._r is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulr.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ressmulr.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ressmulr	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Proof of Theorem ressmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulr.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		ressmulr.2	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		mulridx 17235	. 2 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
4		basendxnmulrndx 17236	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	4	necomi 2987	. 2 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17182	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  ndxcnx 17122  Basecbs 17140   ↾_s cress 17169  ._rcmulr 17194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-mulr 17207

This theorem is referenced by:  mgpress  20039  mgpressOLD  20040  rdivmuldivd  20300  subrngmcl  20442  issubrng2  20443  subrngpropd  20453  subrg1  20469  subrgdvds  20473  subrguss  20474  subrginv  20475  subrgdv  20476  subrgunit  20477  subrgugrp  20478  issubrg2  20479  subrgpropd  20495  primefld  20641  abvres  20667  sralmod  21028  rnglidlmmgm  21088  rnglidlmsgrp  21089  rnglidlrng  21090  rngqiprngimfolem  21128  rngqiprnglinlem1  21129  rngqiprngimf1lem  21132  rngqiprngimf1  21138  rngqiprnglin  21140  rng2idl1cntr  21143  rngqiprngfulem5  21153  nn0srg  21294  rge0srg  21295  zringmulr  21307  pzriprnglem6  21336  remulr  21464  issubassa3  21720  resspsrmul  21838  resspsrvsca  21839  mplmulr  21868  ressmplmul  21886  ply1mulr  22058  ressply1mul  22063  dmatcrng  22314  scmatcrng  22333  scmatsrng1  22335  scmatmhm  22346  clmmul  24912  isclmp  24934  cphsubrglem  25015  ipcau2  25072  qabvexp  27463  ostthlem2  27465  padicabv  27467  ostth2lem2  27471  ostth3  27475  ress1r  32810  suborng  32860  xrge0slmod  32890  idlinsubrg  32980  evls1muld  33080  resssra  33119  drgextlsp  33125  fedgmullem1  33159  fedgmullem2  33160  extdg1id  33187  xrge0iifmhm  33374  qqhrhm  33424  imacrhmcl  41546  cnfldsrngmul  46992  zlidlring  47063  uzlidlring  47064  aacllem  48002