Theorem ressmulr 17254

Description: ._r is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulr.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ressmulr.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ressmulr	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Proof of Theorem ressmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulr.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		ressmulr.2	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		mulridx 17241	. 2 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
4		basendxnmulrndx 17242	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	4	necomi 2995	. 2 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17188	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ndxcnx 17128  Basecbs 17146   ↾_s cress 17175  ._rcmulr 17200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-mulr 17213

This theorem is referenced by:  mgpress  20004  mgpressOLD  20005  rdivmuldivd  20231  subrg1  20333  subrgmcl  20335  subrgdvds  20337  subrguss  20338  subrginv  20339  subrgdv  20340  subrgunit  20341  subrgugrp  20342  issubrg2  20343  subrgpropd  20359  primefld  20425  abvres  20451  sralmod  20815  nn0srg  21021  rge0srg  21022  zringmulr  21033  remulr  21170  issubassa3  21426  resspsrmul  21543  resspsrvsca  21544  mplmulr  21573  ressmplmul  21591  ply1mulr  21755  ressply1mul  21760  dmatcrng  22011  scmatcrng  22030  scmatsrng1  22032  scmatmhm  22043  clmmul  24598  isclmp  24620  cphsubrglem  24701  ipcau2  24758  qabvexp  27136  ostthlem2  27138  padicabv  27140  ostth2lem2  27144  ostth3  27148  ress1r  32424  suborng  32474  xrge0slmod  32504  idlinsubrg  32594  evls1muld  32694  resssra  32733  drgextlsp  32739  fedgmullem1  32773  fedgmullem2  32774  extdg1id  32801  xrge0iifmhm  32988  qqhrhm  33038  imacrhmcl  41173  cnfldsrngmul  46620  subrngmcl  46815  issubrng2  46816  subrngpropd  46826  rnglidlmmgm  46835  rnglidlmsgrp  46836  rnglidlrng  46837  rngqiprngimfolem  46854  rngqiprnglinlem1  46855  rngqiprngimf1lem  46858  rngqiprngimf1  46864  rngqiprnglin  46866  rng2idl1cntr  46869  rngqiprngfulem5  46879  pzriprnglem6  46889  zlidlring  46905  uzlidlring  46906  aacllem  47926