Theorem ressmulr 17252

Description: ._r is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulr.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ressmulr.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ressmulr	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Proof of Theorem ressmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulr.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		ressmulr.2	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		mulridx 17239	. 2 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
4		basendxnmulrndx 17240	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	4	necomi 2996	. 2 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17186	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ndxcnx 17126  Basecbs 17144   ↾_s cress 17173  ._rcmulr 17198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-mulr 17211

This theorem is referenced by:  mgpress  20002  mgpressOLD  20003  rdivmuldivd  20227  subrg1  20329  subrgmcl  20331  subrgdvds  20333  subrguss  20334  subrginv  20335  subrgdv  20336  subrgunit  20337  subrgugrp  20338  issubrg2  20339  subrgpropd  20355  primefld  20421  abvres  20447  sralmod  20809  nn0srg  21015  rge0srg  21016  zringmulr  21027  remulr  21164  issubassa3  21420  resspsrmul  21537  resspsrvsca  21538  mplmulr  21567  ressmplmul  21585  ply1mulr  21749  ressply1mul  21753  dmatcrng  22004  scmatcrng  22023  scmatsrng1  22025  scmatmhm  22036  clmmul  24591  isclmp  24613  cphsubrglem  24694  ipcau2  24751  qabvexp  27129  ostthlem2  27131  padicabv  27133  ostth2lem2  27137  ostth3  27141  ress1r  32383  suborng  32433  xrge0slmod  32463  idlinsubrg  32549  evls1muld  32649  drgextlsp  32681  fedgmullem1  32714  fedgmullem2  32715  extdg1id  32742  xrge0iifmhm  32919  qqhrhm  32969  imacrhmcl  41089  cnfldsrngmul  46541  subrngmcl  46736  issubrng2  46737  subrngpropd  46747  rnglidlmmgm  46756  rnglidlmsgrp  46757  rnglidlrng  46758  rngqiprngimfolem  46775  rngqiprnglinlem1  46776  rngqiprngimf1lem  46779  rngqiprngimf1  46785  rngqiprnglin  46787  rng2idl1cntr  46790  rngqiprngfulem5  46800  pzriprnglem6  46810  zlidlring  46826  uzlidlring  46827  aacllem  47848