Theorem ressmulr 17484

Description: ._r is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulr.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ressmulr.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ressmulr	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Proof of Theorem ressmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulr.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		ressmulr.2	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		mulridx 17472	. 2 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
4		basendxnmulrndx 17473	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	4	necomi 3009	. 2 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17426	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ndxcnx 17377  Basecbs 17393   ↾_s cress 17414  ._rcmulr 17435

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-mulr 17448

This theorem is used by:  mgpress  20376  rdivmuldivd  20649  subrngmcl  20815  issubrng2  20816  subrngpropd  20826  subrg1  20840  subrgdvds  20844  subrguss  20845  subrginv  20846  subrgdv  20847  subrgunit  20848  subrgugrp  20849  issubrg2  20850  subrgpropd  20866  primefld  21068  abvres  21094  suborng  21139  sralmod  21468  rnglidlmmgm  21539  rnglidlmsgrp  21540  rnglidlrng  21541  rngqiprngimfolem  21592  rngqiprnglinlem1  21593  rngqiprngimf1lem  21596  rngqiprngimf1  21602  rngqiprnglin  21604  rng2idl1cntr  21607  rngqiprngfulem5  21617  nn0srg  21749  rge0srg  21750  zringmulr  21769  pzriprnglem6  21798  remulr  21923  issubassa3  22180  resspsrmul  22289  resspsrvsca  22290  mplmulr  22321  ressmplmul  22344  ply1mulr  22549  ressply1mul  22554  evls1muld  22696  dmatcrng  22823  scmatcrng  22842  scmatsrng1  22844  scmatmhm  22855  clmmul  25402  isclmp  25424  cphsubrglem  25504  ipcau2  25561  qabvexp  27959  ostthlem2  27961  padicabv  27963  ostth2lem2  27967  ostth3  27971  ress1r  33840  subrdom  33893  xrge0slmod  33956  idlinsubrg  34028  zringfrac  34133  ressply1evls1  34144  resssra  34266  drgextlsp  34273  fedgmullem1  34308  fedgmullem2  34309  extdg1id  34345  fldextrspunlsplem  34352  2sqr3minply  34459  xrge0iifmhm  34618  qqhrhm  34668  imacrhmcl  43675  cnfldsrngmul  49354  zlidlring  49425  uzlidlring  49426  aacllem  51108