Theorem ressmulr 17227

Description: ._r is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulr.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ressmulr.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ressmulr	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Proof of Theorem ressmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulr.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		ressmulr.2	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		mulridx 17215	. 2 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
4		basendxnmulrndx 17216	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	4	necomi 2986	. 2 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17169	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ndxcnx 17120  Basecbs 17136   ↾_s cress 17157  ._rcmulr 17178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-mulr 17191

This theorem is referenced by:  mgpress  20085  rdivmuldivd  20349  subrngmcl  20490  issubrng2  20491  subrngpropd  20501  subrg1  20515  subrgdvds  20519  subrguss  20520  subrginv  20521  subrgdv  20522  subrgunit  20523  subrgugrp  20524  issubrg2  20525  subrgpropd  20541  primefld  20738  abvres  20764  suborng  20809  sralmod  21139  rnglidlmmgm  21200  rnglidlmsgrp  21201  rnglidlrng  21202  rngqiprngimfolem  21245  rngqiprnglinlem1  21246  rngqiprngimf1lem  21249  rngqiprngimf1  21255  rngqiprnglin  21257  rng2idl1cntr  21260  rngqiprngfulem5  21270  nn0srg  21392  rge0srg  21393  zringmulr  21412  pzriprnglem6  21441  remulr  21566  issubassa3  21821  resspsrmul  21931  resspsrvsca  21932  mplmulr  21963  ressmplmul  21985  ply1mulr  22166  ressply1mul  22171  evls1muld  22316  dmatcrng  22446  scmatcrng  22465  scmatsrng1  22467  scmatmhm  22478  clmmul  25031  isclmp  25053  cphsubrglem  25133  ipcau2  25190  qabvexp  27593  ostthlem2  27595  padicabv  27597  ostth2lem2  27601  ostth3  27605  ress1r  33315  subrdom  33367  xrge0slmod  33429  idlinsubrg  33512  zringfrac  33635  ressply1evls1  33646  resssra  33743  drgextlsp  33750  fedgmullem1  33786  fedgmullem2  33787  extdg1id  33823  fldextrspunlsplem  33830  2sqr3minply  33937  xrge0iifmhm  34096  qqhrhm  34146  imacrhmcl  42769  cnfldsrngmul  48409  zlidlring  48480  uzlidlring  48481  aacllem  50046