Theorem ressmulr 17458

Description: ._r is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulr.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ressmulr.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ressmulr	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Proof of Theorem ressmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulr.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		ressmulr.2	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		mulridx 17446	. 2 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
4		basendxnmulrndx 17447	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	4	necomi 3010	. 2 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17400	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ndxcnx 17351  Basecbs 17367   ↾_s cress 17388  ._rcmulr 17409

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-mulr 17422

This theorem is used by:  mgpress  20350  rdivmuldivd  20623  subrngmcl  20789  issubrng2  20790  subrngpropd  20800  subrg1  20814  subrgdvds  20818  subrguss  20819  subrginv  20820  subrgdv  20821  subrgunit  20822  subrgugrp  20823  issubrg2  20824  subrgpropd  20840  primefld  21042  abvres  21068  suborng  21113  sralmod  21442  rnglidlmmgm  21513  rnglidlmsgrp  21514  rnglidlrng  21515  rngqiprngimfolem  21566  rngqiprnglinlem1  21567  rngqiprngimf1lem  21570  rngqiprngimf1  21576  rngqiprnglin  21578  rng2idl1cntr  21581  rngqiprngfulem5  21591  nn0srg  21723  rge0srg  21724  zringmulr  21743  pzriprnglem6  21772  remulr  21897  issubassa3  22154  resspsrmul  22263  resspsrvsca  22264  mplmulr  22295  ressmplmul  22318  ply1mulr  22523  ressply1mul  22528  evls1muld  22670  dmatcrng  22797  scmatcrng  22816  scmatsrng1  22818  scmatmhm  22829  clmmul  25376  isclmp  25398  cphsubrglem  25478  ipcau2  25535  qabvexp  27935  ostthlem2  27937  padicabv  27939  ostth2lem2  27943  ostth3  27947  ress1r  33775  subrdom  33828  xrge0slmod  33891  idlinsubrg  33963  zringfrac  34068  ressply1evls1  34079  resssra  34201  drgextlsp  34208  fedgmullem1  34243  fedgmullem2  34244  extdg1id  34280  fldextrspunlsplem  34287  2sqr3minply  34394  xrge0iifmhm  34553  qqhrhm  34603  imacrhmcl  43546  cnfldsrngmul  49204  zlidlring  49275  uzlidlring  49276  aacllem  50883