Theorem ressmulr 17510

Description: ._r is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulr.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ressmulr.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ressmulr	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Proof of Theorem ressmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulr.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		ressmulr.2	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		mulridx 17498	. 2 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
4		basendxnmulrndx 17499	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	4	necomi 3013	. 2 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 17452	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ndxcnx 17403  Basecbs 17419   ↾_s cress 17440  ._rcmulr 17461

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-mulr 17474

This theorem is used by:  mgpress  20403  rdivmuldivd  20676  subrngmcl  20842  issubrng2  20843  subrngpropd  20853  subrg1  20867  subrgdvds  20871  subrguss  20872  subrginv  20873  subrgdv  20874  subrgunit  20875  subrgugrp  20876  issubrg2  20877  subrgpropd  20893  primefld  21095  abvres  21121  suborng  21166  sralmod  21495  rnglidlmmgm  21566  rnglidlmsgrp  21567  rnglidlrng  21568  rngqiprngimfolem  21619  rngqiprnglinlem1  21620  rngqiprngimf1lem  21623  rngqiprngimf1  21629  rngqiprnglin  21631  rng2idl1cntr  21634  rngqiprngfulem5  21644  nn0srg  21776  rge0srg  21777  zringmulr  21796  pzriprnglem6  21825  remulr  21950  issubassa3  22207  resspsrmul  22316  resspsrvsca  22317  mplmulr  22348  ressmplmul  22371  ply1mulr  22576  ressply1mul  22581  evls1muld  22723  dmatcrng  22850  scmatcrng  22869  scmatsrng1  22871  scmatmhm  22882  clmmul  25429  isclmp  25451  cphsubrglem  25531  ipcau2  25588  qabvexp  27986  ostthlem2  27988  padicabv  27990  ostth2lem2  27994  ostth3  27998  ress1r  33869  subrdom  33922  xrge0slmod  33993  idlinsubrg  34065  zringfrac  34169  ressply1evls1  34180  resssra  34302  drgextlsp  34309  fedgmullem1  34344  fedgmullem2  34345  extdg1id  34381  fldextrspunlsplem  34388  2sqr3minply  34495  xrge0iifmhm  34654  qqhrhm  34704  imacrhmcl  43785  cnfldsrngmul  49475  zlidlring  49546  uzlidlring  49547  aacllem  51251