Theorem ressmulr 17026

Description: ._r is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulr.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ressmulr.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ressmulr	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Proof of Theorem ressmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulr.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		ressmulr.2	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		mulrid 17013	. 2 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
4		basendxnmulrndx 17014	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	4	necomi 2999	. 2 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	resseqnbas 16960	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284  ndxcnx 16903  Basecbs 16921   ↾_s cress 16950  ._rcmulr 16972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-sets 16874  df-slot 16892  df-ndx 16904  df-base 16922  df-ress 16951  df-mulr 16985

This theorem is referenced by:  mgpress  19744  mgpressOLD  19745  subrg1  20043  subrgmcl  20045  subrgdvds  20047  subrguss  20048  subrginv  20049  subrgdv  20050  subrgunit  20051  subrgugrp  20052  issubrg2  20053  subrgpropd  20068  primefld  20082  abvres  20108  sralmod  20466  nn0srg  20677  rge0srg  20678  zringmulr  20688  remulr  20825  issubassa3  21081  resspsrmul  21195  resspsrvsca  21196  mplmul  21224  ressmplmul  21240  mplmulr  21401  ply1mulr  21407  ressply1mul  21411  dmatcrng  21660  scmatcrng  21679  scmatsrng1  21681  scmatmhm  21692  clmmul  24247  isclmp  24269  cphsubrglem  24350  ipcau2  24407  qabvexp  26783  ostthlem2  26785  padicabv  26787  ostth2lem2  26791  ostth3  26795  ress1r  31495  rdivmuldivd  31497  suborng  31523  xrge0slmod  31557  idlinsubrg  31617  drgextlsp  31690  fedgmullem1  31719  fedgmullem2  31720  extdg1id  31747  xrge0iifmhm  31898  qqhrhm  31948  mhphf  40292  cnfldsrngmul  45336  lidlmmgm  45494  lidlmsgrp  45495  lidlrng  45496  zlidlring  45497  uzlidlring  45498  aacllem  46516