Theorem resssca 17306

Description: Scalar is unaffected by restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
resssca.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
resssca.2	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
resssca	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹 = (Scalar‘𝐻))

Proof of Theorem resssca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resssca.1	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
2		resssca.2	. 2 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝐺)
3		scaid 17278	. 2 ⊢ Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
4		scandxnbasendx 17279	. 2 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
5	1, 2, 3, 4	resseqnbas 17212	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹 = (Scalar‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367   ↾_s cress 17200  Scalarcsca 17223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-sca 17236

This theorem is referenced by:  islss3  20954  reslmhm  21047  reslmhm2  21048  reslmhm2b  21049  pj1lmhm  21095  lsslvec  21104  phlssphl  21639  frlmsca  21733  lsslindf  21810  issubassa3  21846  ressascl  21876  mplsca  21991  ply1sca  22216  scmatghm  22498  lssnlm  24666  lssnvc  24667  cphsscph  25218  lssbn  25319  cmslssbn  25339  csschl  25343  rrxsca  25363  xrge0slmod  33408  ply1degltdimlem  33766  fedgmullem2  33774  dimlssid  33776  algextdeglem8  33868  sitmcl  34495  repwsmet  38155  rrnequiv  38156  lcdsca  42045