Theorem rprmcl 33752

Description: A ring prime is an element of the base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rprmcl.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
rprmcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
rprmcl	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem rprmcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmcl.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
2		rprmcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
3		rprmcl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
4	2, 3	eleqtrdi 2879	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅))
5		rprmcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
7		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
9		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10	5, 6, 7, 8, 9	isrprm 33751	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅) ↔ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)})) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑋(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦)))))
11	10	simprbda 503	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)})))
12	11	eldifad 3925	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	1, 4, 12	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085   ∖ cdif 3910   ∪ cun 3911  {csn 4594   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17268  ._rcmulr 17310  0_gc0g 17491  ∥_rcdsr 20435  Unitcui 20436  RPrimecrpm 20513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7414  df-rprm 20514

This theorem is referenced by:  rsprprmprmidl  33756  rprmasso  33759  rprmasso2  33760  rprmasso3  33761  unitmulrprm  33762  rprmirred  33765  1arithidomlem1  33769  1arithidomlem2  33770  1arithidom  33771  1arithufdlem1  33778  1arithufdlem2  33779  1arithufdlem3  33780  1arithufdlem4  33781  dfufd2lem  33783