Theorem rprmcl 33931

Description: A ring prime is an element of the base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rprmcl.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
rprmcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
rprmcl	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem rprmcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmcl.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
2		rprmcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
3		rprmcl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
4	2, 3	eleqtrdi 2870	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅))
5		rprmcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
7		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
9		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10	5, 6, 7, 8, 9	isrprm 33930	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅) ↔ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)})) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑋(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦)))))
11	10	simprbda 504	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)})))
12	11	eldifad 3911	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	1, 4, 12	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897  {csn 4584   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17304  ._rcmulr 17346  0_gc0g 17527  ∥_rcdsr 20498  Unitcui 20499  RPrimecrpm 20576

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-ov 7417  df-rprm 20577

This theorem is used by:  rsprprmprmidl  33935  rprmasso  33938  rprmasso2  33939  rprmasso3  33940  unitmulrprm  33941  rprmirred  33944  1arithidomlem1  33948  1arithidomlem2  33949  1arithidom  33950  1arithufdlem1  33957  1arithufdlem2  33958  1arithufdlem3  33959  1arithufdlem4  33960  dfufd2lem  33962