Theorem rprmcl 33398

Description: A ring prime is an element of the base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rprmcl.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
rprmcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
rprmcl	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem rprmcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmcl.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
2		rprmcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
3		rprmcl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
4	2, 3	eleqtrdi 2836	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅))
5		rprmcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
7		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
9		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10	5, 6, 7, 8, 9	isrprm 33397	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅) ↔ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)})) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑋(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦)))))
11	10	simprbda 497	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)})))
12	11	eldifad 3960	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	1, 4, 12	syl2anc 582	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051   ∖ cdif 3945   ∪ cun 3946  {csn 4625   class class class wbr 5145  ‘cfv 6545  (class class class)co 7415  Basecbs 17207  ._rcmulr 17261  0_gc0g 17448  ∥_rcdsr 20331  Unitcui 20332  RPrimecrpm 20409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pr 5425

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4325  df-if 4526  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4908  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-iota 6497  df-fun 6547  df-fv 6553  df-ov 7418  df-rprm 20410

This theorem is referenced by:  rsprprmprmidl  33402  rprmasso  33405  rprmasso2  33406  rprmasso3  33407  unitmulrprm  33408  rprmirred  33411  1arithidomlem1  33415  1arithidomlem2  33416  1arithidom  33417  1arithufdlem1  33424  1arithufdlem2  33425  1arithufdlem3  33426  1arithufdlem4  33427  dfufd2lem  33429