Theorem rprmcl 33832

Description: A ring prime is an element of the base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rprmcl.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
rprmcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
rprmcl	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem rprmcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmcl.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
2		rprmcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
3		rprmcl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
4	2, 3	eleqtrdi 2876	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅))
5		rprmcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
7		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
9		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10	5, 6, 7, 8, 9	isrprm 33831	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅) ↔ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)})) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑋(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦)))))
11	10	simprbda 504	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)})))
12	11	eldifad 3920	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	1, 4, 12	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082   ∖ cdif 3905   ∪ cun 3906  {csn 4594   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  ._rcmulr 17336  0_gc0g 17517  ∥_rcdsr 20462  Unitcui 20463  RPrimecrpm 20540

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7426  df-rprm 20541

This theorem is used by:  rsprprmprmidl  33836  rprmasso  33839  rprmasso2  33840  rprmasso3  33841  unitmulrprm  33842  rprmirred  33845  1arithidomlem1  33849  1arithidomlem2  33850  1arithidom  33851  1arithufdlem1  33858  1arithufdlem2  33859  1arithufdlem3  33860  1arithufdlem4  33861  dfufd2lem  33863