Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rprmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rprmcl 33525
Description: A ring prime is an element of the base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rprmcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rprmcl.p 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmcl.r (𝜑𝑅𝑉)
rprmcl.x (𝜑𝑋𝑃)
Assertion
Ref Expression
rprmcl (𝜑𝑋𝐵)

Proof of Theorem rprmcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rprmcl.r . 2 (𝜑𝑅𝑉)
2 rprmcl.x . . 3 (𝜑𝑋𝑃)
3 rprmcl.p . . 3 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
42, 3eleqtrdi 2848 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅))
5 rprmcl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 eqid 2734 . . . . 5 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
7 eqid 2734 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
8 eqid 2734 . . . . 5 (∥r𝑅) = (∥r𝑅)
9 eqid 2734 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
105, 6, 7, 8, 9isrprm 33524 . . . 4 (𝑅𝑉 → (𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅) ↔ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g𝑅)})) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑋(∥r𝑅)(𝑥(.r𝑅)𝑦) → (𝑋(∥r𝑅)𝑥𝑋(∥r𝑅)𝑦)))))
1110simprbda 498 . . 3 ((𝑅𝑉𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g𝑅)})))
1211eldifad 3974 . 2 ((𝑅𝑉𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅)) → 𝑋𝐵)
131, 4, 12syl2anc 584 1 (𝜑𝑋𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  cdif 3959  cun 3960  {csn 4630   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  .rcmulr 17298  0gc0g 17485  rcdsr 20370  Unitcui 20371  RPrimecrpm 20448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fv 6570  df-ov 7433  df-rprm 20449
This theorem is referenced by:  rsprprmprmidl  33529  rprmasso  33532  rprmasso2  33533  rprmasso3  33534  unitmulrprm  33535  rprmirred  33538  1arithidomlem1  33542  1arithidomlem2  33543  1arithidom  33544  1arithufdlem1  33551  1arithufdlem2  33552  1arithufdlem3  33553  1arithufdlem4  33554  dfufd2lem  33556
  Copyright terms: Public domain W3C validator