Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rprmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rprmcl 33546
Description: A ring prime is an element of the base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rprmcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rprmcl.p 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmcl.r (𝜑𝑅𝑉)
rprmcl.x (𝜑𝑋𝑃)
Assertion
Ref Expression
rprmcl (𝜑𝑋𝐵)

Proof of Theorem rprmcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rprmcl.r . 2 (𝜑𝑅𝑉)
2 rprmcl.x . . 3 (𝜑𝑋𝑃)
3 rprmcl.p . . 3 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
42, 3eleqtrdi 2851 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅))
5 rprmcl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 eqid 2737 . . . . 5 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
7 eqid 2737 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
8 eqid 2737 . . . . 5 (∥r𝑅) = (∥r𝑅)
9 eqid 2737 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
105, 6, 7, 8, 9isrprm 33545 . . . 4 (𝑅𝑉 → (𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅) ↔ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g𝑅)})) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑋(∥r𝑅)(𝑥(.r𝑅)𝑦) → (𝑋(∥r𝑅)𝑥𝑋(∥r𝑅)𝑦)))))
1110simprbda 498 . . 3 ((𝑅𝑉𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g𝑅)})))
1211eldifad 3963 . 2 ((𝑅𝑉𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅)) → 𝑋𝐵)
131, 4, 12syl2anc 584 1 (𝜑𝑋𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  cdif 3948  cun 3949  {csn 4626   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  .rcmulr 17298  0gc0g 17484  rcdsr 20354  Unitcui 20355  RPrimecrpm 20432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-ov 7434  df-rprm 20433
This theorem is referenced by:  rsprprmprmidl  33550  rprmasso  33553  rprmasso2  33554  rprmasso3  33555  unitmulrprm  33556  rprmirred  33559  1arithidomlem1  33563  1arithidomlem2  33564  1arithidom  33565  1arithufdlem1  33572  1arithufdlem2  33573  1arithufdlem3  33574  1arithufdlem4  33575  dfufd2lem  33577
  Copyright terms: Public domain W3C validator