Theorem rprmcl 34103

Description: A ring prime is an element of the base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rprmcl.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
rprmcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
rprmcl	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem rprmcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmcl.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
2		rprmcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
3		rprmcl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
4	2, 3	eleqtrdi 2873	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅))
5		rprmcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
7		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
9		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10	5, 6, 7, 8, 9	isrprm 34102	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅) ↔ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)})) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑋(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦)))))
11	10	simprbda 504	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)})))
12	11	eldifad 4053	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	1, 4, 12	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3079   ∖ cdif 4047   ∪ cun 4151  {csn 4587   class class class wbr 5105  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  Basecbs 17399  ._rcmulr 17441  0_gc0g 17622  ∥_rcdsr 20596  Unitcui 20597  RPrimecrpm 20674

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pr 5394

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fv 6554  df-ov 7430  df-rprm 20675

This theorem is used by:  rsprprmprmidl  34107  rprmasso  34110  rprmasso2  34111  rprmasso3  34112  unitmulrprm  34113  rprmirred  34116  1arithidomlem1  34120  1arithidomlem2  34121  1arithidom  34122  1arithufdlem1  34129  1arithufdlem2  34130  1arithufdlem3  34131  1arithufdlem4  34132  dfufd2lem  34134