Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rprmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rprmcl 33874
Description: A ring prime is an element of the base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rprmcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rprmcl.p 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmcl.r (𝜑𝑅𝑉)
rprmcl.x (𝜑𝑋𝑃)
Assertion
Ref Expression
rprmcl (𝜑𝑋𝐵)

Proof of Theorem rprmcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rprmcl.r . 2 (𝜑𝑅𝑉)
2 rprmcl.x . . 3 (𝜑𝑋𝑃)
3 rprmcl.p . . 3 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
42, 3eleqtrdi 2875 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅))
5 rprmcl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 eqid 2765 . . . . 5 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
7 eqid 2765 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
8 eqid 2765 . . . . 5 (∥r𝑅) = (∥r𝑅)
9 eqid 2765 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
105, 6, 7, 8, 9isrprm 33873 . . . 4 (𝑅𝑉 → (𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅) ↔ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g𝑅)})) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑋(∥r𝑅)(𝑥(.r𝑅)𝑦) → (𝑋(∥r𝑅)𝑥𝑋(∥r𝑅)𝑦)))))
1110simprbda 504 . . 3 ((𝑅𝑉𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g𝑅)})))
1211eldifad 3918 . 2 ((𝑅𝑉𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅)) → 𝑋𝐵)
131, 4, 12syl2anc 596 1 (𝜑𝑋𝐵)
Colors of variables:    wff setvar class
This proof depends on syntax axioms:  wi 4  wa 401  wo 861   = wceq 1570  wcel 2146  wral 3081  cdif 3903  cun 3904  {csn 4591   class class class wbr 5111  cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17293  .rcmulr 17335  0gc0g 17516  rcdsr 20484  Unitcui 20485  RPrimecrpm 20562
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406
This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-ov 7422  df-rprm 20563
This theorem is used by:  rsprprmprmidl  33878  rprmasso  33881  rprmasso2  33882  rprmasso3  33883  unitmulrprm  33884  rprmirred  33887  1arithidomlem1  33891  1arithidomlem2  33892  1arithidom  33893  1arithufdlem1  33900  1arithufdlem2  33901  1arithufdlem3  33902  1arithufdlem4  33903  dfufd2lem  33905
  Copyright terms: Public domain W3C validator