1arithidomlem2 - Mathbox for Thierry Arnoux

	Mathbox for Thierry Arnoux		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > 1arithidomlem2		Structured version Visualization version GIF version

Theorem 1arithidomlem2 33508

Description: Lemma for 1arithidom 33509: induction step. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
1arithidom.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
1arithidom.i	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
1arithidom.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
1arithidom.t	⊢ · = (._r‘𝑅)
1arithidom.j	⊢ 𝐽 = (0..^(♯‘𝐹))
1arithidom.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
1arithidom.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝑃)
1arithidom.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Word 𝑃)
1arithidom.1	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σ_g 𝐹) = (𝑀 Σ_g 𝐺))
1arithidomlem.1	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
1arithidomlem.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σ_g 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σ_g 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑_m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘_f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))
1arithidomlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Word 𝑃)
1arithidomlem.4	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σ_g (𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σ_g 𝐻)))
1arithidomlem.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐻)))
1arithidomlem.6	⊢ (𝜑 → 𝑄(∥_r‘𝑅)(𝐻‘𝐾))
1arithidomlem.7	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑈)
1arithidomlem.8	⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝑄) = (𝐻‘𝐾))
1arithidomlem.9	⊢ (𝜑 → 𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)))
1arithidomlem.10	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝑆) = (((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ++ ⟨“(𝐻‘𝐾)”⟩))
1arithidomlem.11	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑈)
1arithidomlem.12	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σ_g (𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)) = (𝑁 · (𝑀 Σ_g 𝐻)))
1arithidomlem.13	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑈 ↑_m (0..^(♯‘𝐹))))
1arithidomlem.14	⊢ (𝜑 → 𝐶:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)))
1arithidomlem.15	⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝐷 ∘_f · (𝐹 ∘ 𝐶)))

**Assertion**
Ref	Expression
1arithidomlem2	⊢ (𝜑 → (((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩))) ∧ 𝐻 = (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆)))))

Distinct variable groups: · ,𝑔,𝑘,𝑢,𝑤 𝑆,𝑔,𝑘,𝑢,𝑤 𝑢,𝑁,𝑤 𝑢,𝑇,𝑤 𝑘,𝐾,𝑢,𝑤 𝑔,𝐻,𝑘,𝑢,𝑤 𝑔,𝐹,𝑘,𝑢,𝑤 𝑢,𝐶 𝑃,𝑔,𝑘,𝑢 𝑔,𝑀,𝑘,𝑢 𝑅,𝑔,𝑘,𝑢 𝑄,𝑔,𝑘,𝑢,𝑤 𝑈,𝑔,𝑘,𝑢,𝑤 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑤,𝑢,𝑔,𝑘) 𝐶(𝑤,𝑔,𝑘) 𝐷(𝑤,𝑢,𝑔,𝑘) 𝑃(𝑤) 𝑅(𝑤) 𝑇(𝑔,𝑘) 𝐺(𝑤,𝑢,𝑔,𝑘) 𝐽(𝑤,𝑢,𝑔,𝑘) 𝐾(𝑔) 𝑀(𝑤) 𝑁(𝑔,𝑘)

Proof of Theorem 1arithidomlem2 Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1arithidom.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝑃)
2		ccatws1len 14530	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑃 → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1))
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1))
4		1arithidomlem.15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝐷 ∘_f · (𝐹 ∘ 𝐶)))
5	4	dmeqd 5849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = dom (𝐷 ∘_f · (𝐹 ∘ 𝐶)))
6		1arithidomlem.9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)))
7		f1of 6768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)) → 𝑆:(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻)))
8		iswrdi 14426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆:(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻)) → 𝑆 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)))
9	6, 7, 8	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)))
10		eqidd 2734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = (♯‘𝐻))
11		1arithidomlem.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Word 𝑃)
12	10, 11	wrdfd 14428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑃)
13		wrdco 14740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)) ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑃) → (𝐻 ∘ 𝑆) ∈ Word 𝑃)
14	9, 12, 13	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝑆) ∈ Word 𝑃)
15		1arithidomlem.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐻)))
16		elfzo0 13602	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐻)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐻) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (♯‘𝐻)))
17	16	simp2bi 1146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐻)) → (♯‘𝐻) ∈ ℕ)
18		nnm1nn0 12429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐻) ∈ ℕ → ((♯‘𝐻) − 1) ∈ ℕ₀)
19	15, 17, 18	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 1) ∈ ℕ₀)
20		lenco 14741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)) ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑃) → (♯‘(𝐻 ∘ 𝑆)) = (♯‘𝑆))
21	9, 12, 20	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐻 ∘ 𝑆)) = (♯‘𝑆))
22		lencl 14442	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ₀)
23	9, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ₀)
24	21, 23	eqeltrd 2833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐻 ∘ 𝑆)) ∈ ℕ₀)
25		lencl 14442	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐻 ∈ Word 𝑃 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ₀)
26	11, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ₀)
27	26	nn0red 12450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℝ)
28	27	lem1d 12062	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 1) ≤ (♯‘𝐻))
29	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑆:(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻)))
30		ffn 6656	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆:(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻)) → 𝑆 Fn (0..^(♯‘𝐻)))
31		hashfn 14284	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 Fn (0..^(♯‘𝐻)) → (♯‘𝑆) = (♯‘(0..^(♯‘𝐻))))
32	29, 30, 31	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = (♯‘(0..^(♯‘𝐻))))
33		hashfzo0 14339	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝐻) ∈ ℕ₀ → (♯‘(0..^(♯‘𝐻))) = (♯‘𝐻))
34	11, 25, 33	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐻))) = (♯‘𝐻))
35	21, 32, 34	3eqtrrd 2773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐻 ∘ 𝑆)))
36	28, 35	breqtrd 5119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 1) ≤ (♯‘(𝐻 ∘ 𝑆)))
37		elfz2nn0 13520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝐻) − 1) ∈ (0...(♯‘(𝐻 ∘ 𝑆))) ↔ (((♯‘𝐻) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘(𝐻 ∘ 𝑆)) ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝐻) − 1) ≤ (♯‘(𝐻 ∘ 𝑆))))
38	19, 24, 36, 37	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 1) ∈ (0...(♯‘(𝐻 ∘ 𝑆))))
39		pfxfn 14591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐻 ∘ 𝑆) ∈ Word 𝑃 ∧ ((♯‘𝐻) − 1) ∈ (0...(♯‘(𝐻 ∘ 𝑆)))) → ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) Fn (0..^((♯‘𝐻) − 1)))
40	14, 38, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) Fn (0..^((♯‘𝐻) − 1)))
41	40	fndmd 6591	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (0..^((♯‘𝐻) − 1)))
42		eqid 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
43		1arithidom.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (._r‘𝑅)
44		1arithidom.r	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
45	44	idomringd 20645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
46	45	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → 𝑅 ∈ Ring)
47		1arithidom.u	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
48	42, 47	unitcl 20295	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
49	48	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
50		1arithidom.i	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
51	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → 𝑅 ∈ IDomn)
52		simprr 772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
53	42, 50, 51, 52	rprmcl 33490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
54	42, 43, 46, 49, 53	ringcld 20180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
55		1arithidomlem.13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑈 ↑_m (0..^(♯‘𝐹))))
56		elmapi 8779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ (𝑈 ↑_m (0..^(♯‘𝐹))) → 𝐷:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑈)
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑈)
58		eqidd 2734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐹))
59	58, 1	wrdfd 14428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑃)
60		1arithidomlem.14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)))
61		f1of 6768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) → 𝐶:(0..^(♯‘𝐹))⟶(0..^(♯‘𝐹)))
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0..^(♯‘𝐹))⟶(0..^(♯‘𝐹)))
63	59, 62	fcod 6681	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐶):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑃)
64		ovexd 7387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) ∈ V)
65		inidm 4176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0..^(♯‘𝐹)) ∩ (0..^(♯‘𝐹))) = (0..^(♯‘𝐹))
66	54, 57, 63, 64, 64, 65	off 7634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘_f · (𝐹 ∘ 𝐶)):(0..^(♯‘𝐹))⟶(Base‘𝑅))
67	66	fdmd 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝐷 ∘_f · (𝐹 ∘ 𝐶)) = (0..^(♯‘𝐹)))
68	5, 41, 67	3eqtr3d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝐻) − 1)) = (0..^(♯‘𝐹)))
69		lencl 14442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀)
70	1, 69	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀)
71	19, 70	fzo0opth 32790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0..^((♯‘𝐻) − 1)) = (0..^(♯‘𝐹)) ↔ ((♯‘𝐻) − 1) = (♯‘𝐹)))
72	68, 71	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 1) = (♯‘𝐹))
73	72	oveq1d 7367	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐻) − 1) + 1) = ((♯‘𝐹) + 1))
74	15, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ)
75	74	nncnd 12148	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℂ)
76		npcan1 11549	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐻) ∈ ℂ → (((♯‘𝐻) − 1) + 1) = (♯‘𝐻))
77	75, 76	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐻) − 1) + 1) = (♯‘𝐻))
78	73, 77	eqtr3d 2770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐹) + 1) = (♯‘𝐻))
79	3, 78	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)) = (♯‘𝐻))
80	79	oveq2d 7368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩))) = (0..^(♯‘𝐻)))
81		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝐶) = (♯‘𝐶)
82		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (0..^((♯‘𝐶) + 1)) = (0..^((♯‘𝐶) + 1))
83		f1ofn 6769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) → 𝐶 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
84		hashfn 14284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 Fn (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐶) = (♯‘(0..^(♯‘𝐹))))
85	60, 83, 84	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐶) = (♯‘(0..^(♯‘𝐹))))
86		hashfzo0 14339	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (♯‘(0..^(♯‘𝐹))) = (♯‘𝐹))
87	70, 86	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐹))) = (♯‘𝐹))
88	85, 87	eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐶) = (♯‘𝐹))
89	88	oveq2d 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐶)) = (0..^(♯‘𝐹)))
90		f1oeq23 6759	. . . . . . . 8 ⊢ (((0..^(♯‘𝐶)) = (0..^(♯‘𝐹)) ∧ (0..^(♯‘𝐶)) = (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐶:(0..^(♯‘𝐶))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐶)) ↔ 𝐶:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹))))
91	90	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((((0..^(♯‘𝐶)) = (0..^(♯‘𝐹)) ∧ (0..^(♯‘𝐶)) = (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝐶:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹))) → 𝐶:(0..^(♯‘𝐶))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐶)))
92	89, 89, 60, 91	syl21anc 837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0..^(♯‘𝐶))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐶)))
93	81, 82, 92	ccatws1f1o 32939	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐶)”⟩):(0..^((♯‘𝐶) + 1))–1-1-onto→(0..^((♯‘𝐶) + 1)))
94	88	s1eqd 14511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨“(♯‘𝐶)”⟩ = ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)
95	94	oveq2d 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐶)”⟩) = (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))
96	88	oveq1d 7367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐶) + 1) = ((♯‘𝐹) + 1))
97	96, 78	eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐶) + 1) = (♯‘𝐻))
98	97	oveq2d 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝐶) + 1)) = (0..^(♯‘𝐻)))
99	95, 98, 98	f1oeq123d 6762	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐶)”⟩):(0..^((♯‘𝐶) + 1))–1-1-onto→(0..^((♯‘𝐶) + 1)) ↔ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩):(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻))))
100	93, 99	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩):(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)))
101		f1ocnv 6780	. . . . 5 ⊢ (𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)) → ^◡𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)))
102	6, 101	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ^◡𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)))
103		f1oco 6791	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩):(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)) ∧ ^◡𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻))) → ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆):(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)))
104	100, 102, 103	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆):(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)))
105		f1oeq23 6759	. . . 4 ⊢ (((0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩))) = (0..^(♯‘𝐻)) ∧ (0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩))) = (0..^(♯‘𝐻))) → (((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩))) ↔ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆):(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻))))
106	105	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((((0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩))) = (0..^(♯‘𝐻)) ∧ (0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩))) = (0..^(♯‘𝐻))) ∧ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆):(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻))) → ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩))))
107	80, 80, 104, 106	syl21anc 837	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩))))
108		f1ofo 6775	. . . 4 ⊢ (𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)) → 𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–onto→(0..^(♯‘𝐻)))
109	6, 108	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–onto→(0..^(♯‘𝐻)))
110	12	ffnd 6657	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐻)))
111		iswrdi 14426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑈 → 𝐷 ∈ Word 𝑈)
112	57, 111	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Word 𝑈)
113		ccatws1len 14530	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ Word 𝑈 → (♯‘(𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩)) = ((♯‘𝐷) + 1))
114	112, 113	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩)) = ((♯‘𝐷) + 1))
115		elmapfn 8795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ (𝑈 ↑_m (0..^(♯‘𝐹))) → 𝐷 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
116		hashfn 14284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 Fn (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐷) = (♯‘(0..^(♯‘𝐹))))
117	55, 115, 116	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐷) = (♯‘(0..^(♯‘𝐹))))
118	117, 87	eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐷) = (♯‘𝐹))
119	118	oveq1d 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐷) + 1) = ((♯‘𝐹) + 1))
120	114, 119, 78	3eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩)) = (♯‘𝐻))
121	120	oveq2d 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘(𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩))) = (0..^(♯‘𝐻)))
122		eqidd 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩)) = (♯‘(𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩)))
123		1arithidomlem.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑈)
124		ccatws1cl 14526	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ Word 𝑈 ∧ 𝑇 ∈ 𝑈) → (𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∈ Word 𝑈)
125	112, 123, 124	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∈ Word 𝑈)
126	122, 125	wrdfd 14428	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩):(0..^(♯‘(𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩)))⟶𝑈)
127	121, 126	feq2dd 6642	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩):(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑈)
128	127	ffnd 6657	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) Fn (0..^(♯‘𝐻)))
129		f1of 6768	. . . . . 6 ⊢ (^◡𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)) → ^◡𝑆:(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻)))
130	6, 101, 129	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ^◡𝑆:(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻)))
131		fnfco 6693	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) Fn (0..^(♯‘𝐻)) ∧ ^◡𝑆:(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻))) → ((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) Fn (0..^(♯‘𝐻)))
132	128, 130, 131	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) Fn (0..^(♯‘𝐻)))
133	78	oveq2d 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝐹) + 1)) = (0..^(♯‘𝐻)))
134	3	eqcomd 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐹) + 1) = (♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)))
135		1arithidomlem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
136		ccatws1cl 14526	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ Word 𝑃)
137	1, 135, 136	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ Word 𝑃)
138	134, 137	wrdfd 14428	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶𝑃)
139	133, 138	feq2dd 6642	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩):(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑃)
140	139	ffnd 6657	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) Fn (0..^(♯‘𝐻)))
141		fzossfzop1 13645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
142	70, 141	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
143		sswrd 14431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝐹) + 1)) → Word (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ Word (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
144	142, 143	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Word (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ Word (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
145		iswrdi 14426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶:(0..^(♯‘𝐹))⟶(0..^(♯‘𝐹)) → 𝐶 ∈ Word (0..^(♯‘𝐹)))
146	62, 145	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word (0..^(♯‘𝐹)))
147	144, 146	sseldd 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
148		ccatws1len 14530	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ Word (0..^((♯‘𝐹) + 1)) → (♯‘(𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)) = ((♯‘𝐶) + 1))
149	147, 148	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)) = ((♯‘𝐶) + 1))
150	149, 96, 78	3eqtrrd 2773	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)))
151	142, 133	sseqtrd 3967	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘𝐻)))
152	62, 151	fssd 6673	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0..^(♯‘𝐹))⟶(0..^(♯‘𝐻)))
153		iswrdi 14426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶:(0..^(♯‘𝐹))⟶(0..^(♯‘𝐻)) → 𝐶 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)))
154	152, 153	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)))
155		fzonn0p1 13644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝐹) ∈ (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
156	70, 155	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
157	156, 133	eleqtrd 2835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐻)))
158		ccatws1cl 14526	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)) ∧ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐻))) → (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)))
159	154, 157, 158	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)))
160	150, 159	wrdfd 14428	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩):(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻)))
161	160, 130	fcod 6681	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆):(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻)))
162		fnfco 6693	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) Fn (0..^(♯‘𝐻)) ∧ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆):(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆)) Fn (0..^(♯‘𝐻)))
163	140, 161, 162	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆)) Fn (0..^(♯‘𝐻)))
164		ovexd 7387	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐻)) ∈ V)
165		inidm 4176	. . . 4 ⊢ ((0..^(♯‘𝐻)) ∩ (0..^(♯‘𝐻))) = (0..^(♯‘𝐻))
166	132, 163, 164, 164, 165	offn 7629	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆))) Fn (0..^(♯‘𝐻)))
167		1arithidomlem.10	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝑆) = (((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ++ ⟨“(𝐻‘𝐾)”⟩))
168		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘𝐹)
169	168, 1, 135, 60	ccatws1f1olast 32940	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)) = ((𝐹 ∘ 𝐶) ++ ⟨“𝑄”⟩))
170	169	oveq2d 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))) = ((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ∘ 𝐶) ++ ⟨“𝑄”⟩)))
171	123	s1cld 14513	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑇”⟩ ∈ Word 𝑈)
172		iswrdi 14426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐶):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑃 → (𝐹 ∘ 𝐶) ∈ Word 𝑃)
173	63, 172	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐶) ∈ Word 𝑃)
174	135	s1cld 14513	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑄”⟩ ∈ Word 𝑃)
175		lenco 14741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ Word (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑃) → (♯‘(𝐹 ∘ 𝐶)) = (♯‘𝐶))
176	146, 59, 175	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐹 ∘ 𝐶)) = (♯‘𝐶))
177	85, 176, 117	3eqtr4rd 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐷) = (♯‘(𝐹 ∘ 𝐶)))
178		s1len 14516	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘⟨“𝑇”⟩) = 1
179		s1len 14516	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘⟨“𝑄”⟩) = 1
180	178, 179	eqtr4i 2759	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝑇”⟩) = (♯‘⟨“𝑄”⟩)
181	180	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘⟨“𝑇”⟩) = (♯‘⟨“𝑄”⟩))
182	112, 171, 173, 174, 177, 181	ofccat 14878	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ∘ 𝐶) ++ ⟨“𝑄”⟩)) = ((𝐷 ∘_f · (𝐹 ∘ 𝐶)) ++ (⟨“𝑇”⟩ ∘_f · ⟨“𝑄”⟩)))
183	170, 182	eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))) = ((𝐷 ∘_f · (𝐹 ∘ 𝐶)) ++ (⟨“𝑇”⟩ ∘_f · ⟨“𝑄”⟩)))
184	139, 160	fcod 6681	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)):(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑃)
185	184	ffnd 6657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)) Fn (0..^(♯‘𝐻)))
186	128, 185, 130, 164, 164, 164, 165	ofco 7641	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))) ∘ ^◡𝑆) = (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · (((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)) ∘ ^◡𝑆)))
187	186	coeq1d 5805	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))) ∘ ^◡𝑆) ∘ 𝑆) = ((((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · (((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)) ∘ ^◡𝑆)) ∘ 𝑆))
188		coass 6218	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))) ∘ ^◡𝑆) ∘ 𝑆) = (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))) ∘ (^◡𝑆 ∘ 𝑆))
189	187, 188	eqtr3di 2783	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · (((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)) ∘ ^◡𝑆)) ∘ 𝑆) = (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))) ∘ (^◡𝑆 ∘ 𝑆)))
190		f1of1 6767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)) → 𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1→(0..^(♯‘𝐻)))
191	6, 190	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1→(0..^(♯‘𝐻)))
192		f1cocnv1 6798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1→(0..^(♯‘𝐻)) → (^◡𝑆 ∘ 𝑆) = ( I ↾ (0..^(♯‘𝐻))))
193	191, 192	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (^◡𝑆 ∘ 𝑆) = ( I ↾ (0..^(♯‘𝐻))))
194	193	coeq2d 5806	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))) ∘ (^◡𝑆 ∘ 𝑆)) = (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))) ∘ ( I ↾ (0..^(♯‘𝐻)))))
195	54, 127, 184, 164, 164, 165	off 7634	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))):(0..^(♯‘𝐻))⟶(Base‘𝑅))
196		fcoi1 6702	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))):(0..^(♯‘𝐻))⟶(Base‘𝑅) → (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))) ∘ ( I ↾ (0..^(♯‘𝐻)))) = ((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))))
197	195, 196	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))) ∘ ( I ↾ (0..^(♯‘𝐻)))) = ((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))))
198	189, 194, 197	3eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · (((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)) ∘ ^◡𝑆)) ∘ 𝑆) = ((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))))
199		ofs1 14879	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑈 ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (⟨“𝑇”⟩ ∘_f · ⟨“𝑄”⟩) = ⟨“(𝑇 · 𝑄)”⟩)
200	123, 135, 199	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑇”⟩ ∘_f · ⟨“𝑄”⟩) = ⟨“(𝑇 · 𝑄)”⟩)
201		1arithidomlem.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝑄) = (𝐻‘𝐾))
202	201	s1eqd 14511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“(𝑇 · 𝑄)”⟩ = ⟨“(𝐻‘𝐾)”⟩)
203	200, 202	eqtr2d 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨“(𝐻‘𝐾)”⟩ = (⟨“𝑇”⟩ ∘_f · ⟨“𝑄”⟩))
204	4, 203	oveq12d 7370	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ++ ⟨“(𝐻‘𝐾)”⟩) = ((𝐷 ∘_f · (𝐹 ∘ 𝐶)) ++ (⟨“𝑇”⟩ ∘_f · ⟨“𝑄”⟩)))
205	183, 198, 204	3eqtr4rd 2779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ++ ⟨“(𝐻‘𝐾)”⟩) = ((((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · (((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)) ∘ ^◡𝑆)) ∘ 𝑆))
206		coass 6218	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)) ∘ ^◡𝑆) = ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆))
207	206	oveq2i 7363	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · (((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)) ∘ ^◡𝑆)) = (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆)))
208	207	coeq1i 5803	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · (((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)) ∘ ^◡𝑆)) ∘ 𝑆) = ((((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆))) ∘ 𝑆)
209	205, 208	eqtrdi 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ++ ⟨“(𝐻‘𝐾)”⟩) = ((((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆))) ∘ 𝑆))
210	167, 209	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝑆) = ((((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆))) ∘ 𝑆))
211		cocan2 7232	. . . 4 ⊢ ((𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–onto→(0..^(♯‘𝐻)) ∧ 𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐻)) ∧ (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆))) Fn (0..^(♯‘𝐻))) → ((𝐻 ∘ 𝑆) = ((((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆))) ∘ 𝑆) ↔ 𝐻 = (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆)))))
212	211	biimpa 476	. . 3 ⊢ (((𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–onto→(0..^(♯‘𝐻)) ∧ 𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐻)) ∧ (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆))) Fn (0..^(♯‘𝐻))) ∧ (𝐻 ∘ 𝑆) = ((((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆))) ∘ 𝑆)) → 𝐻 = (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆))))
213	109, 110, 166, 210, 212	syl31anc 1375	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆))))
214	107, 213	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩))) ∧ 𝐻 = (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1541 ∃wex 1780 ∈ wcel 2113 ∀wral 3048 ∃wrex 3057 Vcvv 3437 ⊆ wss 3898 class class class wbr 5093 I cid 5513 ^◡ccnv 5618 dom cdm 5619 ↾ cres 5621 ∘ ccom 5623 Fn wfn 6481 ⟶wf 6482 –1-1→wf1 6483 –onto→wfo 6484 –1-1-onto→wf1o 6485 ‘cfv 6486 (class class class)co 7352 ∘_f cof 7614 ↑_m cmap 8756 ℂcc 11011 0cc0 11013 1c1 11014 + caddc 11016 < clt 11153 ≤ cle 11154 − cmin 11351 ℕcn 12132 ℕ₀cn0 12388 ...cfz 13409 ..^cfzo 13556 ♯chash 14239 Word cword 14422 ++ cconcat 14479 ⟨“cs1 14505 prefix cpfx 14580 Basecbs 17122 ._rcmulr 17164 Σ_g cgsu 17346 mulGrpcmgp 20060 Ringcrg 20153 ∥_rcdsr 20274 Unitcui 20275 RPrimecrpm 20352 IDomncidom 20610

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2182 ax-ext 2705 ax-rep 5219 ax-sep 5236 ax-nul 5246 ax-pow 5305 ax-pr 5372 ax-un 7674 ax-cnex 11069 ax-resscn 11070 ax-1cn 11071 ax-icn 11072 ax-addcl 11073 ax-addrcl 11074 ax-mulcl 11075 ax-mulrcl 11076 ax-mulcom 11077 ax-addass 11078 ax-mulass 11079 ax-distr 11080 ax-i2m1 11081 ax-1ne0 11082 ax-1rid 11083 ax-rnegex 11084 ax-rrecex 11085 ax-cnre 11086 ax-pre-lttri 11087 ax-pre-lttrn 11088 ax-pre-ltadd 11089 ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2537 df-eu 2566 df-clab 2712 df-cleq 2725 df-clel 2808 df-nfc 2882 df-ne 2930 df-nel 3034 df-ral 3049 df-rex 3058 df-reu 3348 df-rab 3397 df-v 3439 df-sbc 3738 df-csb 3847 df-dif 3901 df-un 3903 df-in 3905 df-ss 3915 df-pss 3918 df-nul 4283 df-if 4475 df-pw 4551 df-sn 4576 df-pr 4578 df-op 4582 df-uni 4859 df-int 4898 df-iun 4943 df-br 5094 df-opab 5156 df-mpt 5175 df-tr 5201 df-id 5514 df-eprel 5519 df-po 5527 df-so 5528 df-fr 5572 df-we 5574 df-xp 5625 df-rel 5626 df-cnv 5627 df-co 5628 df-dm 5629 df-rn 5630 df-res 5631 df-ima 5632 df-pred 6253 df-ord 6314 df-on 6315 df-lim 6316 df-suc 6317 df-iota 6442 df-fun 6488 df-fn 6489 df-f 6490 df-f1 6491 df-fo 6492 df-f1o 6493 df-fv 6494 df-riota 7309 df-ov 7355 df-oprab 7356 df-mpo 7357 df-of 7616 df-om 7803 df-1st 7927 df-2nd 7928 df-frecs 8217 df-wrecs 8248 df-recs 8297 df-rdg 8335 df-1o 8391 df-er 8628 df-map 8758 df-en 8876 df-dom 8877 df-sdom 8878 df-fin 8879 df-card 9839 df-pnf 11155 df-mnf 11156 df-xr 11157 df-ltxr 11158 df-le 11159 df-sub 11353 df-neg 11354 df-nn 12133 df-2 12195 df-n0 12389 df-z 12476 df-uz 12739 df-fz 13410 df-fzo 13557 df-hash 14240 df-word 14423 df-concat 14480 df-s1 14506 df-substr 14551 df-pfx 14581 df-sets 17077 df-slot 17095 df-ndx 17107 df-base 17123 df-plusg 17176 df-mgm 18550 df-sgrp 18629 df-mnd 18645 df-mgp 20061 df-ring 20155 df-cring 20156 df-dvdsr 20277 df-unit 20278 df-rprm 20353 df-idom 20613

This theorem is referenced by: 1arithidom 33509

W3C validator