1arithidomlem2 - Mathbox for Thierry Arnoux

	Mathbox for Thierry Arnoux		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > 1arithidomlem2		Structured version Visualization version GIF version

Theorem 1arithidomlem2 33857

Description: Lemma for 1arithidom 33858: induction step. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
1arithidom.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
1arithidom.i	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
1arithidom.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
1arithidom.t	⊢ · = (._r‘𝑅)
1arithidom.j	⊢ 𝐽 = (0..^(♯‘𝐹))
1arithidom.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
1arithidom.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝑃)
1arithidom.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Word 𝑃)
1arithidom.1	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σ_g 𝐹) = (𝑀 Σ_g 𝐺))
1arithidomlem.1	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
1arithidomlem.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σ_g 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σ_g 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑_m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘_f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))
1arithidomlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Word 𝑃)
1arithidomlem.4	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σ_g (𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σ_g 𝐻)))
1arithidomlem.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐻)))
1arithidomlem.6	⊢ (𝜑 → 𝑄(∥_r‘𝑅)(𝐻‘𝐾))
1arithidomlem.7	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑈)
1arithidomlem.8	⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝑄) = (𝐻‘𝐾))
1arithidomlem.9	⊢ (𝜑 → 𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)))
1arithidomlem.10	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝑆) = (((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ++ ⟨“(𝐻‘𝐾)”⟩))
1arithidomlem.11	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑈)
1arithidomlem.12	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σ_g (𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)) = (𝑁 · (𝑀 Σ_g 𝐻)))
1arithidomlem.13	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑈 ↑_m (0..^(♯‘𝐹))))
1arithidomlem.14	⊢ (𝜑 → 𝐶:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)))
1arithidomlem.15	⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝐷 ∘_f · (𝐹 ∘ 𝐶)))

**Assertion**
Ref	Expression
1arithidomlem2	⊢ (𝜑 → (((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩))) ∧ 𝐻 = (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆)))))

Distinct variable groups: · ,𝑔,𝑘,𝑢,𝑤 𝑆,𝑔,𝑘,𝑢,𝑤 𝑢,𝑁,𝑤 𝑢,𝑇,𝑤 𝑘,𝐾,𝑢,𝑤 𝑔,𝐻,𝑘,𝑢,𝑤 𝑔,𝐹,𝑘,𝑢,𝑤 𝑢,𝐶 𝑃,𝑔,𝑘,𝑢 𝑔,𝑀,𝑘,𝑢 𝑅,𝑔,𝑘,𝑢 𝑄,𝑔,𝑘,𝑢,𝑤 𝑈,𝑔,𝑘,𝑢,𝑤 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑤, 𝑢, 𝑔, 𝑘) 𝐶(𝑤, 𝑔, 𝑘) 𝐷(𝑤, 𝑢, 𝑔, 𝑘) 𝑃(𝑤) 𝑅(𝑤) 𝑇(𝑔, 𝑘) 𝐺(𝑤, 𝑢, 𝑔, 𝑘) 𝐽(𝑤, 𝑢, 𝑔, 𝑘) 𝐾(𝑔) 𝑀(𝑤) 𝑁(𝑔, 𝑘)

Proof of Theorem 1arithidomlem2 Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1arithidom.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝑃)
2		ccatws1len 14680	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑃 → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1))
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1))
4		1arithidomlem.15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝐷 ∘_f · (𝐹 ∘ 𝐶)))
5	4	dmeqd 5900	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = dom (𝐷 ∘_f · (𝐹 ∘ 𝐶)))
6		1arithidomlem.9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)))
7		f1of 6827	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)) → 𝑆:(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻)))
8		iswrdi 14574	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆:(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻)) → 𝑆 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)))
9	6, 7, 8	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)))
10		eqidd 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = (♯‘𝐻))
11		1arithidomlem.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Word 𝑃)
12	10, 11	wrdfd 14576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑃)
13		wrdco 14894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)) ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑃) → (𝐻 ∘ 𝑆) ∈ Word 𝑃)
14	9, 12, 13	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝑆) ∈ Word 𝑃)
15		1arithidomlem.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐻)))
16		elfzo0 13748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐻)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐻) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (♯‘𝐻)))
17	16	simp2bi 1164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐻)) → (♯‘𝐻) ∈ ℕ)
18		nnm1nn0 12563	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐻) ∈ ℕ → ((♯‘𝐻) − 1) ∈ ℕ₀)
19	15, 17, 18	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 1) ∈ ℕ₀)
20		lenco 14895	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)) ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑃) → (♯‘(𝐻 ∘ 𝑆)) = (♯‘𝑆))
21	9, 12, 20	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐻 ∘ 𝑆)) = (♯‘𝑆))
22		lencl 14590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ₀)
23	9, 22	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ₀)
24	21, 23	eqeltrd 2866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐻 ∘ 𝑆)) ∈ ℕ₀)
25		lencl 14590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐻 ∈ Word 𝑃 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ₀)
26	11, 25	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ₀)
27	26	nn0red 12584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℝ)
28	27	lem1d 12166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 1) ≤ (♯‘𝐻))
29	6, 7	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑆:(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻)))
30		ffn 6712	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆:(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻)) → 𝑆 Fn (0..^(♯‘𝐻)))
31		hashfn 14431	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 Fn (0..^(♯‘𝐻)) → (♯‘𝑆) = (♯‘(0..^(♯‘𝐻))))
32	29, 30, 31	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = (♯‘(0..^(♯‘𝐻))))
33		hashfzo0 14487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝐻) ∈ ℕ₀ → (♯‘(0..^(♯‘𝐻))) = (♯‘𝐻))
34	11, 25, 33	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐻))) = (♯‘𝐻))
35	21, 32, 34	3eqtrrd 2806	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐻 ∘ 𝑆)))
36	28, 35	breqtrd 5142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 1) ≤ (♯‘(𝐻 ∘ 𝑆)))
37		elfz2nn0 13665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝐻) − 1) ∈ (0...(♯‘(𝐻 ∘ 𝑆))) ↔ (((♯‘𝐻) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘(𝐻 ∘ 𝑆)) ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝐻) − 1) ≤ (♯‘(𝐻 ∘ 𝑆))))
38	19, 24, 36, 37	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 1) ∈ (0...(♯‘(𝐻 ∘ 𝑆))))
39		pfxfn 14743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐻 ∘ 𝑆) ∈ Word 𝑃 ∧ ((♯‘𝐻) − 1) ∈ (0...(♯‘(𝐻 ∘ 𝑆)))) → ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) Fn (0..^((♯‘𝐻) − 1)))
40	14, 38, 39	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) Fn (0..^((♯‘𝐻) − 1)))
41	40	fndmd 6647	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (0..^((♯‘𝐻) − 1)))
42		eqid 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
43		1arithidom.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (._r‘𝑅)
44		1arithidom.r	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
45	44	idomringd 20863	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
46	45	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → 𝑅 ∈ Ring)
47		1arithidom.u	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
48	42, 47	unitcl 20490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
49	48	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
50		1arithidom.i	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
51	44	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → 𝑅 ∈ IDomn)
52		simprr 785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
53	42, 50, 51, 52	rprmcl 33839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
54	42, 43, 46, 49, 53	ringcld 20370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
55		1arithidomlem.13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑈 ↑_m (0..^(♯‘𝐹))))
56		elmapi 8855	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ (𝑈 ↑_m (0..^(♯‘𝐹))) → 𝐷:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑈)
57	55, 56	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑈)
58		eqidd 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐹))
59	58, 1	wrdfd 14576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑃)
60		1arithidomlem.14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)))
61		f1of 6827	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) → 𝐶:(0..^(♯‘𝐹))⟶(0..^(♯‘𝐹)))
62	60, 61	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0..^(♯‘𝐹))⟶(0..^(♯‘𝐹)))
63	59, 62	fcod 6738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐶):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑃)
64		ovexd 7458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) ∈ V)
65		inidm 4182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0..^(♯‘𝐹)) ∩ (0..^(♯‘𝐹))) = (0..^(♯‘𝐹))
66	54, 57, 63, 64, 64, 65	off 7705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘_f · (𝐹 ∘ 𝐶)):(0..^(♯‘𝐹))⟶(Base‘𝑅))
67	66	fdmd 6723	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝐷 ∘_f · (𝐹 ∘ 𝐶)) = (0..^(♯‘𝐹)))
68	5, 41, 67	3eqtr3d 2809	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝐻) − 1)) = (0..^(♯‘𝐹)))
69		lencl 14590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀)
70	1, 69	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀)
71	19, 70	fzo0opth 33185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0..^((♯‘𝐻) − 1)) = (0..^(♯‘𝐹)) ↔ ((♯‘𝐻) − 1) = (♯‘𝐹)))
72	68, 71	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 1) = (♯‘𝐹))
73	72	oveq1d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐻) − 1) + 1) = ((♯‘𝐹) + 1))
74	15, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ)
75	74	nncnd 12267	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℂ)
76		npcan1 11657	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐻) ∈ ℂ → (((♯‘𝐻) − 1) + 1) = (♯‘𝐻))
77	75, 76	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐻) − 1) + 1) = (♯‘𝐻))
78	73, 77	eqtr3d 2803	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐹) + 1) = (♯‘𝐻))
79	3, 78	eqtrd 2801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)) = (♯‘𝐻))
80	79	oveq2d 7439	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩))) = (0..^(♯‘𝐻)))
81		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝐶) = (♯‘𝐶)
82		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (0..^((♯‘𝐶) + 1)) = (0..^((♯‘𝐶) + 1))
83		f1ofn 6828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) → 𝐶 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
84		hashfn 14431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 Fn (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐶) = (♯‘(0..^(♯‘𝐹))))
85	60, 83, 84	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐶) = (♯‘(0..^(♯‘𝐹))))
86		hashfzo0 14487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (♯‘(0..^(♯‘𝐹))) = (♯‘𝐹))
87	70, 86	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐹))) = (♯‘𝐹))
88	85, 87	eqtrd 2801	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐶) = (♯‘𝐹))
89	88	oveq2d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐶)) = (0..^(♯‘𝐹)))
90		f1oeq23 6818	. . . . . . . 8 ⊢ (((0..^(♯‘𝐶)) = (0..^(♯‘𝐹)) ∧ (0..^(♯‘𝐶)) = (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐶:(0..^(♯‘𝐶))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐶)) ↔ 𝐶:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹))))
91	90	biimpar 483	. . . . . . 7 ⊢ ((((0..^(♯‘𝐶)) = (0..^(♯‘𝐹)) ∧ (0..^(♯‘𝐶)) = (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝐶:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹))) → 𝐶:(0..^(♯‘𝐶))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐶)))
92	89, 89, 60, 91	syl21anc 851	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0..^(♯‘𝐶))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐶)))
93	81, 82, 92	ccatws1f1o 33304	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐶)”⟩):(0..^((♯‘𝐶) + 1))–1-1-onto→(0..^((♯‘𝐶) + 1)))
94	88	s1eqd 14660	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨“(♯‘𝐶)”⟩ = ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)
95	94	oveq2d 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐶)”⟩) = (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))
96	88	oveq1d 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐶) + 1) = ((♯‘𝐹) + 1))
97	96, 78	eqtrd 2801	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐶) + 1) = (♯‘𝐻))
98	97	oveq2d 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝐶) + 1)) = (0..^(♯‘𝐻)))
99	95, 98, 98	f1oeq123d 6821	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐶)”⟩):(0..^((♯‘𝐶) + 1))–1-1-onto→(0..^((♯‘𝐶) + 1)) ↔ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩):(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻))))
100	93, 99	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩):(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)))
101		f1ocnv 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)) → ^◡𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)))
102	6, 101	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ^◡𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)))
103		f1oco 6851	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩):(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)) ∧ ^◡𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻))) → ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆):(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)))
104	100, 102, 103	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆):(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)))
105		f1oeq23 6818	. . . 4 ⊢ (((0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩))) = (0..^(♯‘𝐻)) ∧ (0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩))) = (0..^(♯‘𝐻))) → (((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩))) ↔ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆):(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻))))
106	105	biimpar 483	. . 3 ⊢ ((((0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩))) = (0..^(♯‘𝐻)) ∧ (0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩))) = (0..^(♯‘𝐻))) ∧ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆):(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻))) → ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩))))
107	80, 80, 104, 106	syl21anc 851	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩))))
108		f1ofo 6835	. . . 4 ⊢ (𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)) → 𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–onto→(0..^(♯‘𝐻)))
109	6, 108	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–onto→(0..^(♯‘𝐻)))
110	12	ffnd 6713	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐻)))
111		iswrdi 14574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑈 → 𝐷 ∈ Word 𝑈)
112	57, 111	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Word 𝑈)
113		ccatws1len 14680	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ Word 𝑈 → (♯‘(𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩)) = ((♯‘𝐷) + 1))
114	112, 113	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩)) = ((♯‘𝐷) + 1))
115		elmapfn 8871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ (𝑈 ↑_m (0..^(♯‘𝐹))) → 𝐷 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
116		hashfn 14431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 Fn (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐷) = (♯‘(0..^(♯‘𝐹))))
117	55, 115, 116	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐷) = (♯‘(0..^(♯‘𝐹))))
118	117, 87	eqtrd 2801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐷) = (♯‘𝐹))
119	118	oveq1d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐷) + 1) = ((♯‘𝐹) + 1))
120	114, 119, 78	3eqtrd 2805	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩)) = (♯‘𝐻))
121	120	oveq2d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘(𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩))) = (0..^(♯‘𝐻)))
122		eqidd 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩)) = (♯‘(𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩)))
123		1arithidomlem.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑈)
124		ccatws1cl 14676	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ Word 𝑈 ∧ 𝑇 ∈ 𝑈) → (𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∈ Word 𝑈)
125	112, 123, 124	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∈ Word 𝑈)
126	122, 125	wrdfd 14576	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩):(0..^(♯‘(𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩)))⟶𝑈)
127	121, 126	feq2dd 6698	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩):(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑈)
128	127	ffnd 6713	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) Fn (0..^(♯‘𝐻)))
129		f1of 6827	. . . . . 6 ⊢ (^◡𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)) → ^◡𝑆:(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻)))
130	6, 101, 129	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ^◡𝑆:(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻)))
131		fnfco 6750	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) Fn (0..^(♯‘𝐻)) ∧ ^◡𝑆:(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻))) → ((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) Fn (0..^(♯‘𝐻)))
132	128, 130, 131	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) Fn (0..^(♯‘𝐻)))
133	78	oveq2d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝐹) + 1)) = (0..^(♯‘𝐻)))
134	3	eqcomd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐹) + 1) = (♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)))
135		1arithidomlem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
136		ccatws1cl 14676	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ Word 𝑃)
137	1, 135, 136	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ Word 𝑃)
138	134, 137	wrdfd 14576	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶𝑃)
139	133, 138	feq2dd 6698	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩):(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑃)
140	139	ffnd 6713	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) Fn (0..^(♯‘𝐻)))
141		fzossfzop1 13791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
142	70, 141	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
143		sswrd 14579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝐹) + 1)) → Word (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ Word (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
144	142, 143	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Word (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ Word (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
145		iswrdi 14574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶:(0..^(♯‘𝐹))⟶(0..^(♯‘𝐹)) → 𝐶 ∈ Word (0..^(♯‘𝐹)))
146	62, 145	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word (0..^(♯‘𝐹)))
147	144, 146	sseldd 3941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
148		ccatws1len 14680	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ Word (0..^((♯‘𝐹) + 1)) → (♯‘(𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)) = ((♯‘𝐶) + 1))
149	147, 148	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)) = ((♯‘𝐶) + 1))
150	149, 96, 78	3eqtrrd 2806	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)))
151	142, 133	sseqtrd 3976	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘𝐻)))
152	62, 151	fssd 6730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0..^(♯‘𝐹))⟶(0..^(♯‘𝐻)))
153		iswrdi 14574	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶:(0..^(♯‘𝐹))⟶(0..^(♯‘𝐻)) → 𝐶 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)))
154	152, 153	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)))
155		fzonn0p1 13790	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝐹) ∈ (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
156	70, 155	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
157	156, 133	eleqtrd 2868	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐻)))
158		ccatws1cl 14676	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)) ∧ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐻))) → (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)))
159	154, 157, 158	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)))
160	150, 159	wrdfd 14576	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩):(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻)))
161	160, 130	fcod 6738	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆):(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻)))
162		fnfco 6750	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) Fn (0..^(♯‘𝐻)) ∧ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆):(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆)) Fn (0..^(♯‘𝐻)))
163	140, 161, 162	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆)) Fn (0..^(♯‘𝐻)))
164		ovexd 7458	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐻)) ∈ V)
165		inidm 4182	. . . 4 ⊢ ((0..^(♯‘𝐻)) ∩ (0..^(♯‘𝐻))) = (0..^(♯‘𝐻))
166	132, 163, 164, 164, 165	offn 7700	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆))) Fn (0..^(♯‘𝐻)))
167		1arithidomlem.10	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝑆) = (((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ++ ⟨“(𝐻‘𝐾)”⟩))
168		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘𝐹)
169	168, 1, 135, 60	ccatws1f1olast 33305	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)) = ((𝐹 ∘ 𝐶) ++ ⟨“𝑄”⟩))
170	169	oveq2d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))) = ((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ∘ 𝐶) ++ ⟨“𝑄”⟩)))
171	123	s1cld 14662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑇”⟩ ∈ Word 𝑈)
172		iswrdi 14574	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐶):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑃 → (𝐹 ∘ 𝐶) ∈ Word 𝑃)
173	63, 172	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐶) ∈ Word 𝑃)
174	135	s1cld 14662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑄”⟩ ∈ Word 𝑃)
175		lenco 14895	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ Word (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑃) → (♯‘(𝐹 ∘ 𝐶)) = (♯‘𝐶))
176	146, 59, 175	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐹 ∘ 𝐶)) = (♯‘𝐶))
177	85, 176, 117	3eqtr4rd 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐷) = (♯‘(𝐹 ∘ 𝐶)))
178		s1len 14665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘⟨“𝑇”⟩) = 1
179		s1len 14665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘⟨“𝑄”⟩) = 1
180	178, 179	eqtr4i 2792	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝑇”⟩) = (♯‘⟨“𝑄”⟩)
181	180	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘⟨“𝑇”⟩) = (♯‘⟨“𝑄”⟩))
182	112, 171, 173, 174, 177, 181	ofccat 15032	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ∘ 𝐶) ++ ⟨“𝑄”⟩)) = ((𝐷 ∘_f · (𝐹 ∘ 𝐶)) ++ (⟨“𝑇”⟩ ∘_f · ⟨“𝑄”⟩)))
183	170, 182	eqtrd 2801	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))) = ((𝐷 ∘_f · (𝐹 ∘ 𝐶)) ++ (⟨“𝑇”⟩ ∘_f · ⟨“𝑄”⟩)))
184	139, 160	fcod 6738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)):(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑃)
185	184	ffnd 6713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)) Fn (0..^(♯‘𝐻)))
186	128, 185, 130, 164, 164, 164, 165	ofco 7712	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))) ∘ ^◡𝑆) = (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · (((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)) ∘ ^◡𝑆)))
187	186	coeq1d 5852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))) ∘ ^◡𝑆) ∘ 𝑆) = ((((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · (((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)) ∘ ^◡𝑆)) ∘ 𝑆))
188		coass 6272	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))) ∘ ^◡𝑆) ∘ 𝑆) = (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))) ∘ (^◡𝑆 ∘ 𝑆))
189	187, 188	eqtr3di 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · (((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)) ∘ ^◡𝑆)) ∘ 𝑆) = (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))) ∘ (^◡𝑆 ∘ 𝑆)))
190		f1of1 6826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)) → 𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1→(0..^(♯‘𝐻)))
191	6, 190	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1→(0..^(♯‘𝐻)))
192		f1cocnv1 6858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1→(0..^(♯‘𝐻)) → (^◡𝑆 ∘ 𝑆) = ( I ↾ (0..^(♯‘𝐻))))
193	191, 192	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (^◡𝑆 ∘ 𝑆) = ( I ↾ (0..^(♯‘𝐻))))
194	193	coeq2d 5853	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))) ∘ (^◡𝑆 ∘ 𝑆)) = (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))) ∘ ( I ↾ (0..^(♯‘𝐻)))))
195	54, 127, 184, 164, 164, 165	off 7705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))):(0..^(♯‘𝐻))⟶(Base‘𝑅))
196		fcoi1 6759	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))):(0..^(♯‘𝐻))⟶(Base‘𝑅) → (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))) ∘ ( I ↾ (0..^(♯‘𝐻)))) = ((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))))
197	195, 196	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))) ∘ ( I ↾ (0..^(♯‘𝐻)))) = ((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))))
198	189, 194, 197	3eqtrd 2805	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · (((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)) ∘ ^◡𝑆)) ∘ 𝑆) = ((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))))
199		ofs1 15033	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑈 ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (⟨“𝑇”⟩ ∘_f · ⟨“𝑄”⟩) = ⟨“(𝑇 · 𝑄)”⟩)
200	123, 135, 199	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑇”⟩ ∘_f · ⟨“𝑄”⟩) = ⟨“(𝑇 · 𝑄)”⟩)
201		1arithidomlem.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝑄) = (𝐻‘𝐾))
202	201	s1eqd 14660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“(𝑇 · 𝑄)”⟩ = ⟨“(𝐻‘𝐾)”⟩)
203	200, 202	eqtr2d 2802	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨“(𝐻‘𝐾)”⟩ = (⟨“𝑇”⟩ ∘_f · ⟨“𝑄”⟩))
204	4, 203	oveq12d 7441	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ++ ⟨“(𝐻‘𝐾)”⟩) = ((𝐷 ∘_f · (𝐹 ∘ 𝐶)) ++ (⟨“𝑇”⟩ ∘_f · ⟨“𝑄”⟩)))
205	183, 198, 204	3eqtr4rd 2812	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ++ ⟨“(𝐻‘𝐾)”⟩) = ((((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · (((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)) ∘ ^◡𝑆)) ∘ 𝑆))
206		coass 6272	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)) ∘ ^◡𝑆) = ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆))
207	206	oveq2i 7434	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · (((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)) ∘ ^◡𝑆)) = (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆)))
208	207	coeq1i 5850	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · (((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)) ∘ ^◡𝑆)) ∘ 𝑆) = ((((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆))) ∘ 𝑆)
209	205, 208	eqtrdi 2817	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ++ ⟨“(𝐻‘𝐾)”⟩) = ((((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆))) ∘ 𝑆))
210	167, 209	eqtrd 2801	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝑆) = ((((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆))) ∘ 𝑆))
211		cocan2 7301	. . . 4 ⊢ ((𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–onto→(0..^(♯‘𝐻)) ∧ 𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐻)) ∧ (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆))) Fn (0..^(♯‘𝐻))) → ((𝐻 ∘ 𝑆) = ((((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆))) ∘ 𝑆) ↔ 𝐻 = (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆)))))
212	211	biimpa 482	. . 3 ⊢ (((𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–onto→(0..^(♯‘𝐻)) ∧ 𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐻)) ∧ (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆))) Fn (0..^(♯‘𝐻))) ∧ (𝐻 ∘ 𝑆) = ((((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆))) ∘ 𝑆)) → 𝐻 = (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆))))
213	109, 110, 166, 210, 212	syl31anc 1400	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆))))
214	107, 213	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩))) ∧ 𝐻 = (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆)))))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∃wex 1812 ∈ wcel 2146 ∀wral 3082 ∃wrex 3092 Vcvv 3458 ⊆ wss 3908 class class class wbr 5114 I cid 5560 ^◡ccnv 5665 dom cdm 5666 ↾ cres 5668 ∘ ccom 5670 Fn wfn 6538 ⟶wf 6539 –1-1→wf1 6540 –onto→wfo 6541 –1-1-onto→wf1o 6542 ‘cfv 6543 (class class class)co 7423 ∘_f cof 7685 ↑_m cmap 8833 ℂcc 11116 0cc0 11118 1c1 11119 + caddc 11121 < clt 11261 ≤ cle 11262 − cmin 11459 ℕcn 12251 ℕ₀cn0 12522 ...cfz 13553 ..^cfzo 13701 ♯chash 14386 Word cword 14570 ++ cconcat 14627 ⟨“cs1 14654 prefix cpfx 14732 Basecbs 17294 ._rcmulr 17336 Σ_g cgsu 17518 mulGrpcmgp 20247 Ringcrg 20346 ∥_rcdsr 20469 Unitcui 20470 RPrimecrpm 20547 IDomncidom 20829

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2148 ax-9 2156 ax-10 2179 ax-11 2195 ax-12 2216 ax-ext 2738 ax-rep 5243 ax-sep 5262 ax-nul 5274 ax-pow 5341 ax-pr 5409 ax-un 7745 ax-cnex 11174 ax-resscn 11175 ax-1cn 11176 ax-icn 11177 ax-addcl 11178 ax-addrcl 11179 ax-mulcl 11180 ax-mulrcl 11181 ax-mulcom 11182 ax-addass 11183 ax-mulass 11184 ax-distr 11185 ax-i2m1 11186 ax-1ne0 11187 ax-1rid 11188 ax-rnegex 11189 ax-rrecex 11190 ax-cnre 11191 ax-pre-lttri 11192 ax-pre-lttrn 11193 ax-pre-ltadd 11194 ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2570 df-eu 2600 df-clab 2745 df-cleq 2758 df-clel 2841 df-nfc 2915 df-ne 2962 df-nel 3068 df-ral 3083 df-rex 3093 df-reu 3373 df-rab 3420 df-v 3460 df-sbc 3748 df-csb 3857 df-dif 3911 df-un 3913 df-in 3915 df-ss 3925 df-pss 3928 df-nul 4290 df-if 4493 df-pw 4569 df-sn 4595 df-pr 4597 df-op 4601 df-uni 4878 df-int 4918 df-iun 4963 df-br 5115 df-opab 5179 df-mpt 5198 df-tr 5224 df-id 5561 df-eprel 5566 df-po 5574 df-so 5575 df-fr 5619 df-we 5621 df-xp 5672 df-rel 5673 df-cnv 5674 df-co 5675 df-dm 5676 df-rn 5677 df-res 5678 df-ima 5679 df-pred 6309 df-ord 6370 df-on 6371 df-lim 6372 df-suc 6373 df-iota 6499 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7380 df-ov 7426 df-oprab 7427 df-mpo 7428 df-of 7687 df-om 7872 df-1st 7995 df-2nd 7996 df-frecs 8287 df-wrecs 8318 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-1o 8462 df-er 8703 df-map 8835 df-en 8953 df-dom 8954 df-sdom 8955 df-fin 8956 df-card 9944 df-pnf 11263 df-mnf 11264 df-xr 11265 df-ltxr 11266 df-le 11267 df-sub 11461 df-neg 11462 df-nn 12252 df-2 12321 df-n0 12523 df-z 12610 df-uz 12881 df-fz 13554 df-fzo 13702 df-hash 14387 df-word 14571 df-concat 14628 df-s1 14655 df-substr 14701 df-pfx 14733 df-sets 17249 df-slot 17267 df-ndx 17279 df-base 17295 df-plusg 17348 df-mgm 18723 df-sgrp 18806 df-mnd 18822 df-mgp 20248 df-ring 20348 df-cring 20349 df-dvdsr 20472 df-unit 20473 df-rprm 20548 df-idom 20832

This theorem is used by: 1arithidom 33858

W3C validator