1arithidomlem2 - Mathbox for Thierry Arnoux

	Mathbox for Thierry Arnoux		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > 1arithidomlem2		Structured version Visualization version GIF version

Theorem 1arithidomlem2 33596

Description: Lemma for 1arithidom 33597: induction step. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
1arithidom.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
1arithidom.i	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
1arithidom.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
1arithidom.t	⊢ · = (._r‘𝑅)
1arithidom.j	⊢ 𝐽 = (0..^(♯‘𝐹))
1arithidom.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
1arithidom.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝑃)
1arithidom.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Word 𝑃)
1arithidom.1	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σ_g 𝐹) = (𝑀 Σ_g 𝐺))
1arithidomlem.1	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
1arithidomlem.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σ_g 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σ_g 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑_m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘_f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))
1arithidomlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Word 𝑃)
1arithidomlem.4	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σ_g (𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σ_g 𝐻)))
1arithidomlem.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐻)))
1arithidomlem.6	⊢ (𝜑 → 𝑄(∥_r‘𝑅)(𝐻‘𝐾))
1arithidomlem.7	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑈)
1arithidomlem.8	⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝑄) = (𝐻‘𝐾))
1arithidomlem.9	⊢ (𝜑 → 𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)))
1arithidomlem.10	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝑆) = (((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ++ ⟨“(𝐻‘𝐾)”⟩))
1arithidomlem.11	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑈)
1arithidomlem.12	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σ_g (𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)) = (𝑁 · (𝑀 Σ_g 𝐻)))
1arithidomlem.13	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑈 ↑_m (0..^(♯‘𝐹))))
1arithidomlem.14	⊢ (𝜑 → 𝐶:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)))
1arithidomlem.15	⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝐷 ∘_f · (𝐹 ∘ 𝐶)))

**Assertion**
Ref	Expression
1arithidomlem2	⊢ (𝜑 → (((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩))) ∧ 𝐻 = (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆)))))

Distinct variable groups: · ,𝑔,𝑘,𝑢,𝑤 𝑆,𝑔,𝑘,𝑢,𝑤 𝑢,𝑁,𝑤 𝑢,𝑇,𝑤 𝑘,𝐾,𝑢,𝑤 𝑔,𝐻,𝑘,𝑢,𝑤 𝑔,𝐹,𝑘,𝑢,𝑤 𝑢,𝐶 𝑃,𝑔,𝑘,𝑢 𝑔,𝑀,𝑘,𝑢 𝑅,𝑔,𝑘,𝑢 𝑄,𝑔,𝑘,𝑢,𝑤 𝑈,𝑔,𝑘,𝑢,𝑤 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑤,𝑢,𝑔,𝑘) 𝐶(𝑤,𝑔,𝑘) 𝐷(𝑤,𝑢,𝑔,𝑘) 𝑃(𝑤) 𝑅(𝑤) 𝑇(𝑔,𝑘) 𝐺(𝑤,𝑢,𝑔,𝑘) 𝐽(𝑤,𝑢,𝑔,𝑘) 𝐾(𝑔) 𝑀(𝑤) 𝑁(𝑔,𝑘)

Proof of Theorem 1arithidomlem2 Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1arithidom.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝑃)
2		ccatws1len 14583	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑃 → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1))
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1))
4		1arithidomlem.15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝐷 ∘_f · (𝐹 ∘ 𝐶)))
5	4	dmeqd 5860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = dom (𝐷 ∘_f · (𝐹 ∘ 𝐶)))
6		1arithidomlem.9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)))
7		f1of 6780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)) → 𝑆:(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻)))
8		iswrdi 14479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆:(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻)) → 𝑆 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)))
9	6, 7, 8	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)))
10		eqidd 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = (♯‘𝐻))
11		1arithidomlem.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Word 𝑃)
12	10, 11	wrdfd 14481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑃)
13		wrdco 14793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)) ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑃) → (𝐻 ∘ 𝑆) ∈ Word 𝑃)
14	9, 12, 13	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝑆) ∈ Word 𝑃)
15		1arithidomlem.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐻)))
16		elfzo0 13655	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐻)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐻) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (♯‘𝐻)))
17	16	simp2bi 1147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐻)) → (♯‘𝐻) ∈ ℕ)
18		nnm1nn0 12478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐻) ∈ ℕ → ((♯‘𝐻) − 1) ∈ ℕ₀)
19	15, 17, 18	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 1) ∈ ℕ₀)
20		lenco 14794	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)) ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑃) → (♯‘(𝐻 ∘ 𝑆)) = (♯‘𝑆))
21	9, 12, 20	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐻 ∘ 𝑆)) = (♯‘𝑆))
22		lencl 14495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ₀)
23	9, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ₀)
24	21, 23	eqeltrd 2836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐻 ∘ 𝑆)) ∈ ℕ₀)
25		lencl 14495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐻 ∈ Word 𝑃 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ₀)
26	11, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ₀)
27	26	nn0red 12499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℝ)
28	27	lem1d 12089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 1) ≤ (♯‘𝐻))
29	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑆:(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻)))
30		ffn 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆:(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻)) → 𝑆 Fn (0..^(♯‘𝐻)))
31		hashfn 14337	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 Fn (0..^(♯‘𝐻)) → (♯‘𝑆) = (♯‘(0..^(♯‘𝐻))))
32	29, 30, 31	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = (♯‘(0..^(♯‘𝐻))))
33		hashfzo0 14392	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝐻) ∈ ℕ₀ → (♯‘(0..^(♯‘𝐻))) = (♯‘𝐻))
34	11, 25, 33	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐻))) = (♯‘𝐻))
35	21, 32, 34	3eqtrrd 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐻 ∘ 𝑆)))
36	28, 35	breqtrd 5111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 1) ≤ (♯‘(𝐻 ∘ 𝑆)))
37		elfz2nn0 13572	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝐻) − 1) ∈ (0...(♯‘(𝐻 ∘ 𝑆))) ↔ (((♯‘𝐻) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘(𝐻 ∘ 𝑆)) ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝐻) − 1) ≤ (♯‘(𝐻 ∘ 𝑆))))
38	19, 24, 36, 37	syl3anbrc 1345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 1) ∈ (0...(♯‘(𝐻 ∘ 𝑆))))
39		pfxfn 14644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐻 ∘ 𝑆) ∈ Word 𝑃 ∧ ((♯‘𝐻) − 1) ∈ (0...(♯‘(𝐻 ∘ 𝑆)))) → ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) Fn (0..^((♯‘𝐻) − 1)))
40	14, 38, 39	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) Fn (0..^((♯‘𝐻) − 1)))
41	40	fndmd 6603	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (0..^((♯‘𝐻) − 1)))
42		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
43		1arithidom.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (._r‘𝑅)
44		1arithidom.r	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
45	44	idomringd 20705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
46	45	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → 𝑅 ∈ Ring)
47		1arithidom.u	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
48	42, 47	unitcl 20355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
49	48	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
50		1arithidom.i	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
51	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → 𝑅 ∈ IDomn)
52		simprr 773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
53	42, 50, 51, 52	rprmcl 33578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
54	42, 43, 46, 49, 53	ringcld 20241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
55		1arithidomlem.13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑈 ↑_m (0..^(♯‘𝐹))))
56		elmapi 8796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ (𝑈 ↑_m (0..^(♯‘𝐹))) → 𝐷:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑈)
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑈)
58		eqidd 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐹))
59	58, 1	wrdfd 14481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑃)
60		1arithidomlem.14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)))
61		f1of 6780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) → 𝐶:(0..^(♯‘𝐹))⟶(0..^(♯‘𝐹)))
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0..^(♯‘𝐹))⟶(0..^(♯‘𝐹)))
63	59, 62	fcod 6693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐶):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑃)
64		ovexd 7402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) ∈ V)
65		inidm 4167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0..^(♯‘𝐹)) ∩ (0..^(♯‘𝐹))) = (0..^(♯‘𝐹))
66	54, 57, 63, 64, 64, 65	off 7649	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘_f · (𝐹 ∘ 𝐶)):(0..^(♯‘𝐹))⟶(Base‘𝑅))
67	66	fdmd 6678	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝐷 ∘_f · (𝐹 ∘ 𝐶)) = (0..^(♯‘𝐹)))
68	5, 41, 67	3eqtr3d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝐻) − 1)) = (0..^(♯‘𝐹)))
69		lencl 14495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀)
70	1, 69	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀)
71	19, 70	fzo0opth 32876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0..^((♯‘𝐻) − 1)) = (0..^(♯‘𝐹)) ↔ ((♯‘𝐻) − 1) = (♯‘𝐹)))
72	68, 71	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 1) = (♯‘𝐹))
73	72	oveq1d 7382	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐻) − 1) + 1) = ((♯‘𝐹) + 1))
74	15, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ)
75	74	nncnd 12190	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℂ)
76		npcan1 11575	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐻) ∈ ℂ → (((♯‘𝐻) − 1) + 1) = (♯‘𝐻))
77	75, 76	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐻) − 1) + 1) = (♯‘𝐻))
78	73, 77	eqtr3d 2773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐹) + 1) = (♯‘𝐻))
79	3, 78	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)) = (♯‘𝐻))
80	79	oveq2d 7383	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩))) = (0..^(♯‘𝐻)))
81		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝐶) = (♯‘𝐶)
82		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (0..^((♯‘𝐶) + 1)) = (0..^((♯‘𝐶) + 1))
83		f1ofn 6781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) → 𝐶 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
84		hashfn 14337	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 Fn (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐶) = (♯‘(0..^(♯‘𝐹))))
85	60, 83, 84	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐶) = (♯‘(0..^(♯‘𝐹))))
86		hashfzo0 14392	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (♯‘(0..^(♯‘𝐹))) = (♯‘𝐹))
87	70, 86	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐹))) = (♯‘𝐹))
88	85, 87	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐶) = (♯‘𝐹))
89	88	oveq2d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐶)) = (0..^(♯‘𝐹)))
90		f1oeq23 6771	. . . . . . . 8 ⊢ (((0..^(♯‘𝐶)) = (0..^(♯‘𝐹)) ∧ (0..^(♯‘𝐶)) = (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐶:(0..^(♯‘𝐶))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐶)) ↔ 𝐶:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹))))
91	90	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((((0..^(♯‘𝐶)) = (0..^(♯‘𝐹)) ∧ (0..^(♯‘𝐶)) = (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝐶:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹))) → 𝐶:(0..^(♯‘𝐶))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐶)))
92	89, 89, 60, 91	syl21anc 838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0..^(♯‘𝐶))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐶)))
93	81, 82, 92	ccatws1f1o 33011	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐶)”⟩):(0..^((♯‘𝐶) + 1))–1-1-onto→(0..^((♯‘𝐶) + 1)))
94	88	s1eqd 14564	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨“(♯‘𝐶)”⟩ = ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)
95	94	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐶)”⟩) = (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))
96	88	oveq1d 7382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐶) + 1) = ((♯‘𝐹) + 1))
97	96, 78	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐶) + 1) = (♯‘𝐻))
98	97	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝐶) + 1)) = (0..^(♯‘𝐻)))
99	95, 98, 98	f1oeq123d 6774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐶)”⟩):(0..^((♯‘𝐶) + 1))–1-1-onto→(0..^((♯‘𝐶) + 1)) ↔ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩):(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻))))
100	93, 99	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩):(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)))
101		f1ocnv 6792	. . . . 5 ⊢ (𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)) → ^◡𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)))
102	6, 101	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ^◡𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)))
103		f1oco 6803	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩):(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)) ∧ ^◡𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻))) → ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆):(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)))
104	100, 102, 103	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆):(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)))
105		f1oeq23 6771	. . . 4 ⊢ (((0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩))) = (0..^(♯‘𝐻)) ∧ (0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩))) = (0..^(♯‘𝐻))) → (((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩))) ↔ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆):(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻))))
106	105	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((((0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩))) = (0..^(♯‘𝐻)) ∧ (0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩))) = (0..^(♯‘𝐻))) ∧ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆):(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻))) → ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩))))
107	80, 80, 104, 106	syl21anc 838	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩))))
108		f1ofo 6787	. . . 4 ⊢ (𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)) → 𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–onto→(0..^(♯‘𝐻)))
109	6, 108	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–onto→(0..^(♯‘𝐻)))
110	12	ffnd 6669	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐻)))
111		iswrdi 14479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑈 → 𝐷 ∈ Word 𝑈)
112	57, 111	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Word 𝑈)
113		ccatws1len 14583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ Word 𝑈 → (♯‘(𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩)) = ((♯‘𝐷) + 1))
114	112, 113	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩)) = ((♯‘𝐷) + 1))
115		elmapfn 8812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ (𝑈 ↑_m (0..^(♯‘𝐹))) → 𝐷 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
116		hashfn 14337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 Fn (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐷) = (♯‘(0..^(♯‘𝐹))))
117	55, 115, 116	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐷) = (♯‘(0..^(♯‘𝐹))))
118	117, 87	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐷) = (♯‘𝐹))
119	118	oveq1d 7382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐷) + 1) = ((♯‘𝐹) + 1))
120	114, 119, 78	3eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩)) = (♯‘𝐻))
121	120	oveq2d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘(𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩))) = (0..^(♯‘𝐻)))
122		eqidd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩)) = (♯‘(𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩)))
123		1arithidomlem.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑈)
124		ccatws1cl 14579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ Word 𝑈 ∧ 𝑇 ∈ 𝑈) → (𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∈ Word 𝑈)
125	112, 123, 124	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∈ Word 𝑈)
126	122, 125	wrdfd 14481	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩):(0..^(♯‘(𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩)))⟶𝑈)
127	121, 126	feq2dd 6654	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩):(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑈)
128	127	ffnd 6669	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) Fn (0..^(♯‘𝐻)))
129		f1of 6780	. . . . . 6 ⊢ (^◡𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)) → ^◡𝑆:(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻)))
130	6, 101, 129	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ^◡𝑆:(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻)))
131		fnfco 6705	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) Fn (0..^(♯‘𝐻)) ∧ ^◡𝑆:(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻))) → ((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) Fn (0..^(♯‘𝐻)))
132	128, 130, 131	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) Fn (0..^(♯‘𝐻)))
133	78	oveq2d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝐹) + 1)) = (0..^(♯‘𝐻)))
134	3	eqcomd 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐹) + 1) = (♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)))
135		1arithidomlem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
136		ccatws1cl 14579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ Word 𝑃)
137	1, 135, 136	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ Word 𝑃)
138	134, 137	wrdfd 14481	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶𝑃)
139	133, 138	feq2dd 6654	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩):(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑃)
140	139	ffnd 6669	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) Fn (0..^(♯‘𝐻)))
141		fzossfzop1 13698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
142	70, 141	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
143		sswrd 14484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝐹) + 1)) → Word (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ Word (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
144	142, 143	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Word (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ Word (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
145		iswrdi 14479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶:(0..^(♯‘𝐹))⟶(0..^(♯‘𝐹)) → 𝐶 ∈ Word (0..^(♯‘𝐹)))
146	62, 145	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word (0..^(♯‘𝐹)))
147	144, 146	sseldd 3922	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
148		ccatws1len 14583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ Word (0..^((♯‘𝐹) + 1)) → (♯‘(𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)) = ((♯‘𝐶) + 1))
149	147, 148	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)) = ((♯‘𝐶) + 1))
150	149, 96, 78	3eqtrrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)))
151	142, 133	sseqtrd 3958	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘𝐻)))
152	62, 151	fssd 6685	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0..^(♯‘𝐹))⟶(0..^(♯‘𝐻)))
153		iswrdi 14479	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶:(0..^(♯‘𝐹))⟶(0..^(♯‘𝐻)) → 𝐶 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)))
154	152, 153	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)))
155		fzonn0p1 13697	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝐹) ∈ (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
156	70, 155	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
157	156, 133	eleqtrd 2838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐻)))
158		ccatws1cl 14579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)) ∧ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐻))) → (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)))
159	154, 157, 158	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)))
160	150, 159	wrdfd 14481	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩):(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻)))
161	160, 130	fcod 6693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆):(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻)))
162		fnfco 6705	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) Fn (0..^(♯‘𝐻)) ∧ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆):(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆)) Fn (0..^(♯‘𝐻)))
163	140, 161, 162	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆)) Fn (0..^(♯‘𝐻)))
164		ovexd 7402	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐻)) ∈ V)
165		inidm 4167	. . . 4 ⊢ ((0..^(♯‘𝐻)) ∩ (0..^(♯‘𝐻))) = (0..^(♯‘𝐻))
166	132, 163, 164, 164, 165	offn 7644	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆))) Fn (0..^(♯‘𝐻)))
167		1arithidomlem.10	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝑆) = (((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ++ ⟨“(𝐻‘𝐾)”⟩))
168		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘𝐹)
169	168, 1, 135, 60	ccatws1f1olast 33012	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)) = ((𝐹 ∘ 𝐶) ++ ⟨“𝑄”⟩))
170	169	oveq2d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))) = ((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ∘ 𝐶) ++ ⟨“𝑄”⟩)))
171	123	s1cld 14566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑇”⟩ ∈ Word 𝑈)
172		iswrdi 14479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐶):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑃 → (𝐹 ∘ 𝐶) ∈ Word 𝑃)
173	63, 172	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐶) ∈ Word 𝑃)
174	135	s1cld 14566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑄”⟩ ∈ Word 𝑃)
175		lenco 14794	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ Word (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑃) → (♯‘(𝐹 ∘ 𝐶)) = (♯‘𝐶))
176	146, 59, 175	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐹 ∘ 𝐶)) = (♯‘𝐶))
177	85, 176, 117	3eqtr4rd 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐷) = (♯‘(𝐹 ∘ 𝐶)))
178		s1len 14569	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘⟨“𝑇”⟩) = 1
179		s1len 14569	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘⟨“𝑄”⟩) = 1
180	178, 179	eqtr4i 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝑇”⟩) = (♯‘⟨“𝑄”⟩)
181	180	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘⟨“𝑇”⟩) = (♯‘⟨“𝑄”⟩))
182	112, 171, 173, 174, 177, 181	ofccat 14931	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ∘ 𝐶) ++ ⟨“𝑄”⟩)) = ((𝐷 ∘_f · (𝐹 ∘ 𝐶)) ++ (⟨“𝑇”⟩ ∘_f · ⟨“𝑄”⟩)))
183	170, 182	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))) = ((𝐷 ∘_f · (𝐹 ∘ 𝐶)) ++ (⟨“𝑇”⟩ ∘_f · ⟨“𝑄”⟩)))
184	139, 160	fcod 6693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)):(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑃)
185	184	ffnd 6669	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)) Fn (0..^(♯‘𝐻)))
186	128, 185, 130, 164, 164, 164, 165	ofco 7656	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))) ∘ ^◡𝑆) = (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · (((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)) ∘ ^◡𝑆)))
187	186	coeq1d 5816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))) ∘ ^◡𝑆) ∘ 𝑆) = ((((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · (((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)) ∘ ^◡𝑆)) ∘ 𝑆))
188		coass 6230	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))) ∘ ^◡𝑆) ∘ 𝑆) = (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))) ∘ (^◡𝑆 ∘ 𝑆))
189	187, 188	eqtr3di 2786	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · (((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)) ∘ ^◡𝑆)) ∘ 𝑆) = (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))) ∘ (^◡𝑆 ∘ 𝑆)))
190		f1of1 6779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)) → 𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1→(0..^(♯‘𝐻)))
191	6, 190	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1→(0..^(♯‘𝐻)))
192		f1cocnv1 6810	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1→(0..^(♯‘𝐻)) → (^◡𝑆 ∘ 𝑆) = ( I ↾ (0..^(♯‘𝐻))))
193	191, 192	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (^◡𝑆 ∘ 𝑆) = ( I ↾ (0..^(♯‘𝐻))))
194	193	coeq2d 5817	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))) ∘ (^◡𝑆 ∘ 𝑆)) = (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))) ∘ ( I ↾ (0..^(♯‘𝐻)))))
195	54, 127, 184, 164, 164, 165	off 7649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))):(0..^(♯‘𝐻))⟶(Base‘𝑅))
196		fcoi1 6714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))):(0..^(♯‘𝐻))⟶(Base‘𝑅) → (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))) ∘ ( I ↾ (0..^(♯‘𝐻)))) = ((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))))
197	195, 196	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))) ∘ ( I ↾ (0..^(♯‘𝐻)))) = ((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))))
198	189, 194, 197	3eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · (((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)) ∘ ^◡𝑆)) ∘ 𝑆) = ((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩))))
199		ofs1 14932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑈 ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (⟨“𝑇”⟩ ∘_f · ⟨“𝑄”⟩) = ⟨“(𝑇 · 𝑄)”⟩)
200	123, 135, 199	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑇”⟩ ∘_f · ⟨“𝑄”⟩) = ⟨“(𝑇 · 𝑄)”⟩)
201		1arithidomlem.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝑄) = (𝐻‘𝐾))
202	201	s1eqd 14564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“(𝑇 · 𝑄)”⟩ = ⟨“(𝐻‘𝐾)”⟩)
203	200, 202	eqtr2d 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨“(𝐻‘𝐾)”⟩ = (⟨“𝑇”⟩ ∘_f · ⟨“𝑄”⟩))
204	4, 203	oveq12d 7385	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ++ ⟨“(𝐻‘𝐾)”⟩) = ((𝐷 ∘_f · (𝐹 ∘ 𝐶)) ++ (⟨“𝑇”⟩ ∘_f · ⟨“𝑄”⟩)))
205	183, 198, 204	3eqtr4rd 2782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ++ ⟨“(𝐻‘𝐾)”⟩) = ((((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · (((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)) ∘ ^◡𝑆)) ∘ 𝑆))
206		coass 6230	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)) ∘ ^◡𝑆) = ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆))
207	206	oveq2i 7378	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · (((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)) ∘ ^◡𝑆)) = (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆)))
208	207	coeq1i 5814	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · (((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ (𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩)) ∘ ^◡𝑆)) ∘ 𝑆) = ((((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆))) ∘ 𝑆)
209	205, 208	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ++ ⟨“(𝐻‘𝐾)”⟩) = ((((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆))) ∘ 𝑆))
210	167, 209	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝑆) = ((((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆))) ∘ 𝑆))
211		cocan2 7247	. . . 4 ⊢ ((𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–onto→(0..^(♯‘𝐻)) ∧ 𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐻)) ∧ (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆))) Fn (0..^(♯‘𝐻))) → ((𝐻 ∘ 𝑆) = ((((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆))) ∘ 𝑆) ↔ 𝐻 = (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆)))))
212	211	biimpa 476	. . 3 ⊢ (((𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–onto→(0..^(♯‘𝐻)) ∧ 𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐻)) ∧ (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆))) Fn (0..^(♯‘𝐻))) ∧ (𝐻 ∘ 𝑆) = ((((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆))) ∘ 𝑆)) → 𝐻 = (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆))))
213	109, 110, 166, 210, 212	syl31anc 1376	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆))))
214	107, 213	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩))) ∧ 𝐻 = (((𝐷 ++ ⟨“𝑇”⟩) ∘ ^◡𝑆) ∘_f · ((𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩) ∘ ((𝐶 ++ ⟨“(♯‘𝐹)”⟩) ∘ ^◡𝑆)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∃wex 1781 ∈ wcel 2114 ∀wral 3051 ∃wrex 3061 Vcvv 3429 ⊆ wss 3889 class class class wbr 5085 I cid 5525 ^◡ccnv 5630 dom cdm 5631 ↾ cres 5633 ∘ ccom 5635 Fn wfn 6493 ⟶wf 6494 –1-1→wf1 6495 –onto→wfo 6496 –1-1-onto→wf1o 6497 ‘cfv 6498 (class class class)co 7367 ∘_f cof 7629 ↑_m cmap 8773 ℂcc 11036 0cc0 11038 1c1 11039 + caddc 11041 < clt 11179 ≤ cle 11180 − cmin 11377 ℕcn 12174 ℕ₀cn0 12437 ...cfz 13461 ..^cfzo 13608 ♯chash 14292 Word cword 14475 ++ cconcat 14532 ⟨“cs1 14558 prefix cpfx 14633 Basecbs 17179 ._rcmulr 17221 Σ_g cgsu 17403 mulGrpcmgp 20121 Ringcrg 20214 ∥_rcdsr 20334 Unitcui 20335 RPrimecrpm 20412 IDomncidom 20670

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2708 ax-rep 5212 ax-sep 5231 ax-nul 5241 ax-pow 5307 ax-pr 5375 ax-un 7689 ax-cnex 11094 ax-resscn 11095 ax-1cn 11096 ax-icn 11097 ax-addcl 11098 ax-addrcl 11099 ax-mulcl 11100 ax-mulrcl 11101 ax-mulcom 11102 ax-addass 11103 ax-mulass 11104 ax-distr 11105 ax-i2m1 11106 ax-1ne0 11107 ax-1rid 11108 ax-rnegex 11109 ax-rrecex 11110 ax-cnre 11111 ax-pre-lttri 11112 ax-pre-lttrn 11113 ax-pre-ltadd 11114 ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3062 df-reu 3343 df-rab 3390 df-v 3431 df-sbc 3729 df-csb 3838 df-dif 3892 df-un 3894 df-in 3896 df-ss 3906 df-pss 3909 df-nul 4274 df-if 4467 df-pw 4543 df-sn 4568 df-pr 4570 df-op 4574 df-uni 4851 df-int 4890 df-iun 4935 df-br 5086 df-opab 5148 df-mpt 5167 df-tr 5193 df-id 5526 df-eprel 5531 df-po 5539 df-so 5540 df-fr 5584 df-we 5586 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6265 df-ord 6326 df-on 6327 df-lim 6328 df-suc 6329 df-iota 6454 df-fun 6500 df-fn 6501 df-f 6502 df-f1 6503 df-fo 6504 df-f1o 6505 df-fv 6506 df-riota 7324 df-ov 7370 df-oprab 7371 df-mpo 7372 df-of 7631 df-om 7818 df-1st 7942 df-2nd 7943 df-frecs 8231 df-wrecs 8262 df-recs 8311 df-rdg 8349 df-1o 8405 df-er 8643 df-map 8775 df-en 8894 df-dom 8895 df-sdom 8896 df-fin 8897 df-card 9863 df-pnf 11181 df-mnf 11182 df-xr 11183 df-ltxr 11184 df-le 11185 df-sub 11379 df-neg 11380 df-nn 12175 df-2 12244 df-n0 12438 df-z 12525 df-uz 12789 df-fz 13462 df-fzo 13609 df-hash 14293 df-word 14476 df-concat 14533 df-s1 14559 df-substr 14604 df-pfx 14634 df-sets 17134 df-slot 17152 df-ndx 17164 df-base 17180 df-plusg 17233 df-mgm 18608 df-sgrp 18687 df-mnd 18703 df-mgp 20122 df-ring 20216 df-cring 20217 df-dvdsr 20337 df-unit 20338 df-rprm 20413 df-idom 20673

This theorem is referenced by: 1arithidom 33597

W3C validator