Theorem rprmasso3 33610

Description: In an integral domain, if a prime element divides another, they are associates. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmasso.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rprmasso.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmasso.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rprmasso.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
rprmasso.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
rprmasso.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ 𝑌)
rprmasso2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
rprmasso3.1	⊢ · = (.r‘𝑅)
rprmasso3.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rprmasso3	⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝑈 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)

Distinct variable groups:   𝑡, ∥   𝑡,𝐵   𝑡,𝑅   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝜑,𝑡   𝑡, ·   𝑡,𝑈

Allowed substitution hint:   𝑃(𝑡)

Proof of Theorem rprmasso3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmasso.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ 𝑌)
2		rprmasso.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rprmasso.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
4		rprmasso.d	. . 3 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
5		rprmasso.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
6		rprmasso.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
7		rprmasso2.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
8	2, 3, 4, 5, 6, 1, 7	rprmasso2 33609	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∥ 𝑋)
9		eqid 2736	. . 3 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
10	2, 3, 5, 6	rprmcl 33601	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	2, 3, 5, 7	rprmcl 33601	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
12		rprmasso3.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
13		rprmasso3.1	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
14	2, 9, 4, 10, 11, 12, 13, 5	dvdsruasso 33468	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝑈 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
15	1, 8, 14	mpbi2and 712	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝑈 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17138  ._rcmulr 17180  ∥_rcdsr 20292  Unitcui 20293  RPrimecrpm 20370  IDomncidom 20628  RSpancrsp 21164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-0g 17363  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-cmn 19713  df-abl 19714  df-mgp 20078  df-rng 20090  df-ur 20119  df-ring 20172  df-cring 20173  df-oppr 20275  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-rprm 20371  df-nzr 20448  df-domn 20630  df-idom 20631

This theorem is referenced by:  1arithidom  33620