Theorem rprmasso3 34129

Description: In an integral domain, if a prime element divides another, they are associates. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmasso.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rprmasso.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmasso.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rprmasso.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
rprmasso.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
rprmasso.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ 𝑌)
rprmasso2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
rprmasso3.1	⊢ · = (.r‘𝑅)
rprmasso3.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rprmasso3	⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝑈 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)

Distinct variable groups:   𝑡, ∥   𝑡,𝐵   𝑡,𝑅   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝜑,𝑡   𝑡, ·   𝑡,𝑈

Allowed substitution hint:   𝑃(𝑡)

Proof of Theorem rprmasso3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmasso.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ 𝑌)
2		rprmasso.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rprmasso.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
4		rprmasso.d	. . 3 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
5		rprmasso.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
6		rprmasso.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
7		rprmasso2.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
8	2, 3, 4, 5, 6, 1, 7	rprmasso2 34128	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∥ 𝑋)
9		eqid 2763	. . 3 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
10	2, 3, 5, 6	rprmcl 34120	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	2, 3, 5, 7	rprmcl 34120	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
12		rprmasso3.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
13		rprmasso3.1	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
14	2, 9, 4, 10, 11, 12, 13, 5	dvdsruasso 34010	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝑈 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
15	1, 8, 14	mpbi2and 725	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝑈 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  ._rcmulr 17458  ∥_rcdsr 20614  Unitcui 20615  RPrimecrpm 20692  IDomncidom 20975  RSpancrsp 21515

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-tpos 8271  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-cring 20492  df-oppr 20597  df-dvdsr 20617  df-unit 20618  df-invr 20648  df-rprm 20693  df-nzr 20793  df-domn 20977  df-idom 20978

This theorem is used by:  1arithidom  34139