Theorem rprmasso3 34041

Description: In an integral domain, if a prime element divides another, they are associates. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmasso.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rprmasso.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmasso.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rprmasso.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
rprmasso.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
rprmasso.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ 𝑌)
rprmasso2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
rprmasso3.1	⊢ · = (.r‘𝑅)
rprmasso3.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rprmasso3	⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝑈 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)

Distinct variable groups:   𝑡, ∥   𝑡,𝐵   𝑡,𝑅   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝜑,𝑡   𝑡, ·   𝑡,𝑈

Allowed substitution hint:   𝑃(𝑡)

Proof of Theorem rprmasso3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmasso.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ 𝑌)
2		rprmasso.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rprmasso.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
4		rprmasso.d	. . 3 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
5		rprmasso.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
6		rprmasso.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
7		rprmasso2.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
8	2, 3, 4, 5, 6, 1, 7	rprmasso2 34040	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∥ 𝑋)
9		eqid 2761	. . 3 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
10	2, 3, 5, 6	rprmcl 34032	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	2, 3, 5, 7	rprmcl 34032	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
12		rprmasso3.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
13		rprmasso3.1	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
14	2, 9, 4, 10, 11, 12, 13, 5	dvdsruasso 33922	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝑈 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
15	1, 8, 14	mpbi2and 725	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝑈 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  ._rcmulr 17409  ∥_rcdsr 20564  Unitcui 20565  RPrimecrpm 20642  IDomncidom 20925  RSpancrsp 21465

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-cring 20442  df-oppr 20547  df-dvdsr 20567  df-unit 20568  df-invr 20598  df-rprm 20643  df-nzr 20743  df-domn 20927  df-idom 20928

This theorem is used by:  1arithidom  34051