Theorem rprmasso3 33512

Description: In an integral domain, if a prime element divides another, they are associates. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmasso.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rprmasso.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmasso.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rprmasso.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
rprmasso.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
rprmasso.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ 𝑌)
rprmasso2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
rprmasso3.1	⊢ · = (.r‘𝑅)
rprmasso3.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rprmasso3	⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝑈 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)

Distinct variable groups:   𝑡, ∥   𝑡,𝐵   𝑡,𝑅   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝜑,𝑡   𝑡, ·   𝑡,𝑈

Allowed substitution hint:   𝑃(𝑡)

Proof of Theorem rprmasso3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmasso.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ 𝑌)
2		rprmasso.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rprmasso.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
4		rprmasso.d	. . 3 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
5		rprmasso.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
6		rprmasso.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
7		rprmasso2.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
8	2, 3, 4, 5, 6, 1, 7	rprmasso2 33511	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∥ 𝑋)
9		eqid 2740	. . 3 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
10	2, 3, 5, 6	rprmcl 33503	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	2, 3, 5, 7	rprmcl 33503	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
12		rprmasso3.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
13		rprmasso3.1	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
14	2, 9, 4, 10, 11, 12, 13, 5	dvdsruasso 33370	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝑈 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
15	1, 8, 14	mpbi2and 711	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝑈 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166  ‘cfv 6568  (class class class)co 7443  Basecbs 17252  ._rcmulr 17306  ∥_rcdsr 20374  Unitcui 20375  RPrimecrpm 20452  IDomncidom 20709  RSpancrsp 21234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7764  ax-cnex 11234  ax-resscn 11235  ax-1cn 11236  ax-icn 11237  ax-addcl 11238  ax-addrcl 11239  ax-mulcl 11240  ax-mulrcl 11241  ax-mulcom 11242  ax-addass 11243  ax-mulass 11244  ax-distr 11245  ax-i2m1 11246  ax-1ne0 11247  ax-1rid 11248  ax-rnegex 11249  ax-rrecex 11250  ax-cnre 11251  ax-pre-lttri 11252  ax-pre-lttrn 11253  ax-pre-ltadd 11254  ax-pre-mulgt0 11255

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5650  df-we 5652  df-xp 5701  df-rel 5702  df-cnv 5703  df-co 5704  df-dm 5705  df-rn 5706  df-res 5707  df-ima 5708  df-pred 6327  df-ord 6393  df-on 6394  df-lim 6395  df-suc 6396  df-iota 6520  df-fun 6570  df-fn 6571  df-f 6572  df-f1 6573  df-fo 6574  df-f1o 6575  df-fv 6576  df-riota 7399  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7898  df-1st 8024  df-2nd 8025  df-tpos 8261  df-frecs 8316  df-wrecs 8347  df-recs 8421  df-rdg 8460  df-er 8757  df-en 8998  df-dom 8999  df-sdom 9000  df-pnf 11320  df-mnf 11321  df-xr 11322  df-ltxr 11323  df-le 11324  df-sub 11516  df-neg 11517  df-nn 12288  df-2 12350  df-3 12351  df-sets 17205  df-slot 17223  df-ndx 17235  df-base 17253  df-ress 17282  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-0g 17495  df-mgm 18672  df-sgrp 18751  df-mnd 18767  df-grp 18970  df-minusg 18971  df-sbg 18972  df-cmn 19818  df-abl 19819  df-mgp 20156  df-rng 20174  df-ur 20203  df-ring 20256  df-cring 20257  df-oppr 20354  df-dvdsr 20377  df-unit 20378  df-invr 20408  df-rprm 20453  df-nzr 20533  df-domn 20711  df-idom 20712

This theorem is referenced by:  1arithidom  33522