Theorem rsprprmprmidl 33602

Description: In a commutative ring, ideals generated by prime elements are prime ideals. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rsprprmprmidl.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rsprprmprmidl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rsprprmprmidl.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RPrime‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rsprprmprmidl	⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝑃}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem rsprprmprmidl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rsprprmprmidl.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2	1	crngringd 20216	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (RPrime‘𝑅) = (RPrime‘𝑅)
5		rsprprmprmidl.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RPrime‘𝑅))
6	3, 4, 1, 5	rprmcl 33598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Base‘𝑅))
7	6	snssd 4753	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑃} ⊆ (Base‘𝑅))
8		rsprprmprmidl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
10	8, 3, 9	rspcl 21223	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑃} ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝐾‘{𝑃}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
11	2, 7, 10	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝑃}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
12		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
13	3, 12	ringidcl 20235	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
14	2, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
15		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
16	4, 15, 1, 5	rprmnunit 33601	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∈ (Unit‘𝑅))
17	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)) → 𝑅 ∈ CRing)
18		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)) → 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
19	15, 12	1unit 20343	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
20	2, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
21	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
22		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
23	15, 22	dvdsunit 20348	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑃 ∈ (Unit‘𝑅))
24	17, 18, 21, 23	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)) → 𝑃 ∈ (Unit‘𝑅))
25	16, 24	mtand 816	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
26	3, 8, 22, 2, 6	ellpi 33453	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) ∈ (𝐾‘{𝑃}) ↔ 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
27	25, 26	mtbird 325	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (1r‘𝑅) ∈ (𝐾‘{𝑃}))
28		nelne1 3030	. . . 4 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ¬ (1r‘𝑅) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → (Base‘𝑅) ≠ (𝐾‘{𝑃}))
29	14, 27, 28	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ≠ (𝐾‘{𝑃}))
30	29	necomd 2988	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝑃}) ≠ (Base‘𝑅))
31	3, 8, 22, 2, 6	ellpi 33453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ↔ 𝑃(∥r‘𝑅)𝑥))
32	31	ad3antrrr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ↔ 𝑃(∥r‘𝑅)𝑥))
33	32	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) ∧ 𝑃(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}))
34	2	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
35	34	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → 𝑅 ∈ Ring)
36	6	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝑅))
37	36	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → 𝑃 ∈ (Base‘𝑅))
38	3, 8, 22, 35, 37	ellpi 33453	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → (𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ↔ 𝑃(∥r‘𝑅)𝑦))
39	38	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) ∧ 𝑃(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃}))
40		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
41	1	ad3antrrr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → 𝑅 ∈ CRing)
42	5	ad3antrrr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → 𝑃 ∈ (RPrime‘𝑅))
43		simpllr 776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
44		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
45	3, 8, 22, 34, 36	ellpi 33453	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃}) ↔ 𝑃(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)))
46	45	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → 𝑃(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
47	3, 4, 22, 40, 41, 42, 43, 44, 46	rprmdvds 33599	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → (𝑃(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑃(∥r‘𝑅)𝑦))
48	33, 39, 47	orim12da 32547	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃})))
49	48	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃}) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃}))))
50	49	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃}) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃}))))
51	50	ralrimivva 3181	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃}) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃}))))
52	3, 40	isprmidlc 33527	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝐾‘{𝑃}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ ((𝐾‘{𝑃}) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝐾‘{𝑃}) ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃}) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃}))))))
53	52	biimpar 477	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((𝐾‘{𝑃}) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝐾‘{𝑃}) ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃}) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃}))))) → (𝐾‘{𝑃}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
54	1, 11, 30, 51, 53	syl13anc 1375	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝑃}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ⊆ wss 3890  {csn 4568   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Basecbs 17168  ._rcmulr 17210  1_rcur 20151  Ringcrg 20203  CRingccrg 20204  ∥_rcdsr 20323  Unitcui 20324  RPrimecrpm 20401  LIdealclidl 21194  RSpancrsp 21195  PrmIdealcprmidl 33515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-0g 17393  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19088  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-cring 20206  df-oppr 20306  df-dvdsr 20326  df-unit 20327  df-rprm 20402  df-subrg 20536  df-lmod 20846  df-lss 20916  df-lsp 20956  df-sra 21158  df-rgmod 21159  df-lidl 21196  df-rsp 21197  df-prmidl 33516

This theorem is referenced by:  rsprprmprmidlb  33603  rprmasso  33605