Theorem rsprprmprmidl 33679

Description: In a commutative ring, ideals generated by prime elements are prime ideals. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rsprprmprmidl.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rsprprmprmidl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rsprprmprmidl.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RPrime‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rsprprmprmidl	⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝑃}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem rsprprmprmidl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rsprprmprmidl.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2	1	crngringd 20275	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (RPrime‘𝑅) = (RPrime‘𝑅)
5		rsprprmprmidl.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RPrime‘𝑅))
6	3, 4, 1, 5	rprmcl 33675	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Base‘𝑅))
7	6	snssd 4744	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑃} ⊆ (Base‘𝑅))
8		rsprprmprmidl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
9		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
10	8, 3, 9	rspcl 21285	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑃} ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝐾‘{𝑃}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
11	2, 7, 10	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝑃}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
12		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
13	3, 12	ringidcl 20294	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
14	2, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
15		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
16	4, 15, 1, 5	rprmnunit 33678	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∈ (Unit‘𝑅))
17	1	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)) → 𝑅 ∈ CRing)
18		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)) → 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
19	15, 12	1unit 20402	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
20	2, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
21	20	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
22		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
23	15, 22	dvdsunit 20407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑃 ∈ (Unit‘𝑅))
24	17, 18, 21, 23	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)) → 𝑃 ∈ (Unit‘𝑅))
25	16, 24	mtand 825	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
26	3, 8, 22, 2, 6	ellpi 33520	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) ∈ (𝐾‘{𝑃}) ↔ 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
27	25, 26	mtbird 327	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (1r‘𝑅) ∈ (𝐾‘{𝑃}))
28		nelne1 3053	. . . 4 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ¬ (1r‘𝑅) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → (Base‘𝑅) ≠ (𝐾‘{𝑃}))
29	14, 27, 28	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ≠ (𝐾‘{𝑃}))
30	29	necomd 3011	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝑃}) ≠ (Base‘𝑅))
31	3, 8, 22, 2, 6	ellpi 33520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ↔ 𝑃(∥r‘𝑅)𝑥))
32	31	ad3antrrr 740	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ↔ 𝑃(∥r‘𝑅)𝑥))
33	32	biimpar 481	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) ∧ 𝑃(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}))
34	2	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
35	34	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → 𝑅 ∈ Ring)
36	6	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝑅))
37	36	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → 𝑃 ∈ (Base‘𝑅))
38	3, 8, 22, 35, 37	ellpi 33520	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → (𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ↔ 𝑃(∥r‘𝑅)𝑦))
39	38	biimpar 481	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) ∧ 𝑃(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃}))
40		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
41	1	ad3antrrr 740	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → 𝑅 ∈ CRing)
42	5	ad3antrrr 740	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → 𝑃 ∈ (RPrime‘𝑅))
43		simpllr 785	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
44		simplr 778	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
45	3, 8, 22, 34, 36	ellpi 33520	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃}) ↔ 𝑃(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)))
46	45	biimpa 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → 𝑃(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
47	3, 4, 22, 40, 41, 42, 43, 44, 46	rprmdvds 33676	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → (𝑃(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑃(∥r‘𝑅)𝑦))
48	33, 39, 47	orim12da 32605	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃})))
49	48	ex 416	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃}) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃}))))
50	49	anasss 470	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃}) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃}))))
51	50	ralrimivva 3204	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃}) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃}))))
52	3, 40	isprmidlc 33594	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝐾‘{𝑃}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ ((𝐾‘{𝑃}) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝐾‘{𝑃}) ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃}) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃}))))))
53	52	biimpar 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((𝐾‘{𝑃}) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝐾‘{𝑃}) ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃}) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃}))))) → (𝐾‘{𝑃}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
54	1, 11, 30, 51, 53	syl13anc 1390	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝑃}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075   ⊆ wss 3904  {csn 4581   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  ._rcmulr 17270  1_rcur 20210  Ringcrg 20262  CRingccrg 20263  ∥_rcdsr 20382  Unitcui 20383  RPrimecrpm 20460  LIdealclidl 21256  RSpancrsp 21257  PrmIdealcprmidl 33582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-tpos 8201  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-sbg 18963  df-subg 19148  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-cring 20265  df-oppr 20365  df-dvdsr 20385  df-unit 20386  df-rprm 20461  df-subrg 20599  df-lmod 20909  df-lss 20979  df-lsp 21019  df-sra 21220  df-rgmod 21221  df-lidl 21258  df-rsp 21259  df-prmidl 33583

This theorem is referenced by:  rsprprmprmidlb  33680  rprmasso  33682