Theorem rsprprmprmidl 33515

Description: In a commutative ring, ideals generated by prime elements are prime ideals. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rsprprmprmidl.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rsprprmprmidl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rsprprmprmidl.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RPrime‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rsprprmprmidl	⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝑃}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem rsprprmprmidl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rsprprmprmidl.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2	1	crngringd 20273	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (RPrime‘𝑅) = (RPrime‘𝑅)
5		rsprprmprmidl.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RPrime‘𝑅))
6	3, 4, 1, 5	rprmcl 33511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Base‘𝑅))
7	6	snssd 4834	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑃} ⊆ (Base‘𝑅))
8		rsprprmprmidl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
9		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
10	8, 3, 9	rspcl 21268	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑃} ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝐾‘{𝑃}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
11	2, 7, 10	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝑃}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
12		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
13	3, 12	ringidcl 20289	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
14	2, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
15		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
16	4, 15, 1, 5	rprmnunit 33514	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∈ (Unit‘𝑅))
17	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)) → 𝑅 ∈ CRing)
18		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)) → 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
19	15, 12	1unit 20400	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
20	2, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
21	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
22		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
23	15, 22	dvdsunit 20405	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑃 ∈ (Unit‘𝑅))
24	17, 18, 21, 23	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)) → 𝑃 ∈ (Unit‘𝑅))
25	16, 24	mtand 815	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
26	3, 8, 22, 2, 6	ellpi 33366	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) ∈ (𝐾‘{𝑃}) ↔ 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
27	25, 26	mtbird 325	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (1r‘𝑅) ∈ (𝐾‘{𝑃}))
28		nelne1 3045	. . . 4 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ¬ (1r‘𝑅) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → (Base‘𝑅) ≠ (𝐾‘{𝑃}))
29	14, 27, 28	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ≠ (𝐾‘{𝑃}))
30	29	necomd 3002	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝑃}) ≠ (Base‘𝑅))
31	3, 8, 22, 2, 6	ellpi 33366	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ↔ 𝑃(∥r‘𝑅)𝑥))
32	31	ad3antrrr 729	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ↔ 𝑃(∥r‘𝑅)𝑥))
33	32	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) ∧ 𝑃(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}))
34	2	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
35	34	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → 𝑅 ∈ Ring)
36	6	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝑅))
37	36	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → 𝑃 ∈ (Base‘𝑅))
38	3, 8, 22, 35, 37	ellpi 33366	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → (𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ↔ 𝑃(∥r‘𝑅)𝑦))
39	38	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) ∧ 𝑃(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃}))
40		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
41	1	ad3antrrr 729	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → 𝑅 ∈ CRing)
42	5	ad3antrrr 729	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → 𝑃 ∈ (RPrime‘𝑅))
43		simpllr 775	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
44		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
45	3, 8, 22, 34, 36	ellpi 33366	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃}) ↔ 𝑃(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)))
46	45	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → 𝑃(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
47	3, 4, 22, 40, 41, 42, 43, 44, 46	rprmdvds 33512	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → (𝑃(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑃(∥r‘𝑅)𝑦))
48	33, 39, 47	orim12da 32487	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃})))
49	48	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃}) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃}))))
50	49	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃}) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃}))))
51	50	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃}) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃}))))
52	3, 40	isprmidlc 33440	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝐾‘{𝑃}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ ((𝐾‘{𝑃}) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝐾‘{𝑃}) ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃}) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃}))))))
53	52	biimpar 477	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((𝐾‘{𝑃}) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝐾‘{𝑃}) ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃}) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃}))))) → (𝐾‘{𝑃}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
54	1, 11, 30, 51, 53	syl13anc 1372	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝑃}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067   ⊆ wss 3976  {csn 4648   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312  1_rcur 20208  Ringcrg 20260  CRingccrg 20261  ∥_rcdsr 20380  Unitcui 20381  RPrimecrpm 20458  LIdealclidl 21239  RSpancrsp 21240  PrmIdealcprmidl 33428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-rprm 20459  df-subrg 20597  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-lidl 21241  df-rsp 21242  df-prmidl 33429

This theorem is referenced by:  rsprprmprmidlb  33516  rprmasso  33518