Theorem rsprprmprmidl 33550

Description: In a commutative ring, ideals generated by prime elements are prime ideals. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rsprprmprmidl.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rsprprmprmidl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rsprprmprmidl.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RPrime‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rsprprmprmidl	⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝑃}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem rsprprmprmidl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rsprprmprmidl.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2	1	crngringd 20243	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (RPrime‘𝑅) = (RPrime‘𝑅)
5		rsprprmprmidl.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RPrime‘𝑅))
6	3, 4, 1, 5	rprmcl 33546	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Base‘𝑅))
7	6	snssd 4809	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑃} ⊆ (Base‘𝑅))
8		rsprprmprmidl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
10	8, 3, 9	rspcl 21245	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑃} ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝐾‘{𝑃}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
11	2, 7, 10	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝑃}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
12		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
13	3, 12	ringidcl 20262	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
14	2, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
15		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
16	4, 15, 1, 5	rprmnunit 33549	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∈ (Unit‘𝑅))
17	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)) → 𝑅 ∈ CRing)
18		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)) → 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
19	15, 12	1unit 20374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
20	2, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
21	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
22		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
23	15, 22	dvdsunit 20379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑃 ∈ (Unit‘𝑅))
24	17, 18, 21, 23	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)) → 𝑃 ∈ (Unit‘𝑅))
25	16, 24	mtand 816	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
26	3, 8, 22, 2, 6	ellpi 33401	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) ∈ (𝐾‘{𝑃}) ↔ 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
27	25, 26	mtbird 325	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (1r‘𝑅) ∈ (𝐾‘{𝑃}))
28		nelne1 3039	. . . 4 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ¬ (1r‘𝑅) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → (Base‘𝑅) ≠ (𝐾‘{𝑃}))
29	14, 27, 28	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ≠ (𝐾‘{𝑃}))
30	29	necomd 2996	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝑃}) ≠ (Base‘𝑅))
31	3, 8, 22, 2, 6	ellpi 33401	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ↔ 𝑃(∥r‘𝑅)𝑥))
32	31	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ↔ 𝑃(∥r‘𝑅)𝑥))
33	32	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) ∧ 𝑃(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}))
34	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
35	34	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → 𝑅 ∈ Ring)
36	6	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝑅))
37	36	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → 𝑃 ∈ (Base‘𝑅))
38	3, 8, 22, 35, 37	ellpi 33401	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → (𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ↔ 𝑃(∥r‘𝑅)𝑦))
39	38	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) ∧ 𝑃(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃}))
40		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
41	1	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → 𝑅 ∈ CRing)
42	5	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → 𝑃 ∈ (RPrime‘𝑅))
43		simpllr 776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
44		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
45	3, 8, 22, 34, 36	ellpi 33401	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃}) ↔ 𝑃(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)))
46	45	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → 𝑃(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
47	3, 4, 22, 40, 41, 42, 43, 44, 46	rprmdvds 33547	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → (𝑃(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑃(∥r‘𝑅)𝑦))
48	33, 39, 47	orim12da 32477	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃})))
49	48	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃}) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃}))))
50	49	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃}) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃}))))
51	50	ralrimivva 3202	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃}) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃}))))
52	3, 40	isprmidlc 33475	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝐾‘{𝑃}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ ((𝐾‘{𝑃}) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝐾‘{𝑃}) ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃}) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃}))))))
53	52	biimpar 477	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((𝐾‘{𝑃}) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝐾‘{𝑃}) ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃}) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃}))))) → (𝐾‘{𝑃}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
54	1, 11, 30, 51, 53	syl13anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝑃}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061   ⊆ wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  ._rcmulr 17298  1_rcur 20178  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231  ∥_rcdsr 20354  Unitcui 20355  RPrimecrpm 20432  LIdealclidl 21216  RSpancrsp 21217  PrmIdealcprmidl 33463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-rprm 20433  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-rsp 21219  df-prmidl 33464

This theorem is referenced by:  rsprprmprmidlb  33551  rprmasso  33553