Theorem rsprprmprmidl 33729

Description: In a commutative ring, ideals generated by prime elements are prime ideals. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rsprprmprmidl.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rsprprmprmidl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rsprprmprmidl.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RPrime‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rsprprmprmidl	⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝑃}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem rsprprmprmidl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rsprprmprmidl.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2	1	crngringd 20319	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (RPrime‘𝑅) = (RPrime‘𝑅)
5		rsprprmprmidl.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RPrime‘𝑅))
6	3, 4, 1, 5	rprmcl 33725	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Base‘𝑅))
7	6	snssd 4748	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑃} ⊆ (Base‘𝑅))
8		rsprprmprmidl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
9		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
10	8, 3, 9	rspcl 21333	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑃} ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝐾‘{𝑃}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
11	2, 7, 10	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝑃}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
12		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
13	3, 12	ringidcl 20339	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
14	2, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
15		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
16	4, 15, 1, 5	rprmnunit 33728	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∈ (Unit‘𝑅))
17	1	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)) → 𝑅 ∈ CRing)
18		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)) → 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
19	15, 12	1unit 20447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
20	2, 19	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
21	20	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
22		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
23	15, 22	dvdsunit 20452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑃 ∈ (Unit‘𝑅))
24	17, 18, 21, 23	syl3anc 1394	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)) → 𝑃 ∈ (Unit‘𝑅))
25	16, 24	mtand 827	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
26	3, 8, 22, 2, 6	ellpi 33602	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) ∈ (𝐾‘{𝑃}) ↔ 𝑃(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
27	25, 26	mtbird 328	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (1r‘𝑅) ∈ (𝐾‘{𝑃}))
28		nelne1 3057	. . . 4 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ¬ (1r‘𝑅) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → (Base‘𝑅) ≠ (𝐾‘{𝑃}))
29	14, 27, 28	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ≠ (𝐾‘{𝑃}))
30	29	necomd 3015	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝑃}) ≠ (Base‘𝑅))
31	3, 8, 22, 2, 6	ellpi 33602	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ↔ 𝑃(∥r‘𝑅)𝑥))
32	31	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ↔ 𝑃(∥r‘𝑅)𝑥))
33	32	biimpar 482	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) ∧ 𝑃(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}))
34	2	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
35	34	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → 𝑅 ∈ Ring)
36	6	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝑅))
37	36	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → 𝑃 ∈ (Base‘𝑅))
38	3, 8, 22, 35, 37	ellpi 33602	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → (𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ↔ 𝑃(∥r‘𝑅)𝑦))
39	38	biimpar 482	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) ∧ 𝑃(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃}))
40		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
41	1	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → 𝑅 ∈ CRing)
42	5	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → 𝑃 ∈ (RPrime‘𝑅))
43		simpllr 787	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
44		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
45	3, 8, 22, 34, 36	ellpi 33602	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃}) ↔ 𝑃(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)))
46	45	biimpa 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → 𝑃(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
47	3, 4, 22, 40, 41, 42, 43, 44, 46	rprmdvds 33726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → (𝑃(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑃(∥r‘𝑅)𝑦))
48	33, 39, 47	orim12da 980	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃})) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃})))
49	48	ex 417	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃}) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃}))))
50	49	anasss 471	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃}) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃}))))
51	50	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃}) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃}))))
52	3, 40	isprmidlc 21434	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝐾‘{𝑃}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ ((𝐾‘{𝑃}) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝐾‘{𝑃}) ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃}) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃}))))))
53	52	biimpar 482	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((𝐾‘{𝑃}) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝐾‘{𝑃}) ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑃}) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑃}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑃}))))) → (𝐾‘{𝑃}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
54	1, 11, 30, 51, 53	syl13anc 1395	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝑃}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079   ⊆ wss 3907  {csn 4585   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  ._rcmulr 17301  1_rcur 20254  Ringcrg 20306  CRingccrg 20307  ∥_rcdsr 20427  Unitcui 20428  RPrimecrpm 20505  LIdealclidl 21299  RSpancrsp 21300  PrmIdealcprmidl 21422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-subg 19180  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-cring 20309  df-oppr 20410  df-dvdsr 20430  df-unit 20431  df-rprm 20506  df-subrg 20646  df-lmod 20952  df-lss 21022  df-lsp 21062  df-sra 21263  df-rgmod 21264  df-lidl 21301  df-rsp 21302  df-prmidl 21423

This theorem is referenced by:  rsprprmprmidlb  33730  rprmasso  33732