Theorem 1arithidom 34051

Description: Uniqueness of prime factorizations in an integral domain 𝑅. Given two equal products 𝐹 and 𝐺 of prime elements, 𝐹 and 𝐺 are equal up to a renumbering 𝑤 and a multiplication by units 𝑢. See also 1arith 17085. Chapter VII, Paragraph 3, Section 3, Proposition 2 of [BourbakiCAlg2], p. 228. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
1arithidom.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
1arithidom.i	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
1arithidom.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
1arithidom.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
1arithidom.j	⊢ 𝐽 = (0..^(♯‘𝐹))
1arithidom.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
1arithidom.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝑃)
1arithidom.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Word 𝑃)
1arithidom.1	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑀 Σg 𝐺))

Assertion

Ref	Expression
1arithidom	⊢ (𝜑 → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m 𝐽)(𝑤:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ 𝐺 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))))

Distinct variable groups:   𝑢, · ,𝑤   𝑢,𝐹,𝑤   𝑢,𝐺,𝑤   𝑢,𝑀,𝑤   𝑢,𝑃,𝑤   𝑢,𝑅,𝑤   𝑢,𝑈,𝑤   𝜑,𝑢

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝐽(𝑤, 𝑢)

Proof of Theorem 1arithidom

Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 𝑗 𝑚 𝑝 𝑟 𝑠 𝑡 𝑣 𝑥 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1arithidom.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
2	1	idomringd 20959	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		1arithidom.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
4		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
5	3, 4	1unit 20584	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
6	2, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
7		oveq1 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (1r‘𝑅) → (𝑘 · (𝑀 Σg 𝐺)) = ((1r‘𝑅) · (𝑀 Σg 𝐺)))
8	7	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (1r‘𝑅)) → (𝑘 · (𝑀 Σg 𝐺)) = ((1r‘𝑅) · (𝑀 Σg 𝐺)))
9		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10		1arithidom.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11	2	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (1r‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
12		1arithidom.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
13	12, 9	mgpbas 20345	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
14	12, 4	ringidval 20389	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀)
15		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ IDomn)
16	15	idomcringd 20958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
17	12	crngmgp 20447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
18	16, 17	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑀 ∈ CMnd)
19	1, 18	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
20		ovexd 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐺)) ∈ V)
21		eqidd 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐺) = (♯‘𝐺))
22		1arithidom.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Word 𝑃)
23	21, 22	wrdfd 14644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑃)
24		1arithidom.i	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
25	1	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ IDomn)
26		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝑃)
27	9, 24, 25, 26	rprmcl 34032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ (Base‘𝑅))
28	27	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝑃 → 𝑝 ∈ (Base‘𝑅)))
29	28	ssrdv 3937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ⊆ (Base‘𝑅))
30	23, 29	fssd 6719	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(0..^(♯‘𝐺))⟶(Base‘𝑅))
31	6, 22	wrdfsupp 33486	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp (1r‘𝑅))
32	13, 14, 19, 20, 30, 31	gsumcl 20109	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐺) ∈ (Base‘𝑅))
33	32	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (1r‘𝑅)) → (𝑀 Σg 𝐺) ∈ (Base‘𝑅))
34	9, 10, 4, 11, 33	ringlidmd 20481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (1r‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) · (𝑀 Σg 𝐺)) = (𝑀 Σg 𝐺))
35	8, 34	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (1r‘𝑅)) → (𝑘 · (𝑀 Σg 𝐺)) = (𝑀 Σg 𝐺))
36	35	eqeq2d 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (1r‘𝑅)) → ((𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝐺)) ↔ (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑀 Σg 𝐺)))
37		1arithidom.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑀 Σg 𝐺))
38	6, 36, 37	rspcedvd 3579	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝐺)))
39		oveq2 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg 𝐺))
40	39	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝐺)))
41	40	eqeq2d 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) ↔ (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝐺))))
42	41	rexbidv 3187	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝐺))))
43		eqeq1 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)) ↔ 𝐺 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))))
44	43	anbi2d 642	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))) ↔ (𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐺 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))
45	44	rexbidv 3187	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐺 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))
46	45	exbidv 1954	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))) ↔ ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐺 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))
47	42, 46	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))) ↔ (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝐺)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐺 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))))))
48		1arithidom.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝑃)
49		oveq2 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = ∅ → (𝑀 Σg ℎ) = (𝑀 Σg ∅))
50	49	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = ∅ → ((𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) ↔ (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))))
51	50	rexbidv 3187	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = ∅ → (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))))
52		fveq2 6877	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = ∅ → (♯‘ℎ) = (♯‘∅))
53	52	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = ∅ → (0..^(♯‘ℎ)) = (0..^(♯‘∅)))
54	53	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = ∅ → (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ))) = (𝑈 ↑m (0..^(♯‘∅))))
55		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = ∅ → 𝑤 = 𝑤)
56	55, 53, 53	f1oeq123d 6810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = ∅ → (𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ↔ 𝑤:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→(0..^(♯‘∅))))
57		coeq1 5835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ = ∅ → (ℎ ∘ 𝑤) = (∅ ∘ 𝑤))
58	57	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = ∅ → (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤)) = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ 𝑤)))
59	58	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = ∅ → (𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤)) ↔ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ 𝑤))))
60	56, 59	anbi12d 644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = ∅ → ((𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤))) ↔ (𝑤:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→(0..^(♯‘∅)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ 𝑤)))))
61	54, 60	rexeqbidv 3336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = ∅ → (∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤))) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘∅)))(𝑤:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→(0..^(♯‘∅)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ 𝑤)))))
62	61	exbidv 1954	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = ∅ → (∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤))) ↔ ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘∅)))(𝑤:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→(0..^(♯‘∅)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ 𝑤)))))
63	51, 62	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = ∅ → ((∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤)))) ↔ (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘∅)))(𝑤:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→(0..^(♯‘∅)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ 𝑤))))))
64	63	ralbidv 3186	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = ∅ → (∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤)))) ↔ ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘∅)))(𝑤:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→(0..^(♯‘∅)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ 𝑤))))))
65	64	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = ∅ → ((𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤))))) ↔ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘∅)))(𝑤:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→(0..^(♯‘∅)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ 𝑤)))))))
66		oveq2 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (𝑀 Σg ℎ) = (𝑀 Σg 𝑓))
67	66	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = 𝑓 → ((𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) ↔ (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))))
68	67	rexbidv 3187	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))))
69		fveq2 6877	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (♯‘ℎ) = (♯‘𝑓))
70	69	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (0..^(♯‘ℎ)) = (0..^(♯‘𝑓)))
71	70	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ))) = (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓))))
72		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = 𝑓 → 𝑤 = 𝑤)
73	72, 70, 70	f1oeq123d 6810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ↔ 𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓))))
74		coeq1 5835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (ℎ ∘ 𝑤) = (𝑓 ∘ 𝑤))
75	74	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤)) = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))
76	75	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤)) ↔ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤))))
77	73, 76	anbi12d 644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = 𝑓 → ((𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤))) ↔ (𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))
78	71, 77	rexeqbidv 3336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤))) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))
79	78	exbidv 1954	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤))) ↔ ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))
80	68, 79	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝑓 → ((∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤)))) ↔ (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤))))))
81	80	ralbidv 3186	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤)))) ↔ ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤))))))
82	81	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑓 → ((𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤))))) ↔ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))))
83		oveq2 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (𝑀 Σg ℎ) = (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))
84	83	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) ↔ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))))
85	84	rexbidv 3187	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))))
86		fveq2 6877	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (♯‘ℎ) = (♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))
87	86	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (0..^(♯‘ℎ)) = (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))
88	87	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ))) = (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))))
89		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → 𝑤 = 𝑤)
90	89, 87, 87	f1oeq123d 6810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ↔ 𝑤:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))))
91		coeq1 5835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (ℎ ∘ 𝑤) = ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤))
92	91	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤)) = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤)))
93	92	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤)) ↔ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤))))
94	90, 93	anbi12d 644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤))) ↔ (𝑤:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤)))))
95	88, 94	rexeqbidv 3336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤))) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑤:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤)))))
96	95	exbidv 1954	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤))) ↔ ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑤:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤)))))
97	85, 96	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤)))) ↔ (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑤:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤))))))
98	97	ralbidv 3186	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤)))) ↔ ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑤:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤))))))
99	98	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤))))) ↔ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑤:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤)))))))
100		oveq2 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (𝑀 Σg ℎ) = (𝑀 Σg 𝐹))
101	100	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = 𝐹 → ((𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) ↔ (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))))
102	101	rexbidv 3187	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))))
103		fveq2 6877	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (♯‘ℎ) = (♯‘𝐹))
104	103	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (0..^(♯‘ℎ)) = (0..^(♯‘𝐹)))
105	104	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ))) = (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹))))
106		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = 𝐹 → 𝑤 = 𝑤)
107	106, 104, 104	f1oeq123d 6810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ↔ 𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹))))
108		coeq1 5835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (ℎ ∘ 𝑤) = (𝐹 ∘ 𝑤))
109	108	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))
110	109	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤)) ↔ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))))
111	107, 110	anbi12d 644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = 𝐹 → ((𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤))) ↔ (𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))
112	105, 111	rexeqbidv 3336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤))) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))
113	112	exbidv 1954	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤))) ↔ ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))
114	102, 113	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝐹 → ((∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤)))) ↔ (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))))))
115	114	ralbidv 3186	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤)))) ↔ ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))))))
116	115	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝐹 → ((𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤))))) ↔ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))))
117		0ex 5261	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
118	117	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → ∅ ∈ V)
119	117	snid 4623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ {∅}
120	3	fvexi 6891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑈 ∈ V
121		mapdm0 8846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ V → (𝑈 ↑m ∅) = {∅})
122	120, 121	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ↑m ∅) = {∅}
123	119, 122	eleqtrri 2860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ (𝑈 ↑m ∅)
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → ∅ ∈ (𝑈 ↑m ∅))
125		f1o0 6854	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅:∅–1-1-onto→∅
126	125	biantrur 540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ ∅)) ↔ (∅:∅–1-1-onto→∅ ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ ∅))))
127		co02 6255	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∅ ∘ ∅) = ∅
128	127	oveq2i 7423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 ∘f · (∅ ∘ ∅)) = (𝑢 ∘f · ∅)
129		of0r 33255	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 ∘f · ∅) = ∅
130	128, 129	eqtri 2784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∘f · (∅ ∘ ∅)) = ∅
131	130	eqeq2i 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ ∅)) ↔ 𝑔 = ∅)
132	126, 131	bitr3i 280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∅:∅–1-1-onto→∅ ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ ∅))) ↔ 𝑔 = ∅)
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) ∧ 𝑢 = ∅) → ((∅:∅–1-1-onto→∅ ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ ∅))) ↔ 𝑔 = ∅))
134		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) → 𝑅 ∈ IDomn)
135	134	idomcringd 20958	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) → 𝑅 ∈ CRing)
136	135	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → 𝑅 ∈ CRing)
137		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → 𝑘 ∈ 𝑈)
138	9, 3	unitcl 20585	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑈 → 𝑘 ∈ (Base‘𝑅))
139	137, 138	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → 𝑘 ∈ (Base‘𝑅))
140	136, 17	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → 𝑀 ∈ CMnd)
141		ovexd 7447	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → (0..^(♯‘𝑔)) ∈ V)
142		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → (♯‘𝑔) = (♯‘𝑔))
143		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ IDomn)
144		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝑃)
145	9, 24, 143, 144	rprmcl 34032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ (Base‘𝑅))
146	145	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → (𝑝 ∈ 𝑃 → 𝑝 ∈ (Base‘𝑅)))
147	146	ssrdv 3937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑃 ⊆ (Base‘𝑅))
148		sswrd 14647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ⊆ (Base‘𝑅) → Word 𝑃 ⊆ Word (Base‘𝑅))
149	147, 148	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → Word 𝑃 ⊆ Word (Base‘𝑅))
150	149	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) → 𝑔 ∈ Word (Base‘𝑅))
151	150	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → 𝑔 ∈ Word (Base‘𝑅))
152	142, 151	wrdfd 14644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → 𝑔:(0..^(♯‘𝑔))⟶(Base‘𝑅))
153	134	idomringd 20959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) → 𝑅 ∈ Ring)
154	153, 5	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
155	154	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
156	155, 151	wrdfsupp 33486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → 𝑔 finSupp (1r‘𝑅))
157	13, 14, 140, 141, 152, 156	gsumcl 20109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → (𝑀 Σg 𝑔) ∈ (Base‘𝑅))
158		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)))
159	14	gsum0 18853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = (1r‘𝑅)
160	159, 155	eqeltrid 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝑈)
161	158, 160	eqeltrrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) ∈ 𝑈)
162	3, 10, 9	unitmulclb 20591	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) ∈ 𝑈 ↔ (𝑘 ∈ 𝑈 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝑈)))
163	162	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) ∈ 𝑈) → (𝑘 ∈ 𝑈 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝑈))
164	136, 139, 157, 161, 163	syl31anc 1400	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → (𝑘 ∈ 𝑈 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝑈))
165	164	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝑈)
166	165	r19.29an 3167	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝑈)
167	9, 3, 12, 135, 150	unitprodclb 33926	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) → ((𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝑈 ↔ ran 𝑔 ⊆ 𝑈))
168	167	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → ((𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝑈 ↔ ran 𝑔 ⊆ 𝑈))
169	166, 168	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → ran 𝑔 ⊆ 𝑈)
170	169	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) ∧ 𝑔 ≠ ∅) → ran 𝑔 ⊆ 𝑈)
171		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) → (♯‘𝑔) = (♯‘𝑔))
172		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) → 𝑔 ∈ Word 𝑃)
173	171, 172	wrdfd 14644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) → 𝑔:(0..^(♯‘𝑔))⟶𝑃)
174	173	freld 6708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) → Rel 𝑔)
175	174	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) ∧ 𝑔 ≠ ∅) → Rel 𝑔)
176		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) ∧ 𝑔 ≠ ∅) → 𝑔 ≠ ∅)
177		relrn0 5955	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Rel 𝑔 → (𝑔 = ∅ ↔ ran 𝑔 = ∅))
178	177	necon3bid 3000	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Rel 𝑔 → (𝑔 ≠ ∅ ↔ ran 𝑔 ≠ ∅))
179	178	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Rel 𝑔 ∧ 𝑔 ≠ ∅) → ran 𝑔 ≠ ∅)
180	175, 176, 179	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) ∧ 𝑔 ≠ ∅) → ran 𝑔 ≠ ∅)
181		n0 4300	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ran 𝑔 ≠ ∅ ↔ ∃𝑖 𝑖 ∈ ran 𝑔)
182	180, 181	sylib 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) ∧ 𝑔 ≠ ∅) → ∃𝑖 𝑖 ∈ ran 𝑔)
183		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) ∧ 𝑔 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ ran 𝑔) → 𝑖 ∈ ran 𝑔)
184	134	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) ∧ 𝑔 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ ran 𝑔) → 𝑅 ∈ IDomn)
185	173	frnd 6710	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) → ran 𝑔 ⊆ 𝑃)
186	185	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) ∧ 𝑔 ≠ ∅) → ran 𝑔 ⊆ 𝑃)
187	186	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) ∧ 𝑔 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ ran 𝑔) → 𝑖 ∈ 𝑃)
188	24, 3, 184, 187	rprmnunit 34035	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) ∧ 𝑔 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ ran 𝑔) → ¬ 𝑖 ∈ 𝑈)
189		nelss 3997	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 ∈ ran 𝑔 ∧ ¬ 𝑖 ∈ 𝑈) → ¬ ran 𝑔 ⊆ 𝑈)
190	183, 188, 189	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) ∧ 𝑔 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ ran 𝑔) → ¬ ran 𝑔 ⊆ 𝑈)
191	182, 190	exlimddv 1968	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) ∧ 𝑔 ≠ ∅) → ¬ ran 𝑔 ⊆ 𝑈)
192	170, 191	pm2.65da 829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → ¬ 𝑔 ≠ ∅)
193		nne 2960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑔 ≠ ∅ ↔ 𝑔 = ∅)
194	192, 193	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → 𝑔 = ∅)
195	124, 133, 194	rspcedvd 3579	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → ∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m ∅)(∅:∅–1-1-onto→∅ ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ ∅))))
196		hash0 14491	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (♯‘∅) = 0
197	196	oveq2i 7423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0..^(♯‘∅)) = (0..^0)
198		fzo0 13798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0..^0) = ∅
199	197, 198	eqtri 2784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0..^(♯‘∅)) = ∅
200	199	oveq2i 7423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘∅))) = (𝑈 ↑m ∅)
201	200	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑈 ↑m (0..^(♯‘∅))) = (𝑈 ↑m ∅))
202		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = ∅ → 𝑤 = ∅)
203	199	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = ∅ → (0..^(♯‘∅)) = ∅)
204	202, 203, 203	f1oeq123d 6810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑤:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→(0..^(♯‘∅)) ↔ ∅:∅–1-1-onto→∅))
205		coeq2 5836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∅ ∘ 𝑤) = (∅ ∘ ∅))
206	205	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑢 ∘f · (∅ ∘ 𝑤)) = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ ∅)))
207	206	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ 𝑤)) ↔ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ ∅))))
208	204, 207	anbi12d 644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑤:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→(0..^(♯‘∅)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ 𝑤))) ↔ (∅:∅–1-1-onto→∅ ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ ∅)))))
209	201, 208	rexeqbidv 3336	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘∅)))(𝑤:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→(0..^(♯‘∅)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ 𝑤))) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m ∅)(∅:∅–1-1-onto→∅ ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ ∅)))))
210	118, 195, 209	spcedv 3553	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘∅)))(𝑤:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→(0..^(♯‘∅)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ 𝑤))))
211	210	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) → (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘∅)))(𝑤:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→(0..^(♯‘∅)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ 𝑤)))))
212	211	ralrimiva 3155	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘∅)))(𝑤:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→(0..^(♯‘∅)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ 𝑤)))))
213		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0..^(♯‘ℎ)) = (0..^(♯‘ℎ))
214		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ)))
215		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) → ℎ ∈ Word 𝑃)
216	215	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) → ℎ ∈ Word 𝑃)
217		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1))
218	213, 214, 216, 217	wrdpmtrlast 33636	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) → ∃𝑟(𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)))
219		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0..^(♯‘𝑓)) = (0..^(♯‘𝑓))
220		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) → 𝑅 ∈ IDomn)
221	220	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑅 ∈ IDomn)
222		simp-5l 797	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑓 ∈ Word 𝑃)
223	222	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑓 ∈ Word 𝑃)
224		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑀 Σg 𝑓))
225		simp-7r 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) → 𝑝 ∈ 𝑃)
226	225	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
227		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) → (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤))))))
228	227	ad10antr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤))))))
229	221, 228	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))
230	216	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → ℎ ∈ Word 𝑃)
231		simp-9r 806	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ)))
232	214	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ)))
233		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) → 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗))
234	233	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗))
235		simp-6r 800	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑡 ∈ 𝑈)
236		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗))
237		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)))
238		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩))
239		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑚 ∈ 𝑈)
240		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ)))
241	3, 24, 12, 10, 219, 221, 223, 223, 224, 226, 229, 230, 231, 232, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240	1arithidomlem1 34049	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → ∃𝑐∃𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐))))
242		ovexd 7447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∈ V)
243		vex 3455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑟 ∈ V
244	243	cnvex 7926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ◡𝑟 ∈ V
245	244	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ◡𝑟 ∈ V)
246	242, 245	coexd 7932	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟) ∈ V)
247		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 = ((𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩) ∘ ◡𝑟) → (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟))) = (((𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩) ∘ ◡𝑟) ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟))))
248	247	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 = ((𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩) ∘ ◡𝑟) → (ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟))) ↔ ℎ = (((𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩) ∘ ◡𝑟) ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟)))))
249	248	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 = ((𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩) ∘ ◡𝑟) → ((((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟):(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟)))) ↔ (((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟):(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (((𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩) ∘ ◡𝑟) ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟))))))
250	120	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → 𝑈 ∈ V)
251		ovexd 7447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∈ V)
252		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓))))
253		elmapi 8853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓))) → 𝑑:(0..^(♯‘𝑓))⟶𝑈)
254	252, 253	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → 𝑑:(0..^(♯‘𝑓))⟶𝑈)
255		iswrdi 14642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑑:(0..^(♯‘𝑓))⟶𝑈 → 𝑑 ∈ Word 𝑈)
256	254, 255	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → 𝑑 ∈ Word 𝑈)
257		ccatws1len 14748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑑 ∈ Word 𝑈 → (♯‘(𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩)) = ((♯‘𝑑) + 1))
258	256, 257	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (♯‘(𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩)) = ((♯‘𝑑) + 1))
259		elmapfn 8871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓))) → 𝑑 Fn (0..^(♯‘𝑓)))
260		hashfn 14499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑑 Fn (0..^(♯‘𝑓)) → (♯‘𝑑) = (♯‘(0..^(♯‘𝑓))))
261	252, 259, 260	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (♯‘𝑑) = (♯‘(0..^(♯‘𝑓))))
262	222	ad10antr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → 𝑓 ∈ Word 𝑃)
263		lencl 14658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑓 ∈ Word 𝑃 → (♯‘𝑓) ∈ ℕ0)
264	262, 263	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (♯‘𝑓) ∈ ℕ0)
265		hashfzo0 14555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝑓))) = (♯‘𝑓))
266	264, 265	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (♯‘(0..^(♯‘𝑓))) = (♯‘𝑓))
267	261, 266	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (♯‘𝑑) = (♯‘𝑓))
268	267	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ((♯‘𝑑) + 1) = ((♯‘𝑓) + 1))
269		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))
270	269	dmeqd 5887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → dom ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = dom (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))
271		f1of 6816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) → 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))⟶(0..^(♯‘ℎ)))
272		iswrdi 14642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑟:(0..^(♯‘ℎ))⟶(0..^(♯‘ℎ)) → 𝑟 ∈ Word (0..^(♯‘ℎ)))
273	237, 271, 272	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑟 ∈ Word (0..^(♯‘ℎ)))
274		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) → (♯‘ℎ) = (♯‘ℎ))
275	274, 215	wrdfd 14644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) → ℎ:(0..^(♯‘ℎ))⟶𝑃)
276	275	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → ℎ:(0..^(♯‘ℎ))⟶𝑃)
277		wrdco 14962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑟 ∈ Word (0..^(♯‘ℎ)) ∧ ℎ:(0..^(♯‘ℎ))⟶𝑃) → (ℎ ∘ 𝑟) ∈ Word 𝑃)
278	273, 276, 277	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (ℎ ∘ 𝑟) ∈ Word 𝑃)
279	278	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (ℎ ∘ 𝑟) ∈ Word 𝑃)
280		elfzo0 13815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ)) ↔ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘ℎ) ∈ ℕ ∧ 𝑗 < (♯‘ℎ)))
281	280	simp2bi 1164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ)) → (♯‘ℎ) ∈ ℕ)
282		nnm1nn0 12628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((♯‘ℎ) ∈ ℕ → ((♯‘ℎ) − 1) ∈ ℕ0)
283	232, 281, 282	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → ((♯‘ℎ) − 1) ∈ ℕ0)
284		lenco 14963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑟 ∈ Word (0..^(♯‘ℎ)) ∧ ℎ:(0..^(♯‘ℎ))⟶𝑃) → (♯‘(ℎ ∘ 𝑟)) = (♯‘𝑟))
285	273, 276, 284	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (♯‘(ℎ ∘ 𝑟)) = (♯‘𝑟))
286		lencl 14658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑟 ∈ Word (0..^(♯‘ℎ)) → (♯‘𝑟) ∈ ℕ0)
287	273, 286	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (♯‘𝑟) ∈ ℕ0)
288	285, 287	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (♯‘(ℎ ∘ 𝑟)) ∈ ℕ0)
289		lencl 14658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (ℎ ∈ Word 𝑃 → (♯‘ℎ) ∈ ℕ0)
290	230, 289	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (♯‘ℎ) ∈ ℕ0)
291	290	nn0red 12649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (♯‘ℎ) ∈ ℝ)
292	291	lem1d 12231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → ((♯‘ℎ) − 1) ≤ (♯‘ℎ))
293	237, 271	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))⟶(0..^(♯‘ℎ)))
294		ffn 6701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑟:(0..^(♯‘ℎ))⟶(0..^(♯‘ℎ)) → 𝑟 Fn (0..^(♯‘ℎ)))
295		hashfn 14499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑟 Fn (0..^(♯‘ℎ)) → (♯‘𝑟) = (♯‘(0..^(♯‘ℎ))))
296	293, 294, 295	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (♯‘𝑟) = (♯‘(0..^(♯‘ℎ))))
297		hashfzo0 14555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((♯‘ℎ) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘ℎ))) = (♯‘ℎ))
298	230, 289, 297	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (♯‘(0..^(♯‘ℎ))) = (♯‘ℎ))
299	285, 296, 298	3eqtrrd 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (♯‘ℎ) = (♯‘(ℎ ∘ 𝑟)))
300	292, 299	breqtrd 5131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → ((♯‘ℎ) − 1) ≤ (♯‘(ℎ ∘ 𝑟)))
301		elfz2nn0 13732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((♯‘ℎ) − 1) ∈ (0...(♯‘(ℎ ∘ 𝑟))) ↔ (((♯‘ℎ) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(ℎ ∘ 𝑟)) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘ℎ) − 1) ≤ (♯‘(ℎ ∘ 𝑟))))
302	283, 288, 300, 301	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → ((♯‘ℎ) − 1) ∈ (0...(♯‘(ℎ ∘ 𝑟))))
303	302	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ((♯‘ℎ) − 1) ∈ (0...(♯‘(ℎ ∘ 𝑟))))
304		pfxfn 14811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((ℎ ∘ 𝑟) ∈ Word 𝑃 ∧ ((♯‘ℎ) − 1) ∈ (0...(♯‘(ℎ ∘ 𝑟)))) → ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) Fn (0..^((♯‘ℎ) − 1)))
305	279, 303, 304	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) Fn (0..^((♯‘ℎ) − 1)))
306	305	fndmd 6636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → dom ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (0..^((♯‘ℎ) − 1)))
307	221	idomringd 20959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑅 ∈ Ring)
308	307	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → 𝑅 ∈ Ring)
309		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
310	9, 3	unitcl 20585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
311	309, 310	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
312	221	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → 𝑅 ∈ IDomn)
313		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
314	9, 24, 312, 313	rprmcl 34032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
315	9, 10, 308, 311, 314	ringcld 20464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
316		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (♯‘𝑓) = (♯‘𝑓))
317	316, 262	wrdfd 14644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))⟶𝑃)
318		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → 𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)))
319		f1of 6816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) → 𝑐:(0..^(♯‘𝑓))⟶(0..^(♯‘𝑓)))
320	318, 319	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → 𝑐:(0..^(♯‘𝑓))⟶(0..^(♯‘𝑓)))
321	317, 320	fcod 6727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (𝑓 ∘ 𝑐):(0..^(♯‘𝑓))⟶𝑃)
322		ovexd 7447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (0..^(♯‘𝑓)) ∈ V)
323		inidm 4172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((0..^(♯‘𝑓)) ∩ (0..^(♯‘𝑓))) = (0..^(♯‘𝑓))
324	315, 254, 321, 322, 322, 323	off 7700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)):(0..^(♯‘𝑓))⟶(Base‘𝑅))
325	324	fdmd 6712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → dom (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)) = (0..^(♯‘𝑓)))
326	270, 306, 325	3eqtr3d 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (0..^((♯‘ℎ) − 1)) = (0..^(♯‘𝑓)))
327	283	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ((♯‘ℎ) − 1) ∈ ℕ0)
328	327, 264	fzo0opth 33377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ((0..^((♯‘ℎ) − 1)) = (0..^(♯‘𝑓)) ↔ ((♯‘ℎ) − 1) = (♯‘𝑓)))
329	326, 328	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ((♯‘ℎ) − 1) = (♯‘𝑓))
330	329	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (((♯‘ℎ) − 1) + 1) = ((♯‘𝑓) + 1))
331	281	ad10antlr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (♯‘ℎ) ∈ ℕ)
332	331	nncnd 12332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (♯‘ℎ) ∈ ℂ)
333		npcan1 11722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((♯‘ℎ) ∈ ℂ → (((♯‘ℎ) − 1) + 1) = (♯‘ℎ))
334	332, 333	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (((♯‘ℎ) − 1) + 1) = (♯‘ℎ))
335	330, 334	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ((♯‘𝑓) + 1) = (♯‘ℎ))
336	258, 268, 335	3eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (♯‘(𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩)) = (♯‘ℎ))
337	336	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (0..^(♯‘(𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩))) = (0..^(♯‘ℎ)))
338		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (♯‘(𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩)) = (♯‘(𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩)))
339	235	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → 𝑡 ∈ 𝑈)
340		ccatws1cl 14744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑑 ∈ Word 𝑈 ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) → (𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩) ∈ Word 𝑈)
341	256, 339, 340	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩) ∈ Word 𝑈)
342	338, 341	wrdfd 14644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩):(0..^(♯‘(𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩)))⟶𝑈)
343	337, 342	feq2dd 6687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩):(0..^(♯‘ℎ))⟶𝑈)
344		ccatws1len 14748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓 ∈ Word 𝑃 → (♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = ((♯‘𝑓) + 1))
345	262, 344	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = ((♯‘𝑓) + 1))
346	345, 335	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (♯‘ℎ))
347	346	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) = (0..^(♯‘ℎ)))
348	347	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (0..^(♯‘ℎ)) = (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))
349	237	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)))
350		f1ocnv 6829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) → ◡𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)))
351		f1of 6816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (◡𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) → ◡𝑟:(0..^(♯‘ℎ))⟶(0..^(♯‘ℎ)))
352	349, 350, 351	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ◡𝑟:(0..^(♯‘ℎ))⟶(0..^(♯‘ℎ)))
353	348, 352	feq2dd 6687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ◡𝑟:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))⟶(0..^(♯‘ℎ)))
354	343, 353	fcod 6727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ((𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩) ∘ ◡𝑟):(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))⟶𝑈)
355	250, 251, 354	elmapdd 8845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ((𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩) ∘ ◡𝑟) ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))))
356	221	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → 𝑅 ∈ IDomn)
357		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑀 Σg 𝑓))
358	226	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
359	229	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))
360	230	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ℎ ∈ Word 𝑃)
361	231	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ)))
362	232	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ)))
363	234	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗))
364	236	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗))
365		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩))
366		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → 𝑚 ∈ 𝑈)
367		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ)))
368	3, 24, 12, 10, 219, 356, 262, 262, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 339, 364, 349, 365, 366, 367, 252, 318, 269	1arithidomlem2 34050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟):(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (((𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩) ∘ ◡𝑟) ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟)))))
369	249, 355, 368	rspcedvdw 3580	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟):(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟)))))
370		f1oeq1 6804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 = ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟) → (𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ↔ ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟):(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))))
371		coeq2 5836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 = ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟) → ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣) = ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟)))
372	371	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 = ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟) → (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)) = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟))))
373	372	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 = ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟) → (ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)) ↔ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟)))))
374	370, 373	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟) → ((𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))) ↔ (((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟):(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟))))))
375	374	rexbidv 3187	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 = ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟) → (∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))) ↔ ∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟):(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟))))))
376	246, 369, 375	spcedv 3553	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))))
377	376	r19.29an 3167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ ∃𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))))
378	241, 377	exlimddv 1968	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))))
379		simp-7r 802	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) → ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ)))
380		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ)))
381	380	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ)) ↔ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))))
382	381	cbvrexvw 3242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ)) ↔ ∃𝑚 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ)))
383	379, 382	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) → ∃𝑚 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ)))
384	378, 383	r19.29a 3171	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) → ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))))
385	384	anasss 472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ (𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩))) → ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))))
386	218, 385	exlimddv 1968	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) → ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))))
387		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
388		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ)))
389	275, 388	ffvelcdmd 7077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) → (ℎ‘𝑗) ∈ 𝑃)
390	9, 24, 387, 220, 225, 233, 389, 10, 3	rprmasso3 34041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) → ∃𝑡 ∈ 𝑈 (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗))
391	386, 390	r19.29a 3171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) → ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))))
392		suppssdm 8178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ supp (1r‘𝑅)) ⊆ dom ℎ
393		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (♯‘ℎ) = (♯‘ℎ))
394		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑅 ∈ IDomn)
395	394, 149	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) → Word 𝑃 ⊆ Word (Base‘𝑅))
396	395	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → Word 𝑃 ⊆ Word (Base‘𝑅))
397		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → ℎ ∈ Word 𝑃)
398	396, 397	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → ℎ ∈ Word (Base‘𝑅))
399	393, 398	wrdfd 14644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → ℎ:(0..^(♯‘ℎ))⟶(Base‘𝑅))
400	392, 399	fssdm 6721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (ℎ supp (1r‘𝑅)) ⊆ (0..^(♯‘ℎ)))
401	16	ad5antlr 748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑅 ∈ CRing)
402		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
403	402	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
404		ovexd 7447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (0..^(♯‘ℎ)) ∈ V)
405		fvexd 6892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (1r‘𝑅) ∈ V)
406	405, 397	wrdfsupp 33486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → ℎ finSupp (1r‘𝑅))
407		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑅 ∈ IDomn)
408		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑚 ∈ 𝑈)
409	9, 3	unitcl 20585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑈 → 𝑚 ∈ (Base‘𝑅))
410	408, 409	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑚 ∈ (Base‘𝑅))
411	18	ad5antlr 748	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑀 ∈ CMnd)
412	13, 14, 411, 404, 399, 406	gsumcl 20109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (𝑀 Σg ℎ) ∈ (Base‘𝑅))
413	9, 24, 394, 402	rprmcl 34032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑝 ∈ (Base‘𝑅))
414	413	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑝 ∈ (Base‘𝑅))
415		ovexd 7447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (0..^(♯‘𝑓)) ∈ V)
416		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (♯‘𝑓) = (♯‘𝑓))
417	395, 222	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑓 ∈ Word (Base‘𝑅))
418	417	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑓 ∈ Word (Base‘𝑅))
419	416, 418	wrdfd 14644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))⟶(Base‘𝑅))
420	405, 418	wrdfsupp 33486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑓 finSupp (1r‘𝑅))
421	13, 14, 411, 415, 419, 420	gsumcl 20109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (𝑀 Σg 𝑓) ∈ (Base‘𝑅))
422	9, 387, 10	dvdsrmul 20574	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑝(∥r‘𝑅)((𝑀 Σg 𝑓) · 𝑝))
423	414, 421, 422	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑝(∥r‘𝑅)((𝑀 Σg 𝑓) · 𝑝))
424	15	idomringd 20959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Ring)
425	12	ringmgp 20445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
426	424, 425	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑀 ∈ Mnd)
427	426	ad3antlr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑀 ∈ Mnd)
428	12, 10	mgpplusg 20344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ · = (+g‘𝑀)
429	13, 428	gsumccatsn 19019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑓 ∈ Word (Base‘𝑅) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = ((𝑀 Σg 𝑓) · 𝑝))
430	427, 417, 413, 429	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = ((𝑀 Σg 𝑓) · 𝑝))
431	430	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = ((𝑀 Σg 𝑓) · 𝑝))
432		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ)))
433	431, 432	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → ((𝑀 Σg 𝑓) · 𝑝) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ)))
434	423, 433	breqtrd 5131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑚 · (𝑀 Σg ℎ)))
435	9, 24, 387, 10, 407, 403, 410, 412, 434	rprmdvds 34033	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (𝑝(∥r‘𝑅)𝑚 ∨ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑀 Σg ℎ)))
436	3, 24, 387, 401, 403, 408	rprmndvdsru 34043	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → ¬ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑚)
437	435, 436	orcnd 892	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑀 Σg ℎ))
438	9, 24, 387, 4, 12, 401, 403, 404, 406, 399, 437	rprmdvdsprod 34048	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → ∃𝑗 ∈ (ℎ supp (1r‘𝑅))𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗))
439		ssrexv 4001	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℎ supp (1r‘𝑅)) ⊆ (0..^(♯‘ℎ)) → (∃𝑗 ∈ (ℎ supp (1r‘𝑅))𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗) → ∃𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)))
440	400, 438, 439	sylc 66	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → ∃𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗))
441	382	bilani 510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) → ∃𝑚 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ)))
442	440, 441	r19.29a 3171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) → ∃𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗))
443	391, 442	r19.29a 3171	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) → ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))))
444	443	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) → (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ)) → ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)))))
445	444	ralrimiva 3155	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) → ∀ℎ ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ)) → ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)))))
446		f1oeq1 6804	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → (𝑤:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ↔ 𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))))
447		coeq2 5836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤) = ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))
448	447	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤)) = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)))
449	448	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → (𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤)) ↔ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))))
450	446, 449	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → ((𝑤:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤))) ↔ (𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)))))
451	450	rexbidv 3187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → (∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑤:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤))) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)))))
452	451	cbvexvw 2070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑤:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤))) ↔ ∃𝑣∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))))
453		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 = 𝑠 → (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)) = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)))
454	453	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 𝑠 → (𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)) ↔ 𝑔 = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))))
455	454	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑠 → ((𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))) ↔ (𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)))))
456	455	cbvrexvw 3242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))) ↔ ∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))))
457	456	exbii 1881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑣∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))) ↔ ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))))
458	452, 457	bitri 278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑤:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤))) ↔ ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))))
459	458	imbi2i 339	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑤:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤)))) ↔ (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)))))
460	459	ralbii 3109	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑤:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤)))) ↔ ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)))))
461		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg ℎ))
462	461	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ)))
463	462	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) ↔ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))))
464	463	rexbidv 3187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = ℎ → (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))))
465		eqeq1 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑔 = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)) ↔ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))))
466	465	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))) ↔ (𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)))))
467	466	rexbidv 3187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = ℎ → (∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))) ↔ ∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)))))
468	467	exbidv 1954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = ℎ → (∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))) ↔ ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)))))
469	464, 468	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)))) ↔ (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ)) → ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))))))
470	469	cbvralvw 3241	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)))) ↔ ∀ℎ ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ)) → ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)))))
471	460, 470	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑤:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤)))) ↔ ∀ℎ ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ)) → ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)))))
472	445, 471	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑤:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤)))))
473	472	exp31 425	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤))))) → (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑤:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤)))))))
474	65, 82, 99, 116, 212, 473	wrdind 14851	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑃 → (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))))))
475	48, 1, 474	sylc 66	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))
476	47, 475, 22	rspcdva 3578	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝐺)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐺 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))
477	38, 476	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐺 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))))
478		1arithidom.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (0..^(♯‘𝐹))
479	478	oveq2i 7423	. . . 4 ⊢ (𝑈 ↑m 𝐽) = (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))
480		f1oeq23 6807	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 = (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 = (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑤:𝐽–1-1-onto→𝐽 ↔ 𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹))))
481	478, 478, 480	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (𝑤:𝐽–1-1-onto→𝐽 ↔ 𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)))
482	481	anbi1i 636	. . . 4 ⊢ ((𝑤:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ 𝐺 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))) ↔ (𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐺 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))))
483	479, 482	rexeqbii 3334	. . 3 ⊢ (∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m 𝐽)(𝑤:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ 𝐺 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐺 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))))
484	483	exbii 1881	. 2 ⊢ (∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m 𝐽)(𝑤:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ 𝐺 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))) ↔ ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐺 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))))
485	477, 484	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m 𝐽)(𝑤:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ 𝐺 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584   class class class wbr 5103  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651  ran crn 5652   ∘ ccom 5655  Rel wrel 5656   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  –1-1-onto→wf1o 6530  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ∘_f cof 7680   supp csupp 8161   ↑_m cmap 8831  ℂcc 11179  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11522  ℕcn 12316  ℕ₀cn0 12587  ...cfz 13620  ..^cfzo 13768  ♯chash 14454  Word cword 14638   ++ cconcat 14695  ⟨“cs1 14722   prefix cpfx 14800  Basecbs 17367  ._rcmulr 17409   Σ_g cgsu 17591  Mndcmnd 18903  CMndccmn 19974  mulGrpcmgp 20340  1_rcur 20387  Ringcrg 20439  CRingccrg 20440  ∥_rcdsr 20564  Unitcui 20565  RPrimecrpm 20642  IDomncidom 20925

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-oi 9488  df-dju 9963  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-xnn0 12661  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-hash 14455  df-word 14639  df-lsw 14688  df-concat 14696  df-s1 14723  df-substr 14769  df-pfx 14801  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-mulg 19258  df-cntz 19511  df-pmtr 19636  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-cring 20442  df-oppr 20547  df-dvdsr 20567  df-unit 20568  df-invr 20598  df-rprm 20643  df-nzr 20743  df-domn 20927  df-idom 20928

This theorem is used by: (None)