Theorem 1arithidom 33508

Description: Uniqueness of prime factorizations in an integral domain 𝑅. Given two equal products 𝐹 and 𝐺 of prime elements, 𝐹 and 𝐺 are equal up to a renumbering 𝑤 and a multiplication by units 𝑢. See also 1arith 16898. Chapter VII, Paragraph 3, Section 3, Proposition 2 of [BourbakiCAlg2], p. 228. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
1arithidom.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
1arithidom.i	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
1arithidom.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
1arithidom.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
1arithidom.j	⊢ 𝐽 = (0..^(♯‘𝐹))
1arithidom.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
1arithidom.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝑃)
1arithidom.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Word 𝑃)
1arithidom.1	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑀 Σg 𝐺))

Assertion

Ref	Expression
1arithidom	⊢ (𝜑 → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m 𝐽)(𝑤:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ 𝐺 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))))

Distinct variable groups:   𝑢, · ,𝑤   𝑢,𝐹,𝑤   𝑢,𝐺,𝑤   𝑢,𝑀,𝑤   𝑢,𝑃,𝑤   𝑢,𝑅,𝑤   𝑢,𝑈,𝑤   𝜑,𝑢

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝐽(𝑤,𝑢)

Proof of Theorem 1arithidom

Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 𝑗 𝑚 𝑝 𝑟 𝑠 𝑡 𝑣 𝑥 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1arithidom.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
2	1	idomringd 20637	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		1arithidom.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
4		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
5	3, 4	1unit 20283	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
6	2, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
7		oveq1 7394	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (1r‘𝑅) → (𝑘 · (𝑀 Σg 𝐺)) = ((1r‘𝑅) · (𝑀 Σg 𝐺)))
8	7	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (1r‘𝑅)) → (𝑘 · (𝑀 Σg 𝐺)) = ((1r‘𝑅) · (𝑀 Σg 𝐺)))
9		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10		1arithidom.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (1r‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
12		1arithidom.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
13	12, 9	mgpbas 20054	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
14	12, 4	ringidval 20092	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀)
15		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ IDomn)
16	15	idomcringd 20636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
17	12	crngmgp 20150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑀 ∈ CMnd)
19	1, 18	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
20		ovexd 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐺)) ∈ V)
21		eqidd 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐺) = (♯‘𝐺))
22		1arithidom.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Word 𝑃)
23	21, 22	wrdfd 14484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑃)
24		1arithidom.i	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
25	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ IDomn)
26		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝑃)
27	9, 24, 25, 26	rprmcl 33489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ (Base‘𝑅))
28	27	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝑃 → 𝑝 ∈ (Base‘𝑅)))
29	28	ssrdv 3952	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ⊆ (Base‘𝑅))
30	23, 29	fssd 6705	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(0..^(♯‘𝐺))⟶(Base‘𝑅))
31	6, 22	wrdfsupp 32858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp (1r‘𝑅))
32	13, 14, 19, 20, 30, 31	gsumcl 19845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐺) ∈ (Base‘𝑅))
33	32	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (1r‘𝑅)) → (𝑀 Σg 𝐺) ∈ (Base‘𝑅))
34	9, 10, 4, 11, 33	ringlidmd 20181	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (1r‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) · (𝑀 Σg 𝐺)) = (𝑀 Σg 𝐺))
35	8, 34	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (1r‘𝑅)) → (𝑘 · (𝑀 Σg 𝐺)) = (𝑀 Σg 𝐺))
36	35	eqeq2d 2740	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (1r‘𝑅)) → ((𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝐺)) ↔ (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑀 Σg 𝐺)))
37		1arithidom.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑀 Σg 𝐺))
38	6, 36, 37	rspcedvd 3590	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝐺)))
39		oveq2 7395	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg 𝐺))
40	39	oveq2d 7403	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝐺)))
41	40	eqeq2d 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) ↔ (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝐺))))
42	41	rexbidv 3157	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝐺))))
43		eqeq1 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)) ↔ 𝐺 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))))
44	43	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))) ↔ (𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐺 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))
45	44	rexbidv 3157	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐺 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))
46	45	exbidv 1921	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))) ↔ ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐺 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))
47	42, 46	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))) ↔ (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝐺)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐺 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))))))
48		1arithidom.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝑃)
49		oveq2 7395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = ∅ → (𝑀 Σg ℎ) = (𝑀 Σg ∅))
50	49	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = ∅ → ((𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) ↔ (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))))
51	50	rexbidv 3157	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = ∅ → (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))))
52		fveq2 6858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = ∅ → (♯‘ℎ) = (♯‘∅))
53	52	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = ∅ → (0..^(♯‘ℎ)) = (0..^(♯‘∅)))
54	53	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = ∅ → (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ))) = (𝑈 ↑m (0..^(♯‘∅))))
55		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = ∅ → 𝑤 = 𝑤)
56	55, 53, 53	f1oeq123d 6794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = ∅ → (𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ↔ 𝑤:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→(0..^(♯‘∅))))
57		coeq1 5821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ = ∅ → (ℎ ∘ 𝑤) = (∅ ∘ 𝑤))
58	57	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = ∅ → (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤)) = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ 𝑤)))
59	58	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = ∅ → (𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤)) ↔ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ 𝑤))))
60	56, 59	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = ∅ → ((𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤))) ↔ (𝑤:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→(0..^(♯‘∅)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ 𝑤)))))
61	54, 60	rexeqbidv 3320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = ∅ → (∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤))) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘∅)))(𝑤:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→(0..^(♯‘∅)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ 𝑤)))))
62	61	exbidv 1921	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = ∅ → (∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤))) ↔ ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘∅)))(𝑤:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→(0..^(♯‘∅)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ 𝑤)))))
63	51, 62	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = ∅ → ((∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤)))) ↔ (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘∅)))(𝑤:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→(0..^(♯‘∅)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ 𝑤))))))
64	63	ralbidv 3156	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = ∅ → (∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤)))) ↔ ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘∅)))(𝑤:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→(0..^(♯‘∅)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ 𝑤))))))
65	64	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = ∅ → ((𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤))))) ↔ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘∅)))(𝑤:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→(0..^(♯‘∅)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ 𝑤)))))))
66		oveq2 7395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (𝑀 Σg ℎ) = (𝑀 Σg 𝑓))
67	66	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = 𝑓 → ((𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) ↔ (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))))
68	67	rexbidv 3157	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))))
69		fveq2 6858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (♯‘ℎ) = (♯‘𝑓))
70	69	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (0..^(♯‘ℎ)) = (0..^(♯‘𝑓)))
71	70	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ))) = (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓))))
72		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = 𝑓 → 𝑤 = 𝑤)
73	72, 70, 70	f1oeq123d 6794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ↔ 𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓))))
74		coeq1 5821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (ℎ ∘ 𝑤) = (𝑓 ∘ 𝑤))
75	74	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤)) = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))
76	75	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤)) ↔ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤))))
77	73, 76	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = 𝑓 → ((𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤))) ↔ (𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))
78	71, 77	rexeqbidv 3320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤))) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))
79	78	exbidv 1921	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤))) ↔ ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))
80	68, 79	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝑓 → ((∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤)))) ↔ (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤))))))
81	80	ralbidv 3156	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤)))) ↔ ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤))))))
82	81	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑓 → ((𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤))))) ↔ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))))
83		oveq2 7395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (𝑀 Σg ℎ) = (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))
84	83	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) ↔ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))))
85	84	rexbidv 3157	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))))
86		fveq2 6858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (♯‘ℎ) = (♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))
87	86	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (0..^(♯‘ℎ)) = (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))
88	87	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ))) = (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))))
89		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → 𝑤 = 𝑤)
90	89, 87, 87	f1oeq123d 6794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ↔ 𝑤:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))))
91		coeq1 5821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (ℎ ∘ 𝑤) = ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤))
92	91	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤)) = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤)))
93	92	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤)) ↔ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤))))
94	90, 93	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤))) ↔ (𝑤:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤)))))
95	88, 94	rexeqbidv 3320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤))) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑤:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤)))))
96	95	exbidv 1921	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤))) ↔ ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑤:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤)))))
97	85, 96	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤)))) ↔ (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑤:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤))))))
98	97	ralbidv 3156	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤)))) ↔ ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑤:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤))))))
99	98	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤))))) ↔ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑤:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤)))))))
100		oveq2 7395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (𝑀 Σg ℎ) = (𝑀 Σg 𝐹))
101	100	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = 𝐹 → ((𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) ↔ (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))))
102	101	rexbidv 3157	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))))
103		fveq2 6858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (♯‘ℎ) = (♯‘𝐹))
104	103	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (0..^(♯‘ℎ)) = (0..^(♯‘𝐹)))
105	104	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ))) = (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹))))
106		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = 𝐹 → 𝑤 = 𝑤)
107	106, 104, 104	f1oeq123d 6794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ↔ 𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹))))
108		coeq1 5821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (ℎ ∘ 𝑤) = (𝐹 ∘ 𝑤))
109	108	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))
110	109	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤)) ↔ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))))
111	107, 110	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = 𝐹 → ((𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤))) ↔ (𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))
112	105, 111	rexeqbidv 3320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤))) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))
113	112	exbidv 1921	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤))) ↔ ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))
114	102, 113	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝐹 → ((∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤)))) ↔ (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))))))
115	114	ralbidv 3156	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤)))) ↔ ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))))))
116	115	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝐹 → ((𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ℎ) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘ℎ)))(𝑤:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (ℎ ∘ 𝑤))))) ↔ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))))
117		0ex 5262	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
118	117	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → ∅ ∈ V)
119	117	snid 4626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ {∅}
120	3	fvexi 6872	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑈 ∈ V
121		mapdm0 8815	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ V → (𝑈 ↑m ∅) = {∅})
122	120, 121	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ↑m ∅) = {∅}
123	119, 122	eleqtrri 2827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ (𝑈 ↑m ∅)
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → ∅ ∈ (𝑈 ↑m ∅))
125		f1o0 6837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅:∅–1-1-onto→∅
126	125	biantrur 530	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ ∅)) ↔ (∅:∅–1-1-onto→∅ ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ ∅))))
127		co02 6233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∅ ∘ ∅) = ∅
128	127	oveq2i 7398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 ∘f · (∅ ∘ ∅)) = (𝑢 ∘f · ∅)
129		of0r 32602	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 ∘f · ∅) = ∅
130	128, 129	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∘f · (∅ ∘ ∅)) = ∅
131	130	eqeq2i 2742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ ∅)) ↔ 𝑔 = ∅)
132	126, 131	bitr3i 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∅:∅–1-1-onto→∅ ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ ∅))) ↔ 𝑔 = ∅)
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) ∧ 𝑢 = ∅) → ((∅:∅–1-1-onto→∅ ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ ∅))) ↔ 𝑔 = ∅))
134		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) → 𝑅 ∈ IDomn)
135	134	idomcringd 20636	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) → 𝑅 ∈ CRing)
136	135	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → 𝑅 ∈ CRing)
137		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → 𝑘 ∈ 𝑈)
138	9, 3	unitcl 20284	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑈 → 𝑘 ∈ (Base‘𝑅))
139	137, 138	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → 𝑘 ∈ (Base‘𝑅))
140	136, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → 𝑀 ∈ CMnd)
141		ovexd 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → (0..^(♯‘𝑔)) ∈ V)
142		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → (♯‘𝑔) = (♯‘𝑔))
143		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ IDomn)
144		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝑃)
145	9, 24, 143, 144	rprmcl 33489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ (Base‘𝑅))
146	145	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → (𝑝 ∈ 𝑃 → 𝑝 ∈ (Base‘𝑅)))
147	146	ssrdv 3952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑃 ⊆ (Base‘𝑅))
148		sswrd 14487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ⊆ (Base‘𝑅) → Word 𝑃 ⊆ Word (Base‘𝑅))
149	147, 148	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → Word 𝑃 ⊆ Word (Base‘𝑅))
150	149	sselda 3946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) → 𝑔 ∈ Word (Base‘𝑅))
151	150	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → 𝑔 ∈ Word (Base‘𝑅))
152	142, 151	wrdfd 14484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → 𝑔:(0..^(♯‘𝑔))⟶(Base‘𝑅))
153	134	idomringd 20637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) → 𝑅 ∈ Ring)
154	153, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
155	154	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
156	155, 151	wrdfsupp 32858	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → 𝑔 finSupp (1r‘𝑅))
157	13, 14, 140, 141, 152, 156	gsumcl 19845	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → (𝑀 Σg 𝑔) ∈ (Base‘𝑅))
158		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)))
159	14	gsum0 18611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = (1r‘𝑅)
160	159, 155	eqeltrid 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝑈)
161	158, 160	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) ∈ 𝑈)
162	3, 10, 9	unitmulclb 20290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) ∈ 𝑈 ↔ (𝑘 ∈ 𝑈 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝑈)))
163	162	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) ∈ 𝑈) → (𝑘 ∈ 𝑈 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝑈))
164	136, 139, 157, 161, 163	syl31anc 1375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → (𝑘 ∈ 𝑈 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝑈))
165	164	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝑈)
166	165	r19.29an 3137	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝑈)
167	9, 3, 12, 135, 150	unitprodclb 33360	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) → ((𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝑈 ↔ ran 𝑔 ⊆ 𝑈))
168	167	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → ((𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝑈 ↔ ran 𝑔 ⊆ 𝑈))
169	166, 168	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → ran 𝑔 ⊆ 𝑈)
170	169	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) ∧ 𝑔 ≠ ∅) → ran 𝑔 ⊆ 𝑈)
171		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) → (♯‘𝑔) = (♯‘𝑔))
172		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) → 𝑔 ∈ Word 𝑃)
173	171, 172	wrdfd 14484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) → 𝑔:(0..^(♯‘𝑔))⟶𝑃)
174	173	freld 6694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) → Rel 𝑔)
175	174	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) ∧ 𝑔 ≠ ∅) → Rel 𝑔)
176		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) ∧ 𝑔 ≠ ∅) → 𝑔 ≠ ∅)
177		relrn0 5936	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Rel 𝑔 → (𝑔 = ∅ ↔ ran 𝑔 = ∅))
178	177	necon3bid 2969	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Rel 𝑔 → (𝑔 ≠ ∅ ↔ ran 𝑔 ≠ ∅))
179	178	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Rel 𝑔 ∧ 𝑔 ≠ ∅) → ran 𝑔 ≠ ∅)
180	175, 176, 179	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) ∧ 𝑔 ≠ ∅) → ran 𝑔 ≠ ∅)
181		n0 4316	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ran 𝑔 ≠ ∅ ↔ ∃𝑖 𝑖 ∈ ran 𝑔)
182	180, 181	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) ∧ 𝑔 ≠ ∅) → ∃𝑖 𝑖 ∈ ran 𝑔)
183		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) ∧ 𝑔 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ ran 𝑔) → 𝑖 ∈ ran 𝑔)
184	134	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) ∧ 𝑔 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ ran 𝑔) → 𝑅 ∈ IDomn)
185	173	frnd 6696	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) → ran 𝑔 ⊆ 𝑃)
186	185	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) ∧ 𝑔 ≠ ∅) → ran 𝑔 ⊆ 𝑃)
187	186	sselda 3946	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) ∧ 𝑔 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ ran 𝑔) → 𝑖 ∈ 𝑃)
188	24, 3, 184, 187	rprmnunit 33492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) ∧ 𝑔 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ ran 𝑔) → ¬ 𝑖 ∈ 𝑈)
189		nelss 4012	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 ∈ ran 𝑔 ∧ ¬ 𝑖 ∈ 𝑈) → ¬ ran 𝑔 ⊆ 𝑈)
190	183, 188, 189	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) ∧ 𝑔 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ ran 𝑔) → ¬ ran 𝑔 ⊆ 𝑈)
191	182, 190	exlimddv 1935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) ∧ 𝑔 ≠ ∅) → ¬ ran 𝑔 ⊆ 𝑈)
192	170, 191	pm2.65da 816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → ¬ 𝑔 ≠ ∅)
193		nne 2929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑔 ≠ ∅ ↔ 𝑔 = ∅)
194	192, 193	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → 𝑔 = ∅)
195	124, 133, 194	rspcedvd 3590	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → ∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m ∅)(∅:∅–1-1-onto→∅ ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ ∅))))
196		hash0 14332	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (♯‘∅) = 0
197	196	oveq2i 7398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0..^(♯‘∅)) = (0..^0)
198		fzo0 13644	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0..^0) = ∅
199	197, 198	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0..^(♯‘∅)) = ∅
200	199	oveq2i 7398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘∅))) = (𝑈 ↑m ∅)
201	200	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑈 ↑m (0..^(♯‘∅))) = (𝑈 ↑m ∅))
202		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = ∅ → 𝑤 = ∅)
203	199	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = ∅ → (0..^(♯‘∅)) = ∅)
204	202, 203, 203	f1oeq123d 6794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑤:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→(0..^(♯‘∅)) ↔ ∅:∅–1-1-onto→∅))
205		coeq2 5822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∅ ∘ 𝑤) = (∅ ∘ ∅))
206	205	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑢 ∘f · (∅ ∘ 𝑤)) = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ ∅)))
207	206	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ 𝑤)) ↔ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ ∅))))
208	204, 207	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑤:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→(0..^(♯‘∅)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ 𝑤))) ↔ (∅:∅–1-1-onto→∅ ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ ∅)))))
209	201, 208	rexeqbidv 3320	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘∅)))(𝑤:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→(0..^(♯‘∅)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ 𝑤))) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m ∅)(∅:∅–1-1-onto→∅ ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ ∅)))))
210	118, 195, 209	spcedv 3564	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔))) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘∅)))(𝑤:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→(0..^(♯‘∅)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ 𝑤))))
211	210	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) → (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘∅)))(𝑤:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→(0..^(♯‘∅)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ 𝑤)))))
212	211	ralrimiva 3125	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg ∅) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘∅)))(𝑤:(0..^(♯‘∅))–1-1-onto→(0..^(♯‘∅)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (∅ ∘ 𝑤)))))
213		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0..^(♯‘ℎ)) = (0..^(♯‘ℎ))
214		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ)))
215		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) → ℎ ∈ Word 𝑃)
216	215	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) → ℎ ∈ Word 𝑃)
217		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1))
218	213, 214, 216, 217	wrdpmtrlast 33050	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) → ∃𝑟(𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)))
219		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0..^(♯‘𝑓)) = (0..^(♯‘𝑓))
220		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) → 𝑅 ∈ IDomn)
221	220	ad6antr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑅 ∈ IDomn)
222		simp-5l 784	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑓 ∈ Word 𝑃)
223	222	ad8antr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑓 ∈ Word 𝑃)
224		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑀 Σg 𝑓))
225		simp-7r 789	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) → 𝑝 ∈ 𝑃)
226	225	ad6antr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
227		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) → (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤))))))
228	227	ad10antr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤))))))
229	221, 228	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))
230	216	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → ℎ ∈ Word 𝑃)
231		simp-9r 793	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ)))
232	214	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ)))
233		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) → 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗))
234	233	ad6antr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗))
235		simp-6r 787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑡 ∈ 𝑈)
236		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗))
237		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)))
238		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩))
239		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑚 ∈ 𝑈)
240		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ)))
241	3, 24, 12, 10, 219, 221, 223, 223, 224, 226, 229, 230, 231, 232, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240	1arithidomlem1 33506	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → ∃𝑐∃𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐))))
242		ovexd 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∈ V)
243		vex 3451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑟 ∈ V
244	243	cnvex 7901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ◡𝑟 ∈ V
245	244	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ◡𝑟 ∈ V)
246	242, 245	coexd 7907	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟) ∈ V)
247		oveq1 7394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 = ((𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩) ∘ ◡𝑟) → (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟))) = (((𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩) ∘ ◡𝑟) ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟))))
248	247	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 = ((𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩) ∘ ◡𝑟) → (ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟))) ↔ ℎ = (((𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩) ∘ ◡𝑟) ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟)))))
249	248	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 = ((𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩) ∘ ◡𝑟) → ((((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟):(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟)))) ↔ (((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟):(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (((𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩) ∘ ◡𝑟) ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟))))))
250	120	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → 𝑈 ∈ V)
251		ovexd 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∈ V)
252		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓))))
253		elmapi 8822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓))) → 𝑑:(0..^(♯‘𝑓))⟶𝑈)
254	252, 253	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → 𝑑:(0..^(♯‘𝑓))⟶𝑈)
255		iswrdi 14482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑑:(0..^(♯‘𝑓))⟶𝑈 → 𝑑 ∈ Word 𝑈)
256	254, 255	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → 𝑑 ∈ Word 𝑈)
257		ccatws1len 14585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑑 ∈ Word 𝑈 → (♯‘(𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩)) = ((♯‘𝑑) + 1))
258	256, 257	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (♯‘(𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩)) = ((♯‘𝑑) + 1))
259		elmapfn 8838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓))) → 𝑑 Fn (0..^(♯‘𝑓)))
260		hashfn 14340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑑 Fn (0..^(♯‘𝑓)) → (♯‘𝑑) = (♯‘(0..^(♯‘𝑓))))
261	252, 259, 260	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (♯‘𝑑) = (♯‘(0..^(♯‘𝑓))))
262	222	ad10antr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → 𝑓 ∈ Word 𝑃)
263		lencl 14498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑓 ∈ Word 𝑃 → (♯‘𝑓) ∈ ℕ0)
264	262, 263	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (♯‘𝑓) ∈ ℕ0)
265		hashfzo0 14395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝑓))) = (♯‘𝑓))
266	264, 265	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (♯‘(0..^(♯‘𝑓))) = (♯‘𝑓))
267	261, 266	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (♯‘𝑑) = (♯‘𝑓))
268	267	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ((♯‘𝑑) + 1) = ((♯‘𝑓) + 1))
269		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))
270	269	dmeqd 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → dom ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = dom (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))
271		f1of 6800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) → 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))⟶(0..^(♯‘ℎ)))
272		iswrdi 14482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑟:(0..^(♯‘ℎ))⟶(0..^(♯‘ℎ)) → 𝑟 ∈ Word (0..^(♯‘ℎ)))
273	237, 271, 272	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑟 ∈ Word (0..^(♯‘ℎ)))
274		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) → (♯‘ℎ) = (♯‘ℎ))
275	274, 215	wrdfd 14484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) → ℎ:(0..^(♯‘ℎ))⟶𝑃)
276	275	ad6antr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → ℎ:(0..^(♯‘ℎ))⟶𝑃)
277		wrdco 14797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑟 ∈ Word (0..^(♯‘ℎ)) ∧ ℎ:(0..^(♯‘ℎ))⟶𝑃) → (ℎ ∘ 𝑟) ∈ Word 𝑃)
278	273, 276, 277	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (ℎ ∘ 𝑟) ∈ Word 𝑃)
279	278	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (ℎ ∘ 𝑟) ∈ Word 𝑃)
280		elfzo0 13661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ)) ↔ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘ℎ) ∈ ℕ ∧ 𝑗 < (♯‘ℎ)))
281	280	simp2bi 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ)) → (♯‘ℎ) ∈ ℕ)
282		nnm1nn0 12483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((♯‘ℎ) ∈ ℕ → ((♯‘ℎ) − 1) ∈ ℕ0)
283	232, 281, 282	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → ((♯‘ℎ) − 1) ∈ ℕ0)
284		lenco 14798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑟 ∈ Word (0..^(♯‘ℎ)) ∧ ℎ:(0..^(♯‘ℎ))⟶𝑃) → (♯‘(ℎ ∘ 𝑟)) = (♯‘𝑟))
285	273, 276, 284	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (♯‘(ℎ ∘ 𝑟)) = (♯‘𝑟))
286		lencl 14498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑟 ∈ Word (0..^(♯‘ℎ)) → (♯‘𝑟) ∈ ℕ0)
287	273, 286	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (♯‘𝑟) ∈ ℕ0)
288	285, 287	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (♯‘(ℎ ∘ 𝑟)) ∈ ℕ0)
289		lencl 14498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (ℎ ∈ Word 𝑃 → (♯‘ℎ) ∈ ℕ0)
290	230, 289	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (♯‘ℎ) ∈ ℕ0)
291	290	nn0red 12504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (♯‘ℎ) ∈ ℝ)
292	291	lem1d 12116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → ((♯‘ℎ) − 1) ≤ (♯‘ℎ))
293	237, 271	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))⟶(0..^(♯‘ℎ)))
294		ffn 6688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑟:(0..^(♯‘ℎ))⟶(0..^(♯‘ℎ)) → 𝑟 Fn (0..^(♯‘ℎ)))
295		hashfn 14340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑟 Fn (0..^(♯‘ℎ)) → (♯‘𝑟) = (♯‘(0..^(♯‘ℎ))))
296	293, 294, 295	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (♯‘𝑟) = (♯‘(0..^(♯‘ℎ))))
297		hashfzo0 14395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((♯‘ℎ) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘ℎ))) = (♯‘ℎ))
298	230, 289, 297	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (♯‘(0..^(♯‘ℎ))) = (♯‘ℎ))
299	285, 296, 298	3eqtrrd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (♯‘ℎ) = (♯‘(ℎ ∘ 𝑟)))
300	292, 299	breqtrd 5133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → ((♯‘ℎ) − 1) ≤ (♯‘(ℎ ∘ 𝑟)))
301		elfz2nn0 13579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((♯‘ℎ) − 1) ∈ (0...(♯‘(ℎ ∘ 𝑟))) ↔ (((♯‘ℎ) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(ℎ ∘ 𝑟)) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘ℎ) − 1) ≤ (♯‘(ℎ ∘ 𝑟))))
302	283, 288, 300, 301	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → ((♯‘ℎ) − 1) ∈ (0...(♯‘(ℎ ∘ 𝑟))))
303	302	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ((♯‘ℎ) − 1) ∈ (0...(♯‘(ℎ ∘ 𝑟))))
304		pfxfn 14646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((ℎ ∘ 𝑟) ∈ Word 𝑃 ∧ ((♯‘ℎ) − 1) ∈ (0...(♯‘(ℎ ∘ 𝑟)))) → ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) Fn (0..^((♯‘ℎ) − 1)))
305	279, 303, 304	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) Fn (0..^((♯‘ℎ) − 1)))
306	305	fndmd 6623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → dom ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (0..^((♯‘ℎ) − 1)))
307	221	idomringd 20637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑅 ∈ Ring)
308	307	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → 𝑅 ∈ Ring)
309		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
310	9, 3	unitcl 20284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
311	309, 310	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
312	221	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → 𝑅 ∈ IDomn)
313		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
314	9, 24, 312, 313	rprmcl 33489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
315	9, 10, 308, 311, 314	ringcld 20169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
316		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (♯‘𝑓) = (♯‘𝑓))
317	316, 262	wrdfd 14484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))⟶𝑃)
318		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → 𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)))
319		f1of 6800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) → 𝑐:(0..^(♯‘𝑓))⟶(0..^(♯‘𝑓)))
320	318, 319	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → 𝑐:(0..^(♯‘𝑓))⟶(0..^(♯‘𝑓)))
321	317, 320	fcod 6713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (𝑓 ∘ 𝑐):(0..^(♯‘𝑓))⟶𝑃)
322		ovexd 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (0..^(♯‘𝑓)) ∈ V)
323		inidm 4190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((0..^(♯‘𝑓)) ∩ (0..^(♯‘𝑓))) = (0..^(♯‘𝑓))
324	315, 254, 321, 322, 322, 323	off 7671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)):(0..^(♯‘𝑓))⟶(Base‘𝑅))
325	324	fdmd 6698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → dom (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)) = (0..^(♯‘𝑓)))
326	270, 306, 325	3eqtr3d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (0..^((♯‘ℎ) − 1)) = (0..^(♯‘𝑓)))
327	283	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ((♯‘ℎ) − 1) ∈ ℕ0)
328	327, 264	fzo0opth 32728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ((0..^((♯‘ℎ) − 1)) = (0..^(♯‘𝑓)) ↔ ((♯‘ℎ) − 1) = (♯‘𝑓)))
329	326, 328	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ((♯‘ℎ) − 1) = (♯‘𝑓))
330	329	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (((♯‘ℎ) − 1) + 1) = ((♯‘𝑓) + 1))
331	281	ad10antlr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (♯‘ℎ) ∈ ℕ)
332	331	nncnd 12202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (♯‘ℎ) ∈ ℂ)
333		npcan1 11603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((♯‘ℎ) ∈ ℂ → (((♯‘ℎ) − 1) + 1) = (♯‘ℎ))
334	332, 333	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (((♯‘ℎ) − 1) + 1) = (♯‘ℎ))
335	330, 334	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ((♯‘𝑓) + 1) = (♯‘ℎ))
336	258, 268, 335	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (♯‘(𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩)) = (♯‘ℎ))
337	336	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (0..^(♯‘(𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩))) = (0..^(♯‘ℎ)))
338		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (♯‘(𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩)) = (♯‘(𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩)))
339	235	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → 𝑡 ∈ 𝑈)
340		ccatws1cl 14581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑑 ∈ Word 𝑈 ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) → (𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩) ∈ Word 𝑈)
341	256, 339, 340	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩) ∈ Word 𝑈)
342	338, 341	wrdfd 14484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩):(0..^(♯‘(𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩)))⟶𝑈)
343	337, 342	feq2dd 6674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩):(0..^(♯‘ℎ))⟶𝑈)
344		ccatws1len 14585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓 ∈ Word 𝑃 → (♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = ((♯‘𝑓) + 1))
345	262, 344	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = ((♯‘𝑓) + 1))
346	345, 335	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (♯‘ℎ))
347	346	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) = (0..^(♯‘ℎ)))
348	347	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (0..^(♯‘ℎ)) = (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))
349	237	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)))
350		f1ocnv 6812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) → ◡𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)))
351		f1of 6800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (◡𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) → ◡𝑟:(0..^(♯‘ℎ))⟶(0..^(♯‘ℎ)))
352	349, 350, 351	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ◡𝑟:(0..^(♯‘ℎ))⟶(0..^(♯‘ℎ)))
353	348, 352	feq2dd 6674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ◡𝑟:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))⟶(0..^(♯‘ℎ)))
354	343, 353	fcod 6713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ((𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩) ∘ ◡𝑟):(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))⟶𝑈)
355	250, 251, 354	elmapdd 8814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ((𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩) ∘ ◡𝑟) ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))))
356	221	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → 𝑅 ∈ IDomn)
357		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑀 Σg 𝑓))
358	226	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
359	229	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))
360	230	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ℎ ∈ Word 𝑃)
361	231	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ)))
362	232	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ)))
363	234	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗))
364	236	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗))
365		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩))
366		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → 𝑚 ∈ 𝑈)
367		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ)))
368	3, 24, 12, 10, 219, 356, 262, 262, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 339, 364, 349, 365, 366, 367, 252, 318, 269	1arithidomlem2 33507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → (((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟):(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (((𝑑 ++ ⟨“𝑡”⟩) ∘ ◡𝑟) ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟)))))
369	249, 355, 368	rspcedvdw 3591	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟):(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟)))))
370		f1oeq1 6788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 = ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟) → (𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ↔ ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟):(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))))
371		coeq2 5822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 = ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟) → ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣) = ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟)))
372	371	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 = ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟) → (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)) = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟))))
373	372	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 = ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟) → (ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)) ↔ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟)))))
374	370, 373	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟) → ((𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))) ↔ (((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟):(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟))))))
375	374	rexbidv 3157	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 = ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟) → (∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))) ↔ ∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟):(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ ((𝑐 ++ ⟨“(♯‘𝑓)”⟩) ∘ ◡𝑟))))))
376	246, 369, 375	spcedv 3564	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))) ∧ (𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))))
377	376	r19.29an 3137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ ∃𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑐:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ ((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑐)))) → ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))))
378	241, 377	exlimddv 1935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))))
379		simp-7r 789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) → ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ)))
380		oveq1 7394	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ)))
381	380	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ)) ↔ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))))
382	381	cbvrexvw 3216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ)) ↔ ∃𝑚 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ)))
383	379, 382	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) → ∃𝑚 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ)))
384	378, 383	r19.29a 3141	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ))) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩)) → ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))))
385	384	anasss 466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) ∧ (𝑟:(0..^(♯‘ℎ))–1-1-onto→(0..^(♯‘ℎ)) ∧ (ℎ ∘ 𝑟) = (((ℎ ∘ 𝑟) prefix ((♯‘ℎ) − 1)) ++ ⟨“(ℎ‘𝑗)”⟩))) → ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))))
386	218, 385	exlimddv 1935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) ∧ (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗)) → ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))))
387		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
388		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ)))
389	275, 388	ffvelcdmd 7057	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) → (ℎ‘𝑗) ∈ 𝑃)
390	9, 24, 387, 220, 225, 233, 389, 10, 3	rprmasso3 33498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) → ∃𝑡 ∈ 𝑈 (𝑡 · 𝑝) = (ℎ‘𝑗))
391	386, 390	r19.29a 3141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)) → ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))))
392		suppssdm 8156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ supp (1r‘𝑅)) ⊆ dom ℎ
393		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (♯‘ℎ) = (♯‘ℎ))
394		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑅 ∈ IDomn)
395	394, 149	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) → Word 𝑃 ⊆ Word (Base‘𝑅))
396	395	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → Word 𝑃 ⊆ Word (Base‘𝑅))
397		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → ℎ ∈ Word 𝑃)
398	396, 397	sseldd 3947	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → ℎ ∈ Word (Base‘𝑅))
399	393, 398	wrdfd 14484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → ℎ:(0..^(♯‘ℎ))⟶(Base‘𝑅))
400	392, 399	fssdm 6707	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (ℎ supp (1r‘𝑅)) ⊆ (0..^(♯‘ℎ)))
401	16	ad5antlr 735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑅 ∈ CRing)
402		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
403	402	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
404		ovexd 7422	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (0..^(♯‘ℎ)) ∈ V)
405		fvexd 6873	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (1r‘𝑅) ∈ V)
406	405, 397	wrdfsupp 32858	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → ℎ finSupp (1r‘𝑅))
407		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑅 ∈ IDomn)
408		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑚 ∈ 𝑈)
409	9, 3	unitcl 20284	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑈 → 𝑚 ∈ (Base‘𝑅))
410	408, 409	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑚 ∈ (Base‘𝑅))
411	18	ad5antlr 735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑀 ∈ CMnd)
412	13, 14, 411, 404, 399, 406	gsumcl 19845	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (𝑀 Σg ℎ) ∈ (Base‘𝑅))
413	9, 24, 394, 402	rprmcl 33489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑝 ∈ (Base‘𝑅))
414	413	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑝 ∈ (Base‘𝑅))
415		ovexd 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (0..^(♯‘𝑓)) ∈ V)
416		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (♯‘𝑓) = (♯‘𝑓))
417	395, 222	sseldd 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑓 ∈ Word (Base‘𝑅))
418	417	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑓 ∈ Word (Base‘𝑅))
419	416, 418	wrdfd 14484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))⟶(Base‘𝑅))
420	405, 418	wrdfsupp 32858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑓 finSupp (1r‘𝑅))
421	13, 14, 411, 415, 419, 420	gsumcl 19845	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (𝑀 Σg 𝑓) ∈ (Base‘𝑅))
422	9, 387, 10	dvdsrmul 20273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑝(∥r‘𝑅)((𝑀 Σg 𝑓) · 𝑝))
423	414, 421, 422	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑝(∥r‘𝑅)((𝑀 Σg 𝑓) · 𝑝))
424	15	idomringd 20637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Ring)
425	12	ringmgp 20148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
426	424, 425	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑀 ∈ Mnd)
427	426	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑀 ∈ Mnd)
428	12, 10	mgpplusg 20053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ · = (+g‘𝑀)
429	13, 428	gsumccatsn 18770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑓 ∈ Word (Base‘𝑅) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = ((𝑀 Σg 𝑓) · 𝑝))
430	427, 417, 413, 429	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = ((𝑀 Σg 𝑓) · 𝑝))
431	430	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = ((𝑀 Σg 𝑓) · 𝑝))
432		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ)))
433	431, 432	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → ((𝑀 Σg 𝑓) · 𝑝) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ)))
434	423, 433	breqtrd 5133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑚 · (𝑀 Σg ℎ)))
435	9, 24, 387, 10, 407, 403, 410, 412, 434	rprmdvds 33490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → (𝑝(∥r‘𝑅)𝑚 ∨ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑀 Σg ℎ)))
436	3, 24, 387, 401, 403, 408	rprmndvdsru 33500	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → ¬ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑚)
437	435, 436	orcnd 878	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑀 Σg ℎ))
438	9, 24, 387, 4, 12, 401, 403, 404, 406, 399, 437	rprmdvdsprod 33505	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → ∃𝑗 ∈ (ℎ supp (1r‘𝑅))𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗))
439		ssrexv 4016	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℎ supp (1r‘𝑅)) ⊆ (0..^(♯‘ℎ)) → (∃𝑗 ∈ (ℎ supp (1r‘𝑅))𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗) → ∃𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗)))
440	400, 438, 439	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ))) → ∃𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗))
441	382	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ)) → ∃𝑚 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ)))
442	441	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) → ∃𝑚 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑚 · (𝑀 Σg ℎ)))
443	440, 442	r19.29a 3141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) → ∃𝑗 ∈ (0..^(♯‘ℎ))𝑝(∥r‘𝑅)(ℎ‘𝑗))
444	391, 443	r19.29a 3141	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))) → ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))))
445	444	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) → (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ)) → ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)))))
446	445	ralrimiva 3125	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) → ∀ℎ ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ)) → ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)))))
447		f1oeq1 6788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → (𝑤:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ↔ 𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))))
448		coeq2 5822	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤) = ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))
449	448	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤)) = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)))
450	449	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → (𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤)) ↔ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))))
451	447, 450	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → ((𝑤:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤))) ↔ (𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)))))
452	451	rexbidv 3157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → (∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑤:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤))) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)))))
453	452	cbvexvw 2037	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑤:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤))) ↔ ∃𝑣∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))))
454		oveq1 7394	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 = 𝑠 → (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)) = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)))
455	454	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 𝑠 → (𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)) ↔ 𝑔 = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))))
456	455	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑠 → ((𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))) ↔ (𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)))))
457	456	cbvrexvw 3216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))) ↔ ∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))))
458	457	exbii 1848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑣∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))) ↔ ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))))
459	453, 458	bitri 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑤:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤))) ↔ ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))))
460	459	imbi2i 336	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑤:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤)))) ↔ (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)))))
461	460	ralbii 3075	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑤:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤)))) ↔ ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)))))
462		oveq2 7395	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg ℎ))
463	462	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ)))
464	463	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) ↔ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))))
465	464	rexbidv 3157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = ℎ → (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ))))
466		eqeq1 2733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑔 = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)) ↔ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))))
467	466	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))) ↔ (𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)))))
468	467	rexbidv 3157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = ℎ → (∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))) ↔ ∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)))))
469	468	exbidv 1921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = ℎ → (∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))) ↔ ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)))))
470	465, 469	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)))) ↔ (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ)) → ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣))))))
471	470	cbvralvw 3215	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)))) ↔ ∀ℎ ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ)) → ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)))))
472	461, 471	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑤:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤)))) ↔ ∀ℎ ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ℎ)) → ∃𝑣∃𝑠 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑣:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ ℎ = (𝑠 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑣)))))
473	446, 472	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤)))))) ∧ 𝑅 ∈ IDomn) → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑤:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤)))))
474	473	exp31 419	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝑓)))(𝑤:(0..^(♯‘𝑓))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑓)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝑓 ∘ 𝑤))))) → (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))(𝑤:(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))–1-1-onto→(0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) ∘ 𝑤)))))))
475	65, 82, 99, 116, 212, 474	wrdind 14687	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑃 → (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))))))
476	48, 1, 475	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))
477	47, 476, 22	rspcdva 3589	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝐺)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐺 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))
478	38, 477	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐺 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))))
479		1arithidom.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (0..^(♯‘𝐹))
480	479	oveq2i 7398	. . . 4 ⊢ (𝑈 ↑m 𝐽) = (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))
481		f1oeq23 6791	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 = (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 = (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑤:𝐽–1-1-onto→𝐽 ↔ 𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹))))
482	479, 479, 481	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (𝑤:𝐽–1-1-onto→𝐽 ↔ 𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)))
483	482	anbi1i 624	. . . 4 ⊢ ((𝑤:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ 𝐺 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))) ↔ (𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐺 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))))
484	480, 483	rexeqbii 3318	. . 3 ⊢ (∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m 𝐽)(𝑤:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ 𝐺 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐺 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))))
485	484	exbii 1848	. 2 ⊢ (∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m 𝐽)(𝑤:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ 𝐺 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))) ↔ ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐺 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))))
486	478, 485	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m 𝐽)(𝑤:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ 𝐺 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  {csn 4589   class class class wbr 5107  ^◡ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639   ∘ ccom 5642  Rel wrel 5643   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  –1-1-onto→wf1o 6510  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∘_f cof 7651   supp csupp 8139   ↑_m cmap 8799  ℂcc 11066  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   < clt 11208   ≤ cle 11209   − cmin 11405  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ...cfz 13468  ..^cfzo 13615  ♯chash 14295  Word cword 14478   ++ cconcat 14535  ⟨“cs1 14560   prefix cpfx 14635  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221   Σ_g cgsu 17403  Mndcmnd 18661  CMndccmn 19710  mulGrpcmgp 20049  1_rcur 20090  Ringcrg 20142  CRingccrg 20143  ∥_rcdsr 20263  Unitcui 20264  RPrimecrpm 20341  IDomncidom 20602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-oi 9463  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-word 14479  df-lsw 14528  df-concat 14536  df-s1 14561  df-substr 14606  df-pfx 14636  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-pmtr 19372  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-cring 20145  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-invr 20297  df-rprm 20342  df-nzr 20422  df-domn 20604  df-idom 20605

This theorem is referenced by: (None)