Theorem 1arithufdlem2 34147

Description: Lemma for 1arithufd 34150. The set 𝑆 of elements which can be written as a product of primes is multiplicatively closed. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
1arithufd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
1arithufd.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
1arithufd.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
1arithufd.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
1arithufd.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
1arithufd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ UFD)
1arithufdlem.2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
1arithufdlem.s	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)}
1arithufdlem2.1	⊢ · = (.r‘𝑅)
1arithufdlem2.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
1arithufdlem2.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
1arithufdlem2	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   0 ,𝑓   𝑥,𝐵   𝑓,𝑀,𝑥   𝑃,𝑓,𝑥   𝑅,𝑓   𝜑,𝑓   · ,𝑓,𝑥   𝑓,𝑋,𝑥   𝑓,𝑌,𝑥   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥, 𝑓)   𝑈(𝑥, 𝑓)   0 (𝑥)

Proof of Theorem 1arithufdlem2

Dummy variables 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2767	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑋 · 𝑌) → (𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ (𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg 𝑓)))
2	1	rexbidv 3190	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑋 · 𝑌) → (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃(𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg 𝑓)))
3		1arithufd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		1arithufdlem2.1	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5		1arithufd.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ UFD)
6	5	ufdidom 34144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
7	6	idomringd 21009	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		1arithufdlem.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)}
9	8	ssrab3 4010	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝐵
10		1arithufdlem2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
11	9, 10	sselid 3911	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		1arithufdlem2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
13	9, 12	sselid 3911	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
14	3, 4, 7, 11, 13	ringcld 20514	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
15		oveq2 7451	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ++ ℎ) → (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑀 Σg (𝑔 ++ ℎ)))
16	15	eqeq2d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ++ ℎ) → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ (𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg (𝑔 ++ ℎ))))
17		ccatcl 14746	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ Word 𝑃 ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) → (𝑔 ++ ℎ) ∈ Word 𝑃)
18	17	ad5ant24 773	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → (𝑔 ++ ℎ) ∈ Word 𝑃)
19		simpllr 788	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔))
20		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ))
21	19, 20	oveq12d 7461	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → (𝑋 · 𝑌) = ((𝑀 Σg 𝑔) · (𝑀 Σg ℎ)))
22		1arithufd.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
23	22	ringmgp 20495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
24	7, 23	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
25	24	ad4antr 745	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → 𝑀 ∈ Mnd)
26		1arithufd.p	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
27	5	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ UFD)
28		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → 𝑥 ∈ 𝑃)
29	3, 26, 27, 28	rprmcl 34120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → 𝑥 ∈ 𝐵)
30	29	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑃 → 𝑥 ∈ 𝐵))
31	30	ssrdv 3919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ⊆ 𝐵)
32		sswrd 14694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ⊆ 𝐵 → Word 𝑃 ⊆ Word 𝐵)
33	31, 32	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Word 𝑃 ⊆ Word 𝐵)
34	33	ad4antr 745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → Word 𝑃 ⊆ Word 𝐵)
35		simp-4r 796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → 𝑔 ∈ Word 𝑃)
36	34, 35	sseldd 3914	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → 𝑔 ∈ Word 𝐵)
37		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → ℎ ∈ Word 𝑃)
38	34, 37	sseldd 3914	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → ℎ ∈ Word 𝐵)
39	22, 3	mgpbas 20395	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
40	22, 4	mgpplusg 20394	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (+g‘𝑀)
41	39, 40	gsumccat 19066	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑔 ∈ Word 𝐵 ∧ ℎ ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑔 ++ ℎ)) = ((𝑀 Σg 𝑔) · (𝑀 Σg ℎ)))
42	25, 36, 38, 41	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → (𝑀 Σg (𝑔 ++ ℎ)) = ((𝑀 Σg 𝑔) · (𝑀 Σg ℎ)))
43	21, 42	eqtr4d 2801	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg (𝑔 ++ ℎ)))
44	16, 18, 43	rspcedvdw 3583	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → ∃𝑓 ∈ Word 𝑃(𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg 𝑓))
45	12, 8	eleqtrdi 2874	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)})
46		oveq2 7451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = ℎ → (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑀 Σg ℎ))
47	46	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ℎ → (𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ 𝑥 = (𝑀 Σg ℎ)))
48	47	cbvrexvw 3245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg ℎ))
49		eqeq1 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 = (𝑀 Σg ℎ) ↔ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)))
50	49	rexbidv 3190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg ℎ) ↔ ∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)))
51	48, 50	bitrid 286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)))
52	51	elrab3 3649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑌 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)} ↔ ∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)))
53	52	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)}) → ∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑌 = (𝑀 Σg ℎ))
54	13, 45, 53	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑌 = (𝑀 Σg ℎ))
55	54	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑌 = (𝑀 Σg ℎ))
56	44, 55	r19.29a 3174	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑓 ∈ Word 𝑃(𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg 𝑓))
57	10, 8	eleqtrdi 2874	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)})
58		oveq2 7451	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑀 Σg 𝑔))
59	58	eqeq2d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ 𝑥 = (𝑀 Σg 𝑔)))
60	59	cbvrexvw 3245	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃𝑔 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑔))
61		eqeq1 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = (𝑀 Σg 𝑔) ↔ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)))
62	61	rexbidv 3190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑔 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑔) ↔ ∃𝑔 ∈ Word 𝑃𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)))
63	60, 62	bitrid 286	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃𝑔 ∈ Word 𝑃𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)))
64	63	elrab3 3649	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)} ↔ ∃𝑔 ∈ Word 𝑃𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)))
65	64	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)}) → ∃𝑔 ∈ Word 𝑃𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔))
66	11, 57, 65	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ Word 𝑃𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔))
67	56, 66	r19.29a 3174	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ Word 𝑃(𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg 𝑓))
68	2, 14, 67	elrabd 3650	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)})
69	68, 8	eleqtrrdi 2875	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  {crab 3416   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Word cword 14685   ++ cconcat 14742  Basecbs 17416  ._rcmulr 17458  0_gc0g 17639   Σ_g cgsu 17640  Mndcmnd 18952  mulGrpcmgp 20390  Ringcrg 20489  Unitcui 20615  RPrimecrpm 20692  DivRingcdr 21010  UFDcufd 34140

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-seq 14172  df-hash 14502  df-word 14686  df-concat 14743  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-submnd 19008  df-mgp 20391  df-ring 20491  df-cring 20492  df-rprm 20693  df-idom 20978  df-ufd 34141

This theorem is used by:  1arithufdlem3  34148  1arithufdlem4  34149