Theorem 1arithufdlem2 33523

Description: Lemma for 1arithufd 33526. The set 𝑆 of elements which can be written as a product of primes is multiplicatively closed. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
1arithufd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
1arithufd.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
1arithufd.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
1arithufd.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
1arithufd.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
1arithufd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ UFD)
1arithufdlem.2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
1arithufdlem.s	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)}
1arithufdlem2.1	⊢ · = (.r‘𝑅)
1arithufdlem2.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
1arithufdlem2.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
1arithufdlem2	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   0 ,𝑓   𝑥,𝐵   𝑓,𝑀,𝑥   𝑃,𝑓,𝑥   𝑅,𝑓   𝜑,𝑓   · ,𝑓,𝑥   𝑓,𝑋,𝑥   𝑓,𝑌,𝑥   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑓)   𝑈(𝑥,𝑓)   0 (𝑥)

Proof of Theorem 1arithufdlem2

Dummy variables 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2734	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑋 · 𝑌) → (𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ (𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg 𝑓)))
2	1	rexbidv 3158	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑋 · 𝑌) → (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃(𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg 𝑓)))
3		1arithufd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		1arithufdlem2.1	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5		1arithufd.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ UFD)
6	5	ufdidom 33520	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
7	6	idomringd 20644	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		1arithufdlem.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)}
9	8	ssrab3 4048	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝐵
10		1arithufdlem2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
11	9, 10	sselid 3947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		1arithufdlem2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
13	9, 12	sselid 3947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
14	3, 4, 7, 11, 13	ringcld 20176	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
15		oveq2 7398	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ++ ℎ) → (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑀 Σg (𝑔 ++ ℎ)))
16	15	eqeq2d 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ++ ℎ) → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ (𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg (𝑔 ++ ℎ))))
17		ccatcl 14546	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ Word 𝑃 ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) → (𝑔 ++ ℎ) ∈ Word 𝑃)
18	17	ad5ant24 760	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → (𝑔 ++ ℎ) ∈ Word 𝑃)
19		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔))
20		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ))
21	19, 20	oveq12d 7408	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → (𝑋 · 𝑌) = ((𝑀 Σg 𝑔) · (𝑀 Σg ℎ)))
22		1arithufd.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
23	22	ringmgp 20155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
24	7, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
25	24	ad4antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → 𝑀 ∈ Mnd)
26		1arithufd.p	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
27	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ UFD)
28		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → 𝑥 ∈ 𝑃)
29	3, 26, 27, 28	rprmcl 33496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → 𝑥 ∈ 𝐵)
30	29	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑃 → 𝑥 ∈ 𝐵))
31	30	ssrdv 3955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ⊆ 𝐵)
32		sswrd 14494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ⊆ 𝐵 → Word 𝑃 ⊆ Word 𝐵)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Word 𝑃 ⊆ Word 𝐵)
34	33	ad4antr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → Word 𝑃 ⊆ Word 𝐵)
35		simp-4r 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → 𝑔 ∈ Word 𝑃)
36	34, 35	sseldd 3950	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → 𝑔 ∈ Word 𝐵)
37		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → ℎ ∈ Word 𝑃)
38	34, 37	sseldd 3950	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → ℎ ∈ Word 𝐵)
39	22, 3	mgpbas 20061	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
40	22, 4	mgpplusg 20060	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (+g‘𝑀)
41	39, 40	gsumccat 18775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑔 ∈ Word 𝐵 ∧ ℎ ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑔 ++ ℎ)) = ((𝑀 Σg 𝑔) · (𝑀 Σg ℎ)))
42	25, 36, 38, 41	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → (𝑀 Σg (𝑔 ++ ℎ)) = ((𝑀 Σg 𝑔) · (𝑀 Σg ℎ)))
43	21, 42	eqtr4d 2768	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg (𝑔 ++ ℎ)))
44	16, 18, 43	rspcedvdw 3594	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → ∃𝑓 ∈ Word 𝑃(𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg 𝑓))
45	12, 8	eleqtrdi 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)})
46		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = ℎ → (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑀 Σg ℎ))
47	46	eqeq2d 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ℎ → (𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ 𝑥 = (𝑀 Σg ℎ)))
48	47	cbvrexvw 3217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg ℎ))
49		eqeq1 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 = (𝑀 Σg ℎ) ↔ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)))
50	49	rexbidv 3158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg ℎ) ↔ ∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)))
51	48, 50	bitrid 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)))
52	51	elrab3 3663	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑌 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)} ↔ ∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)))
53	52	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)}) → ∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑌 = (𝑀 Σg ℎ))
54	13, 45, 53	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑌 = (𝑀 Σg ℎ))
55	54	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑌 = (𝑀 Σg ℎ))
56	44, 55	r19.29a 3142	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑓 ∈ Word 𝑃(𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg 𝑓))
57	10, 8	eleqtrdi 2839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)})
58		oveq2 7398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑀 Σg 𝑔))
59	58	eqeq2d 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ 𝑥 = (𝑀 Σg 𝑔)))
60	59	cbvrexvw 3217	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃𝑔 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑔))
61		eqeq1 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = (𝑀 Σg 𝑔) ↔ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)))
62	61	rexbidv 3158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑔 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑔) ↔ ∃𝑔 ∈ Word 𝑃𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)))
63	60, 62	bitrid 283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃𝑔 ∈ Word 𝑃𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)))
64	63	elrab3 3663	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)} ↔ ∃𝑔 ∈ Word 𝑃𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)))
65	64	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)}) → ∃𝑔 ∈ Word 𝑃𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔))
66	11, 57, 65	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ Word 𝑃𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔))
67	56, 66	r19.29a 3142	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ Word 𝑃(𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg 𝑓))
68	2, 14, 67	elrabd 3664	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)})
69	68, 8	eleqtrrdi 2840	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054  {crab 3408   ⊆ wss 3917  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Word cword 14485   ++ cconcat 14542  Basecbs 17186  ._rcmulr 17228  0_gc0g 17409   Σ_g cgsu 17410  Mndcmnd 18668  mulGrpcmgp 20056  Ringcrg 20149  Unitcui 20271  RPrimecrpm 20348  DivRingcdr 20645  UFDcufd 33516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-word 14486  df-concat 14543  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mgp 20057  df-ring 20151  df-cring 20152  df-rprm 20349  df-idom 20612  df-ufd 33517

This theorem is referenced by:  1arithufdlem3  33524  1arithufdlem4  33525