Theorem 1arithufdlem2 33360

Description: Lemma for 1arithufd 33363. The set 𝑆 of elements which can be written as a product of primes is multiplicatively closed. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
1arithufd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
1arithufd.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
1arithufd.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
1arithufd.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
1arithufd.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
1arithufd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ UFD)
1arithufdlem.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
1arithufdlem.2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
1arithufdlem.s	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)}
1arithufdlem2.1	⊢ · = (.r‘𝑅)
1arithufdlem2.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
1arithufdlem2.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
1arithufdlem2	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   0 ,𝑓   𝑥,𝐵   𝑓,𝑀,𝑥   𝑃,𝑓,𝑥   𝑅,𝑓   𝜑,𝑓   · ,𝑓,𝑥   𝑓,𝑋,𝑥   𝑓,𝑌,𝑥   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑓)   𝑈(𝑥,𝑓)   0 (𝑥)

Proof of Theorem 1arithufdlem2

Dummy variables 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2729	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑋 · 𝑌) → (𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ (𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg 𝑓)))
2	1	rexbidv 3168	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑋 · 𝑌) → (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃(𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg 𝑓)))
3		1arithufd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		1arithufdlem2.1	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5		1arithufd.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ UFD)
6	5	ufdcringd 33356	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7	6	crngringd 20198	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		1arithufdlem.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)}
9	8	ssrab3 4076	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝐵
10		1arithufdlem2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
11	9, 10	sselid 3974	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		1arithufdlem2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
13	9, 12	sselid 3974	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
14	3, 4, 7, 11, 13	ringcld 20211	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
15		oveq2 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ++ ℎ) → (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑀 Σg (𝑔 ++ ℎ)))
16	15	eqeq2d 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ++ ℎ) → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ (𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg (𝑔 ++ ℎ))))
17		ccatcl 14560	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ Word 𝑃 ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) → (𝑔 ++ ℎ) ∈ Word 𝑃)
18	17	ad5ant24 759	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → (𝑔 ++ ℎ) ∈ Word 𝑃)
19		simpllr 774	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔))
20		simpr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ))
21	19, 20	oveq12d 7437	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → (𝑋 · 𝑌) = ((𝑀 Σg 𝑔) · (𝑀 Σg ℎ)))
22		1arithufd.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
23	22	ringmgp 20191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
24	7, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
25	24	ad4antr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → 𝑀 ∈ Mnd)
26		1arithufd.p	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
27	5	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ UFD)
28		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → 𝑥 ∈ 𝑃)
29	3, 26, 27, 28	rprmcl 33330	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → 𝑥 ∈ 𝐵)
30	29	ex 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑃 → 𝑥 ∈ 𝐵))
31	30	ssrdv 3982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ⊆ 𝐵)
32		sswrd 14508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ⊆ 𝐵 → Word 𝑃 ⊆ Word 𝐵)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Word 𝑃 ⊆ Word 𝐵)
34	33	ad4antr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → Word 𝑃 ⊆ Word 𝐵)
35		simp-4r 782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → 𝑔 ∈ Word 𝑃)
36	34, 35	sseldd 3977	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → 𝑔 ∈ Word 𝐵)
37		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → ℎ ∈ Word 𝑃)
38	34, 37	sseldd 3977	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → ℎ ∈ Word 𝐵)
39	22, 3	mgpbas 20092	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
40	22, 4	mgpplusg 20090	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (+g‘𝑀)
41	39, 40	gsumccat 18801	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑔 ∈ Word 𝐵 ∧ ℎ ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑔 ++ ℎ)) = ((𝑀 Σg 𝑔) · (𝑀 Σg ℎ)))
42	25, 36, 38, 41	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → (𝑀 Σg (𝑔 ++ ℎ)) = ((𝑀 Σg 𝑔) · (𝑀 Σg ℎ)))
43	21, 42	eqtr4d 2768	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg (𝑔 ++ ℎ)))
44	16, 18, 43	rspcedvdw 3609	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → ∃𝑓 ∈ Word 𝑃(𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg 𝑓))
45	12, 8	eleqtrdi 2835	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)})
46		oveq2 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = ℎ → (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑀 Σg ℎ))
47	46	eqeq2d 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ℎ → (𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ 𝑥 = (𝑀 Σg ℎ)))
48	47	cbvrexvw 3225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg ℎ))
49		eqeq1 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 = (𝑀 Σg ℎ) ↔ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)))
50	49	rexbidv 3168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg ℎ) ↔ ∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)))
51	48, 50	bitrid 282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)))
52	51	elrab3 3680	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑌 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)} ↔ ∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)))
53	52	biimpa 475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)}) → ∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑌 = (𝑀 Σg ℎ))
54	13, 45, 53	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑌 = (𝑀 Σg ℎ))
55	54	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑌 = (𝑀 Σg ℎ))
56	44, 55	r19.29a 3151	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑓 ∈ Word 𝑃(𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg 𝑓))
57	10, 8	eleqtrdi 2835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)})
58		oveq2 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑀 Σg 𝑔))
59	58	eqeq2d 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ 𝑥 = (𝑀 Σg 𝑔)))
60	59	cbvrexvw 3225	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃𝑔 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑔))
61		eqeq1 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = (𝑀 Σg 𝑔) ↔ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)))
62	61	rexbidv 3168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑔 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑔) ↔ ∃𝑔 ∈ Word 𝑃𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)))
63	60, 62	bitrid 282	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃𝑔 ∈ Word 𝑃𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)))
64	63	elrab3 3680	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)} ↔ ∃𝑔 ∈ Word 𝑃𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)))
65	64	biimpa 475	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)}) → ∃𝑔 ∈ Word 𝑃𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔))
66	11, 57, 65	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ Word 𝑃𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔))
67	56, 66	r19.29a 3151	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ Word 𝑃(𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg 𝑓))
68	2, 14, 67	elrabd 3681	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)})
69	68, 8	eleqtrrdi 2836	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3059  {crab 3418   ⊆ wss 3944  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Word cword 14500   ++ cconcat 14556  Basecbs 17183  ._rcmulr 17237  0_gc0g 17424   Σ_g cgsu 17425  Mndcmnd 18697  mulGrpcmgp 20086  Ringcrg 20185  Unitcui 20306  RPrimecrpm 20383  NzRingcnzr 20463  DivRingcdr 20636  UFDcufd 33350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-hash 14326  df-word 14501  df-concat 14557  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-mgp 20087  df-ring 20187  df-cring 20188  df-rprm 20384  df-ufd 33351

This theorem is referenced by:  1arithufdlem3  33361  1arithufdlem4  33362