Theorem 1arithufdlem2 33560

Description: Lemma for 1arithufd 33563. The set 𝑆 of elements which can be written as a product of primes is multiplicatively closed. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
1arithufd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
1arithufd.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
1arithufd.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
1arithufd.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
1arithufd.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
1arithufd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ UFD)
1arithufdlem.2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
1arithufdlem.s	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)}
1arithufdlem2.1	⊢ · = (.r‘𝑅)
1arithufdlem2.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
1arithufdlem2.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
1arithufdlem2	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   0 ,𝑓   𝑥,𝐵   𝑓,𝑀,𝑥   𝑃,𝑓,𝑥   𝑅,𝑓   𝜑,𝑓   · ,𝑓,𝑥   𝑓,𝑋,𝑥   𝑓,𝑌,𝑥   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑓)   𝑈(𝑥,𝑓)   0 (𝑥)

Proof of Theorem 1arithufdlem2

Dummy variables 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2739	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑋 · 𝑌) → (𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ (𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg 𝑓)))
2	1	rexbidv 3164	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑋 · 𝑌) → (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃(𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg 𝑓)))
3		1arithufd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		1arithufdlem2.1	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5		1arithufd.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ UFD)
6	5	ufdidom 33557	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
7	6	idomringd 20688	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		1arithufdlem.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)}
9	8	ssrab3 4057	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝐵
10		1arithufdlem2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
11	9, 10	sselid 3956	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		1arithufdlem2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
13	9, 12	sselid 3956	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
14	3, 4, 7, 11, 13	ringcld 20220	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
15		oveq2 7413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ++ ℎ) → (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑀 Σg (𝑔 ++ ℎ)))
16	15	eqeq2d 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ++ ℎ) → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ (𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg (𝑔 ++ ℎ))))
17		ccatcl 14592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ Word 𝑃 ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) → (𝑔 ++ ℎ) ∈ Word 𝑃)
18	17	ad5ant24 760	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → (𝑔 ++ ℎ) ∈ Word 𝑃)
19		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔))
20		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ))
21	19, 20	oveq12d 7423	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → (𝑋 · 𝑌) = ((𝑀 Σg 𝑔) · (𝑀 Σg ℎ)))
22		1arithufd.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
23	22	ringmgp 20199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
24	7, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
25	24	ad4antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → 𝑀 ∈ Mnd)
26		1arithufd.p	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
27	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ UFD)
28		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → 𝑥 ∈ 𝑃)
29	3, 26, 27, 28	rprmcl 33533	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → 𝑥 ∈ 𝐵)
30	29	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑃 → 𝑥 ∈ 𝐵))
31	30	ssrdv 3964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ⊆ 𝐵)
32		sswrd 14540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ⊆ 𝐵 → Word 𝑃 ⊆ Word 𝐵)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Word 𝑃 ⊆ Word 𝐵)
34	33	ad4antr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → Word 𝑃 ⊆ Word 𝐵)
35		simp-4r 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → 𝑔 ∈ Word 𝑃)
36	34, 35	sseldd 3959	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → 𝑔 ∈ Word 𝐵)
37		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → ℎ ∈ Word 𝑃)
38	34, 37	sseldd 3959	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → ℎ ∈ Word 𝐵)
39	22, 3	mgpbas 20105	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
40	22, 4	mgpplusg 20104	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (+g‘𝑀)
41	39, 40	gsumccat 18819	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑔 ∈ Word 𝐵 ∧ ℎ ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑔 ++ ℎ)) = ((𝑀 Σg 𝑔) · (𝑀 Σg ℎ)))
42	25, 36, 38, 41	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → (𝑀 Σg (𝑔 ++ ℎ)) = ((𝑀 Σg 𝑔) · (𝑀 Σg ℎ)))
43	21, 42	eqtr4d 2773	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg (𝑔 ++ ℎ)))
44	16, 18, 43	rspcedvdw 3604	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → ∃𝑓 ∈ Word 𝑃(𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg 𝑓))
45	12, 8	eleqtrdi 2844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)})
46		oveq2 7413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = ℎ → (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑀 Σg ℎ))
47	46	eqeq2d 2746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ℎ → (𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ 𝑥 = (𝑀 Σg ℎ)))
48	47	cbvrexvw 3221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg ℎ))
49		eqeq1 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 = (𝑀 Σg ℎ) ↔ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)))
50	49	rexbidv 3164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg ℎ) ↔ ∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)))
51	48, 50	bitrid 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)))
52	51	elrab3 3672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑌 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)} ↔ ∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)))
53	52	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)}) → ∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑌 = (𝑀 Σg ℎ))
54	13, 45, 53	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑌 = (𝑀 Σg ℎ))
55	54	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑌 = (𝑀 Σg ℎ))
56	44, 55	r19.29a 3148	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑓 ∈ Word 𝑃(𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg 𝑓))
57	10, 8	eleqtrdi 2844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)})
58		oveq2 7413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑀 Σg 𝑔))
59	58	eqeq2d 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ 𝑥 = (𝑀 Σg 𝑔)))
60	59	cbvrexvw 3221	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃𝑔 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑔))
61		eqeq1 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = (𝑀 Σg 𝑔) ↔ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)))
62	61	rexbidv 3164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑔 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑔) ↔ ∃𝑔 ∈ Word 𝑃𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)))
63	60, 62	bitrid 283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃𝑔 ∈ Word 𝑃𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)))
64	63	elrab3 3672	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)} ↔ ∃𝑔 ∈ Word 𝑃𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)))
65	64	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)}) → ∃𝑔 ∈ Word 𝑃𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔))
66	11, 57, 65	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ Word 𝑃𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔))
67	56, 66	r19.29a 3148	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ Word 𝑃(𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg 𝑓))
68	2, 14, 67	elrabd 3673	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)})
69	68, 8	eleqtrrdi 2845	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060  {crab 3415   ⊆ wss 3926  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Word cword 14531   ++ cconcat 14588  Basecbs 17228  ._rcmulr 17272  0_gc0g 17453   Σ_g cgsu 17454  Mndcmnd 18712  mulGrpcmgp 20100  Ringcrg 20193  Unitcui 20315  RPrimecrpm 20392  DivRingcdr 20689  UFDcufd 33553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-hash 14349  df-word 14532  df-concat 14589  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-mgp 20101  df-ring 20195  df-cring 20196  df-rprm 20393  df-idom 20656  df-ufd 33554

This theorem is referenced by:  1arithufdlem3  33561  1arithufdlem4  33562