Theorem 1arithufdlem2 33637

Description: Lemma for 1arithufd 33640. The set 𝑆 of elements which can be written as a product of primes is multiplicatively closed. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
1arithufd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
1arithufd.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
1arithufd.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
1arithufd.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
1arithufd.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
1arithufd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ UFD)
1arithufdlem.2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
1arithufdlem.s	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)}
1arithufdlem2.1	⊢ · = (.r‘𝑅)
1arithufdlem2.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
1arithufdlem2.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
1arithufdlem2	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   0 ,𝑓   𝑥,𝐵   𝑓,𝑀,𝑥   𝑃,𝑓,𝑥   𝑅,𝑓   𝜑,𝑓   · ,𝑓,𝑥   𝑓,𝑋,𝑥   𝑓,𝑌,𝑥   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑓)   𝑈(𝑥,𝑓)   0 (𝑥)

Proof of Theorem 1arithufdlem2

Dummy variables 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2741	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑋 · 𝑌) → (𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ (𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg 𝑓)))
2	1	rexbidv 3162	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑋 · 𝑌) → (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃(𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg 𝑓)))
3		1arithufd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		1arithufdlem2.1	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5		1arithufd.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ UFD)
6	5	ufdidom 33634	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
7	6	idomringd 20673	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		1arithufdlem.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)}
9	8	ssrab3 4036	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝐵
10		1arithufdlem2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
11	9, 10	sselid 3933	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		1arithufdlem2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
13	9, 12	sselid 3933	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
14	3, 4, 7, 11, 13	ringcld 20207	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
15		oveq2 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ++ ℎ) → (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑀 Σg (𝑔 ++ ℎ)))
16	15	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ++ ℎ) → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ (𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg (𝑔 ++ ℎ))))
17		ccatcl 14509	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ Word 𝑃 ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) → (𝑔 ++ ℎ) ∈ Word 𝑃)
18	17	ad5ant24 761	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → (𝑔 ++ ℎ) ∈ Word 𝑃)
19		simpllr 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔))
20		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ))
21	19, 20	oveq12d 7386	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → (𝑋 · 𝑌) = ((𝑀 Σg 𝑔) · (𝑀 Σg ℎ)))
22		1arithufd.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
23	22	ringmgp 20186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
24	7, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
25	24	ad4antr 733	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → 𝑀 ∈ Mnd)
26		1arithufd.p	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
27	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ UFD)
28		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → 𝑥 ∈ 𝑃)
29	3, 26, 27, 28	rprmcl 33610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → 𝑥 ∈ 𝐵)
30	29	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑃 → 𝑥 ∈ 𝐵))
31	30	ssrdv 3941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ⊆ 𝐵)
32		sswrd 14457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ⊆ 𝐵 → Word 𝑃 ⊆ Word 𝐵)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Word 𝑃 ⊆ Word 𝐵)
34	33	ad4antr 733	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → Word 𝑃 ⊆ Word 𝐵)
35		simp-4r 784	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → 𝑔 ∈ Word 𝑃)
36	34, 35	sseldd 3936	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → 𝑔 ∈ Word 𝐵)
37		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → ℎ ∈ Word 𝑃)
38	34, 37	sseldd 3936	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → ℎ ∈ Word 𝐵)
39	22, 3	mgpbas 20092	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
40	22, 4	mgpplusg 20091	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (+g‘𝑀)
41	39, 40	gsumccat 18778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑔 ∈ Word 𝐵 ∧ ℎ ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑔 ++ ℎ)) = ((𝑀 Σg 𝑔) · (𝑀 Σg ℎ)))
42	25, 36, 38, 41	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → (𝑀 Σg (𝑔 ++ ℎ)) = ((𝑀 Σg 𝑔) · (𝑀 Σg ℎ)))
43	21, 42	eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg (𝑔 ++ ℎ)))
44	16, 18, 43	rspcedvdw 3581	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)) → ∃𝑓 ∈ Word 𝑃(𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg 𝑓))
45	12, 8	eleqtrdi 2847	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)})
46		oveq2 7376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = ℎ → (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑀 Σg ℎ))
47	46	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ℎ → (𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ 𝑥 = (𝑀 Σg ℎ)))
48	47	cbvrexvw 3217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg ℎ))
49		eqeq1 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 = (𝑀 Σg ℎ) ↔ 𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)))
50	49	rexbidv 3162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg ℎ) ↔ ∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)))
51	48, 50	bitrid 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)))
52	51	elrab3 3649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑌 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)} ↔ ∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑌 = (𝑀 Σg ℎ)))
53	52	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)}) → ∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑌 = (𝑀 Σg ℎ))
54	13, 45, 53	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑌 = (𝑀 Σg ℎ))
55	54	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃ℎ ∈ Word 𝑃𝑌 = (𝑀 Σg ℎ))
56	44, 55	r19.29a 3146	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑓 ∈ Word 𝑃(𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg 𝑓))
57	10, 8	eleqtrdi 2847	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)})
58		oveq2 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑀 Σg 𝑔))
59	58	eqeq2d 2748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ 𝑥 = (𝑀 Σg 𝑔)))
60	59	cbvrexvw 3217	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃𝑔 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑔))
61		eqeq1 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = (𝑀 Σg 𝑔) ↔ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)))
62	61	rexbidv 3162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑔 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑔) ↔ ∃𝑔 ∈ Word 𝑃𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)))
63	60, 62	bitrid 283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃𝑔 ∈ Word 𝑃𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)))
64	63	elrab3 3649	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)} ↔ ∃𝑔 ∈ Word 𝑃𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔)))
65	64	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)}) → ∃𝑔 ∈ Word 𝑃𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔))
66	11, 57, 65	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ Word 𝑃𝑋 = (𝑀 Σg 𝑔))
67	56, 66	r19.29a 3146	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ Word 𝑃(𝑋 · 𝑌) = (𝑀 Σg 𝑓))
68	2, 14, 67	elrabd 3650	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)})
69	68, 8	eleqtrrdi 2848	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  {crab 3401   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Word cword 14448   ++ cconcat 14505  Basecbs 17148  ._rcmulr 17190  0_gc0g 17371   Σ_g cgsu 17372  Mndcmnd 18671  mulGrpcmgp 20087  Ringcrg 20180  Unitcui 20303  RPrimecrpm 20380  DivRingcdr 20674  UFDcufd 33630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-word 14449  df-concat 14506  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mgp 20088  df-ring 20182  df-cring 20183  df-rprm 20381  df-idom 20641  df-ufd 33631

This theorem is referenced by:  1arithufdlem3  33638  1arithufdlem4  33639