Theorem unitmulrprm 33796

Description: A ring unit multiplied by a ring prime is a ring prime. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitmulrprm.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
unitmulrprm.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitmulrprm.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
unitmulrprm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
unitmulrprm.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑈)
unitmulrprm.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
unitmulrprm	⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑄) ∈ 𝑃)

Proof of Theorem unitmulrprm

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		unitmulrprm.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
3		eqid 2763	. 2 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
4		unitmulrprm.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
5		unitmulrprm.q	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
6	1, 2, 4, 5	rprmcl 33786	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (Base‘𝑅))
7		oveq1 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 · 𝑄) = (𝐼 · 𝑄))
8	7	eqeq1d 2765	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝑖 · 𝑄) = (𝐼 · 𝑄) ↔ (𝐼 · 𝑄) = (𝐼 · 𝑄)))
9		unitmulrprm.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑈)
10		unitmulrprm.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
11	1, 10	unitcl 20458	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ∈ (Base‘𝑅))
12	9, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (Base‘𝑅))
13		eqidd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑄) = (𝐼 · 𝑄))
14	8, 12, 13	rspcedvdw 3585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖 · 𝑄) = (𝐼 · 𝑄))
15		unitmulrprm.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
16	1, 3, 15	dvdsr 20445	. . 3 ⊢ (𝑄(∥r‘𝑅)(𝐼 · 𝑄) ↔ (𝑄 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖 · 𝑄) = (𝐼 · 𝑄)))
17	6, 14, 16	sylanbrc 594	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄(∥r‘𝑅)(𝐼 · 𝑄))
18	4	idomringd 20813	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
19	1, 15, 18, 12, 6	ringcld 20343	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑄) ∈ (Base‘𝑅))
20		oveq1 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = ((invr‘𝑅)‘𝐼) → (𝑖 · (𝐼 · 𝑄)) = (((invr‘𝑅)‘𝐼) · (𝐼 · 𝑄)))
21	20	eqeq1d 2765	. . . 4 ⊢ (𝑖 = ((invr‘𝑅)‘𝐼) → ((𝑖 · (𝐼 · 𝑄)) = 𝑄 ↔ (((invr‘𝑅)‘𝐼) · (𝐼 · 𝑄)) = 𝑄))
22		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
23	10, 22, 1	ringinvcl 20475	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
24	18, 9, 23	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
25		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
26	10, 22, 15, 25	unitlinv 20476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘𝐼) · 𝐼) = (1r‘𝑅))
27	18, 9, 26	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝐼) · 𝐼) = (1r‘𝑅))
28	27	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝐼) · 𝐼) · 𝑄) = ((1r‘𝑅) · 𝑄))
29	1, 15, 18, 24, 12, 6	ringassd 20340	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝐼) · 𝐼) · 𝑄) = (((invr‘𝑅)‘𝐼) · (𝐼 · 𝑄)))
30	1, 15, 25, 18, 6	ringlidmd 20356	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · 𝑄) = 𝑄)
31	28, 29, 30	3eqtr3d 2806	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝐼) · (𝐼 · 𝑄)) = 𝑄)
32	21, 24, 31	rspcedvdw 3585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖 · (𝐼 · 𝑄)) = 𝑄)
33	1, 3, 15	dvdsr 20445	. . 3 ⊢ ((𝐼 · 𝑄)(∥r‘𝑅)𝑄 ↔ ((𝐼 · 𝑄) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖 · (𝐼 · 𝑄)) = 𝑄))
34	19, 32, 33	sylanbrc 594	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑄)(∥r‘𝑅)𝑄)
35	1, 2, 3, 4, 5, 17, 34	rprmasso 33793	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑄) ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  ._rcmulr 17312  1_rcur 20264  Ringcrg 20316  ∥_rcdsr 20437  Unitcui 20438  inv_rcinvr 20470  RPrimecrpm 20515  IDomncidom 20779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8223  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-subg 19190  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-cring 20319  df-oppr 20420  df-dvdsr 20440  df-unit 20441  df-invr 20471  df-rprm 20516  df-subrg 20656  df-idom 20782  df-lmod 20964  df-lss 21034  df-lsp 21074  df-sra 21275  df-rgmod 21276  df-lidl 21313  df-rsp 21314  df-prmidl 21442

This theorem is referenced by:  1arithufdlem3  33814