Theorem unitmulrprm 33543

Description: A ring unit multiplied by a ring prime is a ring prime. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitmulrprm.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
unitmulrprm.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitmulrprm.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
unitmulrprm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
unitmulrprm.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑈)
unitmulrprm.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
unitmulrprm	⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑄) ∈ 𝑃)

Proof of Theorem unitmulrprm

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		unitmulrprm.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
3		eqid 2735	. 2 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
4		unitmulrprm.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
5		unitmulrprm.q	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
6	1, 2, 4, 5	rprmcl 33533	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (Base‘𝑅))
7		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 · 𝑄) = (𝐼 · 𝑄))
8	7	eqeq1d 2737	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝑖 · 𝑄) = (𝐼 · 𝑄) ↔ (𝐼 · 𝑄) = (𝐼 · 𝑄)))
9		unitmulrprm.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑈)
10		unitmulrprm.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
11	1, 10	unitcl 20335	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ∈ (Base‘𝑅))
12	9, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (Base‘𝑅))
13		eqidd 2736	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑄) = (𝐼 · 𝑄))
14	8, 12, 13	rspcedvdw 3604	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖 · 𝑄) = (𝐼 · 𝑄))
15		unitmulrprm.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
16	1, 3, 15	dvdsr 20322	. . 3 ⊢ (𝑄(∥r‘𝑅)(𝐼 · 𝑄) ↔ (𝑄 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖 · 𝑄) = (𝐼 · 𝑄)))
17	6, 14, 16	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄(∥r‘𝑅)(𝐼 · 𝑄))
18	4	idomringd 20688	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
19	1, 15, 18, 12, 6	ringcld 20220	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑄) ∈ (Base‘𝑅))
20		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = ((invr‘𝑅)‘𝐼) → (𝑖 · (𝐼 · 𝑄)) = (((invr‘𝑅)‘𝐼) · (𝐼 · 𝑄)))
21	20	eqeq1d 2737	. . . 4 ⊢ (𝑖 = ((invr‘𝑅)‘𝐼) → ((𝑖 · (𝐼 · 𝑄)) = 𝑄 ↔ (((invr‘𝑅)‘𝐼) · (𝐼 · 𝑄)) = 𝑄))
22		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
23	10, 22, 1	ringinvcl 20352	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
24	18, 9, 23	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
25		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
26	10, 22, 15, 25	unitlinv 20353	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘𝐼) · 𝐼) = (1r‘𝑅))
27	18, 9, 26	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝐼) · 𝐼) = (1r‘𝑅))
28	27	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝐼) · 𝐼) · 𝑄) = ((1r‘𝑅) · 𝑄))
29	1, 15, 18, 24, 12, 6	ringassd 20217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝐼) · 𝐼) · 𝑄) = (((invr‘𝑅)‘𝐼) · (𝐼 · 𝑄)))
30	1, 15, 25, 18, 6	ringlidmd 20232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · 𝑄) = 𝑄)
31	28, 29, 30	3eqtr3d 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝐼) · (𝐼 · 𝑄)) = 𝑄)
32	21, 24, 31	rspcedvdw 3604	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖 · (𝐼 · 𝑄)) = 𝑄)
33	1, 3, 15	dvdsr 20322	. . 3 ⊢ ((𝐼 · 𝑄)(∥r‘𝑅)𝑄 ↔ ((𝐼 · 𝑄) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖 · (𝐼 · 𝑄)) = 𝑄))
34	19, 32, 33	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑄)(∥r‘𝑅)𝑄)
35	1, 2, 3, 4, 5, 17, 34	rprmasso 33540	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑄) ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  ._rcmulr 17272  1_rcur 20141  Ringcrg 20193  ∥_rcdsr 20314  Unitcui 20315  inv_rcinvr 20347  RPrimecrpm 20392  IDomncidom 20653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-subg 19106  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-cring 20196  df-oppr 20297  df-dvdsr 20317  df-unit 20318  df-invr 20348  df-rprm 20393  df-subrg 20530  df-idom 20656  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-sra 21131  df-rgmod 21132  df-lidl 21169  df-rsp 21170  df-prmidl 33451

This theorem is referenced by:  1arithufdlem3  33561