Theorem unitmulrprm 33609

Description: A ring unit multiplied by a ring prime is a ring prime. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitmulrprm.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
unitmulrprm.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitmulrprm.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
unitmulrprm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
unitmulrprm.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑈)
unitmulrprm.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
unitmulrprm	⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑄) ∈ 𝑃)

Proof of Theorem unitmulrprm

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		unitmulrprm.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
3		eqid 2736	. 2 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
4		unitmulrprm.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
5		unitmulrprm.q	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
6	1, 2, 4, 5	rprmcl 33599	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (Base‘𝑅))
7		oveq1 7365	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 · 𝑄) = (𝐼 · 𝑄))
8	7	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝑖 · 𝑄) = (𝐼 · 𝑄) ↔ (𝐼 · 𝑄) = (𝐼 · 𝑄)))
9		unitmulrprm.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑈)
10		unitmulrprm.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
11	1, 10	unitcl 20311	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ∈ (Base‘𝑅))
12	9, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (Base‘𝑅))
13		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑄) = (𝐼 · 𝑄))
14	8, 12, 13	rspcedvdw 3579	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖 · 𝑄) = (𝐼 · 𝑄))
15		unitmulrprm.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
16	1, 3, 15	dvdsr 20298	. . 3 ⊢ (𝑄(∥r‘𝑅)(𝐼 · 𝑄) ↔ (𝑄 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖 · 𝑄) = (𝐼 · 𝑄)))
17	6, 14, 16	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄(∥r‘𝑅)(𝐼 · 𝑄))
18	4	idomringd 20661	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
19	1, 15, 18, 12, 6	ringcld 20195	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑄) ∈ (Base‘𝑅))
20		oveq1 7365	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = ((invr‘𝑅)‘𝐼) → (𝑖 · (𝐼 · 𝑄)) = (((invr‘𝑅)‘𝐼) · (𝐼 · 𝑄)))
21	20	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (𝑖 = ((invr‘𝑅)‘𝐼) → ((𝑖 · (𝐼 · 𝑄)) = 𝑄 ↔ (((invr‘𝑅)‘𝐼) · (𝐼 · 𝑄)) = 𝑄))
22		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
23	10, 22, 1	ringinvcl 20328	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
24	18, 9, 23	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
25		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
26	10, 22, 15, 25	unitlinv 20329	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘𝐼) · 𝐼) = (1r‘𝑅))
27	18, 9, 26	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝐼) · 𝐼) = (1r‘𝑅))
28	27	oveq1d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝐼) · 𝐼) · 𝑄) = ((1r‘𝑅) · 𝑄))
29	1, 15, 18, 24, 12, 6	ringassd 20192	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝐼) · 𝐼) · 𝑄) = (((invr‘𝑅)‘𝐼) · (𝐼 · 𝑄)))
30	1, 15, 25, 18, 6	ringlidmd 20207	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · 𝑄) = 𝑄)
31	28, 29, 30	3eqtr3d 2779	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝐼) · (𝐼 · 𝑄)) = 𝑄)
32	21, 24, 31	rspcedvdw 3579	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖 · (𝐼 · 𝑄)) = 𝑄)
33	1, 3, 15	dvdsr 20298	. . 3 ⊢ ((𝐼 · 𝑄)(∥r‘𝑅)𝑄 ↔ ((𝐼 · 𝑄) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖 · (𝐼 · 𝑄)) = 𝑄))
34	19, 32, 33	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑄)(∥r‘𝑅)𝑄)
35	1, 2, 3, 4, 5, 17, 34	rprmasso 33606	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑄) ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178  1_rcur 20116  Ringcrg 20168  ∥_rcdsr 20290  Unitcui 20291  inv_rcinvr 20323  RPrimecrpm 20368  IDomncidom 20626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19053  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-rprm 20369  df-subrg 20503  df-idom 20629  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-lidl 21163  df-rsp 21164  df-prmidl 33517

This theorem is referenced by:  1arithufdlem3  33627