Theorem unitmulrprm 33735

Description: A ring unit multiplied by a ring prime is a ring prime. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitmulrprm.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
unitmulrprm.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitmulrprm.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
unitmulrprm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
unitmulrprm.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑈)
unitmulrprm.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
unitmulrprm	⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑄) ∈ 𝑃)

Proof of Theorem unitmulrprm

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		unitmulrprm.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
3		eqid 2765	. 2 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
4		unitmulrprm.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
5		unitmulrprm.q	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
6	1, 2, 4, 5	rprmcl 33725	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (Base‘𝑅))
7		oveq1 7407	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 · 𝑄) = (𝐼 · 𝑄))
8	7	eqeq1d 2767	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝑖 · 𝑄) = (𝐼 · 𝑄) ↔ (𝐼 · 𝑄) = (𝐼 · 𝑄)))
9		unitmulrprm.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑈)
10		unitmulrprm.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
11	1, 10	unitcl 20448	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ∈ (Base‘𝑅))
12	9, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (Base‘𝑅))
13		eqidd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑄) = (𝐼 · 𝑄))
14	8, 12, 13	rspcedvdw 3587	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖 · 𝑄) = (𝐼 · 𝑄))
15		unitmulrprm.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
16	1, 3, 15	dvdsr 20435	. . 3 ⊢ (𝑄(∥r‘𝑅)(𝐼 · 𝑄) ↔ (𝑄 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖 · 𝑄) = (𝐼 · 𝑄)))
17	6, 14, 16	sylanbrc 594	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄(∥r‘𝑅)(𝐼 · 𝑄))
18	4	idomringd 20803	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
19	1, 15, 18, 12, 6	ringcld 20333	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑄) ∈ (Base‘𝑅))
20		oveq1 7407	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = ((invr‘𝑅)‘𝐼) → (𝑖 · (𝐼 · 𝑄)) = (((invr‘𝑅)‘𝐼) · (𝐼 · 𝑄)))
21	20	eqeq1d 2767	. . . 4 ⊢ (𝑖 = ((invr‘𝑅)‘𝐼) → ((𝑖 · (𝐼 · 𝑄)) = 𝑄 ↔ (((invr‘𝑅)‘𝐼) · (𝐼 · 𝑄)) = 𝑄))
22		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
23	10, 22, 1	ringinvcl 20465	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
24	18, 9, 23	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
25		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
26	10, 22, 15, 25	unitlinv 20466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘𝐼) · 𝐼) = (1r‘𝑅))
27	18, 9, 26	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝐼) · 𝐼) = (1r‘𝑅))
28	27	oveq1d 7415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝐼) · 𝐼) · 𝑄) = ((1r‘𝑅) · 𝑄))
29	1, 15, 18, 24, 12, 6	ringassd 20330	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝐼) · 𝐼) · 𝑄) = (((invr‘𝑅)‘𝐼) · (𝐼 · 𝑄)))
30	1, 15, 25, 18, 6	ringlidmd 20346	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · 𝑄) = 𝑄)
31	28, 29, 30	3eqtr3d 2808	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝐼) · (𝐼 · 𝑄)) = 𝑄)
32	21, 24, 31	rspcedvdw 3587	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖 · (𝐼 · 𝑄)) = 𝑄)
33	1, 3, 15	dvdsr 20435	. . 3 ⊢ ((𝐼 · 𝑄)(∥r‘𝑅)𝑄 ↔ ((𝐼 · 𝑄) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖 · (𝐼 · 𝑄)) = 𝑄))
34	19, 32, 33	sylanbrc 594	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑄)(∥r‘𝑅)𝑄)
35	1, 2, 3, 4, 5, 17, 34	rprmasso 33732	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑄) ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  ._rcmulr 17301  1_rcur 20254  Ringcrg 20306  ∥_rcdsr 20427  Unitcui 20428  inv_rcinvr 20460  RPrimecrpm 20505  IDomncidom 20769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-subg 19180  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-cring 20309  df-oppr 20410  df-dvdsr 20430  df-unit 20431  df-invr 20461  df-rprm 20506  df-subrg 20646  df-idom 20772  df-lmod 20952  df-lss 21022  df-lsp 21062  df-sra 21263  df-rgmod 21264  df-lidl 21301  df-rsp 21302  df-prmidl 21423

This theorem is referenced by:  1arithufdlem3  33753