Theorem unitmulrprm 33603

Description: A ring unit multiplied by a ring prime is a ring prime. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitmulrprm.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
unitmulrprm.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitmulrprm.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
unitmulrprm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
unitmulrprm.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑈)
unitmulrprm.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
unitmulrprm	⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑄) ∈ 𝑃)

Proof of Theorem unitmulrprm

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		unitmulrprm.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
3		eqid 2737	. 2 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
4		unitmulrprm.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
5		unitmulrprm.q	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
6	1, 2, 4, 5	rprmcl 33593	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (Base‘𝑅))
7		oveq1 7367	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 · 𝑄) = (𝐼 · 𝑄))
8	7	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝑖 · 𝑄) = (𝐼 · 𝑄) ↔ (𝐼 · 𝑄) = (𝐼 · 𝑄)))
9		unitmulrprm.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑈)
10		unitmulrprm.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
11	1, 10	unitcl 20346	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ∈ (Base‘𝑅))
12	9, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (Base‘𝑅))
13		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑄) = (𝐼 · 𝑄))
14	8, 12, 13	rspcedvdw 3568	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖 · 𝑄) = (𝐼 · 𝑄))
15		unitmulrprm.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
16	1, 3, 15	dvdsr 20333	. . 3 ⊢ (𝑄(∥r‘𝑅)(𝐼 · 𝑄) ↔ (𝑄 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖 · 𝑄) = (𝐼 · 𝑄)))
17	6, 14, 16	sylanbrc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄(∥r‘𝑅)(𝐼 · 𝑄))
18	4	idomringd 20696	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
19	1, 15, 18, 12, 6	ringcld 20232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑄) ∈ (Base‘𝑅))
20		oveq1 7367	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = ((invr‘𝑅)‘𝐼) → (𝑖 · (𝐼 · 𝑄)) = (((invr‘𝑅)‘𝐼) · (𝐼 · 𝑄)))
21	20	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑖 = ((invr‘𝑅)‘𝐼) → ((𝑖 · (𝐼 · 𝑄)) = 𝑄 ↔ (((invr‘𝑅)‘𝐼) · (𝐼 · 𝑄)) = 𝑄))
22		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
23	10, 22, 1	ringinvcl 20363	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
24	18, 9, 23	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
25		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
26	10, 22, 15, 25	unitlinv 20364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘𝐼) · 𝐼) = (1r‘𝑅))
27	18, 9, 26	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝐼) · 𝐼) = (1r‘𝑅))
28	27	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝐼) · 𝐼) · 𝑄) = ((1r‘𝑅) · 𝑄))
29	1, 15, 18, 24, 12, 6	ringassd 20229	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝐼) · 𝐼) · 𝑄) = (((invr‘𝑅)‘𝐼) · (𝐼 · 𝑄)))
30	1, 15, 25, 18, 6	ringlidmd 20244	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · 𝑄) = 𝑄)
31	28, 29, 30	3eqtr3d 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝐼) · (𝐼 · 𝑄)) = 𝑄)
32	21, 24, 31	rspcedvdw 3568	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖 · (𝐼 · 𝑄)) = 𝑄)
33	1, 3, 15	dvdsr 20333	. . 3 ⊢ ((𝐼 · 𝑄)(∥r‘𝑅)𝑄 ↔ ((𝐼 · 𝑄) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖 · (𝐼 · 𝑄)) = 𝑄))
34	19, 32, 33	sylanbrc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑄)(∥r‘𝑅)𝑄)
35	1, 2, 3, 4, 5, 17, 34	rprmasso 33600	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑄) ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212  1_rcur 20153  Ringcrg 20205  ∥_rcdsr 20325  Unitcui 20326  inv_rcinvr 20358  RPrimecrpm 20403  IDomncidom 20661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-rprm 20404  df-subrg 20538  df-idom 20664  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-lsp 20958  df-sra 21160  df-rgmod 21161  df-lidl 21198  df-rsp 21199  df-prmidl 33511

This theorem is referenced by:  1arithufdlem3  33621