Theorem sgsiga 34132

Description: A generated sigma-algebra is a sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
sgsiga.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
sgsiga	⊢ (𝜑 → (sigaGen‘𝐴) ∈ ∪ ran sigAlgebra)

Proof of Theorem sgsiga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sgsiga.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sigagensiga 34131	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (sigaGen‘𝐴) ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝐴))
3		elrnsiga 34116	. 2 ⊢ ((sigaGen‘𝐴) ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝐴) → (sigaGen‘𝐴) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4	1, 2, 3	3syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (sigaGen‘𝐴) ∈ ∪ ran sigAlgebra)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ∪ cuni 4871  ran crn 5639  ‘cfv 6511  sigAlgebracsiga 34098  sigaGencsigagen 34128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-siga 34099  df-sigagen 34129

This theorem is referenced by:  elsigagen2  34138  cldssbrsiga  34177  imambfm  34253  sxbrsigalem2  34277  sxbrsiga  34281  sibf0  34325  sibff  34327  sibfinima  34330  sibfof  34331  sitgclg  34333  orvcval4  34452  orvcoel  34453  orvccel  34454