Theorem sgsiga 33975

Description: A generated sigma-algebra is a sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
sgsiga.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
sgsiga	⊢ (𝜑 → (sigaGen‘𝐴) ∈ ∪ ran sigAlgebra)

Proof of Theorem sgsiga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sgsiga.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sigagensiga 33974	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (sigaGen‘𝐴) ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝐴))
3		elrnsiga 33959	. 2 ⊢ ((sigaGen‘𝐴) ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝐴) → (sigaGen‘𝐴) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4	1, 2, 3	3syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (sigaGen‘𝐴) ∈ ∪ ran sigAlgebra)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099  ∪ cuni 4913  ran crn 5683  ‘cfv 6554  sigAlgebracsiga 33941  sigaGencsigagen 33971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fv 6562  df-siga 33942  df-sigagen 33972

This theorem is referenced by:  elsigagen2  33981  cldssbrsiga  34020  imambfm  34096  sxbrsigalem2  34120  sxbrsiga  34124  sibf0  34168  sibff  34170  sibfinima  34173  sibfof  34174  sitgclg  34176  orvcval4  34294  orvcoel  34295  orvccel  34296