Theorem sgsiga 34139

Description: A generated sigma-algebra is a sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
sgsiga.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
sgsiga	⊢ (𝜑 → (sigaGen‘𝐴) ∈ ∪ ran sigAlgebra)

Proof of Theorem sgsiga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sgsiga.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sigagensiga 34138	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (sigaGen‘𝐴) ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝐴))
3		elrnsiga 34123	. 2 ⊢ ((sigaGen‘𝐴) ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝐴) → (sigaGen‘𝐴) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4	1, 2, 3	3syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (sigaGen‘𝐴) ∈ ∪ ran sigAlgebra)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ∪ cuni 4874  ran crn 5642  ‘cfv 6514  sigAlgebracsiga 34105  sigaGencsigagen 34135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fv 6522  df-siga 34106  df-sigagen 34136

This theorem is referenced by:  elsigagen2  34145  cldssbrsiga  34184  imambfm  34260  sxbrsigalem2  34284  sxbrsiga  34288  sibf0  34332  sibff  34334  sibfinima  34337  sibfof  34338  sitgclg  34340  orvcval4  34459  orvcoel  34460  orvccel  34461