Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cldssbrsiga Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cldssbrsiga 33859
Description: A Borel Algebra contains all closed sets of its base topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
cldssbrsiga (𝐽 ∈ Top β†’ (Clsdβ€˜π½) βŠ† (sigaGenβ€˜π½))
Proof of Theorem cldssbrsiga
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
21cldss 22946 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐽)
32adantl 480 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐽)
4 dfss4 4254 . . . . 5 (π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐽 ↔ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) = π‘₯)
53, 4sylib 217 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) = π‘₯)
61topopn 22821 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ 𝐽)
71difopn 22951 . . . . . 6 ((βˆͺ 𝐽 ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽)
86, 7sylan 578 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽)
9 id 22 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 ∈ Top)
109sgsiga 33814 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top β†’ (sigaGenβ€˜π½) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
1110adantr 479 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽) β†’ (sigaGenβ€˜π½) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
12 elex 3482 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 ∈ V)
13 sigagensiga 33813 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ V β†’ (sigaGenβ€˜π½) ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝐽))
14 baselsiga 33787 . . . . . . . 8 ((sigaGenβ€˜π½) ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝐽) β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ (sigaGenβ€˜π½))
1512, 13, 143syl 18 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ (sigaGenβ€˜π½))
1615adantr 479 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽) β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ (sigaGenβ€˜π½))
17 elsigagen 33819 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ (sigaGenβ€˜π½))
18 difelsiga 33805 . . . . . 6 (((sigaGenβ€˜π½) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ βˆͺ 𝐽 ∈ (sigaGenβ€˜π½) ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ (sigaGenβ€˜π½)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) ∈ (sigaGenβ€˜π½))
1911, 16, 17, 18syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) ∈ (sigaGenβ€˜π½))
208, 19syldan 589 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) ∈ (sigaGenβ€˜π½))
215, 20eqeltrrd 2826 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘₯ ∈ (sigaGenβ€˜π½))
2221ex 411 . 2 (𝐽 ∈ Top β†’ (π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ π‘₯ ∈ (sigaGenβ€˜π½)))
2322ssrdv 3979 1 (𝐽 ∈ Top β†’ (Clsdβ€˜π½) βŠ† (sigaGenβ€˜π½))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   βˆ– cdif 3938   βŠ† wss 3941  βˆͺ cuni 4904  ran crn 5674  β€˜cfv 6543  Topctop 22808  Clsdccld 22933  sigAlgebracsiga 33780  sigaGencsigagen 33810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-ac2 10481
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-oi 9528  df-dju 9919  df-card 9957  df-acn 9960  df-ac 10134  df-top 22809  df-cld 22936  df-siga 33781  df-sigagen 33811
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem4  33960  sibfinima  34012  sibfof  34013  orvccel  34135
  Copyright terms: Public domain W3C validator