Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cldssbrsiga Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cldssbrsiga 32826
Description: A Borel Algebra contains all closed sets of its base topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
cldssbrsiga (𝐽 ∈ Top β†’ (Clsdβ€˜π½) βŠ† (sigaGenβ€˜π½))

Proof of Theorem cldssbrsiga
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
21cldss 22396 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐽)
32adantl 483 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐽)
4 dfss4 4223 . . . . 5 (π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐽 ↔ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) = π‘₯)
53, 4sylib 217 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) = π‘₯)
61topopn 22271 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ 𝐽)
71difopn 22401 . . . . . 6 ((βˆͺ 𝐽 ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽)
86, 7sylan 581 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽)
9 id 22 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 ∈ Top)
109sgsiga 32781 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top β†’ (sigaGenβ€˜π½) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
1110adantr 482 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽) β†’ (sigaGenβ€˜π½) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
12 elex 3466 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 ∈ V)
13 sigagensiga 32780 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ V β†’ (sigaGenβ€˜π½) ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝐽))
14 baselsiga 32754 . . . . . . . 8 ((sigaGenβ€˜π½) ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝐽) β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ (sigaGenβ€˜π½))
1512, 13, 143syl 18 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ (sigaGenβ€˜π½))
1615adantr 482 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽) β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ (sigaGenβ€˜π½))
17 elsigagen 32786 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ (sigaGenβ€˜π½))
18 difelsiga 32772 . . . . . 6 (((sigaGenβ€˜π½) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ βˆͺ 𝐽 ∈ (sigaGenβ€˜π½) ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ (sigaGenβ€˜π½)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) ∈ (sigaGenβ€˜π½))
1911, 16, 17, 18syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) ∈ (sigaGenβ€˜π½))
208, 19syldan 592 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) ∈ (sigaGenβ€˜π½))
215, 20eqeltrrd 2839 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘₯ ∈ (sigaGenβ€˜π½))
2221ex 414 . 2 (𝐽 ∈ Top β†’ (π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ π‘₯ ∈ (sigaGenβ€˜π½)))
2322ssrdv 3955 1 (𝐽 ∈ Top β†’ (Clsdβ€˜π½) βŠ† (sigaGenβ€˜π½))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  βˆͺ cuni 4870  ran crn 5639  β€˜cfv 6501  Topctop 22258  Clsdccld 22383  sigAlgebracsiga 32747  sigaGencsigagen 32777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-ac2 10406
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-ac 10059  df-top 22259  df-cld 22386  df-siga 32748  df-sigagen 32778
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem4  32927  sibfinima  32979  sibfof  32980  orvccel  33102
  Copyright terms: Public domain W3C validator