Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cldssbrsiga Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cldssbrsiga 33729
Description: A Borel Algebra contains all closed sets of its base topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
cldssbrsiga (𝐽 ∈ Top β†’ (Clsdβ€˜π½) βŠ† (sigaGenβ€˜π½))
Proof of Theorem cldssbrsiga
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2727 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
21cldss 22907 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐽)
32adantl 481 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐽)
4 dfss4 4254 . . . . 5 (π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐽 ↔ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) = π‘₯)
53, 4sylib 217 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) = π‘₯)
61topopn 22782 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ 𝐽)
71difopn 22912 . . . . . 6 ((βˆͺ 𝐽 ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽)
86, 7sylan 579 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽)
9 id 22 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 ∈ Top)
109sgsiga 33684 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top β†’ (sigaGenβ€˜π½) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
1110adantr 480 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽) β†’ (sigaGenβ€˜π½) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
12 elex 3488 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 ∈ V)
13 sigagensiga 33683 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ V β†’ (sigaGenβ€˜π½) ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝐽))
14 baselsiga 33657 . . . . . . . 8 ((sigaGenβ€˜π½) ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝐽) β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ (sigaGenβ€˜π½))
1512, 13, 143syl 18 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ (sigaGenβ€˜π½))
1615adantr 480 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽) β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ (sigaGenβ€˜π½))
17 elsigagen 33689 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ (sigaGenβ€˜π½))
18 difelsiga 33675 . . . . . 6 (((sigaGenβ€˜π½) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ βˆͺ 𝐽 ∈ (sigaGenβ€˜π½) ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ (sigaGenβ€˜π½)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) ∈ (sigaGenβ€˜π½))
1911, 16, 17, 18syl3anc 1369 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) ∈ (sigaGenβ€˜π½))
208, 19syldan 590 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) ∈ (sigaGenβ€˜π½))
215, 20eqeltrrd 2829 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘₯ ∈ (sigaGenβ€˜π½))
2221ex 412 . 2 (𝐽 ∈ Top β†’ (π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ π‘₯ ∈ (sigaGenβ€˜π½)))
2322ssrdv 3984 1 (𝐽 ∈ Top β†’ (Clsdβ€˜π½) βŠ† (sigaGenβ€˜π½))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   βˆ– cdif 3941   βŠ† wss 3944  βˆͺ cuni 4903  ran crn 5673  β€˜cfv 6542  Topctop 22769  Clsdccld 22894  sigAlgebracsiga 33650  sigaGencsigagen 33680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-ac2 10472
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-oi 9519  df-dju 9910  df-card 9948  df-acn 9951  df-ac 10125  df-top 22770  df-cld 22897  df-siga 33651  df-sigagen 33681
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem4  33830  sibfinima  33882  sibfof  33883  orvccel  34005
  Copyright terms: Public domain W3C validator