Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cldssbrsiga Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cldssbrsiga 33173
Description: A Borel Algebra contains all closed sets of its base topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
cldssbrsiga (𝐽 ∈ Top β†’ (Clsdβ€˜π½) βŠ† (sigaGenβ€˜π½))
Proof of Theorem cldssbrsiga
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
21cldss 22524 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐽)
32adantl 482 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐽)
4 dfss4 4257 . . . . 5 (π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐽 ↔ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) = π‘₯)
53, 4sylib 217 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) = π‘₯)
61topopn 22399 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ 𝐽)
71difopn 22529 . . . . . 6 ((βˆͺ 𝐽 ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽)
86, 7sylan 580 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽)
9 id 22 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 ∈ Top)
109sgsiga 33128 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top β†’ (sigaGenβ€˜π½) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
1110adantr 481 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽) β†’ (sigaGenβ€˜π½) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
12 elex 3492 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 ∈ V)
13 sigagensiga 33127 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ V β†’ (sigaGenβ€˜π½) ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝐽))
14 baselsiga 33101 . . . . . . . 8 ((sigaGenβ€˜π½) ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝐽) β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ (sigaGenβ€˜π½))
1512, 13, 143syl 18 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ (sigaGenβ€˜π½))
1615adantr 481 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽) β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ (sigaGenβ€˜π½))
17 elsigagen 33133 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ (sigaGenβ€˜π½))
18 difelsiga 33119 . . . . . 6 (((sigaGenβ€˜π½) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ βˆͺ 𝐽 ∈ (sigaGenβ€˜π½) ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ (sigaGenβ€˜π½)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) ∈ (sigaGenβ€˜π½))
1911, 16, 17, 18syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) ∈ (sigaGenβ€˜π½))
208, 19syldan 591 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) ∈ (sigaGenβ€˜π½))
215, 20eqeltrrd 2834 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘₯ ∈ (sigaGenβ€˜π½))
2221ex 413 . 2 (𝐽 ∈ Top β†’ (π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ π‘₯ ∈ (sigaGenβ€˜π½)))
2322ssrdv 3987 1 (𝐽 ∈ Top β†’ (Clsdβ€˜π½) βŠ† (sigaGenβ€˜π½))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  βˆͺ cuni 4907  ran crn 5676  β€˜cfv 6540  Topctop 22386  Clsdccld 22511  sigAlgebracsiga 33094  sigaGencsigagen 33124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-ac2 10454
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-top 22387  df-cld 22514  df-siga 33095  df-sigagen 33125
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem4  33274  sibfinima  33326  sibfof  33327  orvccel  33449
  Copyright terms: Public domain W3C validator