Theorem unisg 34654

Description: The sigma-algebra generated by a collection 𝐴 is a sigma-algebra on ∪ 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
unisg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ (sigaGen‘𝐴) = ∪ 𝐴)

Proof of Theorem unisg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sigagensiga 34652	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (sigaGen‘𝐴) ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝐴))
2		issgon 34633	. . . 4 ⊢ ((sigaGen‘𝐴) ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝐴) ↔ ((sigaGen‘𝐴) ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∪ 𝐴 = ∪ (sigaGen‘𝐴)))
3	1, 2	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((sigaGen‘𝐴) ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∪ 𝐴 = ∪ (sigaGen‘𝐴)))
4	3	simprd 501	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐴 = ∪ (sigaGen‘𝐴))
5	4	eqcomd 2766	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ (sigaGen‘𝐴) = ∪ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∪ cuni 4867  ran crn 5656  ‘cfv 6533  sigAlgebracsiga 34618  sigaGencsigagen 34649

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-fv 6541  df-siga 34619  df-sigagen 34650

This theorem is used by:  unibrsiga  34697  sxsigon  34703  imambfm  34773  cnmbfm  34774  sibf0  34845  sibff  34847  sibfof  34851  sitgclg  34853  orvcval4  34972