Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sxbrsiga Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sxbrsiga 33227
Description: The product sigma-algebra (𝔅ℝ Γ—s 𝔅ℝ) is the Borel algebra on (ℝ Γ— ℝ) See example 5.1.1 of [Cohn] p. 143 . (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Oct-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
Assertion
Ref Expression
sxbrsiga (𝔅ℝ Γ—s 𝔅ℝ) = (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))
Proof of Theorem sxbrsiga
Dummy variables 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brsigarn 33120 . . . 4 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebraβ€˜β„)
2 eqid 2733 . . . . 5 ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) = ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 Γ— 𝑓))
32sxval 33126 . . . 4 ((𝔅ℝ ∈ (sigAlgebraβ€˜β„) ∧ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebraβ€˜β„)) β†’ (𝔅ℝ Γ—s 𝔅ℝ) = (sigaGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 Γ— 𝑓))))
41, 1, 3mp2an 691 . . 3 (𝔅ℝ Γ—s 𝔅ℝ) = (sigaGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)))
5 br2base 33206 . . . . 5 βˆͺ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) = (ℝ Γ— ℝ)
6 sxbrsiga.0 . . . . . 6 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
76tpr2uni 32823 . . . . 5 βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽) = (ℝ Γ— ℝ)
85, 7eqtr4i 2764 . . . 4 βˆͺ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽)
9 brsigasspwrn 33121 . . . . . . . . . 10 𝔅ℝ βŠ† 𝒫 ℝ
109sseli 3977 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ 𝔅ℝ β†’ 𝑒 ∈ 𝒫 ℝ)
1110elpwid 4610 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ 𝔅ℝ β†’ 𝑒 βŠ† ℝ)
129sseli 3977 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ 𝔅ℝ β†’ 𝑓 ∈ 𝒫 ℝ)
1312elpwid 4610 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ 𝔅ℝ β†’ 𝑓 βŠ† ℝ)
14 xpinpreima2 32825 . . . . . . . 8 ((𝑒 βŠ† ℝ ∧ 𝑓 βŠ† ℝ) β†’ (𝑒 Γ— 𝑓) = ((β—‘(1st β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β€œ 𝑒) ∩ (β—‘(2nd β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β€œ 𝑓)))
1511, 13, 14syl2an 597 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) β†’ (𝑒 Γ— 𝑓) = ((β—‘(1st β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β€œ 𝑒) ∩ (β—‘(2nd β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β€œ 𝑓)))
166tpr2tp 32822 . . . . . . . . . 10 (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(ℝ Γ— ℝ))
17 sigagensiga 33077 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(ℝ Γ— ℝ)) β†’ (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)) ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽)))
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)) ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽))
19 elrnsiga 33062 . . . . . . . . 9 ((sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)) ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽)) β†’ (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
2018, 19mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) β†’ (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
2116a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ 𝔅ℝ β†’ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(ℝ Γ— ℝ)))
2221sgsiga 33078 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ 𝔅ℝ β†’ (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
23 elrnsiga 33062 . . . . . . . . . . 11 (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebraβ€˜β„) β†’ 𝔅ℝ ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
241, 23mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ 𝔅ℝ β†’ 𝔅ℝ ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
25 retopon 24262 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)
266, 25eqeltri 2830 . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„)
27 tx1cn 23095 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„)) β†’ (1st β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
2826, 26, 27mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 (1st β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ 𝔅ℝ β†’ (1st β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
30 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ 𝔅ℝ β†’ (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)) = (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)))
31 df-brsiga 33118 . . . . . . . . . . . . 13 𝔅ℝ = (sigaGenβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))
326fveq2i 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (sigaGenβ€˜π½) = (sigaGenβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))
3331, 32eqtr4i 2764 . . . . . . . . . . . 12 𝔅ℝ = (sigaGenβ€˜π½)
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ 𝔅ℝ β†’ 𝔅ℝ = (sigaGenβ€˜π½))
3529, 30, 34cnmbfm 33200 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ 𝔅ℝ β†’ (1st β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ ((sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))MblFnM𝔅ℝ))
36 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ 𝔅ℝ β†’ 𝑒 ∈ 𝔅ℝ)
3722, 24, 35, 36mbfmcnvima 33192 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ 𝔅ℝ β†’ (β—‘(1st β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β€œ 𝑒) ∈ (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)))
3837adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) β†’ (β—‘(1st β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β€œ 𝑒) ∈ (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)))
3916a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ 𝔅ℝ β†’ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(ℝ Γ— ℝ)))
4039sgsiga 33078 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ 𝔅ℝ β†’ (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
411, 23mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ 𝔅ℝ β†’ 𝔅ℝ ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
42 tx2cn 23096 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„)) β†’ (2nd β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
4326, 26, 42mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 (2nd β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ 𝔅ℝ β†’ (2nd β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
45 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ 𝔅ℝ β†’ (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)) = (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)))
4633a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ 𝔅ℝ β†’ 𝔅ℝ = (sigaGenβ€˜π½))
4744, 45, 46cnmbfm 33200 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ 𝔅ℝ β†’ (2nd β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ ((sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))MblFnM𝔅ℝ))
48 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ 𝔅ℝ β†’ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ)
4940, 41, 47, 48mbfmcnvima 33192 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ 𝔅ℝ β†’ (β—‘(2nd β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β€œ 𝑓) ∈ (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)))
5049adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) β†’ (β—‘(2nd β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β€œ 𝑓) ∈ (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)))
51 inelsiga 33071 . . . . . . . 8 (((sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ (β—‘(1st β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β€œ 𝑒) ∈ (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)) ∧ (β—‘(2nd β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β€œ 𝑓) ∈ (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))) β†’ ((β—‘(1st β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β€œ 𝑒) ∩ (β—‘(2nd β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β€œ 𝑓)) ∈ (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)))
5220, 38, 50, 51syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) β†’ ((β—‘(1st β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β€œ 𝑒) ∩ (β—‘(2nd β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β€œ 𝑓)) ∈ (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)))
5315, 52eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) β†’ (𝑒 Γ— 𝑓) ∈ (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)))
5453rgen2 3198 . . . . 5 βˆ€π‘’ ∈ 𝔅ℝ βˆ€π‘“ ∈ 𝔅ℝ (𝑒 Γ— 𝑓) ∈ (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))
55 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) = (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 Γ— 𝑓))
5655rnmposs 31877 . . . . 5 (βˆ€π‘’ ∈ 𝔅ℝ βˆ€π‘“ ∈ 𝔅ℝ (𝑒 Γ— 𝑓) ∈ (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)) β†’ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) βŠ† (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)))
5754, 56ax-mp 5 . . . 4 ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) βŠ† (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))
58 sigagenss2 33086 . . . 4 ((βˆͺ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∧ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) βŠ† (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)) ∧ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(ℝ Γ— ℝ))) β†’ (sigaGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 Γ— 𝑓))) βŠ† (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)))
598, 57, 16, 58mp3an 1462 . . 3 (sigaGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 Γ— 𝑓))) βŠ† (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))
604, 59eqsstri 4015 . 2 (𝔅ℝ Γ—s 𝔅ℝ) βŠ† (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))
616sxbrsigalem6 33226 . 2 (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)) βŠ† (𝔅ℝ Γ—s 𝔅ℝ)
6260, 61eqssi 3997 1 (𝔅ℝ Γ—s 𝔅ℝ) = (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406  1st c1st 7968  2nd c2nd 7969  β„cr 11105  (,)cioo 13320  topGenctg 17379  TopOnctopon 22394   Cn ccn 22710   Γ—t ctx 23046  sigAlgebracsiga 33044  sigaGencsigagen 33074  π”…ℝcbrsiga 33117   Γ—s csx 33124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-fbas 20926  df-fg 20927  df-cnfld 20930  df-refld 21142  df-top 22378  df-topon 22395  df-topsp 22417  df-bases 22431  df-cld 22505  df-ntr 22506  df-cls 22507  df-nei 22584  df-lp 22622  df-perf 22623  df-cn 22713  df-cnp 22714  df-haus 22801  df-cmp 22873  df-tx 23048  df-hmeo 23241  df-fil 23332  df-fm 23424  df-flim 23425  df-flf 23426  df-fcls 23427  df-xms 23808  df-ms 23809  df-tms 23810  df-cncf 24376  df-cfil 24754  df-cmet 24756  df-cms 24834  df-limc 25365  df-dv 25366  df-log 26047  df-cxp 26048  df-logb 26250  df-siga 33045  df-sigagen 33075  df-brsiga 33118  df-sx 33125  df-mbfm 33186
This theorem is referenced by:  rrvadd  33389
  Copyright terms: Public domain W3C validator