Theorem sxbrsiga 34689

Description: The product sigma-algebra (𝔅_ℝ ×_s 𝔅_ℝ) is the Borel algebra on (ℝ × ℝ) See example 5.1.1 of [Cohn] p. 143 . (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Oct-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
sxbrsiga	⊢ (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ) = (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))

Proof of Theorem sxbrsiga

Dummy variables 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brsigarn 34583	. . . 4 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
2		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) = ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓))
3	2	sxval 34589	. . . 4 ⊢ ((𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) ∧ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)) → (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ) = (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓))))
4	1, 1, 3	mp2an 704	. . 3 ⊢ (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ) = (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)))
5		br2base 34668	. . . . 5 ⊢ ∪ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) = (ℝ × ℝ)
6		sxbrsiga.0	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
7	6	tpr2uni 34304	. . . . 5 ⊢ ∪ (𝐽 ×t 𝐽) = (ℝ × ℝ)
8	5, 7	eqtr4i 2788	. . . 4 ⊢ ∪ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽)
9		brsigasspwrn 34584	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝔅ℝ ⊆ 𝒫 ℝ
10	9	sseli 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → 𝑒 ∈ 𝒫 ℝ)
11	10	elpwid 4570	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → 𝑒 ⊆ ℝ)
12	9	sseli 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → 𝑓 ∈ 𝒫 ℝ)
13	12	elpwid 4570	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → 𝑓 ⊆ ℝ)
14		xpinpreima2 34306	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ⊆ ℝ ∧ 𝑓 ⊆ ℝ) → (𝑒 × 𝑓) = ((◡(1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∩ (◡(2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓)))
15	11, 13, 14	syl2an 607	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) → (𝑒 × 𝑓) = ((◡(1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∩ (◡(2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓)))
16	6	tpr2tp 34303	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ))
17		sigagensiga 34540	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ)) → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ (sigAlgebra‘∪ (𝐽 ×t 𝐽)))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ (sigAlgebra‘∪ (𝐽 ×t 𝐽))
19		elrnsiga 34525	. . . . . . . . 9 ⊢ ((sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ (sigAlgebra‘∪ (𝐽 ×t 𝐽)) → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
20	18, 19	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
21	16	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ)))
22	21	sgsiga 34541	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
23		elrnsiga 34525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
24	1, 23	mp1i 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
25		retopon 24931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
26	6, 25	eqeltri 2858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)
27		tx1cn 23777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)) → (1st ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
28	26, 26, 27	mp2an 704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1st ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → (1st ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
30		eqidd 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) = (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
31		df-brsiga 34581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
32	6	fveq2i 6884	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (sigaGen‘𝐽) = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
33	31, 32	eqtr4i 2788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘𝐽)
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → 𝔅ℝ = (sigaGen‘𝐽))
35	29, 30, 34	cnmbfm 34662	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → (1st ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))MblFnM𝔅ℝ))
36		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → 𝑒 ∈ 𝔅ℝ)
37	22, 24, 35, 36	mbfmcnvima 34654	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → (◡(1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
38	37	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) → (◡(1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
39	16	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ)))
40	39	sgsiga 34541	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
41	1, 23	mp1i 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
42		tx2cn 23778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)) → (2nd ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
43	26, 26, 42	mp2an 704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2nd ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → (2nd ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
45		eqidd 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) = (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
46	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → 𝔅ℝ = (sigaGen‘𝐽))
47	44, 45, 46	cnmbfm 34662	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → (2nd ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))MblFnM𝔅ℝ))
48		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → 𝑓 ∈ 𝔅ℝ)
49	40, 41, 47, 48	mbfmcnvima 34654	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → (◡(2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
50	49	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) → (◡(2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
51		inelsiga 34534	. . . . . . . 8 ⊢ (((sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ (◡(1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∧ (◡(2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))) → ((◡(1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∩ (◡(2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓)) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
52	20, 38, 50, 51	syl3anc 1397	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) → ((◡(1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∩ (◡(2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓)) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
53	15, 52	eqeltrd 2862	. . . . . 6 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) → (𝑒 × 𝑓) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
54	53	rgen2 3204	. . . . 5 ⊢ ∀𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∀𝑓 ∈ 𝔅ℝ (𝑒 × 𝑓) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))
55		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) = (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓))
56	55	rnmposs 33029	. . . . 5 ⊢ (∀𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∀𝑓 ∈ 𝔅ℝ (𝑒 × 𝑓) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) → ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
57	54, 56	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))
58		sigagenss2 34549	. . . 4 ⊢ ((∪ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∧ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ))) → (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓))) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
59	8, 57, 16, 58	mp3an 1489	. . 3 ⊢ (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓))) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))
60	4, 59	eqsstri 3982	. 2 ⊢ (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))
61	6	sxbrsigalem6 34688	. 2 ⊢ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ)
62	60, 61	eqssi 3952	1 ⊢ (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ) = (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  𝒫 cpw 4561  ∪ cuni 4871   × cxp 5658  ^◡ccnv 5659  ran crn 5661   ↾ cres 5662   “ cima 5663  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  1^st c1st 7982  2^nd c2nd 7983  ℝcr 11105  (,)cioo 13378  topGenctg 17496  TopOnctopon 23078   Cn ccn 23392   ×_t ctx 23728  sigAlgebracsiga 34507  sigaGencsigagen 34537  𝔅_ℝcbrsiga 34580   ×_s csx 34587

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-ac2 10453  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-oadd 8455  df-omul 8456  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9894  df-card 9932  df-acn 9935  df-ac 10107  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13143  df-xadd 13144  df-xmul 13145  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14045  df-exp 14105  df-fac 14317  df-bc 14346  df-hash 14374  df-shft 15111  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-limsup 15529  df-clim 15546  df-rlim 15547  df-sum 15745  df-ef 16127  df-sin 16129  df-cos 16130  df-pi 16132  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-hom 17340  df-cco 17341  df-rest 17481  df-topn 17482  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-topgen 17502  df-pt 17503  df-prds 17506  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-submnd 18848  df-mulg 19140  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-psmet 21525  df-xmet 21526  df-met 21527  df-bl 21528  df-mopn 21529  df-fbas 21530  df-fg 21531  df-cnfld 21534  df-refld 21766  df-top 23062  df-topon 23079  df-topsp 23101  df-bases 23114  df-cld 23187  df-ntr 23188  df-cls 23189  df-nei 23266  df-lp 23304  df-perf 23305  df-cn 23395  df-cnp 23396  df-haus 23483  df-cmp 23555  df-tx 23730  df-hmeo 23923  df-fil 24014  df-fm 24106  df-flim 24107  df-flf 24108  df-fcls 24109  df-xms 24488  df-ms 24489  df-tms 24490  df-cncf 25048  df-cfil 25425  df-cmet 25427  df-cms 25505  df-limc 26036  df-dv 26037  df-log 26732  df-cxp 26733  df-logb 26941  df-siga 34508  df-sigagen 34538  df-brsiga 34581  df-sx 34588  df-mbfm 34649

This theorem is used by:  rrvadd  34851