Theorem sxbrsiga 34474

Description: The product sigma-algebra (𝔅_ℝ ×_s 𝔅_ℝ) is the Borel algebra on (ℝ × ℝ) See example 5.1.1 of [Cohn] p. 143 . (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Oct-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
sxbrsiga	⊢ (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ) = (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))

Proof of Theorem sxbrsiga

Dummy variables 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brsigarn 34368	. . . 4 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) = ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓))
3	2	sxval 34374	. . . 4 ⊢ ((𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) ∧ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)) → (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ) = (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓))))
4	1, 1, 3	mp2an 693	. . 3 ⊢ (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ) = (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)))
5		br2base 34453	. . . . 5 ⊢ ∪ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) = (ℝ × ℝ)
6		sxbrsiga.0	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
7	6	tpr2uni 34089	. . . . 5 ⊢ ∪ (𝐽 ×t 𝐽) = (ℝ × ℝ)
8	5, 7	eqtr4i 2763	. . . 4 ⊢ ∪ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽)
9		brsigasspwrn 34369	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝔅ℝ ⊆ 𝒫 ℝ
10	9	sseli 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → 𝑒 ∈ 𝒫 ℝ)
11	10	elpwid 4565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → 𝑒 ⊆ ℝ)
12	9	sseli 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → 𝑓 ∈ 𝒫 ℝ)
13	12	elpwid 4565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → 𝑓 ⊆ ℝ)
14		xpinpreima2 34091	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ⊆ ℝ ∧ 𝑓 ⊆ ℝ) → (𝑒 × 𝑓) = ((◡(1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∩ (◡(2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓)))
15	11, 13, 14	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) → (𝑒 × 𝑓) = ((◡(1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∩ (◡(2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓)))
16	6	tpr2tp 34088	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ))
17		sigagensiga 34325	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ)) → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ (sigAlgebra‘∪ (𝐽 ×t 𝐽)))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ (sigAlgebra‘∪ (𝐽 ×t 𝐽))
19		elrnsiga 34310	. . . . . . . . 9 ⊢ ((sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ (sigAlgebra‘∪ (𝐽 ×t 𝐽)) → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
20	18, 19	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
21	16	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ)))
22	21	sgsiga 34326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
23		elrnsiga 34310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
24	1, 23	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
25		retopon 24724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
26	6, 25	eqeltri 2833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)
27		tx1cn 23570	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)) → (1st ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
28	26, 26, 27	mp2an 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1st ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → (1st ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
30		eqidd 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) = (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
31		df-brsiga 34366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
32	6	fveq2i 6847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (sigaGen‘𝐽) = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
33	31, 32	eqtr4i 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘𝐽)
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → 𝔅ℝ = (sigaGen‘𝐽))
35	29, 30, 34	cnmbfm 34447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → (1st ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))MblFnM𝔅ℝ))
36		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → 𝑒 ∈ 𝔅ℝ)
37	22, 24, 35, 36	mbfmcnvima 34439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → (◡(1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
38	37	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) → (◡(1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
39	16	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ)))
40	39	sgsiga 34326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
41	1, 23	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
42		tx2cn 23571	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)) → (2nd ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
43	26, 26, 42	mp2an 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2nd ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → (2nd ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
45		eqidd 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) = (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
46	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → 𝔅ℝ = (sigaGen‘𝐽))
47	44, 45, 46	cnmbfm 34447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → (2nd ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))MblFnM𝔅ℝ))
48		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → 𝑓 ∈ 𝔅ℝ)
49	40, 41, 47, 48	mbfmcnvima 34439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → (◡(2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
50	49	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) → (◡(2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
51		inelsiga 34319	. . . . . . . 8 ⊢ (((sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ (◡(1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∧ (◡(2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))) → ((◡(1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∩ (◡(2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓)) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
52	20, 38, 50, 51	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) → ((◡(1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∩ (◡(2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓)) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
53	15, 52	eqeltrd 2837	. . . . . 6 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) → (𝑒 × 𝑓) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
54	53	rgen2 3178	. . . . 5 ⊢ ∀𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∀𝑓 ∈ 𝔅ℝ (𝑒 × 𝑓) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))
55		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) = (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓))
56	55	rnmposs 32769	. . . . 5 ⊢ (∀𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∀𝑓 ∈ 𝔅ℝ (𝑒 × 𝑓) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) → ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
57	54, 56	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))
58		sigagenss2 34334	. . . 4 ⊢ ((∪ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∧ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ))) → (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓))) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
59	8, 57, 16, 58	mp3an 1464	. . 3 ⊢ (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓))) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))
60	4, 59	eqsstri 3982	. 2 ⊢ (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))
61	6	sxbrsigalem6 34473	. 2 ⊢ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ)
62	60, 61	eqssi 3952	1 ⊢ (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ) = (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4865   × cxp 5632  ^◡ccnv 5633  ran crn 5635   ↾ cres 5636   “ cima 5637  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370   ∈ cmpo 7372  1^st c1st 7943  2^nd c2nd 7944  ℝcr 11039  (,)cioo 13275  topGenctg 17371  TopOnctopon 22871   Cn ccn 23185   ×_t ctx 23521  sigAlgebracsiga 34292  sigaGencsigagen 34322  𝔅_ℝcbrsiga 34365   ×_s csx 34372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-inf2 9564  ax-ac2 10387  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118  ax-addf 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-supp 8115  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-oadd 8413  df-omul 8414  df-er 8647  df-map 8779  df-pm 8780  df-ixp 8850  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-fsupp 9279  df-fi 9328  df-sup 9359  df-inf 9360  df-oi 9429  df-dju 9827  df-card 9865  df-acn 9868  df-ac 10040  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-q 12876  df-rp 12920  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13279  df-ioc 13280  df-ico 13281  df-icc 13282  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-fl 13726  df-mod 13804  df-seq 13939  df-exp 13999  df-fac 14211  df-bc 14240  df-hash 14268  df-shft 15004  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173  df-limsup 15408  df-clim 15425  df-rlim 15426  df-sum 15624  df-ef 16004  df-sin 16006  df-cos 16007  df-pi 16009  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-starv 17206  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-ip 17209  df-tset 17210  df-ple 17211  df-ds 17213  df-unif 17214  df-hom 17215  df-cco 17216  df-rest 17356  df-topn 17357  df-0g 17375  df-gsum 17376  df-topgen 17377  df-pt 17378  df-prds 17381  df-xrs 17437  df-qtop 17442  df-imas 17443  df-xps 17445  df-mre 17519  df-mrc 17520  df-acs 17522  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-submnd 18723  df-mulg 19015  df-cntz 19263  df-cmn 19728  df-psmet 21318  df-xmet 21319  df-met 21320  df-bl 21321  df-mopn 21322  df-fbas 21323  df-fg 21324  df-cnfld 21327  df-refld 21577  df-top 22855  df-topon 22872  df-topsp 22894  df-bases 22907  df-cld 22980  df-ntr 22981  df-cls 22982  df-nei 23059  df-lp 23097  df-perf 23098  df-cn 23188  df-cnp 23189  df-haus 23276  df-cmp 23348  df-tx 23523  df-hmeo 23716  df-fil 23807  df-fm 23899  df-flim 23900  df-flf 23901  df-fcls 23902  df-xms 24281  df-ms 24282  df-tms 24283  df-cncf 24844  df-cfil 25228  df-cmet 25230  df-cms 25308  df-limc 25840  df-dv 25841  df-log 26538  df-cxp 26539  df-logb 26748  df-siga 34293  df-sigagen 34323  df-brsiga 34366  df-sx 34373  df-mbfm 34434

This theorem is referenced by:  rrvadd  34636