Theorem sxbrsiga 34989

Description: The product sigma-algebra (𝔅_ℝ ×_s 𝔅_ℝ) is the Borel algebra on (ℝ × ℝ) See example 5.1.1 of [Cohn] p. 143 . (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Oct-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
sxbrsiga	⊢ (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ) = (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))

Proof of Theorem sxbrsiga

Dummy variables 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brsigarn 34884	. . . 4 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) = ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓))
3	2	sxval 34890	. . . 4 ⊢ ((𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) ∧ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)) → (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ) = (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓))))
4	1, 1, 3	mp2an 705	. . 3 ⊢ (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ) = (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)))
5		br2base 34968	. . . . 5 ⊢ ∪ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) = (ℝ × ℝ)
6		sxbrsiga.0	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
7	6	tpr2uni 34604	. . . . 5 ⊢ ∪ (𝐽 ×t 𝐽) = (ℝ × ℝ)
8	5, 7	eqtr4i 2789	. . . 4 ⊢ ∪ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽)
9		brsigasspwrn 34885	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝔅ℝ ⊆ 𝒫 ℝ
10	9	sseli 3909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → 𝑒 ∈ 𝒫 ℝ)
11	10	elpwid 4569	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → 𝑒 ⊆ ℝ)
12	9	sseli 3909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → 𝑓 ∈ 𝒫 ℝ)
13	12	elpwid 4569	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → 𝑓 ⊆ ℝ)
14		xpinpreima2 34606	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ⊆ ℝ ∧ 𝑓 ⊆ ℝ) → (𝑒 × 𝑓) = ((◡(1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∩ (◡(2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓)))
15	11, 13, 14	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) → (𝑒 × 𝑓) = ((◡(1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∩ (◡(2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓)))
16	6	tpr2tp 34603	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ))
17		sigagensiga 34841	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ)) → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ (sigAlgebra‘∪ (𝐽 ×t 𝐽)))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ (sigAlgebra‘∪ (𝐽 ×t 𝐽))
19		elrnsiga 34825	. . . . . . . . 9 ⊢ ((sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ (sigAlgebra‘∪ (𝐽 ×t 𝐽)) → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
20	18, 19	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
21	16	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ)))
22	21	sgsiga 34842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
23		elrnsiga 34825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
24	1, 23	mp1i 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
25		retopon 25109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
26	6, 25	eqeltri 2860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)
27		tx1cn 23955	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)) → (1st ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
28	26, 26, 27	mp2an 705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1st ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → (1st ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
30		eqidd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) = (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
31		df-brsiga 34882	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
32	6	fveq2i 6908	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (sigaGen‘𝐽) = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
33	31, 32	eqtr4i 2789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘𝐽)
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → 𝔅ℝ = (sigaGen‘𝐽))
35	29, 30, 34	cnmbfm 34962	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → (1st ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))MblFnM𝔅ℝ))
36		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → 𝑒 ∈ 𝔅ℝ)
37	22, 24, 35, 36	mbfmcnvima 34955	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → (◡(1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
38	37	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) → (◡(1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
39	16	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ)))
40	39	sgsiga 34842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
41	1, 23	mp1i 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
42		tx2cn 23956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)) → (2nd ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
43	26, 26, 42	mp2an 705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2nd ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → (2nd ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
45		eqidd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) = (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
46	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → 𝔅ℝ = (sigaGen‘𝐽))
47	44, 45, 46	cnmbfm 34962	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → (2nd ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))MblFnM𝔅ℝ))
48		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → 𝑓 ∈ 𝔅ℝ)
49	40, 41, 47, 48	mbfmcnvima 34955	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → (◡(2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
50	49	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) → (◡(2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
51		inelsiga 34835	. . . . . . . 8 ⊢ (((sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ (◡(1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∧ (◡(2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))) → ((◡(1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∩ (◡(2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓)) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
52	20, 38, 50, 51	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) → ((◡(1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∩ (◡(2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓)) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
53	15, 52	eqeltrd 2864	. . . . . 6 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) → (𝑒 × 𝑓) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
54	53	rgen2 3206	. . . . 5 ⊢ ∀𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∀𝑓 ∈ 𝔅ℝ (𝑒 × 𝑓) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))
55		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) = (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓))
56	55	rnmposs 7574	. . . . 5 ⊢ (∀𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∀𝑓 ∈ 𝔅ℝ (𝑒 × 𝑓) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) → ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
57	54, 56	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))
58		sigagenss2 34850	. . . 4 ⊢ ((∪ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∧ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ))) → (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓))) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
59	8, 57, 16, 58	mp3an 1491	. . 3 ⊢ (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓))) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))
60	4, 59	eqsstri 3959	. 2 ⊢ (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))
61	6	sxbrsigalem6 34988	. 2 ⊢ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ)
62	60, 61	eqssi 3929	1 ⊢ (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ) = (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4870   × cxp 5653  ^◡ccnv 5654  ran crn 5656   ↾ cres 5657   “ cima 5658  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ∈ cmpo 7442  1^st c1st 8020  2^nd c2nd 8021  ℝcr 11223  (,)cioo 13500  topGenctg 17634  TopOnctopon 23255   Cn ccn 23569   ×_t ctx 23906  sigAlgebracsiga 34807  sigaGencsigagen 34838  𝔅_ℝcbrsiga 34881   ×_s csx 34888

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-oadd 8505  df-omul 8506  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-fi 9427  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-dju 10006  df-card 10044  df-acn 10047  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-xneg 13265  df-xadd 13266  df-xmul 13267  df-ioo 13504  df-ioc 13505  df-ico 13506  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-fl 13956  df-mod 14034  df-seq 14169  df-exp 14229  df-fac 14442  df-bc 14471  df-hash 14499  df-shft 15246  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-limsup 15664  df-clim 15681  df-rlim 15682  df-sum 15880  df-ef 16259  df-sin 16261  df-cos 16262  df-pi 16264  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-hom 17478  df-cco 17479  df-rest 17619  df-topn 17620  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-topgen 17640  df-pt 17641  df-prds 17644  df-xrs 17700  df-qtop 17705  df-imas 17706  df-xps 17708  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-submnd 19005  df-mulg 19304  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-psmet 21697  df-xmet 21698  df-met 21699  df-bl 21700  df-mopn 21701  df-fbas 21702  df-fg 21703  df-cnfld 21706  df-refld 21938  df-top 23239  df-topon 23256  df-topsp 23278  df-bases 23291  df-cld 23364  df-ntr 23365  df-cls 23366  df-nei 23443  df-lp 23481  df-perf 23482  df-cn 23572  df-cnp 23573  df-haus 23660  df-cmp 23732  df-tx 23908  df-hmeo 24101  df-fil 24192  df-fm 24284  df-flim 24285  df-flf 24286  df-fcls 24287  df-xms 24666  df-ms 24667  df-tms 24668  df-cncf 25226  df-cfil 25603  df-cmet 25605  df-cms 25683  df-limc 26213  df-dv 26214  df-log 26911  df-cxp 26912  df-logb 27120  df-siga 34808  df-sigagen 34839  df-brsiga 34882  df-sx 34889  df-mbfm 34950

This theorem is used by:  rrvadd  35151