Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sxbrsiga Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sxbrsiga 31536
 Description: The product sigma-algebra (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ) is the Borel algebra on (ℝ × ℝ) See example 5.1.1 of [Cohn] p. 143 . (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Oct-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGen‘ran (,))
Assertion
Ref Expression
sxbrsiga (𝔅 ×s 𝔅) = (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))

Proof of Theorem sxbrsiga
Dummy variables 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brsigarn 31431 . . . 4 𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
2 eqid 2819 . . . . 5 ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓)) = ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓))
32sxval 31437 . . . 4 ((𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ) ∧ 𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ)) → (𝔅 ×s 𝔅) = (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓))))
41, 1, 3mp2an 690 . . 3 (𝔅 ×s 𝔅) = (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓)))
5 br2base 31515 . . . . 5 ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓)) = (ℝ × ℝ)
6 sxbrsiga.0 . . . . . 6 𝐽 = (topGen‘ran (,))
76tpr2uni 31136 . . . . 5 (𝐽 ×t 𝐽) = (ℝ × ℝ)
85, 7eqtr4i 2845 . . . 4 ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓)) = (𝐽 ×t 𝐽)
9 brsigasspwrn 31432 . . . . . . . . . 10 𝔅 ⊆ 𝒫 ℝ
109sseli 3961 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ 𝔅𝑒 ∈ 𝒫 ℝ)
1110elpwid 4551 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ 𝔅𝑒 ⊆ ℝ)
129sseli 3961 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ 𝔅𝑓 ∈ 𝒫 ℝ)
1312elpwid 4551 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ 𝔅𝑓 ⊆ ℝ)
14 xpinpreima2 31138 . . . . . . . 8 ((𝑒 ⊆ ℝ ∧ 𝑓 ⊆ ℝ) → (𝑒 × 𝑓) = (((1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∩ ((2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓)))
1511, 13, 14syl2an 597 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ 𝔅𝑓 ∈ 𝔅) → (𝑒 × 𝑓) = (((1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∩ ((2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓)))
166tpr2tp 31135 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ))
17 sigagensiga 31388 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ)) → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ (sigAlgebra‘ (𝐽 ×t 𝐽)))
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ (sigAlgebra‘ (𝐽 ×t 𝐽))
19 elrnsiga 31373 . . . . . . . . 9 ((sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ (sigAlgebra‘ (𝐽 ×t 𝐽)) → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ ran sigAlgebra)
2018, 19mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ 𝔅𝑓 ∈ 𝔅) → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ ran sigAlgebra)
2116a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ 𝔅 → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ)))
2221sgsiga 31389 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ 𝔅 → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ ran sigAlgebra)
23 elrnsiga 31373 . . . . . . . . . . 11 (𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅 ran sigAlgebra)
241, 23mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ 𝔅 → 𝔅 ran sigAlgebra)
25 retopon 23364 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
266, 25eqeltri 2907 . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)
27 tx1cn 22209 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)) → (1st ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
2826, 26, 27mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (1st ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ 𝔅 → (1st ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
30 eqidd 2820 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ 𝔅 → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) = (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
31 df-brsiga 31429 . . . . . . . . . . . . 13 𝔅 = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
326fveq2i 6666 . . . . . . . . . . . . 13 (sigaGen‘𝐽) = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
3331, 32eqtr4i 2845 . . . . . . . . . . . 12 𝔅 = (sigaGen‘𝐽)
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ 𝔅 → 𝔅 = (sigaGen‘𝐽))
3529, 30, 34cnmbfm 31509 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ 𝔅 → (1st ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))MblFnM𝔅))
36 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ 𝔅𝑒 ∈ 𝔅)
3722, 24, 35, 36mbfmcnvima 31503 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ 𝔅 → ((1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
3837adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ 𝔅𝑓 ∈ 𝔅) → ((1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
3916a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ 𝔅 → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ)))
4039sgsiga 31389 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ 𝔅 → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ ran sigAlgebra)
411, 23mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ 𝔅 → 𝔅 ran sigAlgebra)
42 tx2cn 22210 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)) → (2nd ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
4326, 26, 42mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (2nd ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ 𝔅 → (2nd ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
45 eqidd 2820 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ 𝔅 → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) = (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
4633a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ 𝔅 → 𝔅 = (sigaGen‘𝐽))
4744, 45, 46cnmbfm 31509 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ 𝔅 → (2nd ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))MblFnM𝔅))
48 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ 𝔅𝑓 ∈ 𝔅)
4940, 41, 47, 48mbfmcnvima 31503 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ 𝔅 → ((2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
5049adantl 484 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ 𝔅𝑓 ∈ 𝔅) → ((2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
51 inelsiga 31382 . . . . . . . 8 (((sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ ran sigAlgebra ∧ ((1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∧ ((2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))) → (((1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∩ ((2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓)) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
5220, 38, 50, 51syl3anc 1365 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ 𝔅𝑓 ∈ 𝔅) → (((1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∩ ((2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓)) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
5315, 52eqeltrd 2911 . . . . . 6 ((𝑒 ∈ 𝔅𝑓 ∈ 𝔅) → (𝑒 × 𝑓) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
5453rgen2 3201 . . . . 5 𝑒 ∈ 𝔅𝑓 ∈ 𝔅 (𝑒 × 𝑓) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))
55 eqid 2819 . . . . . 6 (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓)) = (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓))
5655rnmposs 30411 . . . . 5 (∀𝑒 ∈ 𝔅𝑓 ∈ 𝔅 (𝑒 × 𝑓) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) → ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓)) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
5754, 56ax-mp 5 . . . 4 ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓)) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))
58 sigagenss2 31397 . . . 4 (( ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓)) = (𝐽 ×t 𝐽) ∧ ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓)) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∧ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ))) → (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓))) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
598, 57, 16, 58mp3an 1454 . . 3 (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓))) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))
604, 59eqsstri 3999 . 2 (𝔅 ×s 𝔅) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))
616sxbrsigalem6 31535 . 2 (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (𝔅 ×s 𝔅)
6260, 61eqssi 3981 1 (𝔅 ×s 𝔅) = (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ∀wral 3136   ∩ cin 3933   ⊆ wss 3934  𝒫 cpw 4537  ∪ cuni 4830   × cxp 5546  ◡ccnv 5547  ran crn 5549   ↾ cres 5550   “ cima 5551  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148   ∈ cmpo 7150  1st c1st 7679  2nd c2nd 7680  ℝcr 10528  (,)cioo 12730  topGenctg 16703  TopOnctopon 21510   Cn ccn 21824   ×t ctx 22160  sigAlgebracsiga 31355  sigaGencsigagen 31385  𝔅ℝcbrsiga 31428   ×s csx 31435 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-ac2 9877  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-omul 8099  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-dju 9322  df-card 9360  df-acn 9363  df-ac 9534  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-mod 13230  df-seq 13362  df-exp 13422  df-fac 13626  df-bc 13655  df-hash 13683  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416  df-pi 15418  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-fbas 20534  df-fg 20535  df-cnfld 20538  df-refld 20741  df-top 21494  df-topon 21511  df-topsp 21533  df-bases 21546  df-cld 21619  df-ntr 21620  df-cls 21621  df-nei 21698  df-lp 21736  df-perf 21737  df-cn 21827  df-cnp 21828  df-haus 21915  df-cmp 21987  df-tx 22162  df-hmeo 22355  df-fil 22446  df-fm 22538  df-flim 22539  df-flf 22540  df-fcls 22541  df-xms 22922  df-ms 22923  df-tms 22924  df-cncf 23478  df-cfil 23850  df-cmet 23852  df-cms 23930  df-limc 24456  df-dv 24457  df-log 25132  df-cxp 25133  df-logb 25335  df-siga 31356  df-sigagen 31386  df-brsiga 31429  df-sx 31436  df-mbfm 31497 This theorem is referenced by:  rrvadd  31698
 Copyright terms: Public domain W3C validator