Theorem sxbrsiga 34426

Description: The product sigma-algebra (𝔅_ℝ ×_s 𝔅_ℝ) is the Borel algebra on (ℝ × ℝ) See example 5.1.1 of [Cohn] p. 143 . (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Oct-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
sxbrsiga	⊢ (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ) = (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))

Proof of Theorem sxbrsiga

Dummy variables 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brsigarn 34320	. . . 4 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
2		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) = ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓))
3	2	sxval 34326	. . . 4 ⊢ ((𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) ∧ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)) → (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ) = (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓))))
4	1, 1, 3	mp2an 693	. . 3 ⊢ (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ) = (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)))
5		br2base 34405	. . . . 5 ⊢ ∪ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) = (ℝ × ℝ)
6		sxbrsiga.0	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
7	6	tpr2uni 34041	. . . . 5 ⊢ ∪ (𝐽 ×t 𝐽) = (ℝ × ℝ)
8	5, 7	eqtr4i 2761	. . . 4 ⊢ ∪ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽)
9		brsigasspwrn 34321	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝔅ℝ ⊆ 𝒫 ℝ
10	9	sseli 3928	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → 𝑒 ∈ 𝒫 ℝ)
11	10	elpwid 4562	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → 𝑒 ⊆ ℝ)
12	9	sseli 3928	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → 𝑓 ∈ 𝒫 ℝ)
13	12	elpwid 4562	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → 𝑓 ⊆ ℝ)
14		xpinpreima2 34043	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ⊆ ℝ ∧ 𝑓 ⊆ ℝ) → (𝑒 × 𝑓) = ((◡(1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∩ (◡(2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓)))
15	11, 13, 14	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) → (𝑒 × 𝑓) = ((◡(1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∩ (◡(2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓)))
16	6	tpr2tp 34040	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ))
17		sigagensiga 34277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ)) → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ (sigAlgebra‘∪ (𝐽 ×t 𝐽)))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ (sigAlgebra‘∪ (𝐽 ×t 𝐽))
19		elrnsiga 34262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ (sigAlgebra‘∪ (𝐽 ×t 𝐽)) → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
20	18, 19	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
21	16	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ)))
22	21	sgsiga 34278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
23		elrnsiga 34262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
24	1, 23	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
25		retopon 24709	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
26	6, 25	eqeltri 2831	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)
27		tx1cn 23555	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)) → (1st ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
28	26, 26, 27	mp2an 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1st ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → (1st ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
30		eqidd 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) = (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
31		df-brsiga 34318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
32	6	fveq2i 6836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (sigaGen‘𝐽) = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
33	31, 32	eqtr4i 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘𝐽)
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → 𝔅ℝ = (sigaGen‘𝐽))
35	29, 30, 34	cnmbfm 34399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → (1st ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))MblFnM𝔅ℝ))
36		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → 𝑒 ∈ 𝔅ℝ)
37	22, 24, 35, 36	mbfmcnvima 34391	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → (◡(1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
38	37	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) → (◡(1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
39	16	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ)))
40	39	sgsiga 34278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
41	1, 23	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
42		tx2cn 23556	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)) → (2nd ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
43	26, 26, 42	mp2an 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2nd ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → (2nd ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
45		eqidd 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) = (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
46	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → 𝔅ℝ = (sigaGen‘𝐽))
47	44, 45, 46	cnmbfm 34399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → (2nd ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))MblFnM𝔅ℝ))
48		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → 𝑓 ∈ 𝔅ℝ)
49	40, 41, 47, 48	mbfmcnvima 34391	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → (◡(2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
50	49	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) → (◡(2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
51		inelsiga 34271	. . . . . . . 8 ⊢ (((sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ (◡(1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∧ (◡(2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))) → ((◡(1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∩ (◡(2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓)) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
52	20, 38, 50, 51	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) → ((◡(1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∩ (◡(2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓)) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
53	15, 52	eqeltrd 2835	. . . . . 6 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) → (𝑒 × 𝑓) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
54	53	rgen2 3175	. . . . 5 ⊢ ∀𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∀𝑓 ∈ 𝔅ℝ (𝑒 × 𝑓) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))
55		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) = (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓))
56	55	rnmposs 32731	. . . . 5 ⊢ (∀𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∀𝑓 ∈ 𝔅ℝ (𝑒 × 𝑓) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) → ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
57	54, 56	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))
58		sigagenss2 34286	. . . 4 ⊢ ((∪ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∧ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ))) → (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓))) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
59	8, 57, 16, 58	mp3an 1464	. . 3 ⊢ (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓))) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))
60	4, 59	eqsstri 3979	. 2 ⊢ (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))
61	6	sxbrsigalem6 34425	. 2 ⊢ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ)
62	60, 61	eqssi 3949	1 ⊢ (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ) = (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3050   ∩ cin 3899   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4553  ∪ cuni 4862   × cxp 5621  ^◡ccnv 5622  ran crn 5624   ↾ cres 5625   “ cima 5626  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  1^st c1st 7931  2^nd c2nd 7932  ℝcr 11027  (,)cioo 13263  topGenctg 17359  TopOnctopon 22856   Cn ccn 23170   ×_t ctx 23506  sigAlgebracsiga 34244  sigaGencsigagen 34274  𝔅_ℝcbrsiga 34317   ×_s csx 34324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-ac2 10375  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-iin 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-omul 8402  df-er 8635  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8838  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-fi 9316  df-sup 9347  df-inf 9348  df-oi 9417  df-dju 9815  df-card 9853  df-acn 9856  df-ac 10028  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12864  df-rp 12908  df-xneg 13028  df-xadd 13029  df-xmul 13030  df-ioo 13267  df-ioc 13268  df-ico 13269  df-icc 13270  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-shft 14992  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-ef 15992  df-sin 15994  df-cos 15995  df-pi 15997  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17425  df-qtop 17430  df-imas 17431  df-xps 17433  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19248  df-cmn 19713  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-fbas 21308  df-fg 21309  df-cnfld 21312  df-refld 21562  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22892  df-cld 22965  df-ntr 22966  df-cls 22967  df-nei 23044  df-lp 23082  df-perf 23083  df-cn 23173  df-cnp 23174  df-haus 23261  df-cmp 23333  df-tx 23508  df-hmeo 23701  df-fil 23792  df-fm 23884  df-flim 23885  df-flf 23886  df-fcls 23887  df-xms 24266  df-ms 24267  df-tms 24268  df-cncf 24829  df-cfil 25213  df-cmet 25215  df-cms 25293  df-limc 25825  df-dv 25826  df-log 26523  df-cxp 26524  df-logb 26733  df-siga 34245  df-sigagen 34275  df-brsiga 34318  df-sx 34325  df-mbfm 34386

This theorem is referenced by:  rrvadd  34588