Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sxbrsiga Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sxbrsiga 33358
Description: The product sigma-algebra (𝔅ℝ Γ—s 𝔅ℝ) is the Borel algebra on (ℝ Γ— ℝ) See example 5.1.1 of [Cohn] p. 143 . (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Oct-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
Assertion
Ref Expression
sxbrsiga (𝔅ℝ Γ—s 𝔅ℝ) = (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))
Proof of Theorem sxbrsiga
Dummy variables 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brsigarn 33251 . . . 4 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebraβ€˜β„)
2 eqid 2732 . . . . 5 ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) = ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 Γ— 𝑓))
32sxval 33257 . . . 4 ((𝔅ℝ ∈ (sigAlgebraβ€˜β„) ∧ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebraβ€˜β„)) β†’ (𝔅ℝ Γ—s 𝔅ℝ) = (sigaGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 Γ— 𝑓))))
41, 1, 3mp2an 690 . . 3 (𝔅ℝ Γ—s 𝔅ℝ) = (sigaGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)))
5 br2base 33337 . . . . 5 βˆͺ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) = (ℝ Γ— ℝ)
6 sxbrsiga.0 . . . . . 6 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
76tpr2uni 32954 . . . . 5 βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽) = (ℝ Γ— ℝ)
85, 7eqtr4i 2763 . . . 4 βˆͺ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽)
9 brsigasspwrn 33252 . . . . . . . . . 10 𝔅ℝ βŠ† 𝒫 ℝ
109sseli 3978 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ 𝔅ℝ β†’ 𝑒 ∈ 𝒫 ℝ)
1110elpwid 4611 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ 𝔅ℝ β†’ 𝑒 βŠ† ℝ)
129sseli 3978 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ 𝔅ℝ β†’ 𝑓 ∈ 𝒫 ℝ)
1312elpwid 4611 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ 𝔅ℝ β†’ 𝑓 βŠ† ℝ)
14 xpinpreima2 32956 . . . . . . . 8 ((𝑒 βŠ† ℝ ∧ 𝑓 βŠ† ℝ) β†’ (𝑒 Γ— 𝑓) = ((β—‘(1st β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β€œ 𝑒) ∩ (β—‘(2nd β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β€œ 𝑓)))
1511, 13, 14syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) β†’ (𝑒 Γ— 𝑓) = ((β—‘(1st β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β€œ 𝑒) ∩ (β—‘(2nd β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β€œ 𝑓)))
166tpr2tp 32953 . . . . . . . . . 10 (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(ℝ Γ— ℝ))
17 sigagensiga 33208 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(ℝ Γ— ℝ)) β†’ (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)) ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽)))
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)) ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽))
19 elrnsiga 33193 . . . . . . . . 9 ((sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)) ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽)) β†’ (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
2018, 19mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) β†’ (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
2116a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ 𝔅ℝ β†’ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(ℝ Γ— ℝ)))
2221sgsiga 33209 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ 𝔅ℝ β†’ (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
23 elrnsiga 33193 . . . . . . . . . . 11 (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebraβ€˜β„) β†’ 𝔅ℝ ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
241, 23mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ 𝔅ℝ β†’ 𝔅ℝ ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
25 retopon 24287 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)
266, 25eqeltri 2829 . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„)
27 tx1cn 23120 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„)) β†’ (1st β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
2826, 26, 27mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (1st β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ 𝔅ℝ β†’ (1st β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
30 eqidd 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ 𝔅ℝ β†’ (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)) = (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)))
31 df-brsiga 33249 . . . . . . . . . . . . 13 𝔅ℝ = (sigaGenβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))
326fveq2i 6894 . . . . . . . . . . . . 13 (sigaGenβ€˜π½) = (sigaGenβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))
3331, 32eqtr4i 2763 . . . . . . . . . . . 12 𝔅ℝ = (sigaGenβ€˜π½)
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ 𝔅ℝ β†’ 𝔅ℝ = (sigaGenβ€˜π½))
3529, 30, 34cnmbfm 33331 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ 𝔅ℝ β†’ (1st β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ ((sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))MblFnM𝔅ℝ))
36 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ 𝔅ℝ β†’ 𝑒 ∈ 𝔅ℝ)
3722, 24, 35, 36mbfmcnvima 33323 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ 𝔅ℝ β†’ (β—‘(1st β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β€œ 𝑒) ∈ (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)))
3837adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) β†’ (β—‘(1st β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β€œ 𝑒) ∈ (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)))
3916a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ 𝔅ℝ β†’ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(ℝ Γ— ℝ)))
4039sgsiga 33209 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ 𝔅ℝ β†’ (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
411, 23mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ 𝔅ℝ β†’ 𝔅ℝ ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
42 tx2cn 23121 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„)) β†’ (2nd β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
4326, 26, 42mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (2nd β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ 𝔅ℝ β†’ (2nd β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
45 eqidd 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ 𝔅ℝ β†’ (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)) = (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)))
4633a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ 𝔅ℝ β†’ 𝔅ℝ = (sigaGenβ€˜π½))
4744, 45, 46cnmbfm 33331 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ 𝔅ℝ β†’ (2nd β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ ((sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))MblFnM𝔅ℝ))
48 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ 𝔅ℝ β†’ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ)
4940, 41, 47, 48mbfmcnvima 33323 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ 𝔅ℝ β†’ (β—‘(2nd β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β€œ 𝑓) ∈ (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)))
5049adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) β†’ (β—‘(2nd β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β€œ 𝑓) ∈ (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)))
51 inelsiga 33202 . . . . . . . 8 (((sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ (β—‘(1st β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β€œ 𝑒) ∈ (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)) ∧ (β—‘(2nd β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β€œ 𝑓) ∈ (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))) β†’ ((β—‘(1st β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β€œ 𝑒) ∩ (β—‘(2nd β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β€œ 𝑓)) ∈ (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)))
5220, 38, 50, 51syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) β†’ ((β—‘(1st β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β€œ 𝑒) ∩ (β—‘(2nd β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β€œ 𝑓)) ∈ (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)))
5315, 52eqeltrd 2833 . . . . . 6 ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) β†’ (𝑒 Γ— 𝑓) ∈ (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)))
5453rgen2 3197 . . . . 5 βˆ€π‘’ ∈ 𝔅ℝ βˆ€π‘“ ∈ 𝔅ℝ (𝑒 Γ— 𝑓) ∈ (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))
55 eqid 2732 . . . . . 6 (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) = (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 Γ— 𝑓))
5655rnmposs 31937 . . . . 5 (βˆ€π‘’ ∈ 𝔅ℝ βˆ€π‘“ ∈ 𝔅ℝ (𝑒 Γ— 𝑓) ∈ (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)) β†’ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) βŠ† (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)))
5754, 56ax-mp 5 . . . 4 ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) βŠ† (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))
58 sigagenss2 33217 . . . 4 ((βˆͺ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∧ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) βŠ† (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)) ∧ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(ℝ Γ— ℝ))) β†’ (sigaGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 Γ— 𝑓))) βŠ† (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)))
598, 57, 16, 58mp3an 1461 . . 3 (sigaGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 Γ— 𝑓))) βŠ† (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))
604, 59eqsstri 4016 . 2 (𝔅ℝ Γ—s 𝔅ℝ) βŠ† (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))
616sxbrsigalem6 33357 . 2 (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)) βŠ† (𝔅ℝ Γ—s 𝔅ℝ)
6260, 61eqssi 3998 1 (𝔅ℝ Γ—s 𝔅ℝ) = (sigaGenβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  1st c1st 7975  2nd c2nd 7976  β„cr 11111  (,)cioo 13326  topGenctg 17385  TopOnctopon 22419   Cn ccn 22735   Γ—t ctx 23071  sigAlgebracsiga 33175  sigaGencsigagen 33205  π”…ℝcbrsiga 33248   Γ—s csx 33255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-refld 21164  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-cmp 22898  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-fcls 23452  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-cfil 24779  df-cmet 24781  df-cms 24859  df-limc 25390  df-dv 25391  df-log 26072  df-cxp 26073  df-logb 26277  df-siga 33176  df-sigagen 33206  df-brsiga 33249  df-sx 33256  df-mbfm 33317
This theorem is referenced by:  rrvadd  33520
  Copyright terms: Public domain W3C validator