Theorem sxbrsiga 34922

Description: The product sigma-algebra (𝔅_ℝ ×_s 𝔅_ℝ) is the Borel algebra on (ℝ × ℝ) See example 5.1.1 of [Cohn] p. 143 . (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Oct-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
sxbrsiga	⊢ (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ) = (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))

Proof of Theorem sxbrsiga

Dummy variables 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brsigarn 34817	. . . 4 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
2		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) = ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓))
3	2	sxval 34823	. . . 4 ⊢ ((𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) ∧ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)) → (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ) = (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓))))
4	1, 1, 3	mp2an 705	. . 3 ⊢ (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ) = (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)))
5		br2base 34901	. . . . 5 ⊢ ∪ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) = (ℝ × ℝ)
6		sxbrsiga.0	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
7	6	tpr2uni 34537	. . . . 5 ⊢ ∪ (𝐽 ×t 𝐽) = (ℝ × ℝ)
8	5, 7	eqtr4i 2786	. . . 4 ⊢ ∪ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽)
9		brsigasspwrn 34818	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝔅ℝ ⊆ 𝒫 ℝ
10	9	sseli 3904	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → 𝑒 ∈ 𝒫 ℝ)
11	10	elpwid 4565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → 𝑒 ⊆ ℝ)
12	9	sseli 3904	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → 𝑓 ∈ 𝒫 ℝ)
13	12	elpwid 4565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → 𝑓 ⊆ ℝ)
14		xpinpreima2 34539	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ⊆ ℝ ∧ 𝑓 ⊆ ℝ) → (𝑒 × 𝑓) = ((◡(1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∩ (◡(2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓)))
15	11, 13, 14	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) → (𝑒 × 𝑓) = ((◡(1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∩ (◡(2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓)))
16	6	tpr2tp 34536	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ))
17		sigagensiga 34774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ)) → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ (sigAlgebra‘∪ (𝐽 ×t 𝐽)))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ (sigAlgebra‘∪ (𝐽 ×t 𝐽))
19		elrnsiga 34758	. . . . . . . . 9 ⊢ ((sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ (sigAlgebra‘∪ (𝐽 ×t 𝐽)) → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
20	18, 19	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
21	16	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ)))
22	21	sgsiga 34775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
23		elrnsiga 34758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
24	1, 23	mp1i 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
25		retopon 25082	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
26	6, 25	eqeltri 2856	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)
27		tx1cn 23928	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)) → (1st ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
28	26, 26, 27	mp2an 705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1st ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → (1st ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
30		eqidd 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) = (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
31		df-brsiga 34815	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
32	6	fveq2i 6888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (sigaGen‘𝐽) = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
33	31, 32	eqtr4i 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘𝐽)
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → 𝔅ℝ = (sigaGen‘𝐽))
35	29, 30, 34	cnmbfm 34895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → (1st ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))MblFnM𝔅ℝ))
36		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → 𝑒 ∈ 𝔅ℝ)
37	22, 24, 35, 36	mbfmcnvima 34888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ → (◡(1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
38	37	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) → (◡(1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
39	16	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ)))
40	39	sgsiga 34775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
41	1, 23	mp1i 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
42		tx2cn 23929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)) → (2nd ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
43	26, 26, 42	mp2an 705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2nd ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → (2nd ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
45		eqidd 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) = (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
46	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → 𝔅ℝ = (sigaGen‘𝐽))
47	44, 45, 46	cnmbfm 34895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → (2nd ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))MblFnM𝔅ℝ))
48		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → 𝑓 ∈ 𝔅ℝ)
49	40, 41, 47, 48	mbfmcnvima 34888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ 𝔅ℝ → (◡(2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
50	49	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) → (◡(2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
51		inelsiga 34768	. . . . . . . 8 ⊢ (((sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ (◡(1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∧ (◡(2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))) → ((◡(1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∩ (◡(2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓)) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
52	20, 38, 50, 51	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) → ((◡(1st ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑒) ∩ (◡(2nd ↾ (ℝ × ℝ)) “ 𝑓)) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
53	15, 52	eqeltrd 2860	. . . . . 6 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∧ 𝑓 ∈ 𝔅ℝ) → (𝑒 × 𝑓) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
54	53	rgen2 3202	. . . . 5 ⊢ ∀𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∀𝑓 ∈ 𝔅ℝ (𝑒 × 𝑓) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))
55		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) = (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓))
56	55	rnmposs 33267	. . . . 5 ⊢ (∀𝑒 ∈ 𝔅ℝ ∀𝑓 ∈ 𝔅ℝ (𝑒 × 𝑓) ∈ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) → ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
57	54, 56	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))
58		sigagenss2 34783	. . . 4 ⊢ ((∪ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓)) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∧ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ))) → (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓))) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
59	8, 57, 16, 58	mp3an 1490	. . 3 ⊢ (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅ℝ, 𝑓 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑒 × 𝑓))) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))
60	4, 59	eqsstri 3954	. 2 ⊢ (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))
61	6	sxbrsigalem6 34921	. 2 ⊢ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ)
62	60, 61	eqssi 3924	1 ⊢ (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ) = (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4866   × cxp 5648  ^◡ccnv 5649  ran crn 5651   ↾ cres 5652   “ cima 5653  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  1^st c1st 7999  2^nd c2nd 8000  ℝcr 11199  (,)cioo 13476  topGenctg 17608  TopOnctopon 23228   Cn ccn 23542   ×_t ctx 23879  sigAlgebracsiga 34740  sigaGencsigagen 34771  𝔅_ℝcbrsiga 34814   ×_s csx 34821

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-omul 8481  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-dju 9982  df-card 10020  df-acn 10023  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233  df-sin 16235  df-cos 16236  df-pi 16238  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-refld 21911  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-cmp 23705  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-fcls 24260  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-cfil 25576  df-cmet 25578  df-cms 25656  df-limc 26186  df-dv 26187  df-log 26884  df-cxp 26885  df-logb 27093  df-siga 34741  df-sigagen 34772  df-brsiga 34815  df-sx 34822  df-mbfm 34883

This theorem is used by:  rrvadd  35084