Theorem orvccel 33927

Description: If the relation produces closed sets, preimage maps by a measurable function are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
orvccel.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
orvccel.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
orvccel.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑆MblFnM(sigaGen‘𝐽)))
orvccel.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
orvccel.5	⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ∪ 𝐽 ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ (Clsd‘𝐽))

Assertion

Ref	Expression
orvccel	⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝑦,𝐽

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑆(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem orvccel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orvccel.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
2		orvccel.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
3		orvccel.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑆MblFnM(sigaGen‘𝐽)))
4		orvccel.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5	1, 2, 3, 4	orvcval4 33925	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) = (◡𝑋 “ {𝑦 ∈ ∪ 𝐽 ∣ 𝑦𝑅𝐴}))
6	2	sgsiga 33606	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sigaGen‘𝐽) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
7		cldssbrsiga 33651	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (Clsd‘𝐽) ⊆ (sigaGen‘𝐽))
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Clsd‘𝐽) ⊆ (sigaGen‘𝐽))
9		orvccel.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ∪ 𝐽 ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ (Clsd‘𝐽))
10	8, 9	sseldd 3983	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ∪ 𝐽 ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ (sigaGen‘𝐽))
11	1, 6, 3, 10	mbfmcnvima 33720	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝑋 “ {𝑦 ∈ ∪ 𝐽 ∣ 𝑦𝑅𝐴}) ∈ 𝑆)
12	5, 11	eqeltrd 2832	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  {crab 3431   ⊆ wss 3948  ∪ cuni 4908   class class class wbr 5148  ^◡ccnv 5675  ran crn 5677   “ cima 5679  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Topctop 22716  Clsdccld 22841  sigAlgebracsiga 33572  sigaGencsigagen 33602  MblFnMcmbfm 33713  ∘_RV/𝑐corvc 33920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-ac2 10464

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-oi 9511  df-dju 9902  df-card 9940  df-acn 9943  df-ac 10117  df-top 22717  df-cld 22844  df-siga 33573  df-sigagen 33603  df-mbfm 33714  df-orvc 33921

This theorem is referenced by:  orrvccel  33931