Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvccel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orvccel 34765
Description: If the relation produces closed sets, preimage maps by a measurable function are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
orvccel.1 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
orvccel.2 (𝜑𝐽 ∈ Top)
orvccel.3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑆MblFnM(sigaGen‘𝐽)))
orvccel.4 (𝜑𝐴𝑉)
orvccel.5 (𝜑 → {𝑦 𝐽𝑦𝑅𝐴} ∈ (Clsd‘𝐽))
Assertion
Ref Expression
orvccel (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝑦,𝐽
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑆(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem orvccel
StepHypRef Expression
1 orvccel.1 . . 3 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
2 orvccel.2 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
3 orvccel.3 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑆MblFnM(sigaGen‘𝐽)))
4 orvccel.4 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
51, 2, 3, 4orvcval4 34763 . 2 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝑅𝐴) = (𝑋 “ {𝑦 𝐽𝑦𝑅𝐴}))
62sgsiga 34444 . . 3 (𝜑 → (sigaGen‘𝐽) ∈ ran sigAlgebra)
7 cldssbrsiga 34489 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → (Clsd‘𝐽) ⊆ (sigaGen‘𝐽))
82, 7syl 18 . . . 4 (𝜑 → (Clsd‘𝐽) ⊆ (sigaGen‘𝐽))
9 orvccel.5 . . . 4 (𝜑 → {𝑦 𝐽𝑦𝑅𝐴} ∈ (Clsd‘𝐽))
108, 9sseldd 3940 . . 3 (𝜑 → {𝑦 𝐽𝑦𝑅𝐴} ∈ (sigaGen‘𝐽))
111, 6, 3, 10mbfmcnvima 34557 . 2 (𝜑 → (𝑋 “ {𝑦 𝐽𝑦𝑅𝐴}) ∈ 𝑆)
125, 11eqeltrd 2865 1 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2145  {crab 3417  wss 3907   cuni 4867   class class class wbr 5104  ccnv 5650  ran crn 5652  cima 5654  cfv 6525  (class class class)co 7400  Topctop 23007  Clsdccld 23130  sigAlgebracsiga 34410  sigaGencsigagen 34440  MblFnMcmbfm 34551  RV/𝑐corvc 34758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-ac2 10435
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-oi 9460  df-dju 9875  df-card 9913  df-acn 9916  df-ac 10088  df-top 23008  df-cld 23133  df-siga 34411  df-sigagen 34441  df-mbfm 34552  df-orvc 34759
This theorem is referenced by:  orrvccel  34769
  Copyright terms: Public domain W3C validator