Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvccel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orvccel 31828
Description: If the relation produces closed sets, preimage maps by a measurable function are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
orvccel.1 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
orvccel.2 (𝜑𝐽 ∈ Top)
orvccel.3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑆MblFnM(sigaGen‘𝐽)))
orvccel.4 (𝜑𝐴𝑉)
orvccel.5 (𝜑 → {𝑦 𝐽𝑦𝑅𝐴} ∈ (Clsd‘𝐽))
Assertion
Ref Expression
orvccel (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝑦,𝐽
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑆(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem orvccel
StepHypRef Expression
1 orvccel.1 . . 3 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
2 orvccel.2 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
3 orvccel.3 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑆MblFnM(sigaGen‘𝐽)))
4 orvccel.4 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
51, 2, 3, 4orvcval4 31826 . 2 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝑅𝐴) = (𝑋 “ {𝑦 𝐽𝑦𝑅𝐴}))
62sgsiga 31509 . . 3 (𝜑 → (sigaGen‘𝐽) ∈ ran sigAlgebra)
7 cldssbrsiga 31554 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → (Clsd‘𝐽) ⊆ (sigaGen‘𝐽))
82, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → (Clsd‘𝐽) ⊆ (sigaGen‘𝐽))
9 orvccel.5 . . . 4 (𝜑 → {𝑦 𝐽𝑦𝑅𝐴} ∈ (Clsd‘𝐽))
108, 9sseldd 3919 . . 3 (𝜑 → {𝑦 𝐽𝑦𝑅𝐴} ∈ (sigaGen‘𝐽))
111, 6, 3, 10mbfmcnvima 31623 . 2 (𝜑 → (𝑋 “ {𝑦 𝐽𝑦𝑅𝐴}) ∈ 𝑆)
125, 11eqeltrd 2893 1 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2112  {crab 3113  wss 3884   cuni 4803   class class class wbr 5033  ccnv 5522  ran crn 5524  cima 5526  cfv 6328  (class class class)co 7139  Topctop 21501  Clsdccld 21624  sigAlgebracsiga 31475  sigaGencsigagen 31505  MblFnMcmbfm 31616  RV/𝑐corvc 31821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-ac2 9878
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-ac 9531  df-top 21502  df-cld 21627  df-siga 31476  df-sigagen 31506  df-mbfm 31617  df-orvc 31822
This theorem is referenced by:  orrvccel  31832
  Copyright terms: Public domain W3C validator