Theorem smoiso2 8384

Description: The strictly monotone ordinal functions are also isomorphisms of subclasses of On equipped with the membership relation. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
smoiso2	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ On) → ((𝐹:𝐴–onto→𝐵 ∧ Smo 𝐹) ↔ 𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵)))

Proof of Theorem smoiso2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fof 6801	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		smo11 8379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹) → 𝐹:𝐴–1-1→𝐵)
3	1, 2	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴–onto→𝐵 ∧ Smo 𝐹) → 𝐹:𝐴–1-1→𝐵)
4		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴–onto→𝐵 ∧ Smo 𝐹) → 𝐹:𝐴–onto→𝐵)
5		df-f1o 6550	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵))
6	3, 4, 5	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴–onto→𝐵 ∧ Smo 𝐹) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
7	6	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ On) ∧ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 ∧ Smo 𝐹)) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
8		fofn 6803	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
9		smoord 8380	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹‘𝑦)))
10		epel 5554	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 E 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦)
11		fvex 6903	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘𝑦) ∈ V
12	11	epeli 5553	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑥) E (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹‘𝑦))
13	9, 10, 12	3bitr4g 317	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑥 E 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑥) E (𝐹‘𝑦)))
14	13	ralrimivva 3205	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 E 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑥) E (𝐹‘𝑦)))
15	8, 14	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴–onto→𝐵 ∧ Smo 𝐹) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 E 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑥) E (𝐹‘𝑦)))
16	15	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ On) ∧ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 ∧ Smo 𝐹)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 E 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑥) E (𝐹‘𝑦)))
17		df-isom 6552	. . . 4 ⊢ (𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ↔ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 E 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑥) E (𝐹‘𝑦))))
18	7, 16, 17	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ On) ∧ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 ∧ Smo 𝐹)) → 𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵))
19	18	ex 418	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ On) → ((𝐹:𝐴–onto→𝐵 ∧ Smo 𝐹) → 𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵)))
20		isof1o 7335	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
21		f1ofo 6837	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝐴–onto→𝐵)
22	20, 21	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → 𝐹:𝐴–onto→𝐵)
23	22	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ On) → 𝐹:𝐴–onto→𝐵)
24		smoiso 8377	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ On) → Smo 𝐹)
25	23, 24	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ On) → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 ∧ Smo 𝐹))
26	25	3expib 1140	. . 3 ⊢ (𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ On) → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 ∧ Smo 𝐹)))
27	26	com12 33	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ On) → (𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 ∧ Smo 𝐹)))
28	19, 27	impbid 215	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ On) → ((𝐹:𝐴–onto→𝐵 ∧ Smo 𝐹) ↔ 𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ⊆ wss 3896   class class class wbr 5102   E cep 5550  Ord word 6364  Oncon0 6365   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  –1-1→wf1 6540  –onto→wfo 6541  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543   Isom wiso 6544  Smo wsmo 8360

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-ord 6368  df-on 6369  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-smo 8361

This theorem is used by:  oismo  9541  cofsmo  10354