Theorem smoiso2 8362

Description: The strictly monotone ordinal functions are also isomorphisms of subclasses of On equipped with the membership relation. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
smoiso2	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ On) → ((𝐹:𝐴–onto→𝐵 ∧ Smo 𝐹) ↔ 𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵)))

Proof of Theorem smoiso2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fof 6796	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		smo11 8357	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹) → 𝐹:𝐴–1-1→𝐵)
3	1, 2	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴–onto→𝐵 ∧ Smo 𝐹) → 𝐹:𝐴–1-1→𝐵)
4		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴–onto→𝐵 ∧ Smo 𝐹) → 𝐹:𝐴–onto→𝐵)
5		df-f1o 6547	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵))
6	3, 4, 5	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴–onto→𝐵 ∧ Smo 𝐹) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
7	6	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ On) ∧ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 ∧ Smo 𝐹)) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
8		fofn 6798	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
9		smoord 8358	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹‘𝑦)))
10		epel 5566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 E 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦)
11		fvex 6898	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘𝑦) ∈ V
12	11	epeli 5565	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑥) E (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹‘𝑦))
13	9, 10, 12	3bitr4g 317	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑥 E 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑥) E (𝐹‘𝑦)))
14	13	ralrimivva 3210	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 E 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑥) E (𝐹‘𝑦)))
15	8, 14	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴–onto→𝐵 ∧ Smo 𝐹) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 E 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑥) E (𝐹‘𝑦)))
16	15	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ On) ∧ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 ∧ Smo 𝐹)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 E 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑥) E (𝐹‘𝑦)))
17		df-isom 6549	. . . 4 ⊢ (𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ↔ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 E 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑥) E (𝐹‘𝑦))))
18	7, 16, 17	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ On) ∧ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 ∧ Smo 𝐹)) → 𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵))
19	18	ex 418	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ On) → ((𝐹:𝐴–onto→𝐵 ∧ Smo 𝐹) → 𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵)))
20		isof1o 7330	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
21		f1ofo 6832	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝐴–onto→𝐵)
22	20, 21	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → 𝐹:𝐴–onto→𝐵)
23	22	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ On) → 𝐹:𝐴–onto→𝐵)
24		smoiso 8355	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ On) → Smo 𝐹)
25	23, 24	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ On) → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 ∧ Smo 𝐹))
26	25	3expib 1140	. . 3 ⊢ (𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ On) → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 ∧ Smo 𝐹)))
27	26	com12 33	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ On) → (𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 ∧ Smo 𝐹)))
28	19, 27	impbid 215	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ On) → ((𝐹:𝐴–onto→𝐵 ∧ Smo 𝐹) ↔ 𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111   E cep 5562  Ord word 6363  Oncon0 6364   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  –1-1→wf1 6537  –onto→wfo 6538  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540   Isom wiso 6541  Smo wsmo 8338

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-ord 6367  df-on 6368  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-smo 8339

This theorem is used by:  oismo  9509  cofsmo  10268