MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wksonproplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wksonproplem 27492
Description: Lemma for theorems for properties of walks between two vertices, e.g., trlsonprop 27495. (Contributed by AV, 16-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wksonproplem.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wksonproplem.b (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝐴(𝑊𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(𝑂𝐺)𝐵)𝑃𝐹(𝑄𝐺)𝑃)))
wksonproplem.d 𝑊 = (𝑔 ∈ V ↦ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝑔), 𝑏 ∈ (Vtx‘𝑔) ↦ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝑎(𝑂𝑔)𝑏)𝑝𝑓(𝑄𝑔)𝑝)}))
wksonproplem.w (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝑓(𝑄𝐺)𝑝) → 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝)
Assertion
Ref Expression
wksonproplem (𝐹(𝐴(𝑊𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(𝑂𝐺)𝐵)𝑃𝐹(𝑄𝐺)𝑃)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑝   𝐵,𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑝   𝐺,𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑝   𝑂,𝑎,𝑏,𝑔   𝑄,𝑎,𝑏,𝑔   𝑉,𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑓,𝑔,𝑝,𝑎,𝑏)   𝑄(𝑓,𝑝)   𝐹(𝑓,𝑔,𝑝,𝑎,𝑏)   𝑂(𝑓,𝑝)   𝑊(𝑓,𝑔,𝑝,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem wksonproplem
StepHypRef Expression
1 wksonproplem.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21fvexi 6673 . . . . 5 𝑉 ∈ V
3 wksonproplem.d . . . . . 6 𝑊 = (𝑔 ∈ V ↦ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝑔), 𝑏 ∈ (Vtx‘𝑔) ↦ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝑎(𝑂𝑔)𝑏)𝑝𝑓(𝑄𝑔)𝑝)}))
4 simp1 1133 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐺 ∈ V)
5 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐴𝑉)
65, 1eleqtrdi 2926 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
7 simp3 1135 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐵𝑉)
87, 1eleqtrdi 2926 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))
9 wksv 27407 . . . . . . . 8 {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝} ∈ V
109a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝} ∈ V)
11 wksonproplem.w . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝑓(𝑄𝐺)𝑝) → 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝)
124, 6, 8, 10, 11, 3mptmpoopabovd 7771 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴(𝑊𝐺)𝐵) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝐴(𝑂𝐺)𝐵)𝑝𝑓(𝑄𝐺)𝑝)})
13 fveq2 6659 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝐺))
1413, 1syl6eqr 2877 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → (Vtx‘𝑔) = 𝑉)
15 fveq2 6659 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝐺 → (𝑂𝑔) = (𝑂𝐺))
1615oveqd 7163 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 → (𝑎(𝑂𝑔)𝑏) = (𝑎(𝑂𝐺)𝑏))
1716breqd 5064 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (𝑓(𝑎(𝑂𝑔)𝑏)𝑝𝑓(𝑎(𝑂𝐺)𝑏)𝑝))
18 fveq2 6659 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 → (𝑄𝑔) = (𝑄𝐺))
1918breqd 5064 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (𝑓(𝑄𝑔)𝑝𝑓(𝑄𝐺)𝑝))
2017, 19anbi12d 633 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → ((𝑓(𝑎(𝑂𝑔)𝑏)𝑝𝑓(𝑄𝑔)𝑝) ↔ (𝑓(𝑎(𝑂𝐺)𝑏)𝑝𝑓(𝑄𝐺)𝑝)))
213, 12, 14, 14, 20bropfvvvv 7779 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝐹(𝐴(𝑊𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))))
222, 2, 21mp2an 691 . . . 4 (𝐹(𝐴(𝑊𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
23 3anass 1092 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉)))
2423anbi1i 626 . . . . 5 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ↔ ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
25 df-3an 1086 . . . . 5 ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ↔ ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
2624, 25bitr4i 281 . . . 4 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
2722, 26sylibr 237 . . 3 (𝐹(𝐴(𝑊𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
28 wksonproplem.b . . . . 5 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝐴(𝑊𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(𝑂𝐺)𝐵)𝑃𝐹(𝑄𝐺)𝑃)))
2928biimpd 232 . . . 4 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝐴(𝑊𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐹(𝐴(𝑂𝐺)𝐵)𝑃𝐹(𝑄𝐺)𝑃)))
3029imdistani 572 . . 3 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑊𝐺)𝐵)𝑃) → (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝐴(𝑂𝐺)𝐵)𝑃𝐹(𝑄𝐺)𝑃)))
3127, 30mpancom 687 . 2 (𝐹(𝐴(𝑊𝐺)𝐵)𝑃 → (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝐴(𝑂𝐺)𝐵)𝑃𝐹(𝑄𝐺)𝑃)))
32 df-3an 1086 . 2 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(𝑂𝐺)𝐵)𝑃𝐹(𝑄𝐺)𝑃)) ↔ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝐴(𝑂𝐺)𝐵)𝑃𝐹(𝑄𝐺)𝑃)))
3331, 32sylibr 237 1 (𝐹(𝐴(𝑊𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(𝑂𝐺)𝐵)𝑃𝐹(𝑄𝐺)𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3480   class class class wbr 5053  {copab 5115  cmpt 5133  cfv 6344  (class class class)co 7146  cmpo 7148  Vtxcvtx 26787  Walkscwlks 27384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-card 9361  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-hash 13694  df-word 13865  df-wlks 27387
This theorem is referenced by:  trlsonprop  27495  pthsonprop  27531  spthonprop  27532
  Copyright terms: Public domain W3C validator