MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wksonproplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wksonproplem 29557
Description: Lemma for theorems for properties of walks between two vertices, e.g., trlsonprop 29561. (Contributed by AV, 16-Jan-2021.) Remove is-walk hypothesis. (Revised by SN, 13-Dec-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
wksonproplem.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wksonproplem.b (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝐎(𝑊‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐎(𝑂‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(𝑄‘𝐺)𝑃)))
wksonproplem.d 𝑊 = (𝑔 ∈ V ↩ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝑔), 𝑏 ∈ (Vtx‘𝑔) ↩ {⟚𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝑎(𝑂‘𝑔)𝑏)𝑝 ∧ 𝑓(𝑄‘𝑔)𝑝)}))
Assertion
Ref Expression
wksonproplem (𝐹(𝐎(𝑊‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐎(𝑂‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(𝑄‘𝐺)𝑃)))
Distinct variable groups:   𝐎,𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑝   𝐵,𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑝   𝐺,𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑝   𝑂,𝑎,𝑏,𝑔   𝑄,𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑝   𝑉,𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑓,𝑔,𝑝,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑓,𝑔,𝑝,𝑎,𝑏)   𝑂(𝑓,𝑝)   𝑊(𝑓,𝑔,𝑝,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem wksonproplem
StepHypRef Expression
1 wksonproplem.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21fvexi 6904 . . . . 5 𝑉 ∈ V
3 wksonproplem.d . . . . . 6 𝑊 = (𝑔 ∈ V ↩ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝑔), 𝑏 ∈ (Vtx‘𝑔) ↩ {⟚𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝑎(𝑂‘𝑔)𝑏)𝑝 ∧ 𝑓(𝑄‘𝑔)𝑝)}))
4 simp1 1133 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ V)
5 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐎 ∈ 𝑉)
65, 1eleqtrdi 2835 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐎 ∈ (Vtx‘𝐺))
7 simp3 1135 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
87, 1eleqtrdi 2835 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))
94, 6, 8, 3mptmpoopabovd 8080 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐎(𝑊‘𝐺)𝐵) = {⟚𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝐎(𝑂‘𝐺)𝐵)𝑝 ∧ 𝑓(𝑄‘𝐺)𝑝)})
10 fveq2 6890 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝐺))
1110, 1eqtr4di 2783 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → (Vtx‘𝑔) = 𝑉)
12 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝐺 → (𝑂‘𝑔) = (𝑂‘𝐺))
1312oveqd 7430 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 → (𝑎(𝑂‘𝑔)𝑏) = (𝑎(𝑂‘𝐺)𝑏))
1413breqd 5155 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (𝑓(𝑎(𝑂‘𝑔)𝑏)𝑝 ↔ 𝑓(𝑎(𝑂‘𝐺)𝑏)𝑝))
15 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 → (𝑄‘𝑔) = (𝑄‘𝐺))
1615breqd 5155 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (𝑓(𝑄‘𝑔)𝑝 ↔ 𝑓(𝑄‘𝐺)𝑝))
1714, 16anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → ((𝑓(𝑎(𝑂‘𝑔)𝑏)𝑝 ∧ 𝑓(𝑄‘𝑔)𝑝) ↔ (𝑓(𝑎(𝑂‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ 𝑓(𝑄‘𝐺)𝑝)))
183, 9, 11, 11, 17bropfvvvv 8090 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝐹(𝐎(𝑊‘𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ (𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))))
192, 2, 18mp2an 690 . . . 4 (𝐹(𝐎(𝑊‘𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ (𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
20 3anass 1092 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)))
2120anbi1i 622 . . . . 5 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ↔ ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
22 df-3an 1086 . . . . 5 ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ↔ ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
2321, 22bitr4i 277 . . . 4 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
2419, 23sylibr 233 . . 3 (𝐹(𝐎(𝑊‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
25 wksonproplem.b . . . . 5 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝐎(𝑊‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐎(𝑂‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(𝑄‘𝐺)𝑃)))
2625biimpd 228 . . . 4 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝐎(𝑊‘𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐹(𝐎(𝑂‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(𝑄‘𝐺)𝑃)))
2726imdistani 567 . . 3 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ 𝐹(𝐎(𝑊‘𝐺)𝐵)𝑃) → (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝐎(𝑂‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(𝑄‘𝐺)𝑃)))
2824, 27mpancom 686 . 2 (𝐹(𝐎(𝑊‘𝐺)𝐵)𝑃 → (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝐎(𝑂‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(𝑄‘𝐺)𝑃)))
29 df-3an 1086 . 2 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐎(𝑂‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(𝑄‘𝐺)𝑃)) ↔ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝐎(𝑂‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(𝑄‘𝐺)𝑃)))
3028, 29sylibr 233 1 (𝐹(𝐎(𝑊‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐎(𝑂‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(𝑄‘𝐺)𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   class class class wbr 5144  {copab 5206   ↩ cmpt 5227  â€˜cfv 6543  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  Vtxcvtx 28848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7987  df-2nd 7988
This theorem is referenced by:  trlsonprop  29561  pthsonprop  29597  spthonprop  29598
  Copyright terms: Public domain W3C validator