MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wksonproplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wksonproplem 29737
Description: Lemma for theorems for properties of walks between two vertices, e.g., trlsonprop 29741. (Contributed by AV, 16-Jan-2021.) Remove is-walk hypothesis. (Revised by SN, 13-Dec-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
wksonproplem.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wksonproplem.b (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝐴(𝑊𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(𝑂𝐺)𝐵)𝑃𝐹(𝑄𝐺)𝑃)))
wksonproplem.d 𝑊 = (𝑔 ∈ V ↦ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝑔), 𝑏 ∈ (Vtx‘𝑔) ↦ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝑎(𝑂𝑔)𝑏)𝑝𝑓(𝑄𝑔)𝑝)}))
Assertion
Ref Expression
wksonproplem (𝐹(𝐴(𝑊𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(𝑂𝐺)𝐵)𝑃𝐹(𝑄𝐺)𝑃)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑝   𝐵,𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑝   𝐺,𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑝   𝑂,𝑎,𝑏,𝑔   𝑄,𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑝   𝑉,𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑓,𝑔,𝑝,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑓,𝑔,𝑝,𝑎,𝑏)   𝑂(𝑓,𝑝)   𝑊(𝑓,𝑔,𝑝,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem wksonproplem
StepHypRef Expression
1 wksonproplem.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21fvexi 6921 . . . . 5 𝑉 ∈ V
3 wksonproplem.d . . . . . 6 𝑊 = (𝑔 ∈ V ↦ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝑔), 𝑏 ∈ (Vtx‘𝑔) ↦ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝑎(𝑂𝑔)𝑏)𝑝𝑓(𝑄𝑔)𝑝)}))
4 simp1 1135 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐺 ∈ V)
5 simp2 1136 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐴𝑉)
65, 1eleqtrdi 2849 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
7 simp3 1137 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐵𝑉)
87, 1eleqtrdi 2849 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))
94, 6, 8, 3mptmpoopabovd 8106 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴(𝑊𝐺)𝐵) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝐴(𝑂𝐺)𝐵)𝑝𝑓(𝑄𝐺)𝑝)})
10 fveq2 6907 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝐺))
1110, 1eqtr4di 2793 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → (Vtx‘𝑔) = 𝑉)
12 fveq2 6907 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝐺 → (𝑂𝑔) = (𝑂𝐺))
1312oveqd 7448 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 → (𝑎(𝑂𝑔)𝑏) = (𝑎(𝑂𝐺)𝑏))
1413breqd 5159 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (𝑓(𝑎(𝑂𝑔)𝑏)𝑝𝑓(𝑎(𝑂𝐺)𝑏)𝑝))
15 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 → (𝑄𝑔) = (𝑄𝐺))
1615breqd 5159 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (𝑓(𝑄𝑔)𝑝𝑓(𝑄𝐺)𝑝))
1714, 16anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → ((𝑓(𝑎(𝑂𝑔)𝑏)𝑝𝑓(𝑄𝑔)𝑝) ↔ (𝑓(𝑎(𝑂𝐺)𝑏)𝑝𝑓(𝑄𝐺)𝑝)))
183, 9, 11, 11, 17bropfvvvv 8116 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝐹(𝐴(𝑊𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))))
192, 2, 18mp2an 692 . . . 4 (𝐹(𝐴(𝑊𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
20 3anass 1094 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉)))
2120anbi1i 624 . . . . 5 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ↔ ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
22 df-3an 1088 . . . . 5 ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ↔ ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
2321, 22bitr4i 278 . . . 4 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
2419, 23sylibr 234 . . 3 (𝐹(𝐴(𝑊𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
25 wksonproplem.b . . . . 5 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝐴(𝑊𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(𝑂𝐺)𝐵)𝑃𝐹(𝑄𝐺)𝑃)))
2625biimpd 229 . . . 4 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝐴(𝑊𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐹(𝐴(𝑂𝐺)𝐵)𝑃𝐹(𝑄𝐺)𝑃)))
2726imdistani 568 . . 3 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑊𝐺)𝐵)𝑃) → (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝐴(𝑂𝐺)𝐵)𝑃𝐹(𝑄𝐺)𝑃)))
2824, 27mpancom 688 . 2 (𝐹(𝐴(𝑊𝐺)𝐵)𝑃 → (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝐴(𝑂𝐺)𝐵)𝑃𝐹(𝑄𝐺)𝑃)))
29 df-3an 1088 . 2 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(𝑂𝐺)𝐵)𝑃𝐹(𝑄𝐺)𝑃)) ↔ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝐴(𝑂𝐺)𝐵)𝑃𝐹(𝑄𝐺)𝑃)))
3028, 29sylibr 234 1 (𝐹(𝐴(𝑊𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(𝑂𝐺)𝐵)𝑃𝐹(𝑄𝐺)𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  {copab 5210  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  Vtxcvtx 29028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014
This theorem is referenced by:  trlsonprop  29741  pthsonprop  29777  spthonprop  29778
  Copyright terms: Public domain W3C validator