Theorem wksonproplem 29794

Description: Lemma for theorems for properties of walks between two vertices, e.g., trlsonprop 29797. (Contributed by AV, 16-Jan-2021.) Remove is-walk hypothesis. (Revised by SN, 13-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
wksonproplem.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wksonproplem.b	⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝐴(𝑊‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(𝑂‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(𝑄‘𝐺)𝑃)))
wksonproplem.d	⊢ 𝑊 = (𝑔 ∈ V ↦ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝑔), 𝑏 ∈ (Vtx‘𝑔) ↦ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝑎(𝑂‘𝑔)𝑏)𝑝 ∧ 𝑓(𝑄‘𝑔)𝑝)}))

Assertion

Ref	Expression
wksonproplem	⊢ (𝐹(𝐴(𝑊‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(𝑂‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(𝑄‘𝐺)𝑃)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑝   𝐵,𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑝   𝐺,𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑝   𝑂,𝑎,𝑏,𝑔   𝑄,𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑝   𝑉,𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑓,𝑔,𝑝,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑓,𝑔,𝑝,𝑎,𝑏)   𝑂(𝑓,𝑝)   𝑊(𝑓,𝑔,𝑝,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem wksonproplem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wksonproplem.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	fvexi 6858	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
3		wksonproplem.d	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = (𝑔 ∈ V ↦ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝑔), 𝑏 ∈ (Vtx‘𝑔) ↦ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝑎(𝑂‘𝑔)𝑏)𝑝 ∧ 𝑓(𝑄‘𝑔)𝑝)}))
4		simp1 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ V)
5		simp2 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
6	5, 1	eleqtrdi 2847	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
7		simp3 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
8	7, 1	eleqtrdi 2847	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))
9	4, 6, 8, 3	mptmpoopabovd 8038	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴(𝑊‘𝐺)𝐵) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝐴(𝑂‘𝐺)𝐵)𝑝 ∧ 𝑓(𝑄‘𝐺)𝑝)})
10		fveq2 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝐺))
11	10, 1	eqtr4di 2790	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Vtx‘𝑔) = 𝑉)
12		fveq2 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑂‘𝑔) = (𝑂‘𝐺))
13	12	oveqd 7387	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑎(𝑂‘𝑔)𝑏) = (𝑎(𝑂‘𝐺)𝑏))
14	13	breqd 5111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑓(𝑎(𝑂‘𝑔)𝑏)𝑝 ↔ 𝑓(𝑎(𝑂‘𝐺)𝑏)𝑝))
15		fveq2 6844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑄‘𝑔) = (𝑄‘𝐺))
16	15	breqd 5111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑓(𝑄‘𝑔)𝑝 ↔ 𝑓(𝑄‘𝐺)𝑝))
17	14, 16	anbi12d 633	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑓(𝑎(𝑂‘𝑔)𝑏)𝑝 ∧ 𝑓(𝑄‘𝑔)𝑝) ↔ (𝑓(𝑎(𝑂‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ 𝑓(𝑄‘𝐺)𝑝)))
18	3, 9, 11, 11, 17	bropfvvvv 8046	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝐹(𝐴(𝑊‘𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))))
19	2, 2, 18	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐴(𝑊‘𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
20		3anass 1095	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)))
21	20	anbi1i 625	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ↔ ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
22		df-3an 1089	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ↔ ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
23	21, 22	bitr4i 278	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
24	19, 23	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐴(𝑊‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
25		wksonproplem.b	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝐴(𝑊‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(𝑂‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(𝑄‘𝐺)𝑃)))
26	25	biimpd 229	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝐴(𝑊‘𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐹(𝐴(𝑂‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(𝑄‘𝐺)𝑃)))
27	26	imdistani 568	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑊‘𝐺)𝐵)𝑃) → (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝐴(𝑂‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(𝑄‘𝐺)𝑃)))
28	24, 27	mpancom 689	. 2 ⊢ (𝐹(𝐴(𝑊‘𝐺)𝐵)𝑃 → (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝐴(𝑂‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(𝑄‘𝐺)𝑃)))
29		df-3an 1089	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(𝑂‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(𝑄‘𝐺)𝑃)) ↔ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝐴(𝑂‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(𝑄‘𝐺)𝑃)))
30	28, 29	sylibr 234	1 ⊢ (𝐹(𝐴(𝑊‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(𝑂‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(𝑄‘𝐺)𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   class class class wbr 5100  {copab 5162   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370   ∈ cmpo 7372  Vtxcvtx 29087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-1st 7945  df-2nd 7946

This theorem is referenced by:  trlsonprop  29797  pthsonprop  29835  spthonprop  29836