Theorem wksonproplem 28951

Description: Lemma for theorems for properties of walks between two vertices, e.g., trlsonprop 28955. (Contributed by AV, 16-Jan-2021.) Remove is-walk hypothesis. (Revised by SN, 13-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
wksonproplem.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wksonproplem.b	⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝐴(𝑊‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(𝑂‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(𝑄‘𝐺)𝑃)))
wksonproplem.d	⊢ 𝑊 = (𝑔 ∈ V ↦ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝑔), 𝑏 ∈ (Vtx‘𝑔) ↦ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝑎(𝑂‘𝑔)𝑏)𝑝 ∧ 𝑓(𝑄‘𝑔)𝑝)}))

Assertion

Ref	Expression
wksonproplem	⊢ (𝐹(𝐴(𝑊‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(𝑂‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(𝑄‘𝐺)𝑃)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑝   𝐵,𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑝   𝐺,𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑝   𝑂,𝑎,𝑏,𝑔   𝑄,𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑝   𝑉,𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑓,𝑔,𝑝,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑓,𝑔,𝑝,𝑎,𝑏)   𝑂(𝑓,𝑝)   𝑊(𝑓,𝑔,𝑝,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem wksonproplem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wksonproplem.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	fvexi 6903	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
3		wksonproplem.d	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = (𝑔 ∈ V ↦ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝑔), 𝑏 ∈ (Vtx‘𝑔) ↦ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝑎(𝑂‘𝑔)𝑏)𝑝 ∧ 𝑓(𝑄‘𝑔)𝑝)}))
4		simp1 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ V)
5		simp2 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
6	5, 1	eleqtrdi 2844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
7		simp3 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
8	7, 1	eleqtrdi 2844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))
9	4, 6, 8, 3	mptmpoopabovd 8065	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴(𝑊‘𝐺)𝐵) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝐴(𝑂‘𝐺)𝐵)𝑝 ∧ 𝑓(𝑄‘𝐺)𝑝)})
10		fveq2 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝐺))
11	10, 1	eqtr4di 2791	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Vtx‘𝑔) = 𝑉)
12		fveq2 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑂‘𝑔) = (𝑂‘𝐺))
13	12	oveqd 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑎(𝑂‘𝑔)𝑏) = (𝑎(𝑂‘𝐺)𝑏))
14	13	breqd 5159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑓(𝑎(𝑂‘𝑔)𝑏)𝑝 ↔ 𝑓(𝑎(𝑂‘𝐺)𝑏)𝑝))
15		fveq2 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑄‘𝑔) = (𝑄‘𝐺))
16	15	breqd 5159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑓(𝑄‘𝑔)𝑝 ↔ 𝑓(𝑄‘𝐺)𝑝))
17	14, 16	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑓(𝑎(𝑂‘𝑔)𝑏)𝑝 ∧ 𝑓(𝑄‘𝑔)𝑝) ↔ (𝑓(𝑎(𝑂‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ 𝑓(𝑄‘𝐺)𝑝)))
18	3, 9, 11, 11, 17	bropfvvvv 8075	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝐹(𝐴(𝑊‘𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))))
19	2, 2, 18	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐴(𝑊‘𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
20		3anass 1096	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)))
21	20	anbi1i 625	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ↔ ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
22		df-3an 1090	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ↔ ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
23	21, 22	bitr4i 278	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
24	19, 23	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐴(𝑊‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
25		wksonproplem.b	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝐴(𝑊‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(𝑂‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(𝑄‘𝐺)𝑃)))
26	25	biimpd 228	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝐴(𝑊‘𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐹(𝐴(𝑂‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(𝑄‘𝐺)𝑃)))
27	26	imdistani 570	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑊‘𝐺)𝐵)𝑃) → (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝐴(𝑂‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(𝑄‘𝐺)𝑃)))
28	24, 27	mpancom 687	. 2 ⊢ (𝐹(𝐴(𝑊‘𝐺)𝐵)𝑃 → (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝐴(𝑂‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(𝑄‘𝐺)𝑃)))
29		df-3an 1090	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(𝑂‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(𝑄‘𝐺)𝑃)) ↔ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝐴(𝑂‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(𝑄‘𝐺)𝑃)))
30	28, 29	sylibr 233	1 ⊢ (𝐹(𝐴(𝑊‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(𝑂‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(𝑄‘𝐺)𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   class class class wbr 5148  {copab 5210   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406   ∈ cmpo 7408  Vtxcvtx 28246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-1st 7972  df-2nd 7973

This theorem is referenced by:  trlsonprop  28955  pthsonprop  28991  spthonprop  28992