Theorem spthonepeq 30217

Description: The endpoints of a simple path between two vertices are equal iff the path is of length 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Mar-2018.) (Revised by AV, 18-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 31-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
spthonepeq	⊢ (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0))

Proof of Theorem spthonepeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	spthonprop 30210	. 2 ⊢ (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
3	1	istrlson 30168	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
4	3	3adantl1 1185	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
5		isspth 30186	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃)))
7	4, 6	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → ((𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) ↔ ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) ∧ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))))
8	1	wlkonprop 30116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
9		wlkcl 30075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
10	1	wlkp 30076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
11		df-f1 6538	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ↔ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun ◡𝑃))
12		eqeq2 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝑃‘0) = 𝐴 ↔ (𝑃‘0) = 𝐵))
13		eqtr3 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 ∧ (𝑃‘0) = 𝐵) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0))
14		elnn0uz 12928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘0))
15		eluzfz2 13586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘0) → (♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
16	14, 15	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
17		0elfz 13679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
18	16, 17	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹))))
19		f1veqaeq 7253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))) → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0) → (♯‘𝐹) = 0))
20	18, 19	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0) → (♯‘𝐹) = 0))
21	20	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0) → (♯‘𝐹) = 0)))
22	21	com13 89	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐹) = 0)))
23	13, 22	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 ∧ (𝑃‘0) = 𝐵) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐹) = 0)))
24	23	expcom 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃‘0) = 𝐵 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐹) = 0))))
25	12, 24	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐹) = 0)))))
26	25	com15 102	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) → ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘𝐹) = 0)))))
27	11, 26	sylbir 238	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun ◡𝑃) → ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘𝐹) = 0)))))
28	27	expcom 419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Fun ◡𝑃 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘𝐹) = 0))))))
29	28	com15 102	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 → (Fun ◡𝑃 → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘𝐹) = 0))))))
30	9, 10, 29	sylc 66	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 → (Fun ◡𝑃 → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘𝐹) = 0)))))
31	30	3imp1 1366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) ∧ Fun ◡𝑃) → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘𝐹) = 0))
32		fveqeq2 6887	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝐹) = 0 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 ↔ (𝑃‘0) = 𝐵))
33	32	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝐹) = 0 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) ↔ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘0) = 𝐵)))
34		eqtr2 2781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘0) = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
35	33, 34	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐹) = 0 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
36	35	com12 33	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((♯‘𝐹) = 0 → 𝐴 = 𝐵))
37	36	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((♯‘𝐹) = 0 → 𝐴 = 𝐵))
38	37	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) ∧ Fun ◡𝑃) → ((♯‘𝐹) = 0 → 𝐴 = 𝐵))
39	31, 38	impbid 215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) ∧ Fun ◡𝑃) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0))
40	39	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (Fun ◡𝑃 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0)))
41	40	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → (Fun ◡𝑃 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0)))
42	8, 41	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (Fun ◡𝑃 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0)))
43	42	adantld 496	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0)))
44	43	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0)))
45	44	imp 412	. . . 4 ⊢ (((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) ∧ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0))
46	7, 45	biimtrdi 256	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → ((𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0)))
47	46	3impia 1135	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0))
48	2, 47	syl 18	1 ⊢ (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   class class class wbr 5103  ^◡ccnv 5654  Fun wfun 6527  ⟶wf 6529  –1-1→wf1 6530  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  0cc0 11124  ℕ₀cn0 12528  ℤ_≥cuz 12887  ...cfz 13561  ♯chash 14394  Vtxcvtx 29453  Walkscwlks 30056  WalksOncwlkson 30057  Trailsctrls 30152  TrailsOnctrlson 30153  SPathscspths 30175  SPathsOncspthson 30177

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-hash 14395  df-word 14579  df-wlks 30059  df-wlkson 30060  df-trls 30154  df-trlson 30155  df-spths 30179  df-spthson 30181

This theorem is used by:  wspthsnonn0vne  30385