MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  spthonepeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spthonepeq 27517
Description: The endpoints of a simple path between two vertices are equal iff the path is of length 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Mar-2018.) (Revised by AV, 18-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 31-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
spthonepeq (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0))

Proof of Theorem spthonepeq
StepHypRef Expression
1 eqid 2820 . . 3 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
21spthonprop 27510 . 2 (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
31istrlson 27472 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
433adantl1 1162 . . . . 5 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
5 isspth 27489 . . . . . 6 (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃))
65a1i 11 . . . . 5 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃)))
74, 6anbi12d 632 . . . 4 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → ((𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) ↔ ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) ∧ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃))))
81wlkonprop 27424 . . . . . . . 8 (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
9 wlkcl 27381 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
101wlkp 27382 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
11 df-f1 6334 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ↔ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun 𝑃))
12 eqeq2 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 = 𝐵 → ((𝑃‘0) = 𝐴 ↔ (𝑃‘0) = 𝐵))
13 eqtr3 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 ∧ (𝑃‘0) = 𝐵) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0))
14 elnn0uz 12260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐹) ∈ (ℤ‘0))
15 eluzfz2 12897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ‘0) → (♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
1614, 15sylbi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
17 0elfz 12986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
1816, 17jca 514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹))))
19 f1veqaeq 6990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))) → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0) → (♯‘𝐹) = 0))
2018, 19sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0) → (♯‘𝐹) = 0))
2120ex 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0) → (♯‘𝐹) = 0)))
2221com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐹) = 0)))
2313, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 ∧ (𝑃‘0) = 𝐵) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐹) = 0)))
2423expcom 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃‘0) = 𝐵 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐹) = 0))))
2512, 24syl6bi 255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 = 𝐵 → ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐹) = 0)))))
2625com15 101 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) → ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘𝐹) = 0)))))
2711, 26sylbir 237 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun 𝑃) → ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘𝐹) = 0)))))
2827expcom 416 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun 𝑃 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘𝐹) = 0))))))
2928com15 101 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 → (Fun 𝑃 → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘𝐹) = 0))))))
309, 10, 29sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 → (Fun 𝑃 → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘𝐹) = 0)))))
31303imp1 1343 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) ∧ Fun 𝑃) → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘𝐹) = 0))
32 fveqeq2 6653 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝐹) = 0 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 ↔ (𝑃‘0) = 𝐵))
3332anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝐹) = 0 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) ↔ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘0) = 𝐵)))
34 eqtr2 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘0) = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
3533, 34syl6bi 255 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝐹) = 0 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
3635com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((♯‘𝐹) = 0 → 𝐴 = 𝐵))
37363adant1 1126 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((♯‘𝐹) = 0 → 𝐴 = 𝐵))
3837adantr 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) ∧ Fun 𝑃) → ((♯‘𝐹) = 0 → 𝐴 = 𝐵))
3931, 38impbid 214 . . . . . . . . . 10 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) ∧ Fun 𝑃) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0))
4039ex 415 . . . . . . . . 9 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (Fun 𝑃 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0)))
41403ad2ant3 1131 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → (Fun 𝑃 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0)))
428, 41syl 17 . . . . . . 7 (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (Fun 𝑃 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0)))
4342adantld 493 . . . . . 6 (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0)))
4443adantr 483 . . . . 5 ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0)))
4544imp 409 . . . 4 (((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) ∧ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0))
467, 45syl6bi 255 . . 3 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → ((𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0)))
47463impia 1113 . 2 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0))
482, 47syl 17 1 (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1537  wcel 2114  Vcvv 3473   class class class wbr 5040  ccnv 5528  Fun wfun 6323  wf 6325  1-1wf1 6326  cfv 6329  (class class class)co 7131  0cc0 10513  0cn0 11874  cuz 12220  ...cfz 12874  chash 13673  Vtxcvtx 26765  Walkscwlks 27362  WalksOncwlkson 27363  Trailsctrls 27456  TrailsOnctrlson 27457  SPathscspths 27478  SPathsOncspthson 27480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5240  ax-pr 5304  ax-un 7437  ax-cnex 10569  ax-resscn 10570  ax-1cn 10571  ax-icn 10572  ax-addcl 10573  ax-addrcl 10574  ax-mulcl 10575  ax-mulrcl 10576  ax-mulcom 10577  ax-addass 10578  ax-mulass 10579  ax-distr 10580  ax-i2m1 10581  ax-1ne0 10582  ax-1rid 10583  ax-rnegex 10584  ax-rrecex 10585  ax-cnre 10586  ax-pre-lttri 10587  ax-pre-lttrn 10588  ax-pre-ltadd 10589  ax-pre-mulgt0 10590
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-ifp 1058  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4268  df-if 4442  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4813  df-int 4851  df-iun 4895  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6122  df-ord 6168  df-on 6169  df-lim 6170  df-suc 6171  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-riota 7089  df-ov 7134  df-oprab 7135  df-mpo 7136  df-om 7557  df-1st 7665  df-2nd 7666  df-wrecs 7923  df-recs 7984  df-rdg 8022  df-1o 8078  df-oadd 8082  df-er 8265  df-map 8384  df-en 8486  df-dom 8487  df-sdom 8488  df-fin 8489  df-card 9344  df-pnf 10653  df-mnf 10654  df-xr 10655  df-ltxr 10656  df-le 10657  df-sub 10848  df-neg 10849  df-nn 11615  df-n0 11875  df-z 11959  df-uz 12221  df-fz 12875  df-fzo 13016  df-hash 13674  df-word 13845  df-wlks 27365  df-wlkson 27366  df-trls 27458  df-trlson 27459  df-pths 27481  df-spths 27482  df-spthson 27484
This theorem is referenced by:  wspthsnonn0vne  27679
  Copyright terms: Public domain W3C validator