Theorem spthonepeq 30038

Description: The endpoints of a simple path between two vertices are equal iff the path is of length 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Mar-2018.) (Revised by AV, 18-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 31-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
spthonepeq	⊢ (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0))

Proof of Theorem spthonepeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	spthonprop 30031	. 2 ⊢ (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
3	1	istrlson 29991	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
4	3	3adantl1 1183	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
5		isspth 30008	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃)))
7	4, 6	anbi12d 643	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → ((𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) ↔ ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) ∧ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))))
8	1	wlkonprop 29943	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
9		wlkcl 29902	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
10	1	wlkp 29903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
11		df-f1 6539	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ↔ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun ◡𝑃))
12		eqeq2 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝑃‘0) = 𝐴 ↔ (𝑃‘0) = 𝐵))
13		eqtr3 2791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 ∧ (𝑃‘0) = 𝐵) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0))
14		elnn0uz 12899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘0))
15		eluzfz2 13556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘0) → (♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
16	14, 15	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
17		0elfz 13648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
18	16, 17	jca 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹))))
19		f1veqaeq 7252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))) → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0) → (♯‘𝐹) = 0))
20	18, 19	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0) → (♯‘𝐹) = 0))
21	20	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0) → (♯‘𝐹) = 0)))
22	21	com13 89	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐹) = 0)))
23	13, 22	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 ∧ (𝑃‘0) = 𝐵) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐹) = 0)))
24	23	expcom 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃‘0) = 𝐵 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐹) = 0))))
25	12, 24	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐹) = 0)))))
26	25	com15 102	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) → ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘𝐹) = 0)))))
27	11, 26	sylbir 238	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun ◡𝑃) → ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘𝐹) = 0)))))
28	27	expcom 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Fun ◡𝑃 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘𝐹) = 0))))))
29	28	com15 102	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 → (Fun ◡𝑃 → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘𝐹) = 0))))))
30	9, 10, 29	sylc 66	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 → (Fun ◡𝑃 → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘𝐹) = 0)))))
31	30	3imp1 1364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) ∧ Fun ◡𝑃) → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘𝐹) = 0))
32		fveqeq2 6888	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝐹) = 0 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 ↔ (𝑃‘0) = 𝐵))
33	32	anbi2d 641	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝐹) = 0 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) ↔ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘0) = 𝐵)))
34		eqtr2 2790	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘0) = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
35	33, 34	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐹) = 0 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
36	35	com12 33	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((♯‘𝐹) = 0 → 𝐴 = 𝐵))
37	36	3adant1 1146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((♯‘𝐹) = 0 → 𝐴 = 𝐵))
38	37	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) ∧ Fun ◡𝑃) → ((♯‘𝐹) = 0 → 𝐴 = 𝐵))
39	31, 38	impbid 215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) ∧ Fun ◡𝑃) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0))
40	39	ex 417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (Fun ◡𝑃 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0)))
41	40	3ad2ant3 1151	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → (Fun ◡𝑃 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0)))
42	8, 41	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (Fun ◡𝑃 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0)))
43	42	adantld 495	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0)))
44	43	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0)))
45	44	imp 411	. . . 4 ⊢ (((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) ∧ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0))
46	7, 45	biimtrdi 256	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → ((𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0)))
47	46	3impia 1133	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0))
48	2, 47	syl 18	1 ⊢ (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   class class class wbr 5110  ^◡ccnv 5658  Fun wfun 6528  ⟶wf 6530  –1-1→wf1 6531  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  0cc0 11096  ℕ₀cn0 12500  ℤ_≥cuz 12858  ...cfz 13531  ♯chash 14362  Vtxcvtx 29283  Walkscwlks 29883  WalksOncwlkson 29884  Trailsctrls 29975  TrailsOnctrlson 29976  SPathscspths 29997  SPathsOncspthson 29999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1077  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-hash 14363  df-word 14547  df-wlks 29886  df-wlkson 29887  df-trls 29977  df-trlson 29978  df-spths 30001  df-spthson 30003

This theorem is referenced by:  wspthsnonn0vne  30203