MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  spthonepeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spthonepeq 28700
Description: The endpoints of a simple path between two vertices are equal iff the path is of length 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Mar-2018.) (Revised by AV, 18-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 31-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
spthonepeq (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0))

Proof of Theorem spthonepeq
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . 3 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
21spthonprop 28693 . 2 (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
31istrlson 28655 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
433adantl1 1166 . . . . 5 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
5 isspth 28672 . . . . . 6 (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃))
65a1i 11 . . . . 5 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃)))
74, 6anbi12d 631 . . . 4 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → ((𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) ↔ ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) ∧ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃))))
81wlkonprop 28606 . . . . . . . 8 (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
9 wlkcl 28563 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
101wlkp 28564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
11 df-f1 6501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ↔ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun 𝑃))
12 eqeq2 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 = 𝐵 → ((𝑃‘0) = 𝐴 ↔ (𝑃‘0) = 𝐵))
13 eqtr3 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 ∧ (𝑃‘0) = 𝐵) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0))
14 elnn0uz 12808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐹) ∈ (ℤ‘0))
15 eluzfz2 13449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ‘0) → (♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
1614, 15sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
17 0elfz 13538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
1816, 17jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹))))
19 f1veqaeq 7204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))) → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0) → (♯‘𝐹) = 0))
2018, 19sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0) → (♯‘𝐹) = 0))
2120ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0) → (♯‘𝐹) = 0)))
2221com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐹) = 0)))
2313, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 ∧ (𝑃‘0) = 𝐵) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐹) = 0)))
2423expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃‘0) = 𝐵 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐹) = 0))))
2512, 24syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 = 𝐵 → ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐹) = 0)))))
2625com15 101 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) → ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘𝐹) = 0)))))
2711, 26sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun 𝑃) → ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘𝐹) = 0)))))
2827expcom 414 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun 𝑃 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘𝐹) = 0))))))
2928com15 101 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 → (Fun 𝑃 → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘𝐹) = 0))))))
309, 10, 29sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 → (Fun 𝑃 → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘𝐹) = 0)))))
31303imp1 1347 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) ∧ Fun 𝑃) → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘𝐹) = 0))
32 fveqeq2 6851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝐹) = 0 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 ↔ (𝑃‘0) = 𝐵))
3332anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝐹) = 0 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) ↔ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘0) = 𝐵)))
34 eqtr2 2760 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘0) = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
3533, 34syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝐹) = 0 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
3635com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((♯‘𝐹) = 0 → 𝐴 = 𝐵))
37363adant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((♯‘𝐹) = 0 → 𝐴 = 𝐵))
3837adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) ∧ Fun 𝑃) → ((♯‘𝐹) = 0 → 𝐴 = 𝐵))
3931, 38impbid 211 . . . . . . . . . 10 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) ∧ Fun 𝑃) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0))
4039ex 413 . . . . . . . . 9 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (Fun 𝑃 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0)))
41403ad2ant3 1135 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → (Fun 𝑃 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0)))
428, 41syl 17 . . . . . . 7 (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (Fun 𝑃 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0)))
4342adantld 491 . . . . . 6 (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0)))
4443adantr 481 . . . . 5 ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0)))
4544imp 407 . . . 4 (((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) ∧ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0))
467, 45syl6bi 252 . . 3 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → ((𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0)))
47463impia 1117 . 2 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0))
482, 47syl 17 1 (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445   class class class wbr 5105  ccnv 5632  Fun wfun 6490  wf 6492  1-1wf1 6493  cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051  0cn0 12413  cuz 12763  ...cfz 13424  chash 14230  Vtxcvtx 27947  Walkscwlks 28544  WalksOncwlkson 28545  Trailsctrls 28638  TrailsOnctrlson 28639  SPathscspths 28661  SPathsOncspthson 28663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-hash 14231  df-word 14403  df-wlks 28547  df-wlkson 28548  df-trls 28640  df-trlson 28641  df-spths 28665  df-spthson 28667
This theorem is referenced by:  wspthsnonn0vne  28862
  Copyright terms: Public domain W3C validator