Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  spthonepeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spthonepeq 27517
 Description: The endpoints of a simple path between two vertices are equal iff the path is of length 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Mar-2018.) (Revised by AV, 18-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 31-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
spthonepeq (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0))

Proof of Theorem spthonepeq
StepHypRef Expression
1 eqid 2820 . . 3 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
21spthonprop 27510 . 2 (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
31istrlson 27472 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
433adantl1 1162 . . . . 5 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
5 isspth 27489 . . . . . 6 (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃))
65a1i 11 . . . . 5 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃)))
74, 6anbi12d 632 . . . 4 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → ((𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) ↔ ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) ∧ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃))))
81wlkonprop 27424 . . . . . . . 8 (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
9 wlkcl 27381 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
101wlkp 27382 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
11 df-f1 6334 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ↔ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun 𝑃))
12 eqeq2 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 = 𝐵 → ((𝑃‘0) = 𝐴 ↔ (𝑃‘0) = 𝐵))
13 eqtr3 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 ∧ (𝑃‘0) = 𝐵) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0))
14 elnn0uz 12260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐹) ∈ (ℤ‘0))
15 eluzfz2 12897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ‘0) → (♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
1614, 15sylbi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
17 0elfz 12986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
1816, 17jca 514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹))))
19 f1veqaeq 6990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))) → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0) → (♯‘𝐹) = 0))
2018, 19sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0) → (♯‘𝐹) = 0))
2120ex 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0) → (♯‘𝐹) = 0)))
2221com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐹) = 0)))
2313, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 ∧ (𝑃‘0) = 𝐵) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐹) = 0)))
2423expcom 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃‘0) = 𝐵 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐹) = 0))))
2512, 24syl6bi 255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 = 𝐵 → ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐹) = 0)))))
2625com15 101 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) → ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘𝐹) = 0)))))
2711, 26sylbir 237 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun 𝑃) → ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘𝐹) = 0)))))
2827expcom 416 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun 𝑃 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘𝐹) = 0))))))
2928com15 101 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 → (Fun 𝑃 → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘𝐹) = 0))))))
309, 10, 29sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 → (Fun 𝑃 → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘𝐹) = 0)))))
31303imp1 1343 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) ∧ Fun 𝑃) → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘𝐹) = 0))
32 fveqeq2 6653 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝐹) = 0 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 ↔ (𝑃‘0) = 𝐵))
3332anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝐹) = 0 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) ↔ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘0) = 𝐵)))
34 eqtr2 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘0) = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
3533, 34syl6bi 255 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝐹) = 0 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
3635com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((♯‘𝐹) = 0 → 𝐴 = 𝐵))
37363adant1 1126 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((♯‘𝐹) = 0 → 𝐴 = 𝐵))
3837adantr 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) ∧ Fun 𝑃) → ((♯‘𝐹) = 0 → 𝐴 = 𝐵))
3931, 38impbid 214 . . . . . . . . . 10 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) ∧ Fun 𝑃) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0))
4039ex 415 . . . . . . . . 9 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (Fun 𝑃 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0)))
41403ad2ant3 1131 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → (Fun 𝑃 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0)))
428, 41syl 17 . . . . . . 7 (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (Fun 𝑃 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0)))
4342adantld 493 . . . . . 6 (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0)))
4443adantr 483 . . . . 5 ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0)))
4544imp 409 . . . 4 (((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) ∧ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0))
467, 45syl6bi 255 . . 3 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → ((𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0)))
47463impia 1113 . 2 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0))
482, 47syl 17 1 (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (♯‘𝐹) = 0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3473   class class class wbr 5040  ◡ccnv 5528  Fun wfun 6323  ⟶wf 6325  –1-1→wf1 6326  ‘cfv 6329  (class class class)co 7131  0cc0 10513  ℕ0cn0 11874  ℤ≥cuz 12220  ...cfz 12874  ♯chash 13673  Vtxcvtx 26765  Walkscwlks 27362  WalksOncwlkson 27363  Trailsctrls 27456  TrailsOnctrlson 27457  SPathscspths 27478  SPathsOncspthson 27480 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5240  ax-pr 5304  ax-un 7437  ax-cnex 10569  ax-resscn 10570  ax-1cn 10571  ax-icn 10572  ax-addcl 10573  ax-addrcl 10574  ax-mulcl 10575  ax-mulrcl 10576  ax-mulcom 10577  ax-addass 10578  ax-mulass 10579  ax-distr 10580  ax-i2m1 10581  ax-1ne0 10582  ax-1rid 10583  ax-rnegex 10584  ax-rrecex 10585  ax-cnre 10586  ax-pre-lttri 10587  ax-pre-lttrn 10588  ax-pre-ltadd 10589  ax-pre-mulgt0 10590 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-ifp 1058  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4268  df-if 4442  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4813  df-int 4851  df-iun 4895  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6122  df-ord 6168  df-on 6169  df-lim 6170  df-suc 6171  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-riota 7089  df-ov 7134  df-oprab 7135  df-mpo 7136  df-om 7557  df-1st 7665  df-2nd 7666  df-wrecs 7923  df-recs 7984  df-rdg 8022  df-1o 8078  df-oadd 8082  df-er 8265  df-map 8384  df-en 8486  df-dom 8487  df-sdom 8488  df-fin 8489  df-card 9344  df-pnf 10653  df-mnf 10654  df-xr 10655  df-ltxr 10656  df-le 10657  df-sub 10848  df-neg 10849  df-nn 11615  df-n0 11875  df-z 11959  df-uz 12221  df-fz 12875  df-fzo 13016  df-hash 13674  df-word 13845  df-wlks 27365  df-wlkson 27366  df-trls 27458  df-trlson 27459  df-pths 27481  df-spths 27482  df-spthson 27484 This theorem is referenced by:  wspthsnonn0vne  27679
 Copyright terms: Public domain W3C validator