Theorem subgid 19036

Description: A group is a subgroup of itself. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
issubg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
subgid	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem subgid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
2		ssidd 3953	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ⊆ 𝐵)
3		issubg.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	3	ressid 17150	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺 ↾s 𝐵) = 𝐺)
5	4, 1	eqeltrd 2831	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺 ↾s 𝐵) ∈ Grp)
6	3	issubg 19034	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺 ↾s 𝐵) ∈ Grp))
7	1, 2, 5, 6	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  Basecbs 17115   ↾_s cress 17136  Grpcgrp 18841  SubGrpcsubg 19028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fv 6484  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-ress 17137  df-subg 19031

This theorem is referenced by:  trivsubgsnd  19061  nsgid  19077  gaid2  19210  pgpfac1  19989  pgpfac  19993  ablfaclem2  19995  ablfac  19997  qusxpid  33320  qusrn  33366