Theorem subgid 19331

Description: A group is a subgroup of itself. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
issubg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
subgid	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem subgid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
2		ssidd 3954	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ⊆ 𝐵)
3		issubg.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	3	ressid 17415	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺 ↾s 𝐵) = 𝐺)
5	4, 1	eqeltrd 2861	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺 ↾s 𝐵) ∈ Grp)
6	3	issubg 19329	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺 ↾s 𝐵) ∈ Grp))
7	1, 2, 5, 6	syl3anbrc 1362	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380   ↾_s cress 17401  Grpcgrp 19137  SubGrpcsubg 19323

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-ress 17402  df-subg 19326

This theorem is used by:  trivsubgsnd  19357  nsgid  19373  qusxpid  19388  gaid2  19510  pgpfac1  20289  pgpfac  20293  ablfaclem2  20295  ablfac  20297  qusrn  33953